理论力学(大学)课件17.1 求平面图形各点加速度的基点法

大学理论力学平面图形上各点的加速度分析

n BE
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚动。求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ．时

分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB

式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2

aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动

理论力学课件刚体平面运动的加速度分析

aBnA
=
AB
⋅
ω
2 AB
= 4m
s2
加速度矢量式投影到η轴上得
aB cos 45o = aBnA
aB = 5.66 m s2
αAB
an BA
at
y BA
aB aA B
加速度矢量式投影到y轴上得
0
= −a
aBt A
A cos
= 16
45° +
m s2
aBnA
cos
45°
+ aBt A
α AB
sin 45°
•结论：平面图形角速度不为零，任一瞬时，速度瞬心必存在且唯一。
6-2 刚体平面运动的速度分析
速度瞬心的特点
1、瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心。 2、唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心。速度瞬心不是一个固定点。理解成“角色”
思考题：杆做什么运动？
vB
ω
vA
定轴转动
车轮在地面上纯滚动
6-2 刚体平面运动的速度分析
6-2 刚体平面运动的速度分析
平移
vvA = vvB
ωAB = 0
avA = avB α AB = 0
瞬时平移
vvA = vvB avA ≠ avB
ωAB = 0 α AB ≠ 0
vA A
ω
O
vB B
牢记！
6-2 刚体平面运动的速度分析
2、确定速度瞬心位置的方法
已知A、B两点的速度方向，
试确定速度瞬心的位置。
例6-5 图示机构，已知曲柄OA的角速度为ω，OA＝AB＝BO1＝ O1C＝r，角α = β = 60º，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为P1和P2点，则

理论力学课件《刚体的平面运动》

ABvBA/ABl/l （
）
速度投影法研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
根据速度投影定理 vBAB vAAB
vAvBcos
vBvA/cos l/cos45 2l() 不能求出 AB
课堂练习．滚子A沿水平面作纯滚动，通过连杆AB带动滑块
理论力学
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式。
第五章刚体的平面运动
§5–1 刚体平面运动的研究方法 §5–2 平面图形内各点的速度 §5–3 平面图形内各点的加速度 §5–4 机构运动分析
确定平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S 的位
置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量．所以
xA f1(t) 平面运动方程 yA f2(t)
f3(t)
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的xA, yA, ，图形S
在该瞬时的位置也就确定了。
解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。
基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，
且 vA l ,方向如图示。
根据 vB vA vBA, 在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。
vB vA/cos
l/cos45 2l()
vBAvAtgltg45 l
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有

理论力学---第八章_平面运动

且
v A 不平行于 v B
。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB v A vM
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A ω O1 B O2 O A B
:
:
v F
v GF cos 45 v C cos 45 v r
v F
v GF
cos
45 v C cos 45 v G 'C
vr 0
v GF 2 r
vG
5 r
26 . 6
平面机构如图所示。曲柄AB以匀角速度绕轴A转动，使杆CG绕E轴转动。已知： AB=BE=EC=r。在图示位置时，ED=r，杆AB 和杆CG均处于水平。试求该瞬时: （1）滑块D相对于杆CG的速度;
c
c
vB
v BA
绕O轴转动。求在图示瞬间点C的速度。已知
v CB
vc
B
B
ABC
vB
vA
ABC
o1
o
0
A
vA
o1
o
0
A
vA
在图示齿轮齿条机构中，已知：齿轮半径R，曲柄OA= 2 R，以匀角速度 0 绕O轴作定轴转动，OO1=L。试求图示位置 =45°时，齿轮O1的角速度。
分析：

DE
v A r
vC O 1C

1
AB

vA r

v B r
AB
vC
v D v F r 1

922134-理论力学之动力学-2平面运动加速度

x': aBx' aA sin aBnA y': aBy' aA cos aBt A
20
例：求系统在图示位置时，AB杆的角速度和角加速
度。
OA 2R,u R const.
1.求AB杆的角速度
B e
vr vCA R
30 o
uC
O
vA
A
动点：C 动系：AB杆绝动：直线相动：直线牵动：平面运动
vA AB CV A 2 3vO
aO OR
7
A
aAt B
y
aA aAn B
aBt O aO
x
B aBnO
aB aO aBt O aBnO
aA aB aAt B aAnB
大小: ?
方向:
4 ABR 4A2BR
aA aO aBt O aBnO aAt B aAnB
x：0
aO
2.加速度瞬心(Instant Center for acceleration)法
定义：某瞬时平面图形上加速度为零的点，称图形在该瞬时的加速度瞬心C a
定理：当平面图形的角速度与角加速度不同时为零，
必存在唯一的加速度瞬心
问题：过Ca的任一直线上各点的加速度分布有何特点？ —-- 与图形定轴转动时的加速度分布类似
aB
aA
aBt A
a
n BA
AB 0
B
a
n B
aB aA aBt A
aBn
a
t B
aA
aBt A
D y : aBn aA aBt A cos
aBt A 0
10
例：半径为R 的圆盘在水平板A上纯滚动，若该瞬时板的速度为u，加速度为a，轮心O相对板的速度为vr，相对加速度为ar。求圆盘的角速度和角加速度以及圆盘最高点B的速度和加速度

11-1讲基点法求加速度

O C
§8-4
用基点法求平面图形内各点的加速度
解：⑴ 车轮作平面运动，瞬心为C ⑵ 利用瞬心法求轮的角速度和角加速度

t aCO
vO OC vO R
dω 1 dvO aO dt R dt R
⑶ 取轮上O点为基点，利用基点法求瞬心C的加速度
t n aC aO aCO aCO
B
⑶ 取杆AB上的D点为基点,利用基点法求A点加速度
t n aA aD aAD aAD
AB
D y aD n a AD
O
C
x
A
t a AD
大小 ? 方向 √
√ √
？ √
√ √

aD l 2
n 2 l 2 aAD AD AB
aD
aA
2 n 向y轴投影得 aA cos60 aD cos60 aAD a A l
杆OA作绕O轴转动行星齿轮Ⅱ作平面运动
vA OA 1 l1 ⑵ 轮Ⅱ的速度瞬心为C,利用瞬心法求轮Ⅱ（任意时刻）的角速度 vA CA l1 r 所以角加速度始终为0
⑶ 取A点为基点,利用基点法求 B,D的加速度
大小 ? 方向 ?
t n aD aA aDA aDA
2 1
aA arctan n aBA
1 (l r )
2
a B a ( a ) l
arctan
r l
例8-13 图示机构中,OD=AD=BD=l,曲柄OD以匀角速度ω绕O 轴转动。求当 60 时,尺AB的角加速度和点A的加速度。解：⑴ 分析各物体的运动滑块A、B作平移杆OD绕O 轴转动杆AB作平面运动 ⑵ 找出杆AB的速度瞬心,利用瞬心法求杆AB的角速度

103平面图形上各点的加速度理论力学课件

ωII vA / CA (R r)ω0 / r 常量
于是 vMA rωII (R r)ω0
再根据M点的速度平行四边形，即可求出M点速度的大小和方向：
vM 2(R r)ω0 a （vM，vMA） π / 4
2
由牵连运动为平动时的加速度合成定理可求出点M的加速度。因
牵连法向加速度沿AO方向
滑块B的相对加速度ar也OA方向。此瞬时vr=0 ，故ak=0
由aa＝aet ＋ aen＋ar ＋ ak
投影得 aa=aet
ae
aB

2v 2 l
a OA

ae OB

2v 2 l2
aB

2v 2 l
解：BE杆作平面运动，可先求出点B的速度和加速度。点B连同滑块在OA杆上滑动，并带动杆 OA转动，可按合成运动方法求解杆OA的wOA和aOA
BE 2l
2l
BE杆作平面运动，在图中，由vE ＝v及vB方向可知此瞬时O点为BE杆的速度瞬心，因此
以E为基点，点B的加速度为
式中各矢量方向如图所示。
式中：aB的大小和方向已知；aFra bibliotekn A
的大小为：
aAn

v
2 A
OA
方向由A指向O轴，
aAt ?
方向假设如图所示；
OA＝12cm， AB＝30cm， vB＝2 m/s， aB＝1 m/s2 ，求AB和aAB
aB = aAt + aAn + aBt A + aBnA (1)
aAn

v
2 A
OA
再由速度合成定理知 vM＝ve＋vr
＝vA＋vMA (1) 式中 M点的相对速度vMA沿M点的相对轨迹（即轮Ⅱ外缘的圆周）的切线，如图所示。

速度基点法和点的合成运动求速度法的比较

速度基点法和点的合成运动求速度法的比较
关于理论力学，用点的合成定理求加速度和用基点法求点的加速度的区别
关于理论力学，用点的合成定理求加速度和用基点法求点的加速度的区别我能不能认为，合成定理（可能存在科氏加速度）适用于2个刚体系统，而基点法只适用于一个刚体计算加速度？
对于刚体的平动,在同一个刚体上的就要用基点法,如果有套筒在一个转动的杆上相对运动这类情况,能够比较明显的判断出相对运动,绝对运动,牵连运动这三种运动,那就是用点的运动合成,多做一些题就可以分清楚了.
理论力学中点的合成理论与基点法求速度是一个方法吗
方法很相似：
速度：都有绝对速度v、相对速度vr、牵连速度ve物理量
加速度：都有绝对加速度a、相对加速度ar、牵连加速度ae物理量
不同的是：
前者动系、动点分别在两个物体上；
基点法求速度是对做刚体平面运动的物体而言的，动系、动点在同一个物体上。

求速度不仅可用基点法，还可用速度瞬心法和速度投影法。

求加速度基本都用基点f法。

基点法求加速度的应用

基点法求加速度的应用
2、基点法求加速度的应用
基点法求平面图形各点加速度
例1
已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘上的两点，点A在系杆的延长线上，而点B在垂直于系杆的半径上。
基点法求加速度的应用
求：点A和B的加速度。
l12 0
r
2 2
√ √√
aB
a2 O
aBnO
2
l12
1
l 2 r
arctan
aO
r arctan
an
l
BO
基点法求加速度的应用基点法求平面图形各点加速度
例2 已知：如图所示，在椭圆规机构。
基点法求加速度的应用
求：当 60 时，尺AB的角加速度和点A的加速度。
aC aO
aCt O
a
n CO
大小？ aO R R2
方向？
2.车轮作平面运动，瞬心为 C。
函数式
vO
R
d 1 dvO aO
dt R dt R
a an R2
C
CO
当车轮在曲线轨道上运动时，轮的角加速度和轮心加速度的关系如何？
基点法求加速度的应用基点法求平面图形各点加速度
基点法求平面图形各点加速度
解: 1. 基点为Ｏ点
aA
aO
a
t A
O
a
n AO
大小 ?
l12 0
r
2 2
方向 ? √ √ √
？
2. 轮Ⅰ作平面运动，瞬心为C。
2
vO r
1l
r
d2

理论力学第九章刚体的平面运动

(
2 r
2

2r r ) 2 2
⑶

O1

vB O1 B

2 r
2 r

2
2
§9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法
1. 问题的提出
若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大
简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等
于零？如果存在的话，该点如何确定？
２．速度瞬心的概念一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中
４. 速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。
若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度： vA AP 方向AP，指向与一致。
５. 注意的问题
(1)速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不
即：刚体的平面运动为平动和转动的合成运动。
§9-2 求平面图形内各点速度的基点法
一．基点法（合成法）
取A为基点, 将动系固结于A点,动系作平动。
取B为动点, 则B点
的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成。
已知：A点的速度vA，求B点的速度vB
vBA vB
vB vBA
ve vA; vr vBA, va vB 根据速度合成定理 va ve vr , 则B点速度为：
确定平面图形的位置------只需确定平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S 的位

《理论力学(Ⅰ)》PPT 第7章

0
例7-3 钢材剪切机构，
E
长为r的曲柄OA以匀角速度ω转动，带动机构
φ
运动，使刀头D向下切断钢材。已知φ=30°， AB=BD=BE=l，求此时O
ωA φ
B
刀头D的速度。
φ
D
解：P1为AB的速度瞬心
E
vB
vA AP1
2r
3l
φ
AB
P1
vA
ω
O φA
B
vB
P2 为AB的速度瞬心
P2B P2D
aB
AB
aA AB
2. 平面图形速度瞬心的加速度不等于零。因
此，不能按照速度瞬心确定加速度，缺少了
速度瞬心自身加速度这一项；
3. 加速度分析只有基点法。
加速度也有瞬心，只不过加速度瞬心不像速
度瞬心这样容易确定，通常加速度瞬心与速
度瞬心并不重合，因此应用并不广泛。
例7-7 半径均为R的两个轮在固定水平直线上纯滚动，已知轮A以匀角速度 ωA顺时针转动，图示瞬时，两轮心距离AB = 3R，杆BD 的铰链D位于轮A最高点，求此时杆BD和轮 B的角速度和角加速度。
0 动齿轮A平动
7.4 平面图形内各点加速度分析―基点法
已知：平面图形A点的加速度
为 aA ，角速度ω、角加速度α ， y1
求图形上B点的加速度。以A为基点，分析B点的加速度
ωα
AA
aaBtrt A
aaBnarnBAAB aAe
x1
aa aB
ae aA
arn art aBnA aBt A
A点速度为 vA 。
存在性：取A为基点过A做vA的垂线，其上M点的速度
vMA

理论力学平面运动PPT课件

vD vC vDC
vDC DC BC r O 3
B
A
vDC
BC
D

vC
vD

O
C vC
r
O
vD 2 vC 2 vDC2 2vCvDC cos(90 )
vD 7Or
与水平线的夹角为
3
：
vDC
sin

vD
cos
sin 21
14
3
刚体的平面运动方程
问题1：自由平面运动刚体的独立运动量
B
任意一点A的位置
y
A
基点
固结于刚体的射线AB相对于某线(x轴)的角度

x
基线
姿态角 o
运动描述
xA f1(t) yA f2 (t)
讨论：以下情况刚体做何运动？
f (t) 1. 为常数
刚体作平动
2. (xA,yA) 为常
解：（1）求杆AB的角速度以点C为基点，
vB vC vBC
vC Or
v C v B s in
AB
AB

vB AB

2rO
/(
3R)
A
vBC vB cos
D
B
vC
vBC
vB
BC

C vC
Or
0
BC r O ( 3l)
（2）求点D的速度
以点C为基点
B
vB
（a）
（b）
问题：某瞬时瞬心是否唯一？
（c）
（d）
瞬时的时角平速动度——1平6 面图形在。该瞬
问题：拐弯时两个前轮的转角是否相同?

刚体平面运动瞬心法、加速度(课堂PPT)

vPvOvrvOvP O
dr dr ds dt ds dt
lim r
s
vPvOwr
drv Y vr ωr
ωr
O
S vO
P vO
X
结论：平面图形内任一点的速度O0等于基点的速度和该点X0随图形绕
基点转动速度的矢量和。
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Solution
瞬心法
vA(Rr)w
wA
vA r
Rrw
vP 0
因此，可以证明只要角速度w不等于零，
在垂线AL‘总会有一点P，这点的瞬时速度等于零。
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
为了找到瞬心，我们做一条直线垂直于速度VA，另一条直线垂直于速度VB，在图中可看出，两条直线交汇于一点O，O点便是瞬心。如果O点不位于刚体的形状当中，我们假设刚体足够大可以包容下改点，这种情况就叫做Body extended.
vB
D 90o B 90o O1
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Sample problem 8
已知: 行星轮系固定轮半径R，行星轮半径r
(只滚不滑)，曲柄角速度w。
求：行星轮上M点速度。
M
A
w
O
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
归纳总结：瞬时速度中心的几种求法
(1) 已知一点的速度及刚体的角速度
(2) 已知两点的速度方向，且互不平行

用基点法求平面图形内各点的加速度

第二节平面图形上各点的速度分析一、基点法由上一节分析可知，平面图形在其自身平面内的运动可分解为两个运动：（1）牵连运动，即随同基点A 的平动；（2）相对运动，即绕基点A 的转动。

于是，平面图形内任一点B 的速度可用速度合成定理来求得，这种方法称为基点法。

因为牵连运动是平动，所以点B 的牵连速度等于基点A 的速度A v ，如图15-7所示。

又因为点B 的相对运动是以点A 为圆心的圆周运动，所以点B 的相对速度就是平面图形绕点A 转动时点B 的速度，用BA v 表示，它垂直于AB 且与图形的转动方向一致，大小为ω⋅=AB v BA ，式中ω是平面图形角速度的绝对值（以下同）。

由速度合成定理可得B 点的速度为BA A B v v v += （15-2）由此可得出结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点相对转动速度的矢量和。

必须注意的是B v 位于速度平行四边形的对角线上。

基点法公式（15-2）中包含三个矢量，共有大小、方向六个要素，其中BA v 总是垂直于AB ，于是，只需知道任何其他三个要素，便可作出速度平行四边形，求出其他两个未知量。

BA v 总是垂直于AB 两点的连线，也就是说它在AB 两点连线上的投影恒等于零，将矢量方程（15-2）向AB 连线上投影可得[][]AB A AB B v v = （15-3）上式称为速度投影定理，即刚体上任意两点的速度在其连线方向上的投影相等。

此定理的几何意义可参考图15-7加以理解，它说明了图形上两点在其连线方向没有相对速度，这反映了刚体上两点距离不变的物理本质。

该定理不仅适用于刚体平面运动，也适用于其它任何形式的刚体运动。

若已知刚体上一点速度的大小和方向，又知道另一点速度的方向，在不知道两点间距离及刚体转动角速度的情况下，应用速度投影定理可方便地求出该点速度的大小。

下面通过实例说明基点法与速度投影定理的应用。

例15-1 曲柄连杆机构如图15-8a 所示，OA=r ，AB=r 3。

第17讲综合法求速度,基点法求加速度

求平面图形内各点速度的瞬心法
例题
例 3 四连杆机构中曲柄 OA 长 r ，连杆 AB 长 2r ，摇杆 O1B 长 2 3r 。在图示瞬时，四连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上，而曲柄OA与水平线垂直。如曲柄的角速度为O，求点B的速度。方法一：速度投影定理解：(1)运动分析:OA、BO1定轴转动，AB平面运动方法二：瞬心法 (2)速度分析方法三：基点法 v r A、B两点速度方向已知 , A O
n n 若瞬心Q为作曲线运动：aM aM aMQ aMQ
M
§8.4
平面图形内各点的加速度
30 ,vA 2m / s,lAB 2m 例7 已知：求：AB铅垂位置时，滑块B的 vB、AB和 AB
B
30 τ aBA
Theoretical Mechanics
连杆ab作瞬时平移其瞬心在无穷远处ab轮b作平面运动轮与地面间无相对滑动则接触求加速度1研究ab杆选a为基点分析b点的加速度bababaabcos30sin30baabab杆在图示位置作瞬时平移其角速度等于零但其角加速度并不等于零ab杆在图示位置作瞬时平移其角速度等于零但其角加速度并不等于零8484平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度ba308484平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度讨论
aB a
n BA
A
aBA

aBA aB cos30 n aB = aBA / sin30
2 a 2 3 m /s BA
n 2 aBA lAB
BA
a BA l BA
a BA 3rad / s 2 l
例5：四连杆机构中OA=CB=10cm;AB=20cm，曲柄OA的角速度=3rad /s （逆时针），试求当ㄥAOC=90。而CB位于OC延长线上时，连杆AB与曲柄CB的角速度。 vA A 解:(1)运动分析： OA 、CB作定轴转动，AB 作平面运动 (2)速度分析：

求解平面图形内各点速度、加速度的简捷方法

求解平面图形内各点速度、加速度的简捷方法第15卷第1期2001年3月山东建材学院dOLXCN.AL(IFSt~AKq)ONGIN.Wi~IL叮￡OFBUILDINGMATERIALSⅧ15NoMar2_x]】文章编号:1002—3046【2001l01—0069—02求解平面图形内各点速度,加速度的简捷方法袁志华,孙素贞(I,河南农业大学机电学院,河南郑州450002;2.山西省建树学控,山西太原030096 摘要:研究剐体的平面平行运动,用复戋量方法推导了平面图形内各点的速度,加速度关系式,碧出了求解平面图形内各点速度,加速度的筒捷方法.这种方法不用作速度,加速度图,只需求出平面图形内点的速度函数式,加速度函数式,就可以求出平面图形内各点的速度,加速度,而且所求未知量的太小和方向直接有表达式一并给出,便于用计算机箱程计算.需求点白!!数目越多,这种方法的优越性越显着.另一方面,本文用复矢量方法研究刚体的平面平行运动,也使得用复矢量方法研究运动学形成一个完整的体景.黄键词:平面图形;速度;加速度;复矢量中图分类号:OI311.3文献标识码:A各种《理论力学》_1.21书籍中,常用矢量法,自然法研究点和剐体的运动,而没有用复矢量法.研究剐体的平面平行运行时,常用基点法求解平面图形内各点的速度,加速度,这种方法只能一次求出一点的速度,加速度,若求不同点的速度,加速度需作不同的速度,加速度图分别求解.在文献-4中琚贻宏用复矢量方法研究平面机构中点的复合运动,用复矢量方法推导了点的速度台成定理,加速度合成定理,但对刚体的平面平行运动未作理论性推导. 本文在文献u?的基础上用复矢量方法研究刚体作平面平行运动时,平面图形内各点的速度,加速度. 1平面图形内各点速度,加速度关系式证明2.1用复矢量表示的点的速度,加速度在复数极坐标平面内.动点M的位置可以表示为:OM=r=,表示沿r的单位矢量,为OM与x轴正向间的夹角.对上式求导可得,动点M的速度VM=dr/dr=,e+re(I)其中ie表示垂直于r的单位矢量.收藕日期:2000一li—l6第一作者简介:女,i966年生,讲师.硕士I复数极坐标中点的表示对(1)式求导可得,动点M的加速度,-^__一0M=dM,df=(r一甲)e+(+2ro)ie(2)2.2平面图形内各点的速度,加速度关系在平面图形所在的平面内建立一复平面,在平面图形内任取两点A,B,由图知COB=OA+AB,其中OA=rAe,AB=tABe2,为0.4与-r轴正方向问的夹角,口2为AB与轴正方向间的夹角.tAB是A,B两点之间的距离,为常数.圈2复数极坐标中刚体的两个点之问关系则B点的位置矢径为:rB=rAe~'l+ratje对rR求导得B点的速度为=drBldt=A吼+,【iel+rA~xe2(3)分析上式可知:e十le=,恤山东建村学院第15卷2ie的大小为rAB2,方向垂直于AB,这是B点绕A点转动的速度,用VB^表示.因此,(3)式可表示为:=+VB^此为用基点法表示的平面图形内各点的速度关系.对(3)式求导,得B点的加速度为a13:d/dt=(rA—rAq~2)e+(,_^l+2rAq91)ie1一rAB~2e2+A2e(4)分析(4)式可知:(A—r^l)ef-+(r^l+2r^I)ie=ⅡA,一rABlez的大小为rAB,方向由B指向A,这是B点绕A点转动的法向加速度, 用aBA表示r.41J~2ie2的大小为ra日2,方向垂直AB,这是B绕A点转动的切向加速度,用‰表示.因此(4)式可表示为B=^01t4+alia,此式即为用其点法表示的平面图形内各点的加速度关系式.3实例说明在椭圆规的机构中,曲柄OD匀角速度绕.轴转动,OD=AD=BD=l.求当=60.时,点A和B的速度,加速度.图3椭瞬规机构解:(一)用复矢量求解建立复平面如图3示.在杆上任选一点M,由图可知,OM=O1)+DM,取DM的大小为r,OD :le,DM=t*e.为OD与轴正方向问的夹角,=,=0,】为DM与z轴正向间的夹角.M点的位置矢径为OM=FM=le+rei~,,对其求导得M点的速度‰=drM/dt=如ie+rqhiel(5)取r=l,【=一,代A(5)式得A点速度vA=一2lsi",当=6旷时,V一√3,大小为√3,方向沿实轴负方向;取r=,】=180一,代人(5)式得B点的速度=i2@o3sq~,当=60.时,=∞,大小为,方向沿虚轴正方向;对(5)式求导得M点的加速度为1●^__lⅥ=dVM/dt:一e一le+1ie(6)取r=l,l=一,代人(6)式得A点的加速度:^=一2c0s,当=6旷时,^=一,大小为l,方向沿实轴负方向;取r=l,=180一,代人(6)式得B点的加速度Ⅱ月=一i2@sin~v,当=60.时,n口=一√3 ,大小为√j,方向沿虚z轴负方向.(二)用基点法求解(过程略)当=60.时,A点的速度大小为√3,方向沿轴负方向,加速度大小为,方向沿dE轴负方向;B点的速度大小为,方向沿Y轴正方向,加速度大小为√3,方向沿y轴负方向.用两种方法求得的结果完全相同.4讨论用基点法求解上题时,需作出A点的速度图,加速度图,B点的速度图,加速度图,然后根据图求船,若需求其它点的速度,加速度,还需再作图,再根据图求解,这样显得很烦琐.用复矢量法求解时,求出平面图形内点的速度函数式,加速度函数式,需求某点的速度,加速度,只需将该点的有关量代人即可,这样可以很容易地求出很多点的速度,加速.而且,在求解过程中不需要作速度,加速度图;所求未知量的大小和方向直接有表达式一并给出,便于用计算机编程计算.需求点的数目越多,这种方法的优越性越显着.由此可见,求解平面图形内各点的速度,加速度时,用复矢量法更简捷,更方便.另一方面,本文用复矢量法研究刚体的平面平行运动,也使得用复矢量法研究运动学形成一个完整的体系. (下转第79页)。