第17讲 综合法求速度,基点法求加速度

§8.4 Theoretical Mechanics
平面图形内各点的加速度
为平面矢量 方程。向两 不平行的轴 投影，可求 两未知量。
aM
ao’
3、当O’、M点做平面曲运动时，则有：
n n n aM a a a a a ' ' ' M O O MO MO'
n 其中： aM 2 vM n , aO' 2 vO'
（3）取BD杆研究： BD杆的速度瞬心为D
BD
vB v M BD MD
MD 1 vM vB 206 103 cm s BD 2
（4）O1D杆研究：
vD 0
O D
1
vD 0 O1 D
§8.3
Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
vA
v 10 v v AB A rad / s B B IA 30 3 IB 2 3r v B rad / s vB 36.276cm / s 2 3r 3
应用瞬心法，AB杆的瞬心在I点
A
0
r
60。
B
2r
vB
O
R
§8.3
求平面图形内各点速度的瞬心法
x’ y’
ae aO
aa ae a ar
n r

n aM aO aMO aO a a MO MO
a MO O M
n 2 aMO O M
平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与 绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和
1、了解瞬心法求平面图形内点的加速度 2、理解基点法求平面图形内点的加速度。 3 、掌握应用基点法、速度投影法和瞬时速度中心法求平面 图形上各点的速度的技巧，以及基点法求平面图形内点的 加速度
重点：瞬时速度中心法求平面图形上各点的速度 难点：加速度的求解 学时安排：2
§8.3
Theoretical Mechanics
vB v A r
轮B作平面运动，轮与地 vA 面间无相对滑动，则接触 点C为轮B的速度瞬心
vB B r
vB
求AB及轮B的角加速度§8.4
平面图形内各点的加速度
ξ ξ
aA n aBA
30
求加速度
（1）研究AB杆，选A为基点， 分析B点的加速度
：
τ aBA aB
Theoretical Mechanics
§8.4 Theoretical Mechanics
平面图形内各点的加速度
例10 曲柄OA = r，以角速度绕定轴O转动。连杆AB = 2r， 轮B半径为r，在地面上滚动而不滑动如图。求曲柄在图示铅 直位置时杆AB及轮B的角加速度。
速度部分
连杆AB作平面运动，此瞬时，vA∥vB，而AB不垂直于 vA。连杆AB作瞬时平移，其瞬心在无穷远处，AB=0
①投影法
B
vA cos30 vB cos60
cos30 vB v A 30 3 cos 60
§8.3 Theoretical Mechanics
求平面图形内各点速度的瞬心法
OA=CB=10cm ; AB=20cm，曲柄OA的角速度=3rad /s vA A ②瞬心法：瞬心在O点
例5：四连杆机构中OA=CB=10cm;AB=20cm，曲柄OA的角 速度=3rad /s （逆时针），试求当ㄥAOC=90。而CB位 于OC延长线上时，连杆AB与曲柄CB的角速度。 vA A 解:(1)运动分析： OA 、CB作定轴转动，AB 作平面运动 (2)速度分析：

O C
vB
30
vA OA 10 3 30cm / s
n a B a A a BA a BA
30
B
n aBA
解：（1）确定AB 杆的速度瞬心，求ω
aB
AB
vA 2m / s
BA
vA 2m / s
B块、A块作直线运动，vA水平向右， vB斜导槽直线运动，故B点为速度瞬心
vB 0
AB =
vA 2 = = 1 rad/s l 2
（）
A
（2）确定AB的加速度瞬心，求 AB vA 2m / s ，且水平向右，故 aA 0 aA沿水平滑道，B点加速度矢量图如图（加速度瞬心法）
l2 AB
a BA l AB 大小不知
向x 轴投影：
n 0 a A cos a cos a BA BA sin
ω A
aA
x
AB
r 2 (1 r ) 2 l
向η轴方向投影
n a B cos a BA
r2 2 aB 2 l
平面图形内各点的加速度
例 题
曲柄OA长r，连杆AB长l，曲柄以匀角速度转动， aB a τ BA (2)以A为基点，求AB的角加速度， η α α 以及B点的加速度 α
a A r2
n a BA
n a B a A a BA a BA
r l
aA
n aBA
α AB
AB （）
aτ M’o
aM’o ao’ M n aM’o
M
O'
O'、 M 为曲率半径。
vM和 必须是已知的。 注意：求 aM 时，
aτMQ aM
ω α Q
n aMQ
二、加速度瞬心法（较少用） 1、加速度瞬心：某瞬时平 面图形上加速度为零的点。 2、Q为瞬心。（则加速度合成定理）： n n aM aQ aMQ a a a a MQ M MQ MQ
由于轮心O作匀加速直线运动，
dvO aO dt

（2）基点法求aI
aIO R aO

d d( vO / R) a0 = dt dt R
n aI aO aI a O IO
a0 aI O
aI a
n IO
n aI aI O
2 v R 2 0 R
(3)找瞬心：从A、B两点分别作vA、vB的垂线，其交点O即为AB杆
在该瞬时的瞬心
v A vB AB = = r 3r
v A r0
vA
30o
vB
60o
30o
vBA
vB 3rO
vA
§8.3
求平面图形内各点速度的瞬心法
例=60 题 例4 图示机构中，已知各杆长OA=20 cm，AB=80 cm，BD cm，O1D=40 cm，角速度O=10 rad/s 。求机构在图示位置时， 杆BD的角速度、杆O1D的角速度及杆BD的中点M的速度 解：(1)运动分析：OA、O1D杆作定轴 vA 转动， AB 、BD作平面运动。
求平面图形内各点速度的瞬心法
例 题
例 3 四连杆机构中曲柄 OA 长 r ，连杆 AB 长 2r ，摇杆 O1B 长 2 3r 。在图示瞬时，四连杆机构中的点O、B和O1位于 同一水平线上，而曲柄OA与水平线垂直。如曲柄的角速度 为O，求点B的速度。 方法一：速度投影定理 解：(1)运动分析:OA、BO1定轴转动，AB平面运动 方法二：瞬心法 (2)速度分析 方法三：基点法 v r A、B两点速度方向已知 , A O
aB a
n BA
A
aBA

aBA aB cos30 n aB = aBA / sin30
2 a 2 3 m /s BA
n 2 aBA lAB
BA
a BA l BA
a BA 3rad / s 2 l
§8.4
平面图形内各点的加速度
aa aτ r M arn ao’ aMO’ ao’
一、求加速度的基点法： 1、运动的合成分解：
ae
aM aτ MO’
ao’
Theoretical Mechanics
平面运动=平动（随基点）+转动（绕基点） 绝对运动 牵引运动 相对运动
ar
aMO’
M n
2、根据牵引运动为平动时加 速度合成定理求平面图形内 任一点的加速度: 将从平面 运动刚体所选的基点与平动 坐标系x’O’y’原点O’固结
vA v B OA OB
vB
vA OB 30 3 OA
vB vA cot 30 30 3
（3）连杆AB与曲柄CB的角速度
求CB杆角速度 求AB杆角速度
vBA
③基点法：取A为基点

O
30
vB
vBA
C
vA B
CB
vB 30 3 3 3 5.2rad / s CB 10
vB
I
Theoretical Mechanics
AB
vB vA = BI AI
AB
r r = （） AI l
由图的几何关系：
且 v A = r
AI l , BI 2l
vB 2r
ω
vA
vB的方向和AB的转向如图示
§8.4 Theoretical Mechanics
（）
§8.4 Theoretical Mechanics
平面图形内各点的加速度
例8:半径为R的车轮在平直轨道上做纯滚动，轮心的速度 和加速度分别为水平向右的v0 、a0 求：此瞬时速度瞬心的加速度。 （1）因I为速度瞬心，故：
O
v0 a0
τI aIO
n aIo
ao
O
ao
=
v0 R
（）
解：（1)运动分析：OA作定轴转动，AB作平 面运动；轮B只滚不滑的平面运动
0 n
30 3.14 30 3.14 rad / s 30
Theoretical Mechanics
3r
(2)求AB的角速度AB
vA OA0 10 3.14 3.14rad / s 10
第十七讲 目录
Theoretical Mechanics
第8章 刚体的平面运动
§8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
§8.4
平面图形内各点的加速度
第十七讲的内容、要求、重难点
教学内容：
基点法、速度投影法、瞬心法综合应用。 平面图形内点 的加速度求解。
Theoretical Mechanics
教学要求：
Theoretical Mechanics
（2）研究AB杆，由速度投影定理求vB
vA 20 10 vB 206 cm s v A vB cos cos 4 / 17
tan OA 20 1 AB 80 4 4 cos 17
vB vM 0
曲柄r=10cm,0=πrad/s绕O轴逆时针转动；滚子半径R=10cm (3)求滚子的角速度B。滚子只滚不滑，瞬心在I2 应用投影法： vB cos30 vA
2 3 20 3 vB vA 3 3
Theoretical Mechanics

O
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60。
B
v 2 3 B B rad / s R 3
§8.4
平面图形内各点的加速度
例9 在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l， 曲柄以匀角速度转动，当OA与水平线的夹角β = 45时，OA 正好与AB垂直，（1）求此瞬时AB杆角速度和滑块的速度。 （2）求此瞬时连杆AB的角加速度和滑块B的加速度 解:(1)连杆AB在图示瞬时的速度瞬心为I 连杆在这瞬时的角速度为 AB
vB R I2
应用基点法：取A为基点
vBA
AB
vA

O
B
10 3 v A tan 30 3

A
10 v BA 3 AB 10 3 3
60
。
vB
vA B vBA R
vB
vA 2 20 v vA A cos 30 3 3
vB 2 R 3
P. 225 8-8、12
n n 若瞬心Q为作曲线运动：aM aM aMQ aMQ
M
§8.4
平面图形内各点的加速度
30 ,vA 2m / s,lAB 2m 例7 已知： 求：AB铅垂位置时，滑块B的 vB、AB和 AB
B
30 τ aBA
Theoretical Mechanics
AB
vBA 60 3rad / s AB 20
vA 60cm / s sin 30
AB
或
vB 30 3 vA 30 3rad / s OB 10 3 OA 10
§8.3
求平面图形内各点速度的瞬心法
30
I
例6：液压机的滚子沿水平面滚动而不滑动，曲 柄OA半径r=10cm,并以匀角速度0=30r/min绕O轴逆 时针转动；如滚子半径R=10cm。当曲柄与水平线夹角 为60。时，且OA与AB垂直，试求此时:（1）滚子的 角速度大小；（2）连杆AB的角速度大小。