第2章 材料中的晶体结构

b. 已知两不平行晶向[u1v1w1]和[u2v2w2 ]，由其决定的 晶面指数(hkl)为：
h v1 w 2 v 2 w 1 , k w 1u 2 w 2 u 1, l u 1 v 2 u 2 v1
补充
cos
2
(对于立方晶系)
两个晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）之间的夹角φ
h h
1 2

k k
1 2
2

2
ll
1
2 2 2
(h1
k
2 1

l1 )
(h 2
k

l
2 2
)
两个晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]之间的夹角θ
cos
2
u u
1
2

vv
1 2
2

w w
1 2
2
(u 1
v
2 1

w1)
(u 2
v
2 2

w
2 2
)
晶面（hkl）与晶向[uvw]之间的夹角ψ
晶向指数用[uvtw] 来表示。其中 t =－（u＋v）
120° 120°
晶面指数的标定
1.求晶面与四个轴的截距
2.取倒数
3.再化成简单整数
4.用圆括号括起来（h k i l）
六方系六个侧面的指数分别为：
(1 1 00),(01 1 0),(10 1 0),(1 100),(0 1 10),(1 010)
(210)
(012)
(362)
注意
选坐标原点时，应使其位于待定晶面以外，防止 出现零截距。 已知截距求晶面指数，则指数是唯一的；而已知 晶面指数，画晶面时，这个晶面就不是唯一的。
某一晶向[uvw]位于或平行于某一晶面（hkl）时，
必然满足以下关系： hu+kv+lw＝0
例题：在一个面心立方晶胞中画出[012][123]晶向。
简单单斜
底心单斜
简单正交
体心正交
底心正交
面心正交
简单六方
简单菱方
简单四方
体心四方
简单立方
体心立方
面心立方
晶体结构与空间点阵
晶体结构与空间点阵的区别
空间点阵：是晶体中质点排列的几何学抽象，用以 描述和分析晶体结构的周期性和对称性， 由于各阵点周围环境相同的要求，它只 有14种类型。
晶体结构：是指晶体中实际质点（原子、离子或分 子）的具体排列情况，它们能组成各种 类型，因此实际存在的晶体结构是无限 多的。
第二章
材料中的晶体结构
晶体材料依结合键类型的不同可以分为金属晶体、离 子晶体、共价晶体和分子晶体。 晶体结构：晶体中原子（离子或分子）在三维空间的具 体排列方式。
本章内容：
晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的结构 共价晶体的结构
第一节
一、空间点阵和晶胞
晶体学基础
空间点阵：将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点，它 们在三维空间作周期性的规则排列形成的三维阵列。
ν
晶向指数的标定
1.将坐标轴单位三等分。
[1213]
2.从原点出发沿格线依次移动 至P点。标出路线坐标-1/3， 2/3, -1/3，1，满足 t＝－（u+v） 3.化简得
[ 1 2 1 3]
[2110] [1210]
[1010]
1.确定三轴指数[UVW]：[011]
2.代入公式计算 u=(2U-V)/3=-1/3 v=(2V-U)/3=2/3
0 . 414
四面体
rB rB rA
3a / 2 0 . 225
2 a
2
0 . 1125 a
晶体中原子的堆垛方式
原子密排面在空间堆垛起来就构成了以上三种晶体结构 面心立方和密排六方结构是纯金属中最密集的结构。 面心立方结构中{111}晶面和密排六方结构中{0001}晶 面上的原子排列情况完全相同。
四面体
rB rB rA
3a / 4 0 . 225
2a 4
0 . 08 a
密排六方结构的间隙
密排六方结构间隙与面心立方类似，仅位置不同，原 子半径相同情况下，两种结构同类间隙的大小相同
八面体间隙6个；四面体间隙12个
间隙半径rB：间隙能容纳的最大球半径
八面体
rB a / rB rA 2 a 2 0 . 207 a
晶胞参数
晶胞的形状和大小用晶胞参数来表示。即3条棱边的长 度a、b、c和3条棱边的夹角、、。
晶胞各边长度（a、b、c），称为晶格常数。
r 点阵中任一阵点的位置： uvw ua vb wc
二、晶系和布拉菲点阵
晶体的空间点阵划归为七个晶系，共包括14种点阵，称 为布拉菲点阵。
简单三斜
2) 确定坐标值：在待定晶向上确定距
原点最近的一个阵点的三个坐标值。
3) 化整并加方括号：将三坐标值化
为最小整数，并加方括号[uvw]即可。 若三个数中有负值，在数字上方加 负号。
练习：说明确定晶向指数的方法
对晶向指数的说明
b) 如晶体中两晶向相互平行但方向相反，则晶向指数中 的数字相同，而符号相反； c) 晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向 称为晶向族，用〈uvw〉表示。
晶格：将阵点用系列平行直线连接起来构成的空间架。
晶胞：构成晶格的最基本单元。晶胞作三维的重复堆砌 就构成了空间点阵。
选取晶胞的原则：
晶胞应为最小的平行六面体 a) 晶胞几何形状充分反映点阵的对称性（第一原则）； b) 平行六面体内相等的棱和角数目最多；
c) 当平行六面体的棱角存在直角时，直角数目应最多； d) 在满足上条件，晶胞体积应最小。
晶向指数的标定
1.四轴坐标法：从原点出发，沿平行于四个晶轴的方向依次移动 达到待定晶向上某一结点。条件t＝－（u+v）。将各方向移动距 离化为最小整数值。
2.三轴坐标法：用三轴坐标系先求出待标晶向的3个指数U、V、W， 再用三轴与四轴坐标系晶向指数的关系，求出四轴坐标系的晶向 指数[u v t w] 三轴晶向指数[U V W]与四轴晶向指数[u v t w]的转换关系为:
3. 根据截距确定坐标点，连线得 晶面。
六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系：晶胞边长为a，高为c的六方棱柱体。
晶向与晶面常采用密勒—布拉菲指数表示， 即四轴坐标：晶轴取a1、a2、a3 、c 。其中 三轴间夹角为120°，c 轴垂直于底面。
晶面指数为（hkil），排列顺序依次与a1、 a2、a3 、c轴相对应，其中 i=－（h＋k）
a 2( 2 )r a 2r
原子半径
晶胞中原子密度最大方向上相邻两原子之间平
均距离的一半。
晶胞原子数
晶胞内所独有的原子数目。
1 体心： n 8 1 2 8 1 1 面心： n 8 6 4 8 2 1 1 密排： n 12 2 3 6 6 2
晶 胞 特 征
表征晶胞特征的参数有：
点阵常数；
原子半径；
晶胞原子数；
配位数和致密度；
晶胞中的间隙。
点阵常数
晶胞的棱边长度a、b、c称为点阵常数。 三种典型晶体结构中a、b、c与r的关系：
体心立方结构 面心立方结构 密排六方结构
（ a b c） （ a b c） （ a b c） a 4( 3 3 )r
体心立方结构中的间隙
八面体：位置：面心和棱中点
间隙数量：6×1/2+12×1/4=6（个）
四面体：位置：侧面中心线1/4和3/4处 间隙数量： 4×6×1/2=12（个）
间隙半径rB： 间隙能容纳的最大球半径
rB a / 2 rB rA 0 . 154 3a 4 0 . 067 a
3) 取倒数：取三个截距值的倒数。 4) 化整并加圆括号：将三截距之
倒数化为最小整数h，k，l；再加 以圆括号（h k l）即是。
练习：指出下列各晶面指数所对应的晶面
对晶面指数的说明
a) 一个晶面指数代表着相互平行的晶面；
b) 平行晶面的晶面指数相同，或数字相同而正负号相反；
c) 晶体中所有原子排列情况和晶面间距相同而空间位 向不同的各组晶面称为晶面族，用{hkl} ； 将{hkl}中的h、k、l，改变符号和顺序，进行任意 排列组合，就可构成这个晶面族包括的所有晶面数。 d) 在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互 垂直，如[100] ⊥ （100）。
八面体
四面体
rB rB rA
5a / 4 0 . 291
3a 4
0 . 126 a
面心立方结构中的间隙
正八面体：位置：体心和棱中点
间隙数量：12×1/4+1=4（个）
正四面体：位置：四个最近邻原子的中心 间隙数量：8（个）
间隙半径rB：间隙能容纳的最大球半径
八面体
rB a / 2 rB rA 0 . 414 2a 4 0 . 146 a
三、晶向指数和晶面指数
晶向：代表晶体中原子排列方向的空间点阵中各阵点 列的方向。
晶面：代表晶体中原子平面的空间点阵中的任意一组 阵点的平面。 晶向和晶面国际上通用密勒（Miller）指数表示。
晶向指数
确定方法
1) 建立坐标系：以某一阵点为原点，
以经过该点的晶轴为坐标轴，以a、b、 c为坐标轴的长度单位。
sin
2
h u
(h

k v
2

2
l w v
2
k
2
l
)
(u

w
2
)
第二节
纯金属的晶体结构
最典型、最常见的金属的晶体结构有三种类型: • 面心立方结构
• 体心立方结构
• 密排六方结构
面心立方结构（fcc或A1）
原子分布在立方晶胞的八个顶角及六个侧面的中心。
面心立方晶胞示意图
具有这种晶体结构的金属有Al、Cu、Ni、Au和γ-Fe等，约20种。
配位数—CN
晶格中任一原子最邻近、等距离的原子数。
体心：8 面心：12 密排：12 晶体中原子配位数愈大， 晶体中的原子排列愈紧密
致密度—K
晶体原子排列紧密程度。 晶胞中原子的体积与晶胞体积之比。 K=nv/V
体心：K＝0.68；面心：K＝0.74；密排：K＝0.74
晶体结构中的间隙
从间隙的形状上看，可分为两种： 1.四面体间隙：由4个原子组成的四面体中间的间隙； 2.八面体间隙：由6个原子组成的八面体中间的间隙。
体心立方结构（bcc或A2）
原子分布在立方晶胞的八个顶角及其体心位置。
体心立方晶胞示意图
具有这种晶体结构的金属有α-Fe 、Cr、V、Mo、W等30多种。
密排六方结构（hcp或A3）
原子分布在六方晶胞的十二个顶角，上下底面中心各排 列一个原子，两底面中间还有三个原子。
密排六方晶胞示意图
具有这种晶体结构的金属有α-Ti、Mg、Zn、Be等20多种。
1. 将3个指数分别除绝对值最大的一个 数的正值。[012]除2得： 0，1/2，1； [123]除3得：1/3，－2/3，1。 2. 建立坐标系，确定原点O1，O2 （y坐标为负值） 3. 根据坐标值确定相应的晶向。
例题：在一个面心立方晶胞中画出(012)、(123)晶面。
1. 3个指数取倒数,（012）得∞， 1，1/2；（12 3）得1，-1/2，1/3。 2. 建立坐标系，确定原点O1、O2。
t=-(u+v)/3=-1/3 w=W=1 3.化简得晶向指数
[
1213]
晶面间距
晶体中相邻两个平行晶面之间的距离称为晶面间距。 低指数晶面的面间距比较大， 高指数晶面的面间距比较小； 晶面间距越大，则该晶面上原 子排列越紧密，而晶面间距越小 的晶面，原子排列越稀疏。
晶面间距 dhkl 与晶面指数（hkl）和点阵常数（a,b,c）
两个不平行晶面（h1 k1 l1）（h 2k2 l2）的晶带轴[u v w] 可用如下方法求得：
推论
a. 已知两不平行晶面（h1k1l1）和（ h2k2l2 ），其决 定的晶带轴[uvw]为：
u k 1 l 2 k 2 l 1 , v l 1 h 2 l 2 h1 , w h 1 k 2 h 2 k 1
a) 一个晶向指数代表着相互平行、方向一致的所有晶向；
已知一个晶向指数后，对u、v、w进行排列组合， 就可得出此晶向族所有晶向的指数。 试确定立方晶系中〈111〉包含的晶向情况。
晶面指数
确定方法 1) 建立坐标系：原点位于待定晶面外 2) 求截距：求出待定晶面在三个坐
标轴上的截距，若晶面与坐标轴平 行，其截距为∞ 。
之间有如下关系：
d hkl 1 h k l a b c d hkl d hkl a h k l
2 2 2 2 2 2
正交系
立方系 1
3 h hk k
2
2
4
a
2
l
c
六方系
2
晶带
相交和平行于某一晶向直线的所有晶面的组合称为晶 带；此直线称为晶带轴；属此晶带的晶面称为晶带面。 晶带用晶带轴的晶向指数表示。 晶带轴[u v w]与该晶带的任一晶面（h k l）之间存在以 下关系： hu + kv + lw = 0 晶带定律