垂径定理典型例题及练习Word版

【基础知识回顾】

一、圆的定义及性质：

1、圆的定义：

⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做

⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合

【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的

2、直径是圆中的弦】

2、弦与弧：

弦：连接圆上任意两点的叫做弦

弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类

3、圆的对称性：

⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴

⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是

【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】

二、垂径定理及推论：

1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线

3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】

三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角

2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

四、圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧

推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是

2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

五、圆内接四边形：

定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做

性质：圆内接四边形的对角

【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】

垂径定理典型例题分析：

例题1、基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心

D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（ ）．

A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B ．过弦的中点的直线必过圆心

C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D ．弦的垂线平分弦所对的弧

例题2、垂径定理

1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度

为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.

2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的

最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .

（1）求证：四边形OEHF 是正方形.

（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.

4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．

5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21

BF.

例题3、度数问题

1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.

O

A E

F

2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.

例题5、平行问题

在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半

径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.

A B D

C

E O

作 业：

一、概念题

1．下列命题中错误的有（）

（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦

（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）

（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤

（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<

3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的

是（ ）

A ．DE CE =

B ．

C ．BA

D BAC ∠=∠ D ．AD AC >

4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等

弧有（ ）对。

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

二、垂径定理

1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 . 2.在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm

3．半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm

4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高

_____=CD m.

5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽

24=AB ，则水管中水深是_______cm.

6．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，

则OM 的长为（ ）

A ．3cm

B ．2cm

C ．1

D ．3cm

8．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE 的长

是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（ ）

A ．5cm

B ．10cm

C ．55cm

D ．73cm

10．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）