垂径定理典型例题及练习Word版
垂径定理典型例题及练习
【基础知识回顾】一、圆的定义及性质:1、圆的定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦】2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点的叫做弦弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类3、圆的对称性:⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算,在半径r 弦a 弦心d 和弦h 中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系:1、圆心角定义:顶点在 的角叫做圆心角2、定理:在 中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角 那么它们所对的弧推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而 它所对的圆周角有 个,它们的关系是2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形:定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做 这个圆叫做性质:圆内接四边形的对角【名师提醒:圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】垂径定理典型例题分析:例题1、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是( )A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2.下列命题中,正确的是( ).A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .过弦的中点的直线必过圆心C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm ,那么油的最大深度为________cm.3、如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .(1)求证:四边形OEHF 是正方形.(2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知:△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D ,求证:AD=21BF.例题3、度数问题1、已知:在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知:⊙O 的半径1=OA ,弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中,如果一条直径的端点与圆上一点相连,这条线段的中点与圆心的距离是直径的()A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出,如果一条线段是圆的直径,那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是()A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分,且其中一条对角线是圆的直径,那么这个四边形是()A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r,那么圆的直径是()A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们,如果一条线段是圆的直径,那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中,如果对角线互相平分,且其中一条对角线是圆的直径,那么这个四边形的对角线长度相等,等于______。
3. 已知圆的半径为5cm,那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm,圆内有一点P,连接点P和圆心O,得到线段OP。
如果OP的长度为4cm,求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm,圆内接四边形ABCD,其中AC为直径。
已知AB=6cm,求BC的长度。
四、证明题1. 证明:如果一个三角形是直角三角形,且斜边是圆的直径,那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明:如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分,且其中一条对角线是圆的直径,那么这个四边形的对角线长度相等。
答案:一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm(利用勾股定理,OP为直角三角形的一条直角边,半径为斜边,另一直角边为点P到圆上任意一点的距离)。
2. BC的长度是8cm(利用圆内接四边形的性质,对角线互相平分,且AC是直径,所以BD=7cm,再利用勾股定理求BC)。
圆的垂径定理试题(附答案)
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、(2013年潍坊市)如图,⊙O 的直径AB=12,CD 是⊙O 的弦,CD ⊥AB ,垂足为P ,且BP :AP=1:5,则CD 的长为( ).A.24B.28C.52D.542、(2013年黄石)如右图,在Rt ABC 中,90ACB ∠= ,3AC =,4BC =,以点C 为圆心,CA 为 半径的圆与AB 交于点D ,则AD 的长为( )A.95B. 245C. 185D. 523、(2013河南省)如图,CD 是O 的直径,弦AB CD ⊥于点G ,直线EF 与O 相切与点D ,则下列结论中不一定正确的是( )A. AG =BGB. AB ∥BFC.AD ∥BCD. ∠ABC =ADC4、(2013•泸州)已知⊙O 的直径CD=10cm ,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M ,且AB=8cm ,则AC 的长为( ) A. cm B. cm C. cm 或cm D. cm 或cm5、(2013•广安)如图,已知半径OD 与弦AB 互相垂直,垂足为点C ,若AB=8cm ,CD=3cm ,则圆O 的半径为( )A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm6、(2013•绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ,桥拱半径OC 为5m ,则水面宽AB 为( )7、(2013•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是()A. B. C. D.8、(2013•嘉兴)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为()A. 2B.C.D.9、(2013•莱芜)将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为()A. B. C. D. 3210、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为()A. 10B. 8C. 5D. 311、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C.6D.812、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是()A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90°13、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径()A. 5B. 10C. 8D. 614、(2013•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O 的半径为()A. 4B. 5C. 4D. 315、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是()A.3B.4C.5D.716、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm17、(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为.18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不.正确..的是()19、(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为.图20 图21 图2220、(2013•宁夏)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 cm.21、(2013•包头)如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB=度.图23 图24 图25 图26 图27 图2823、(2013•黄冈)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为.24、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB 的长为.25、(2013哈尔滨)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O的半径为52,CD=4,则弦AC的长为.26、(2013•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD=.27、(2013•遵义)如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC=度.28、(2013陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为.29、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,PΘ与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),PΘ的半径为13,则点P的坐标为 ____________.30、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题及答案圆的垂径定理习题⼀. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆⼼0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是()2.如图,O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的⼀个动点,则线段0M 长的最⼩值为()3.过O 0内⼀点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为()A* 9cmE, 5cm4.如图,⼩明同学设计了⼀个测量圆直径的⼯具,标有刻度的尺⼦ 0A 0B 在 0点钉在⼀起,并使它们保持垂直,在测直径时,把 0点靠在圆周上,读得刻度0E=8个单位,0F=6个单位,则圆的直位 D. 15个单位5.如图,00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点,6cmCD ,则直径AB 的长是()6. 下列命题中,正确的是(A .平分⼀条直径的弦必垂直于这条直径B .平分⼀条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆⼼D .在⼀个圆内平分⼀条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆⼼7. 如图,某公园的⼀座⽯拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24⽶,拱的半径为13⽶,则拱⾼为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5⽶B, 8⽶C. 7⽶D,出⽶D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9?已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上,如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的⾼为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 ⼆、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦,AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中,弦 AB 的长为8cm,则它的弦⼼距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有⼀条长为16的弦,那么这条弦的弦⼼距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦,AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图,O 0的直径AB 垂直于弦CD ,垂⾜为E ,若/C0氐120°, 0E= 3厘⽶,贝U CD= ___________厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中,垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内⼀点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径,弦CDL AB E为垂⾜,CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图,AB 为O 0的弦,O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ,则弦AB 的长11. __________________________ 如图,在直⾓坐标系中,以点P 为圆⼼的圆弧与轴交于 A 、B 两点,已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝⼙点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图,AB 是O 0的直径,ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜⼤棚的剖⾯如图所⽰,已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的⾼度为13. 如图,矩形ABCDf圆⼼在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图,O O 的半径是 5cm P 是o o 外⼀点,PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm 是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. ⼀个圆弧形门拱的拱⾼为1⽶,跨度为4⽶,那么这个门拱的半径为 ___________________ ⽶ 18.在直径为10厘⽶的圆中,两条分别为6厘⽶和8厘⽶的平⾏弦之间的距离是厘⽶19. 如图,是⼀个隧道的截⾯,如果路⾯AB 宽为8⽶,净⾼CD 为8⽶,那么这个隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆⼼,C 为半圆上⼀点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
(完整word版)垂径定理典型例题及练习
典型例题分析:例题1、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是( )A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2.下列命题中,正确的是( ).A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .过弦的中点的直线必过圆心C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm ,那么油的最大深度为________cm.3、如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .(1)求证:四边形OEHF 是正方形.(2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知:△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D ,求证:AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知:在⊙O中,弦cm12=AB,O点到AB的距离等于AB的一半,求:AOB∠的度数和圆的半径.2、已知:⊙O的半径1=OA,弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求:AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证:22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,于CDAE⊥E,CDBF⊥于F.求证:FDEC=.A BDCEO作 业: 一、概念题1.下列命题中错误的有()(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径A .1个B .2个C .3个D .4个2、⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的动点,则OM 的长的取值范围是( )(A )5OM 3≤≤ (B )5OM 4≤≤(C )5OM 3<< (D )5OM 4<<3.如图,如果AB 为⊙O 直径,弦AB CD ⊥,垂足为E ,那么下列结论中错误的是( )A .DE CE =B .C .BAD BAC ∠=∠ D .AD AC >4.如图,AB 是⊙O 直径,CD 是⊙O 的弦,CD AB ⊥于E ,则图中不大于半圆的相等弧有( )对。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中,垂直于弦的直径是该弦的()。
A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案:B2. 垂径定理告诉我们,如果一条线段垂直于弦,并且平分弦,那么它也平分弦所对的()。
A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案:A3. 在圆中,如果一条直径垂直于弦,那么这条直径将弦分成的两段长度()。
A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案:A二、填空题4. 在圆中,如果弦AB的中点为M,且直径CD垂直于弦AB于点M,则弦AB所对的弧ACB的度数为______。
答案:90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要,它说明了垂直于弦的直径将弦平分,并且平分的弦所对的弧是______。
答案:相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm,弦AB垂直于直径CD于点M,求弦AB的长度。
答案:由于直径CD垂直于弦AB,根据垂径定理,弦AB被直径CD平分,因此弦AB的长度为圆的直径,即20cm。
7. 在一个圆中,弦AC的长度为12cm,弦BC的长度为8cm,且AC和BC相交于点O,求圆的半径。
答案:由于AC和BC相交于圆心O,根据垂径定理,OA=OC,OB=OA,因此OA=OC=6cm,OB=OA=6cm。
根据勾股定理,圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72,所以r = √72 = 6√2 cm。
四、证明题8. 证明:在圆中,如果一条直径垂直于弦,那么这条直径将弦平分。
答案:设圆心为O,直径为CD,弦为AB,且CD垂直于AB于点M。
要证明CM=MD。
由于CD是直径,所以∠CMO=∠DMO=90°。
根据垂径定理,CM=MD,因此这条直径将弦平分。
垂径定理典型例题及练习(供参考)
典型例题分析:例题1、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是( )A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2.下列命题中,正确的是( ).A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .过弦的中点的直线必过圆心C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm ,那么油的最大深度为________cm.3、如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .(1)求证:四边形OEHF 是正方形.(2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知:△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D ,求证:AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知:在⊙O中,弦cm12=AB,O点到AB的距离等于AB的一半,求:AOB∠的度数和圆的半径.2、已知:⊙O的半径1=OA,弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求:AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证:22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,于CDAE⊥E,CDBF⊥于F.求证:FDEC=.A BDCEO作 业:一、概念题1.下列命题中错误的有()(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径A .1个B .2个C .3个D .4个2、⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的动点,则OM 的长的取值范围是( )(A )5OM 3≤≤ (B )5OM 4≤≤(C )5OM 3<< (D )5OM 4<<3.如图,如果AB 为⊙O 直径,弦AB CD ⊥,垂足为E ,那么下列结论中错误的是( )A .DE CE =B .C .BAD BAC ∠=∠ D .AD AC >4.如图,AB 是⊙O 直径,CD 是⊙O 的弦,CD AB ⊥于E ,则图中不大于半圆的相等弧有( )对。
3.3垂径定理(解析版)九年级下册
3.3垂径定理分层练习考查题型一利用垂径定理求线段长1.(2023•宜昌)如图,OA ,OB ,OC 都是O 的半径,AC ,OB 交于点D .若8AD CD ,6OD ,则BD 的长为()A .5B .4C .3D .2【分析】根据垂径定理的推论得OB AC ,再根据勾股定理得22228610OA AD OD ,即可求出答案.【解答】解:8AD CD ∵,OB AC ,在Rt AOD 中,22228610OA AD OD ,10OB ,1064BD .故选:B .2.(2023•和县二模)如图,点C 是O 的弦AB 上一点.若6AC ,2BC ,AB 的弦心距为3,则OC 的长为()A.3B.4C.11D.13【分析】根据垂径定理可以得到CD的长,根据题意可知3OD ,然后根据勾股定理可以求得OC的长.【解答】解:作OD AB于点D,如图所示,由题意可知:6OD ,BC ,3AC ,2AB,8,AD BD4,2CD2222,3213OC OD CD故选:D.3.(2022秋•齐河县期末)如图,OCD ,3OE ,则BD的直径AB 弦CD于点E,连接BD.若8的长为()A10B.23C.17D.25【分析】连接OD,根据垂径定理求出DE,根据勾股定理求出OD,求出BE,再根据勾股定理求出BD即可.【解答】解:连接OD ,AB CD ∵,AB 过圆心O ,8CD ,4CE DE ,90OED DEB ,3OE ∵,2222345OD OE DE ,5OB OD ,532BE OB OE ,由勾股定理,得2222242025BD BE DE ,故选:D .4.(2022秋•泗洪县期末)如图,O 的半径为5,弦8AB ,OC AB ,垂足为点P ,则CP 的长等于()A .2B .2.5C .3D .4【分析】如图,连接AO ,由垂径定理得,142AP AB ,由题意知5OA OC ,由勾股定理得,223OP OA AP ,根据CP OC OP ,计算求解即可.【解答】解:如图,连接AO ,由垂径定理得,142AP AB ,由题意知5OA OC ,由勾股定理得,223OP OA AP ,2CP OC OP ,故选:A .考查题型二利用垂径定理求半径、直径长5.(2022秋•金城江区期末)如图,线段CD 是O 的直径,CD AB 于点E ,若AB 长为16,DE 长为4,则O 半径是()A .5B .6C .8D .10【分析】连接OB ,由垂径定理可得8BE AE ,设O 半径为r ,结合题意可得4OE r ,在Rt OBE 中,由勾股定理可得222OE BE OB ,然后代入求值即可获得答案.【解答】解:如下图,连接OB ,∵线段CD 是O 的直径,CD AB 于点E ,16AB , 1116822BE AE AB ,设O 半径为r ,即OB OD r ,又4DE ∵,4OE OD DE r ,在Rt OBE 中,可有222OE BE OB ,即222(4)8r r ,解得10r ,O 半径是10.故选:D .6.(2023秋•聊城期中)如图,AB ,CD 是O 的两条平行弦,且4AB ,6CD ,AB ,CD 之间的距离为5,则O 的直径是()A 13B .213C .8D .10【分析】作OM AB 于M ,延长MO 交CD 于N ,连接OB ,OD ,由垂径定理,勾股定理即可求解.【解答】解:作OM AB 于M ,延长MO 交CD 于N ,连接OB ,OD ,设OM x ,122MB AB ,132DN CD ,222OB OM MB ∵,2222OB x ,222OD ON DN ∵,222(5)3OD x ,OB OD ∵,224(5)9x x ,3x ,223413OB ,13OB ,O 直径长是213故选:B .7.(2023秋•福州期中)如图,已知O 的弦8AB ,半径OC AB 于D ,2DC ,则O 的半径为.【分析】设O 的半径为R ,则2OD R ,先根据垂径定理得到4AD BD ,再利用勾股定理得到222(2)4R R ,然后解方程即可.【解答】解:设O 的半径为R ,则2OD R ,OC AB ∵,142AD BD AB ,90ODA ,在Rt AOD 中,222(2)4R R ,解得5R ,即O 的半径为5.故答案为:5.考查题型三弦心距8.(2022秋•台山市期末)如图,O 的半径为2,弦23AB ,则圆心O 到弦AB 的距离为()A .1B 2C 3D .2【分析】过O 作OC AB 于C ,连接OA ,根据垂径定理求出AC ,再根据勾股定理求出OC 即可.【解答】解:过O 作OC AB 于C ,连接OA ,OC AB ∵,OC 过圆心O ,23AB 3AC BC 90OCA ,由勾股定理得:22222(3)1OC OA AC ,即圆心O 到弦AB 的距离为1,故选:A .9.(2022秋•凤阳县期末)如图,在O 中,OC AB 于点C .若O 的半径为10,16AB ,则OC 的长为()A .4B .5C .6D .8【分析】如图,连接OA .利用垂径定理,勾股定理求解即可.【解答】解:如图,连接OA .OC AB ∵,182AC CB AB ,10OA ∵,90ACO ,22221086OC OA AC ,故选:C .考查题型四最值10.(2022秋•济源期末)如图,O 的半径为102,弦AB 的长为162,P 是弦AB 上一动点,则线段OP长的最小值为()A .10B .82C .5D .62【分析】过O 点作OH AB 于H ,连接OB ,如图,根据垂径定理得到8AH BH ,再利用勾股定理计算出OH ,然后根据垂线段最短求解.【解答】解:过O 点作OH AB 于H ,连接OB ,如图,111628222AH BH AB ,在Rt BOH 中,2222(102)(82)62OH OB BH ,线段OP 长的最小值为62.故选:D .11.(2023秋•淮滨县期中)如图,O 的直径为10,弦AB 的长为8,点P 在AP 上运动,则OP 的最小值是()A .2B .3C .4D .5【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP AB 时,OP 的值最小.连接OA ,在直角三角形OAP 中由勾股定理即可求得OP 的长度.【解答】解:当OP AB 时,OP 的值最小,则142AP BP AB ,如图所示,连接OA ,在Rt OAP 中,4AP ,5OA ,则根据勾股定理知3OP ,即OP 的最小值为3,故选:B .12.(2023秋•鼓楼区校级期中)如图,M 的半径为4,圆心M 的坐标为(6,8),点P 是M 上的任意一点,PA PB ,且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点,若点A 、点B 关于原点O 对称,则AB 的最大值为()A .13B .14C .12D .28【分析】由Rt APB 中2AB OP 知要使AB 取得最大值,则PO 需取得最大值,连接OM ,并延长交M 于点P ,当点P 位于P 位置时,OP 取得最大值,据此求解可得.【解答】解:连接PO ,PA PB ∵,90APB ,∵点A 、点B 关于原点O 对称,AO BO ,2AB PO ,若要使AB 取得最大值,则PO 需取得最大值,连接OM ,并延长交M 于点P ,当点P 位于P 位置时,OP 取得最大值,过点M 作MQ x 轴于点Q ,则6OQ 、8MQ ,10OM ,又4MP r ∵,10414OP MO MP ,221428AB OP ;故选:D .考查题型五利用垂径定理求面积13.(2023•铜梁区校级一模)如图,AB 是O 的弦,半径OC AB 于点D ,连接AO 并延长,交O 于点E ,连接BE ,DE .若3DE DO ,65AB ,则ODE 的面积为()A .9B .15C 952D .95【分析】根据垂径定理,三角形中位线定理以及勾股定理求出OD ,再根据三角形面积公式进行计算即可.【解答】解:AE ∵是O 的直径,90ABE ,AB OC ∵,OC 是O 的半径,12AD BD ABOA OE ∵,OD 是ABE 的中位线,12OD BE ,由于3DE DO ,可设OD x ,则3DE x ,2BE x ,在Rt BDE 中,由勾股定理得,222BD BE DE ,即222(2)(3)x x ,解得3x 或3x (舍去),即3OD ,S △12DOE OD BD 132故选:C .14.(2023•肇源县一模)如图,O 的半径是2,直线l 与O 相交于A 、B 两点,M 、N 是O 上的两个动点,且在直线l 的异侧,若45AMB ,则四边形MANB 面积的最大值是()A .22B .4C .2D .82【分析】过点O 作OC AB 于C ,交O 于D 、E 两点,连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ,根据圆周角定理推出OAB 为等腰直角三角形,求得222AB OA 【解答】解:过点O 作OC AB 于C ,交O 于D 、E 两点,连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ,如图,45AMB ∵,290AOB AMB ,OAB 为等腰直角三角形,222AB OA ,MAB NAB MANB S S S ∵四边形,当M 点到AB 的距离最大,MAB 的面积最大;当N 点到AB 的距离最大时,NAB 的面积最大,即M 点运动到D 点,N 点运动到E 点,此时四边形MANB 面积的最大值 11111224222222DAB EAB DAEB S S S AB CD AB CE AB CD CE AB DE 四边形.故选:C .15.(2023春•沙坪坝区校级月考)如图,AB 是O 的弦,半径OC AB 于点D ,连接AO 并延长,交O于点E ,连接BE ,DE .若3DE DO ,5AB ,则ODE 的面积为()A .58B .554C .5D .52【分析】根据垂径定理,得出52AD BD ,再根据直径所对的圆周角为直角,得出90ABE ,再根据平行线的判定,得出//OD BE ,再根据中位线的判定,得出OD 为ABE 的中位线,再根据中位线的性质,得出2BE OD ,再根据勾股定理,得出222BD BE DE ,解出得到52OD ,根据12ODE S OD BD 即可求解.【解答】解:OC AB ∵,5AB , 52AD BD ,AE ∵是O 的直径,90ABE ,OC AB ∵,//OD BE ,O ∵为AE 的中点,OD 为ABE 的中位线,2BE OD ,3DE DO ∵,在Rt ABE 中,222BD BE DE ∵, 2225494OD OD ,解得:52OD, 25BE OD ,11555522228ODE S OD BD .故选:A .考查题型六垂径定理的应用16.(2023秋•长葛市期中)如图,圆弧形桥拱的跨度24AB 米,拱高8CD 米,则拱桥的半径为()A .6.5米B .9米C .13米D .15米【分析】根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在CD 所在的直线上,设圆心是O .连接OA .根据垂径定理和勾股定理求解.【解答】解:根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在CD 所在的直线上,设圆心是O连接OA .根据垂径定理,得12AD m ,设圆的半径是r m ,根据勾股定理,得22212(8)r r ,解得13r .故选:C .17.(2022秋•郾城区期末)如图,一座石桥的主桥拱是圆弧形,某时刻测得水面AB 宽度为6米,拱高CD(弧的中点到水面的距离)为1米,若水面下降1米,则此时水面的宽度为()A .5米B .6米C .7米D .8米【分析】以O 为圆心,连接OC 、OA 、OB ,根据三线合一定理可得OD AB ,AC BC ,设OD r ,则1OC OD CD r ,再根据勾股定理即可求出半径;水面下降为EF ,连接OE ,根据水面下降1米,可得3OG m ,再根据勾股定理即可求得答案.【解答】解:如图,以O 为圆心,连接OC 、OA 、OB ,由题意可得,D 为弧AB 的中点,AOD BOD ,OA OB ∵,OD AB ,AC BC ,设OD r ,则1OC OD CD r ,在Rt AOC 中,222OA OC AC ,132AC AB ,22(1)9r r ,解得:5r ,主桥拱所在圆的半径5m ;由题意得,水面下降为EF ,连接OE ,∵水面下降1米,1413()OG OC m ,则2222534()EG OE OG m ,28EF EG m ,即水面的宽度为8m .故选:D .18.(2023•滕州市二模)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆,如图2,已知圆心O 在水面上方,且O 被水面截得弦AB 长为4米,O 半径长为3米.若点C 为运行轨道的最低点,则点C 到弦AB 所在直线的距离是()A .1米B .2米C .(35) 米D .(35) 米【分析】连接OC ,OC 交AB 于D ,由垂径定理得122AD BD AB(米),再由勾股定理得5OD (米),然后求出CD 的长即可.【解答】解:连接OC ,OC 交AB 于D ,由题意得:3OA OC 米,OC AB ,122AD BD AB (米),90ADO ,2222325OD OA AD (米),(35)CD OC OD 米,即点C 到弦AB 所在直线的距离是(35) 米,故选:C .1.(2022秋•沈河区校级期末)如图所示,在O 中,AB 为弦,OC AB 交AB 于点D ,且OD DC .P为O 上任意一点,连接PA ,PB ,若O 的半径为3,则PAB S 的最大值为()A .34B .33C .332D .334【分析】连接OA ,如图,利用垂径定理得到AD BD , AC BC ,再根据OD DC 可得到132OD OA ,所以32AD ,由勾股定理,则3AB .PAB 底AB 不变,当高越大时面积越大,即P 点到AB 距离最大时,APB 的面积最大.则当点P 为AB 所在优弧的中点时,此时13122PD PO OD,APB 的面积最大,然后根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解:连接OA ,如图,OC AB ∵,AD BD ,OD DC ∵,1322OD OA ,2232AD OA OD ,23AB AD .当点P 为AB 所对的优弧的中点时,APB 的面积最大,此时333322PD PO OD.APB 的面积的最大值为:11339332224AB PD .故选:A .2.(2023•碑林区校级模拟)如图,已知CD 为O 的直径,CD AB 于点F ,AE BC 于点E .若AE 过圆心O ,1OA .则四边形BEOF 的面积为()A 3B 3C .3D 3【分析】根据垂径定理求出AF BF ,CE BE , AD BD,求出2AOD C ,求出2AOD A ,求出30A ,解直角三角形求出OF 和BF ,求出OE 、BE 、BF ,根据三角形的面积公式求出即可.【解答】解:如图,连接OB ,CD ∵为直径,CD AB ,AD BD ,2AOD C ,CD AB ∵,AE BC ,90AFO CEO ,AOF COE ∵,OA OC ,()AFO CEO AAS ,C A ,2AOD A ,90AFO ∵,30A ,1AO ∵,1122OF AO ,332AF OF ,同理32CE ,12OE ,CD AB ∵,AE BC ,CD 、AE 过O ,由垂径定理得:32BF AF ,32BE CE , 四边形BEOF 的面积11311332222224BFO BEO S S S.故选:B .第21页共21页3.(2023•广西)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37m ,拱高约为7m ,则赵州桥主桥拱半径R 约为()A .20mB .28mC .35mD .40m【分析】设主桥拱半径R ,根据垂径定理得到372AD,再利用勾股定理列方程求解,即可得到答案.【解答】解:由题意可知,37AB m ,7CD m ,设主桥拱半径为R m ,(7)OD OC CD R m ,OC ∵是半径,OC AB ,137()22AD BD AB m ,在RtADO 中,222AD OD OA ,22237((7)2R R ,解得15652856R.故选:B .。
第3课时垂径定理练习.doc
(九年级数学)第24章圆(第3课时)垂径定理练习第—周星期班别姓名学号一、定理回顾:垂径定理:垂直于弦的直径平分,平分这条弦所对的几何语言:・.・AB为。
0的直径,AB±CD,・・. DP=, AC=, BC =二、基础练习题组一:1.如图1, OO中, 0C1AB,0A=5, AB=8,贝ij AC= ;oc= OO也2.如图2, OC=5, AB=24,贝lj OA=OC±AB,题组二:4.如图4, (DO 中,O DJLAB 于C,半径是5, AB=8,求CD图4 5.如图5, (DO 中,O DJLAB 于C, CD=4, AB=16,求半径.三、垂径定理的实际应用 例:(课本P82例2)右图是我国隋代建造的赵州桥,它的主拱桥是圆弧形,它的跨度为37米,拱高 为7. 23米,求赵州桥主桥的半径。
(结果保留一位小数)四、巩固练习 1. (2013 -佛山)如图1,半径OB 为3的圆中,一条弦AB 长为4,则圆心O 到这条弦AB 的距离是( )A.3B.4C.V5D.V72. 如图2,已知。
O 的直径为10, AB 为弦,ZA0B=120° ,则圆心0到AB 的 距离为 ________3. (2010 •北京)如图3, AB 为。
O 的直径,弦CDLAB,垂足为点E,连接 OC,若 OC=5, CD=8,贝|J AE=4. 如图 4, OO 中,0A=2, AB =2^3 ,则ZA0B=* 05.(2011 •佛山)如图5,已知AB 是G)O 的弦,半径OA = 20cm , ZAOB=120°,求\AOB的面积。
6.(课本P83:练习第2题)如图6,在。
中,AB. AC为互相垂直且相等的两条弦,。
【人8于OE_L AC于E.求证:四边形ADOE为正方形。
7.(课本P90:复习巩固第9题)如图7,两个圆都以点0为圆心,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
(完整word版)圆心角和垂径定理练习题(含答案),推荐文档
2017年01月07日圆心角,垂径定理一.选择题(共50小题)1.如图,O O的直径BD=4 , / A=60 °则BC的长度为()/ BAD的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3 .如图,A , B, P是半径为2的O O上的三点,A . 2B ./ APB=45 °则弦AB 的长为(4.如图,OA . 4B .5.如图,△A. 100°B.6.如图,△4 C.血D. 2\/2O是^ ABC的外接圆,弦AC的长为3, sinB^,则O O的半径为43ABC130ABCC . 2 D.为O O的内接三角形,/ AOB=100。
,则/ ACB的度数为(C . 150° D. 160°内接于O O,若/ AOB=100 °则/ ACB的度数是(BCADacA)OA . 40°B .C . 60 ° D. 80°7.如图,已知点A, B, C在O O上,且/ BAC=25 °则/ OCB的度数是()A . 70°B .C . 55 ° D. 50°,则/ D为()&如图,A . 40°9.如图,AB 是O O 直径,/ AOC=140B . 30 边长为210.如图,在OA. 25° B . 30C. 20 °D. 70°1的小正方形网格中,OC亜D也C . 5D .苛O中,弦AC与半径OBC . 50 °D . 60°O的圆心在格点上,则/ AED的正弦值是(平行,若/ BOC=50 °则/ B的大小为(11.如图,AB是O O的直径,C, D为圆上两点,若/ AOC=130 °则/ D等于(A . 2012.如图,OB. 25°C. 35O中,劣弧占A . 60D . 50°AB所对的圆心角/ AOB=120 °点C在劣弧AB上,则圆周角/B . 120° C. 135° D.150ACB=( )13 .如图,AB 是O O 的直径,弦 CD 垂直平分 OB ,则/ ACD 等于(-- C _A . 30°B . 45°C . 60°D . 70° 14 .如图,A , B , C 是O O 上三点,/ ACB=25 ° 则/ BAO A . 50° B . 55° C . 60° D . 65° 15 .如图,AB 是半圆的直径,D 是弧AC 的中点,/ ABC=50 °则/ DAB 等于( C . 65° D . 70° 的度数是 A . 55° B . 60° 16 .如图,在O O A . 2 B . 4 17 .如图,半径为 中,弦AC=2{1,点B 是圆上一点,且/ ABC=45 °则O O 的半径是( C .體D .蚯 5的O A 中,弦BC , ED 所对的圆心角分别是/ ) BAC , / EAD ,已知 DE=6 , / BAC + / EAD=180 ° 则弦BC 的长等于( A . B . C . 8 D . 618 .如图,AB 是O O 的直径,点C 在圆周上,连结BC 、OC ,过点 的度数是( ) A . 25° B . 30° C . 40 ° D . 50° 19 .如图,O O 的直径 CD 垂直于弦 AB , / AOC=40 °则/ CDB A 作 AD // OC 交O O 于点 D ,若/ B=25 ° 则/ BAD的度数为( )O'CDPA . 40°B . 30°C . 20°D . 10°20 .如图,已知 A , B , C 在O O 上,/ ACB=30 ° 则/ AOB 等于( A . 60° B . 50° C . 45° D . 30° 21.如图,O O 经过A , B , C 三点,/ BOC=60 °贝U si nA 等于( <2 2 22 .如图,AB 是O O 的直径,/ BAD=70 °则/ ACD 的度数是( A . 20° B . 15° C . 35° D . 70° 23 .如图,若 AB 为O O 的直径,CD 是O O 的弦,/ ABD=65 °则/ A . 25° B . 45° C . 55° D . 75° 24 .如图,O O 的半径是5, AB 是O O 的直径,弦 CD 丄AB ,垂足为 A . 16 B . 24 C . 32 D . 48/ ACB=20。
圆锥曲线——垂径定理
有心圆锥曲线的垂径定理(秒杀技)(文末有WORD 版下载方式)定义:圆、椭圆、双曲线都有对称中心,统称为有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,比如垂径定理。
一、椭圆和双曲线的垂径定理(又称第三定义)1.椭圆在椭圆()2222C 10+=>>:x y a b a b中,A、B 是关于原点对称的两点,P 是椭圆上异于A、B 的一点,若PA PB k k 、存在,则有:2=1⋅-PA PB k k e 证明:设11A(x ,y ),00P(x ,y ),则11B(x ,y )--,则22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a b x y a b 两式作差得到010*******(x x )(x x )(y y )(y y )a b+-+-+=∴22220101220101(y y )(y y )b c a e 1(x x )(x x )a a+--=-==-+-∴201010101=1+-+⋅⋅=--PA PB y y y yk k e x x x x特别说明,①取PB 中点M 时,OM∥PA,于是2=1⋅-OM PB k k e ②若A,B 为长轴上两顶点时,即为人教A 版数学选修1-1第36页练习题4的问题了。
③若焦点在y 轴上椭圆()2222C 10+=>>:y x a b a b,则21=1⋅-PA PB k k e ④椭圆变为圆时,=1⋅-PA PB k k ,此时可以认为e 0=,即为圆的垂径定理。
2.双曲线在双曲线2222C 1x y a b-=:中,A、B 是关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A 、B 的一点,若PA PB k k 、存在,则有:2=1⋅-PA PB k k e 证明:只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
特别说明,①取PB 中点M 时,OM∥PA,于是2=1⋅-OM PB k k e ②若焦点在y 轴上双曲线()2222C 10-=>>:y x a b a b,则21=1⋅-PA PB k k e 应用一.直接秒杀离心率的问题例题1.设A 1,A 2分别为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得12PA PA 1k k 2⋅>-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析:122PA PA 1k k =e 12⋅->-,故e 2∈变式:过点M(1,1)且斜率为12-的直线与椭圆C:2222x y 1(a b 0)a b+=>>相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为________.解析:21==1()=12⋅-- OM AB k k e所以e 2=二.直接秒杀中点弦的问题例题2:过点M (1,1)的直线l 与椭圆22x y 143+=交于A ,B 两点,且点M 平分弦AB ,则直线l 的方程为()A .4x+3y-7=0B .3x+4y-7=0C .3x-4y+1=0D .4x-3y-1=0解析:23==1=4⋅--OM AB AB k k k e ,故选B变式:已知双曲线22y x 13-=上存在两点M ,N 关于直线y=x+m 对称,且线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=9x 上,则实数m 的值为()A .4B .-4C .0或4D .0或-4解析:设中点Q 00(x ,y ),则20000200y 9x y x m y(1)e 13x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅-=-=⎪⎩解得m=0或者-4三.与角度有关的问题例题3:已知椭圆()2222C 10+=>>:x y a b a b 的离心率2e =,A、B 是椭圆的左右顶点,为椭圆与双曲线22178x y -=的一个交点,令PAB=APB=αβ∠∠,,则()cos =cos 2βαβ+.解答:令=PBx γ∠,由椭圆第三定义可知:21tan tan =1=4e αγ∙--()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3===cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5γαβγαγααγαβγαγαγααγ-++∙=+++-∙点评:其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法,并不影响题目的解答。
垂径定理典型例题及练习
典型例题分析:例题1、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是( )A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2.下列命题中,正确的是( ).A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .过弦的中点的直线必过圆心C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm ,那么油的最大深度为________cm.3、如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .(1)求证:四边形OEHF 是正方形.(2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知:△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D ,求证:AD=21BF.例题3、度数问题1、已知:在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知:⊙O 的半径1=OA ,弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图,已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,AE=6cm ,EB=2cm ,∠BED=30°,求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中,弦AB=40cm ,弦CD=48cm ,且AB ∥CD ,求:AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB ,交小圆于C 、D 两点,设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证:22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,于CD AE ⊥E ,CD BF ⊥于F .求证:FD EC =.B作 业:一、概念题1.下列命题中错误的有()(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径A .1个B .2个C .3个D .4个2、⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的动点,则OM 的长的取值范围是( )(A )5OM 3≤≤ (B )5OM 4≤≤(C )5OM 3<< (D )5OM 4<<3.如图,如果AB 为⊙O 直径,弦AB CD ⊥,垂足为E ,那么下列结论中错误的是( )A .DE CE =B .C .BAD BAC ∠=∠ D .AD AC >4.如图,AB 是⊙O 直径,CD 是⊙O 的弦,CD AB ⊥于E ,则图中不大于半圆的相等弧有( )对。
(完整版)圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一.选择题1.如图1,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,那么弦AB的长是()A.4 B.6 C.7 D.8 2.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段OM长的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为()4.如图,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为()A.12个单位B.10个单位C.1个单位D.15个单位5.如图,O⊙的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,6cmCD,则直径AB的长是()6.下列命题中,正确的是()A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为( )8.⊙O的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A. 1 cm B.7cm C. 3 cm或4 cm D.1cm 或7cm 9.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上,如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为( ) A.2 B.8 C.2或8 D.3二、填空题1.已知AB是⊙O的弦,AB=8cm,OC⊥AB与C,OC=3cm,则⊙O的半径为cm 2.在直径为10cm的圆中,弦AB的长为8cm,则它的弦心距为cm3.在半径为10的圆中有一条长为16的弦,那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦,AB=8cm,OC⊥AB与C,OC=3cm,则⊙O的半径为cm 5.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=120°,OE=3厘米,则CD=厘米6.半径为6cm的圆中,垂直平分半径OA的弦长为cm7.过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长等于 cm8.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,CD=8,OE=1,则AB=9.如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l,则弦AB的长是10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD 的高度为m11. 如图,在直角坐标系中,以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点,已知P(4,2) 和A(2,0),则点B的坐标是12.如图,AB是⊙O的直径,OD⊥AC于点D,BC=6cm,则OD= cm13.如图,矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E,GB=10,EF=8,那么AD=14.如图,⊙O的半径是5cm,P是⊙O外一点,PO=8cm,∠P=30º,则AB= cm15.⊙O的半径为13 cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,那么AB和CD的距离是Cm16.已知AB是圆O的弦,半径OC垂直AB,交AB于D,若AB=8,CD=2,则圆的半径为17.一个圆弧形门拱的拱高为1米,跨度为4米,那么这个门拱的半径为米18.在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB宽为8米,净高CD为8米,那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20.如图,AB为半圆直径,O 为圆心,C为半圆上一点,E是弧AC的中点,OE交弦AC于点D。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案1. 题目:在三角形ABC中,AD是角A的平分线,DE垂直于AB,DF垂直于AC,垂足分别为E、F。
求证:AE=AF。
答案:证明:由于AD是角A的平分线,根据角平分线的性质,有∠BAD=∠DAC。
又因为DE垂直于AB,DF垂直于AC,所以∠AED=∠AFD=90°。
在三角形AED和三角形AFD中,∠AED=∠AFD,∠BAD=∠DAC,AD公共,根据AAS(角角边)判定,三角形AED≌三角形AFD。
因此,AE=AF。
2. 题目:在三角形ABC中,AD是BC边上的高,E是AC上的一点,且AE=EB。
求证:DE=DC。
答案:证明:由于AD是BC边上的高,所以∠ADC=∠ADB=90°。
又因为AE=EB,所以三角形ABE是等腰三角形,∠BAE=∠AEB。
在三角形ADC和三角形ADB中,∠ADC=∠ADB,∠CAD=∠ABD,AD公共,根据AAS 判定,三角形ADC≌三角形ADB。
因此,DE=DC。
3. 题目:在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB上的一点,且AE=EC。
求证:DE=DC。
答案:证明:由于AD是BC边上的中线,所以BD=DC。
又因为AE=EC,所以三角形AEC是等腰三角形,∠EAC=∠ECA。
在三角形ADE和三角形CDE中,∠ADE=∠CDE,∠DAE=∠DCE,DE公共,根据ASA判定,三角形ADE≌三角形CDE。
因此,DE=DC。
4. 题目:在三角形ABC中,AD是角A的平分线,E是BC上的一点,且BE=EC。
求证:DE=DF。
答案:证明:由于AD是角A的平分线,根据角平分线的性质,有∠BAD=∠DAC。
又因为BE=EC,所以三角形BEC是等腰三角形,∠EBC=∠ECB。
在三角形ABD和三角形ACD中,∠BAD=∠DAC,∠ABD=∠ACD,AD公共,根据ASA判定,三角形ABD≌三角形ACD。
因此,DE=DF。
5. 题目:在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AC上的一点,且AE=EB。
(完整版)圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一.选择题1.如图1,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,那么弦AB的长是()A.4 B.6 C.7 D.8 2.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段OM长的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为()4.如图,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为()A.12个单位B.10个单位C.1个单位D.15个单位5.如图,O⊙的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,6cmCD,则直径AB的长是()6.下列命题中,正确的是()A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为( )8.⊙O的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A. 1 cm B.7cm C. 3 cm或4 cm D.1cm 或7cm 9.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上,如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为( ) A.2 B.8 C.2或8 D.3二、填空题1.已知AB是⊙O的弦,AB=8cm,OC⊥AB与C,OC=3cm,则⊙O的半径为cm 2.在直径为10cm的圆中,弦AB的长为8cm,则它的弦心距为cm3.在半径为10的圆中有一条长为16的弦,那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦,AB=8cm,OC⊥AB与C,OC=3cm,则⊙O的半径为cm 5.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=120°,OE=3厘米,则CD=厘米6.半径为6cm的圆中,垂直平分半径OA的弦长为cm7.过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长等于 cm8.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,CD=8,OE=1,则AB=9.如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l,则弦AB的长是10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD 的高度为m11. 如图,在直角坐标系中,以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点,已知P(4,2) 和A(2,0),则点B的坐标是12.如图,AB是⊙O的直径,OD⊥AC于点D,BC=6cm,则OD= cm13.如图,矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E,GB=10,EF=8,那么AD=14.如图,⊙O的半径是5cm,P是⊙O外一点,PO=8cm,∠P=30º,则AB= cm15.⊙O的半径为13 cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,那么AB和CD的距离是Cm16.已知AB是圆O的弦,半径OC垂直AB,交AB于D,若AB=8,CD=2,则圆的半径为17.一个圆弧形门拱的拱高为1米,跨度为4米,那么这个门拱的半径为米18.在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB宽为8米,净高CD为8米,那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20.如图,AB为半圆直径,O 为圆心,C为半圆上一点,E是弧AC的中点,OE交弦AC于点D。
垂径定理证明题
选择题已知圆O中,直径AB垂直于弦CD于点E,下列结论正确的是:A. CE = EDB. AE < BEC. ∠CEA = ∠CED(正确答案)D. 弧AC = 弧BD且大于弧BC在圆x² + y² = r²内,若直径MN垂直于弦PQ,则:A. MP > NQB. MP = NQ但不一定垂直于MNC. MP = PQ/2(正确答案)D. ∠PMN = ∠QMN且为锐角设圆C的半径为R,直径AB垂直于弦EF,G为垂足,则:A. AG + BG > RB. AG × BG = R²(正确答案)C. EG = GF但不一定小于RD. 弧AE与弧AF的长度相等且都大于弧BE圆O中,直径CD垂直于弦AB于点M,下列说法错误的是:A. AM = MB(正确答案的逆否形式,即若AM ≠ MB,则CD不垂直于AB,但此处要求选错误项,故不直接标为正确答案)B. ∠AMC = 90°C. 弧AC = 弧BCD. 若点N在弧AC上,则∠ANC为锐角(错误,应为∠ANM为锐角,若N不在直径上)对于圆P中的任意弦QR,若直径ST垂直于QR,则:A. 弧QS = 弧RT且都小于半圆B. QS = RT且为直径ST的一半(正确答案)C. ∠QST = ∠RST且为钝角D. 点P到弦QR的距离小于半径圆K中,直径LM垂直于弦NP,Q为LM上一点且不等于M,下列结论正确的是:A. ∠NQL = ∠PQL且都为直角B. 弦NP的长度是固定的,与Q的位置无关(正确答案)C. 弧NQ的长度随Q的位置变化而变化D. 若Q靠近L,则∠NQL为钝角已知圆R的半径为5,直径GH垂直于弦IJ,K为垂足,则:A. GK + KH = 10(正确答案)B. IK = KJ但不一定等于5C. 弧GI的长度大于弧HID. ∠GIK = ∠HIK且为锐角在圆S中,直径UV垂直于弦WX,Y为UV上一点,下列说法正确的是:A. ∠WYU和∠XYU都是直角(仅当Y为垂足时成立)B. 弧WX的长度是圆S周长的四分之一(不一定,除非WX是直径)C. 无论Y在UV上如何移动,弦WX的长度保持不变(正确答案)D. ∠WXY的度数随Y的位置变化而变化(仅当Y不在直径上时变化)。
2022届中考知识点强化练习:垂径定理(解答题篇)(word版含答案)
2022届中考知识点强化练习:垂径定理(解答题篇)一、解答题(共11小题;共143分)1. ____________________________ 垂径定理:垂直于弦的直径_________ 弦,并且平分弦所对的两条__________________________________几何语言(如图):•.•直径CD LAB,2.如图,刀B是。
的一条弦,CD经过圆心。
且与刀8交于点E,若AE = BE, AB = 2^7, ED =1,求CD的长.3.如图,48是O0的直径,交弦CZ)于点E,点E是CD的中点.(1)__________________________________________ 若 O0 的半径为 5, CD = 8,则 OE = , BE =;(2)___________________________________ 若 C D = 16, BE = 4,则 CE= , O。
的半径为.4.如图,有一座弧形的拱桥,桥下水面的宽度AB为7.2 m,拱顶高出水面的最大高度CD的长为2.4 m,现有一艘宽 3 m,船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗?则点P坐标为(4,2)或(-4,2).②当匕PBG = 90°时,PB lx轴,则 PC 是直径,PC = 8, FC=4A/3得 PB = 4,点 P 坐标为(-2,75,4).③当匕BPG = 90。
,则是直径,这时有PC Lx轴得PC = 4,点P坐标为(2\/5,4).符合条件的点P坐标为(4,2)或(-4,2)或(-2西4)或(2V3,4).5.如图,AB是。
的弦,D为0。
上不与A, B重合的一点,DC 1 AB于点C,® = O,连接DM.求证:"DM = 3DM.6.如图所示,某窗户是由矩形和弓形组成,己知弓形的跨度/!B = 3m,弓形的高EF=lm,现计划安装玻璃,请帮工程师求出徐所在。
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【基础知识回顾】
一、圆的定义及性质:
1、圆的定义:
⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做
⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合
【名师提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的
2、直径是圆中的弦】
2、弦与弧:
弦:连接圆上任意两点的叫做弦
弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类
3、圆的对称性:
⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是
【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、垂径定理及推论:
1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的
2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的
【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线
3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系:
1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角
2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、圆周角定理及其推论:
1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧
推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是
【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是
2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、圆内接四边形:
定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做
性质:圆内接四边形的对角
【名师提醒:圆内接平行四边形是圆内接梯形是】
垂径定理典型例题分析:
例题1、基本概念
1.下面四个命题中正确的一个是()
A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2.下列命题中,正确的是( ).
A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B .过弦的中点的直线必过圆心
C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心
D .弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度
为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm.
2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm ,那么油的
最大深度为________cm.
3、如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .
(1)求证:四边形OEHF 是正方形.
(2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.
4、已知:△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.
5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D ,求证:AD=21
BF.
例题3、度数问题
1、已知:在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB ∠的度数和圆的半径.
O
A E
F
2、已知:⊙O 的半径1=OA ,弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题
如图,已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,AE=6cm ,EB=2cm ,∠BED=30°,求CD 的长.
例题5、平行问题
在直径为50cm 的⊙O 中,弦AB=40cm ,弦CD=48cm ,且AB ∥CD ,求:AB 与CD 之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB ,交小圆于C 、D 两点,设大圆和小圆的半
径分别为b a ,.求证:22b a BD AD -=⋅.
A B D
C
E O
作 业:
一、概念题
1.下列命题中错误的有()
(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦
(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
2、⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的动点,则OM 的长的取值范围是( )
(A )5OM 3≤≤ (B )5OM 4≤≤
(C )5OM 3<< (D )5OM 4<<
3.如图,如果AB 为⊙O 直径,弦AB CD ⊥,垂足为E ,那么下列结论中错误的
是( )
A .DE CE =
B .
C .BA
D BAC ∠=∠ D .AD AC >
4.如图,AB 是⊙O 直径,CD 是⊙O 的弦,CD AB ⊥于E ,则图中不大于半圆的相等
弧有( )对。
A .1对
B .2对
C .3对
D .4对
二、垂径定理
1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ,最短的弦为6cm ,则OP 的长为 . 2.在⊙O 中,弦AB 长为cm 8,圆心到弦AB 的距离为cm 3,则⊙O 半径长为 cm
3.半径是5cm 的圆中,圆心到cm 8长的弦的距离是 cm
4.如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径m 10=OA ,桥拱的距度16=AB m ,则拱高
_____=CD m.
5.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示,如果水管横截面的半径是13cm ,水面宽
24=AB ,则水管中水深是_______cm.
6.如图,⊙O 的直径⊥CD AB ,垂足为点E ,若8,2==ED CE ,则=AB ( )
A .2
B .4
C .8
D .16
7.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ,最短的弦长为2cm ,
则OM 的长为( )
A .3cm
B .2cm
C .1
D .3cm
8.已知:如图,⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ,垂足为E ,若6,10==CD AB ,则BE 的长
是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
9.已知⊙O 的弦AB 长8cm ,弦心距为3cm ,则⊙O 的直径是( )
A .5cm
B .10cm
C .55cm
D .73cm
10.已知⊙O 的半径为2cm ,弦AB 长32cm ,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A .1cm
B .2cm
C .2cm
D .3cm 11如图,已知⊙O 的半径为cm 6,两弦AB 与CD 垂直相交于
E ,若cm CE 3=,
cm DE 9=,则=AB ( )
A .cm 6
B .cm 33
C .cm 3
D .cm 36
三、度数问题
1、在⊙O 中,AB 是弦,C 是AB 的中点,延长OC 交⊙O 于D .若CD OC =,则AOB ∠的度数是( ).
A .︒90
B .︒100
C .︒120
D .︒60
四、相交问题
1、圆的弦与直径相交成30°角,并且分直径为6cm 和4cm 两部分,则弦心距为( )
A .33
B .3
C .2
1 D .23 五、平行问题
1、 圆的两互相平行的弦长分别8cm 1和4cm 2,又两弦之间距离为cm 3,则圆的半径长是 cm
2、 在半径为cm 5的圆内有两条互相平行的弦,弦长分别为cm 8、cm 6,则这两条弦之间的距离为________
六、同心圆
1、如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,cm 6,cm 10==CD AB ,则AC 的长为( )
A .0.5cm
B .1cm
C .1.5cm
D .2cm
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