直接证明与间接证明、数学归纳法
论证方法数学中的证明技巧
论证方法数学中的证明技巧论证方法-数学中的证明技巧在数学中，证明是一种重要的推理方法，用于验证数学命题的真实性。
无论是初等数学还是高阶数学，证明技巧都是不可或缺的。
本文将探讨数学中常见的证明方法和技巧，帮助读者更好地理解和运用数学证明。
一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理、定义和公理的运用，直接推导出所要证明的结论。
这种证明方法通常具有以下步骤：1. 假设前提条件，即已知的事实或前提命题。
2. 根据已知条件和定义，运用数学知识推导出中间结果。
3. 最后，用逻辑推理得出所要证明的结论。
例如，我们来证明一个简单的数论命题：“如果一个数是偶数，则它的平方也是偶数。
”证明过程：假设n是一个偶数，即n=2k，其中k是一个整数。
则n的平方可表示为n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)可以看出，n^2也可以表示为2的倍数，因此n^2是一个偶数。
综上所述，我们证明了当一个数是偶数时，它的平方也是偶数。
二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明命题的方法。
它假设所要证明的命题为假，然后通过逻辑推理和推导出一个矛盾的结论，从而证明了原命题的正确性。
这种证明方法通常具有以下步骤：1. 假设所要证明的命题为假，并推导出导致矛盾的结论。
2. 根据矛盾推导出前提条件的一个矛盾，即得出一个自相矛盾的陈述。
3. 最后，通过逻辑推理推出所要证明的命题为真。
例如，我们来证明一个代数命题：“对于任意实数a和b，如果a×b=0，则a=0或b=0。
”证明过程：假设a和b都不等于0，并且a×b=0。
则我们可以得出结论：a=0或b=0。
因此，我们证明了原命题的正确性。
三、数学归纳法数学归纳法是一种证明自然数性质的常用方法。
它将正整数作为命题的变量，并通过证明基本情况和归纳步骤来证明一般情况。
数学归纳法通常具有以下步骤：1. 证明基本情况，即证明当命题中的变量取最小值时命题成立。
2. 假设当命题中的变量取到第k个值时命题成立，即假设命题在第k个数值成立。
专题6.6 直接证明、间接证明、数学归纳法(原卷版)
第六篇不等式、推理与证明专题6.6直接证明、间接证明、数学归纳法【考纲要求】1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【命题趋势】1.直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.2.数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【素养清单•基础知识】1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件.2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题的成立，这样的证明方法叫作反证法．(2)用反证法证明的一般步骤①反设——假设原命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推理中出现矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．用反证法证明命题“若p ，则q ”的过程可以用框图表示为 肯定条件p ，否定结论q ―→推出逻辑矛盾―→“若p ，则非q ”为假―→“若p ，则q ”为真【真题体验】1．用分析法证明：欲使①A ＞B ，只需②C ＜D ，这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°3.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________．4．下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是__________．5．(2019·湖北天门中学月考)设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋26．(2019·黑龙江大庆一模)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k ＋1成立时，总可推出f (k ＋1)≥k ＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题为真，进而需证n ＝__________时，命题亦真．【考法解码•题型拓展】考法一：分析法解题技巧：分析法证题的思路(1)先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．【例1】 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.考法二：综合法归纳总结 ：综合法证题的思路(1)分析条件选择方向：分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．(3)适当调整回顾反思：回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．【例2】 (1)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，若ab >cd ，证明：①a ＋b >c ＋d ；②|a －b |<|c －d |.(2)(2019·长沙调考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．考法三：反证法归纳总结(1)适用范围：①“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确的题目；②否定性命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明法比较困难，往往用反证法．(2)推理关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．考法四：数学归纳法证明等式归纳总结：数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【例1】求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．考法五：数学归纳法证明不等式归纳总结(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．【例2】已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n，求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.考法六：归纳—猜想—证明归纳总结：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．【例3】(2019·湖北孝感检测)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【易错警示】易错点一：反证法中未用到反设的结论【典例】设{a n}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．【错解】：假设{a n＋1}是等比数列．则{a n＋1}的前三项为a1＋1，a2＋1，a3＋1，即a1＋1，a1q＋1，a1q2＋1.(a1＋1)(a1q2＋1)－(a1q＋1)2＝a21q2＋a1＋a1q2＋1－a21q2－2a1q－1＝a1(q2－2q＋1)＝a1(q－1)2≠0，所以(a1＋1)(a1q2＋1)≠(a1q＋1)2，所以数列{a n＋1}不是等比数列．(推理中未用到结论的反设)【错因分析】：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．【正解】：假设{a n＋1}是等比数列．则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，因为a1≠0，所以2q k＝q k－1＋q k＋1.又q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知q≠1矛盾．所以假设不成立，故数列{a n＋1}不是等比数列．【误区防范】利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．【跟踪训练】设a>0，b>0，且a2＋b2＝1a2＋1b2.证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】见解析【解析】证明 假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则有a 2＋a ＋b 2＋b <4.而由a 2＋b 2＝1a 2＋1b 2得a 2b 2＝1，因为a >0，b >0，所以ab ＝1.因为a 2＋b 2≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)，a ＋b ≥2ab ＝2(当且仅当a＝b ＝1时，等号成立)，所以a 2＋a ＋b 2＋b ≥2ab ＋2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．所以a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．易错点二：证明过程未用到归纳假设【典例】用数学归纳法证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (n ∈N *)．【错解】：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k .那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立．【错因分析】：错误的原因在第二步，它是直接利用了等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时，式子12＋122＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”，不符合数学归纳法证明的步骤． 【正解】：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边．这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立．【误区防范】(1)用数学归纳法证明命题时常出现两种错误：一是n 0的值找错．二是证明命题n ＝k ＋1也成立时，没有用到n ＝k 时的归纳假设．(2)确定由n ＝k 变化到n ＝k ＋1的过程中项的变化情况时，要把握好项的变化规律以及首末项．【跟踪训练】 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋1(n ∈N *)，求a 2，a 3，a n ，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】见解析【解析】a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＋11 1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知，a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．【递进题组】1．欲证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.123．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.4．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．6．用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．7．(2019·湖北部分重点中学联考)已知数列{x n}满足x1＝12，且x n＋1＝x n2－x n(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：0<x n<1；(2)设a n＝1x n，求数列{a n}的通项公式．8．(2019·武穴中学月考)试证：n 为正整数时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．【考卷送检】一、选择题1．用反证法证明命题“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数B ．自然数a ，b ，c 都是偶数C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)＞0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab ＞2b 2D.a b ＜a ＋1b ＋1 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负5．已知a >b >0，且 ab ＝1，若 0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q 的大小关系是( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q6．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2二、填空题7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．9．(2019·郑州一模)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x |≤1，，用分析法证明|x ＋y |≤|1＋xy |”．估计污损部分的文字内容为________．三、解答题10．(2019·永州一中月考)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明 欲要证2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即证2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即证(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，所以2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．12．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜16.13．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2 ＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．14．求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．15．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．16．(2019·衡水高中调研)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *.证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数．17．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．。
数理逻辑 第三章 数学推理 数学归纳法
这样就证明了从P(n)得出P(n+1) 在第二个等式中我们使用了归纳假设P(n) 因为P(1)为真，而且对所有正整数n来说
P(n)→P(n+1)为真，所以，由数学归纳法原 理就证明了对所有正整数n来说P(n)为真
四、数学归纳法的例子
例：用数学归纳法证明：对所有正整数n 来说不等式n<2n
来说P(k)为真，要完成归纳步骤就必须证明 在这个假定下P(n+1)为真
五、数学归纳法的第二原理
例：证明：若n是大于1的整数，则n可以 写成素数之积
解：分两种情况考虑：当n+1是素数时和当 n+1是合数时。若n+1是素数，则P(n+1)为 真；若n+1是合数，则可以将其表示成两个 整数a和b之积，其中a、b满足 2≤a≤b≤n+1
3.2 数学归纳法 Mathematical Induction
一、引言
前n个正奇数之和的公式是什么？ 对n=1,2,3,4,5来说，前n个正奇数之和为：
1=1，1+3=4，1+3+5=9， 1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
猜测前n个正奇数之和是n2 假如这个猜测是正确的，我们就需要一
三、数学归纳法
用数学归纳法证明定理时
首先证明P(1)为真，然后知道P(2)为真，因 为P(1)蕴含P(2)
P(3)为真，因为P(2)蕴含P(3) 以这样的方式继续下去，就可以看出对任
意正整数k来说P(k)为真
数学归纳法的形象解释
三、数学归纳法
为什么数学归纳法是有效的？
数学的证明方法有哪些
数学的证明方法有哪些
数学的证明方法有以下几种：
1. 直接证明法：通过利用已知的前提条件和逻辑推理方法，从而得出结论。
2. 间接证明法：通过假设命题的否定形式为真，再推导出矛盾，从而得出结论。
3. 数学归纳法：通过证明当命题对于某个整数成立时，它对于下一个整数也成立，从而推导出结论。
4. 反证法：通过假设命题的否定形式为真，然后推导出矛盾的结论，从而得出结论。
5. 构造法：通过构造出满足条件的对象或函数，从而证明命题的成立。
6. 对偶法：通过将原命题的所有元素、运算和关系互换，从而得到一个等价的命题，从而证明原命题的成立。
7. 法则证明：通过运用一些特定的数学规则或定理，将要证明的命题与已知的规则和定理联系起来，从而得出结论。
以上是数学中常见的证明方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在具体证明
时，常常需要综合运用多种方法来完成证明过程。
中学数学几何证明与推理方法
中学数学几何证明与推理方法数学几何是中学数学的重要内容之一，它不仅有助于提高学生的空间想象力和逻辑思维能力，还培养了学生分析问题、证明结论和推理推导的能力。
本文将介绍中学数学几何中常用的证明与推理方法，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、数学几何证明方法数学几何证明是通过已知条件和已经得到的结论，通过逻辑推理和推导方法，得出新的结论的过程。
在数学几何证明中，常见的证明方法包括：直接证明法、间接证明法、反证法、数学归纳法等。
1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过列出已知条件和所要证明的结论，利用几何性质和定理进行逻辑推导，直接得出所要证明的结论。
例如，当要证明两个三角形全等时，可以通过已知的对应相等的边和角来进行推导，最终得到两个三角形的全部对应边和角都相等，从而证明了它们全等。
2. 间接证明法间接证明法是通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立。
例如，要证明一个三角形是等腰三角形，可以假设该三角形不等腰，然后通过推导得到两边相等的结论，与已知条件矛盾，因此原假设不成立，得证。
3. 反证法反证法是通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而推翻了原来的假设，得出所要证明的结论成立。
与间接证明法相比，反证法更加直接和简洁。
例如，要证明勾股定理（直角三角形斜边平方等于两直角边平方和），可以假设定理不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，得出结论成立。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种证明自然数性质的有力方法。
它是通过证明当n取任意正整数时性质成立，再证明当n取n + 1时性质也成立，从而得出性质对所有正整数都成立的结论。
在几何证明中，数学归纳法常常用于证明递推关系式和图形的一般性质。
二、数学几何推理方法推理是数学几何中的重要思维方式，它通过观察、分析和推导，从已知条件得出新的结论。
在数学几何推理中，常见的推理方法包括：直观推理、转化推理、类比推理、逆向推理等。
高中数学中常见的证明方法
高中数学中常见的证明方法一、直接证明法直接证明法是最基本也是最常见的证明方法之一。
它通过对所要证明的命题进行逻辑推理和分析，直接给出证明的过程和结论。
要使用直接证明法，一般需要明确以下几个步骤：1. 提出所要证明的命题：首先，明确所要证明的命题，即要证明的结论。
2. 建立前提条件：在进行证明前，需要明确前提条件，即已知条件或已知命题。
3. 逻辑推理：通过逻辑推理和分析，根据已知条件和逻辑关系，逐步推导出结论。
4. 结论：最后，根据已有的证明过程，给出结论。
二、间接证明法间接证明法又称反证法，它是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是正确的。
间接证明法的一般步骤如下：1. 假设反命题：首先，假设所要证明的命题的反命题是正确的。
2. 推导过程：根据假设和已知条件，通过逻辑推理进行推导，尽可能多地得到信息。
3. 矛盾结论：最终推导出一个与已知事实矛盾的结论。
4. 否定假设：由于假设的反命题与已知事实矛盾，所以可以否定假设，即所要证明的命题是正确的。
间接证明法常用于证明一些数学定理、存在性证明和最大最小值的存在性等问题。
三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明一类命题或定理，如整数性质、等差数列的性质等。
它基于两个基本步骤：基本情况的验证和归纳假设的使用。
数学归纳法的一般步骤如下：1. 基本情况的验证：首先，验证当命题成立的最小情况，通常是n=1或n=0的情况。
2. 归纳假设的使用：假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某个特定的正整数k是成立的。
3. 归纳步骤的推理：在归纳假设的基础上进行推理和分析，证明当n=k+1时命题也成立。
4. 归纳法的结论：根据归纳步骤的推理和基本情况的验证，可以得出结论，即所要证明的命题对于所有正整数都成立。
数学归纳法在数学推理和定理证明中有着广泛的应用，尤其适用于证明具有递推性质的命题。
四、逆否命题证明法逆否命题证明法是通过对命题的逆否命题进行证明，从而间接地证明所要证明的命题。
高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析
高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。
这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。
本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。
具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。
2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。
3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。
4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。
下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。
【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。
证明：∠ABC=45°。
【解析】根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。
接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。
由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。
（三角形内角和定理）又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。
（等腰三角形的性质）将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。
化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。
因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。
二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。
它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。
具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。
2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。
数学证明方法和技巧
数学证明方法和技巧数学是一门理性而抽象的学科，其中最重要的一部分就是证明。
数学证明是通过严密的逻辑推导来验证数学命题的正确性。
在数学中，有许多不同的证明方法和技巧，本文将针对这些方法和技巧进行详细的讨论。
一、直接证明法直接证明法是最常见和最基本的证明方法之一。
它的思路是通过一系列推理步骤，从已知的条件出发，逐步推导出所要证明的结论。
例如，对于求证一个数是偶数的命题，我们可以通过直接证明法来进行推导。
首先，我们将该数表示为2的倍数（即n=2k，其中k是任意整数），然后可以得出结论n为偶数。
二、间接证明法间接证明法，也称为反证法，是一种常用的证明方法。
它的思路是假设所要证明的结论是错误的，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
例如，可以通过反证法来证明平方根2是一个无理数。
我们假设根号2是一个有理数，即4可以整除2的平方根。
然而，通过推理可以发现这样的假设将导致矛盾，因此我们可以得出结论根号2是一个无理数。
三、数学归纳法数学归纳法是一种证明自然数性质的强有力的方法。
它的基本思想是通过证明当n=k时某个结论成立，然后证明当n=k+1时该结论也成立，从而推导出对所有自然数n均成立的结论。
首先我们验证当n=1时该结论成立，接着假设n=k时该结论成立，然后通过这个假设和逻辑推理证明n=k+1时该结论也成立。
因此我们可以得出结论对所有自然数n该结论成立。
数学归纳法在证明数列、不等式和等式等方面非常有用。
四、反证法反证法是一种基于逻辑推理的证明方法。
与间接证明法类似，反证法也是假设所要证明的结论是错误的。
但与间接证明法不同的是，反证法通过逻辑推理证明这样的假设将导致一种矛盾的结论。
这种矛盾说明了原来的假设是错误的，因此原命题是正确的。
反证法常用于证明存在性命题和唯一性命题。
五、等价命题证明等价命题证明是一种证明方法，它将所要证明的命题转化为与之等价的其他命题，然后通过证明这些等价命题来推导出原命题的正确性。
数学证明方法讲解
数学证明方法讲解数学证明是数学领域中不可或缺的一部分。
它是通过逻辑推理和严密的推导来验证数学命题的正确性。
在数学证明中，有许多不同的方法和技巧可以使用。
本文将讲解一些常见的数学证明方法，帮助读者更好地理解和运用这些方法。
一、直接证明法直接证明法是最常见的一种证明方法。
它通过逐步推导来证明一个命题的正确性。
首先，我们需要根据已知条件和定义，列出一系列逻辑推理步骤。
然后，通过逐步推导，将命题的真假归结为已知条件或已证明的命题。
最后，根据这些推导步骤，得出结论。
例如，我们来证明一个简单的命题：“两个正偶数的和是偶数。
”首先，我们假设有两个正偶数a和b。
根据偶数的定义，a和b都可以被2整除，即存在整数k和l，使得a=2k，b=2l。
我们可以得到两个正偶数的和为a+b=2k+2l=2(k+l)。
由于k和l都是整数，所以k+l也是整数。
因此，根据偶数的定义，a+b是偶数。
这样，我们就证明了这个命题。
二、间接证明法间接证明法是另一种常用的证明方法。
它通过反证法来证明一个命题的正确性。
反证法的基本思想是假设命题的否定，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而推翻假设，证明命题的正确性。
例如，我们来证明一个著名的命题：“根号2是无理数。
”首先，我们假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2=p/q，其中p和q是互质的整数。
然后，我们对这个等式两边进行平方操作，得到2=p^2/q^2，即2q^2=p^2。
根据这个等式，我们可以得出结论：p^2是偶数，因此p也是偶数。
那么，我们可以将p表示为2k，其中k是整数。
将这个等式代入原等式中，得到2q^2=(2k)^2=4k^2，即q^2=2k^2。
同样地，根据这个等式，我们可以得出结论：q^2是偶数，因此q也是偶数。
根据上述推导，我们可以得到p和q都是偶数的结论。
然而，这与我们一开始的假设矛盾，因为我们假设p和q是互质的整数。
因此，我们可以得出结论：根号2不是有理数，即根号2是无理数。
数学证明的常见题型与应用
数学证明的常见题型与应用数学证明作为数学学科的核心内容之一，在学习数学时经常会碰到。
数学证明旨在通过逻辑推理和严密论证，将一个数学命题或结论从已知条件推导出来，使之成为数学中不可否认的真理。
本文将介绍数学证明的常见题型以及在实际应用中的意义和用途。
一、直接证明法1. 定理：如果一个多边形的内角和为180度，则该多边形是凸多边形。
证明：设多边形的边数为n，根据几何图形的性质可知，n个顶点的内角和为 (n-2) × 180 度。
因此，当 n>2 时，该多边形的内角和一定大于180度，故该多边形是凸多边形。
证毕。
二、间接证明法1. 定理：根号2是无理数。
证明：假设根号2是有理数，即可以表示为 p/q （p、q为正整数，且p/q为最简分数）。
则有 (p/q)^2 = 2，即 p^2/q^2 = 2。
将该等式两边平方可得 p^2 = 2q^2。
由此可知，p^2是偶数，那么p也必然是偶数（偶数的平方仍为偶数）。
设 p = 2k，则可得到 (2k)^2 = 2q^2，化简得2k^2 = q^2。
从而可知，q^2 是偶数，那么 q 也必然是偶数。
这与我们一开始的假设矛盾，因为在假设中，我们假设 p/q 是最简分数。
所以根号2必定是无理数。
证毕。
三、数学归纳法1. 定理：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，对于所有正整数 n 成立。
证明：首先，当 n = 1 时，左边等式为 1，右边等式为 1 × (1+1) / 2= 1。
显然相等，此时等式成立。
假设当 n = k 时，等式成立，即 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。
则考虑 n = k+1 的情况，有 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k(k+1)/2) +(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
根据归纳法原理，等式对于所有正整数 n 成立。
证毕。
四、反证法1. 定理：根号2是无理数。
数学证明方法
数学证明方法数学证明是数学领域中最核心的内容之一，它是通过逻辑推理和严密的论证来验证数学命题的正确性。
在进行数学证明时，需要采用一定的方法和技巧，以确保证明的严密性和逻辑性。
本文将介绍几种常见的数学证明方法。
一、直接证明法直接证明法是最为常见的证明方法之一，它通过逐步分析问题，直接证明命题是否成立。
具体步骤如下：1.陈述：首先，明确要证明的命题，并简要陈述问题背景和前提条件。
2.假设：成功的直接证明通常涉及对一个或多个条件进行假设。
3.论证：根据问题的前提条件和假设，逐步推理，运用已知的定理、公理、推理规则等，逐步推导出结论。
4.总结：根据步骤3的论证过程，总结出结论，并明确证明的完整性。
二、间接证明法间接证明法是通过对问题的反证，即假设命题不成立，推导出矛盾的结论，证明命题必然成立。
具体步骤如下：1.陈述：明确要证明的命题，并简要陈述问题背景和前提条件。
2.假设：假设命题不成立，即给出一个假设。
3.推导：基于问题的前提条件和假设，进行推导，逐步推理，直至发现矛盾。
4.矛盾：通过步骤3的推导，发现假设和前提条件之间的矛盾。
5.否定：根据矛盾情况，推导出命题的否定。
6.结论：结论是命题的否定，即通过反证法证明命题成立。
三、数学归纳法数学归纳法是一种证明自然数性质的常用方法。
其基本思想是：证明当n满足某条件时，命题成立；再证明n+1满足该条件时，命题也成立。
具体步骤如下：1.基础情况：首先，证明命题对于某个最小的自然数(通常是1或0)成立。
2.归纳假设：假设当n=k时，命题成立，即假设命题在n=k情况下成立。
3.归纳证明：利用归纳假设，证明当n=k+1时，命题也成立。
4.结论：由于命题在基础情况和归纳证明中均成立，因此通过数学归纳法证明命题对所有自然数成立。
四、反证法反证法是一种常用的证明方法，它假设命题不成立，通过推理推导出矛盾的结论，从而证明命题一定成立。
具体步骤如下：1.陈述：明确要证明的命题，并简要陈述问题背景和前提条件。
直接证明与间接证明、数学归纳法
直接证明与间接证明、数学归纳法[考纲传真]1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【知识通关】1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．2．间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[常用结论]利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( )(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(4)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)×2．利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)”时，在验证n ＝1成立时，左边应该是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3C3．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了 ( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法结合使用D ．间接证法B4．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2D5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( ) A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D .13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] B分析法的应用1．若a ，b ∈(1，＋∞)，证明a ＋b ＜1＋ab .[证明] 要证a ＋b ＜1＋ab ，只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2，只需证a ＋b －1－ab ＜0，即证(a －1)(1－b )＜0.因为a ＞1，b ＞1，所以a －1＞0,1－b ＜0，即(a －1)(1－b )＜0成立，所以原不等式成立．2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立．[方法总结] (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.综合法的应用【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3a n －2S n ＝2.(1)证明{a n }是等比数列并求出通项公式a n ；(2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n .[证明] (1)因为3a n －2S n ＝2，所以3a n ＋1－2S n ＋1＝2，所以3a n ＋1－3a n －2(S n ＋1－S n )＝0.因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1，所以a n ＋1a n＝3，所以{a n }是等比数列． 当n ＝1时，3a 1－2S 1＝2，又S 1＝a 1，所以a 1＝2.所以{a n }是以2为首项，以3为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝2×3n －1.(2)由(1)可得S n ＝3n －1，S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1，故S 2n ＋1－S n S n ＋2＝(3n ＋1－1)2－(3n －1)(3n ＋2－1)＝4×3n ， 即S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n .[方法总结] (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a ，b ，c 均为正数，a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.反证法的应用【例2】设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[方法总结]用反证法证明问题的步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.(推导矛盾) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立.(命题成立)n n(1)求证：数列{S n}不是等比数列；(2)数列{S n}是等差数列吗？为什么？[解](1)证明：假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{S n}不是等比数列．(2)当q＝1时，S n＝na1，故{S n}是等差数列；当q≠1时，{S n}不是等差数列．假设{S n}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．综上，当q＝1时，数列{S n}是等差数列；当q≠1时，数列{S n}不是等差数列．数学归纳法的应用【例3】 已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．[解] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)＜g (2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216， 所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想，f (n )≤g (n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ＞3，k ∈N *)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3 ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0， 所以f (k ＋1)＜32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立． [方法总结] 1.应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．2．利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．n n n n ＋1S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，得S 2＝4a 3－20，S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8.∵S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7，∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3.综上知a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，以下用数学归纳法证明：①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥2)时，有a k ＝2k ＋1成立，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝3＋(2k ＋1)2·k ＝k (k ＋2)． 又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得a k ＋1＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②知，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．。
直接证明、间接证明与数学归纳法
2
2
2
由于三个不等式中的等号不能同时成立,故 a 1 + b 1 + c 1
高考第一轮复习用书·数学(理科) 第十二章 12.2 直接证明、间接证明与数学归纳法
<4.
ab
a2 b2
(法二)由( 2 )2≤ 2
⇒a+b≤
2(a2 b2 )
,
于是 a 1 + b 1≤ 2(a 1 b 1) ,同理: c 1 +1≤ 2(c 11) ,
a1 b1 a2 b2
an bn 12
【分析】(1)利用等差中项与等比中项得出an与bn的关系式,
求出a2,a3,a4及b2,b3,b4的值归纳出其通项公式,然后利用数学
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归纳法给予证明;(2)利用裂项法证明.
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§12.2 直接证明、间接证明与数学归纳法
知识诠释 思维发散
一、直接证明与间接证明 1.两类基本的证明方法:直接证明与间接证明.综合法和分析 法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题 时常用的思维方式.
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这与f(1)+f(3)-2f(2)=2矛盾.
故假设不成立,原命题成立.
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题型3 分析法的运用
例3
已知a>0,求证:
a2
1 a2
-
2
初中数学几何证明方法总结
初中数学几何证明方法总结几何证明是数学中的重要内容，它可以培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
在初中数学的学习中，几何证明是一项重要的任务。
几何证明方法是多样化的，下面将对初中数学几何证明的几种常用方法进行总结。
一、直接证明法直接证明法是最常用的几何证明方法之一。
它通过利用已知条件和几何定理直接推导出结论，构造出符合条件的图形，从而证明所要证明的命题。
在应用直接证明法时，需要熟悉并运用几何定理，以及观察、思考问题的能力。
例如，我们要证明“平行线内交角相等”，可以先根据已知条件画出两条平行线和它们的内交线，然后运用平行线内交角定理，即可得出结论。
二、间接证明法间接证明法是通过反证法证明一个命题。
它是假设结论是错误的，然后通过推理得到一个与已知条件矛盾的结论，从而推翻了最初的假设，证明了原命题。
例如，我们要证明“等腰三角形的底边两个底角相等”，可以假设等腰三角形的底边两个底角不相等，然后通过推理得到与已知条件相矛盾的结果，从而证明了底边两个底角是相等的。
三、数学归纳法数学归纳法是一种证明命题正确性的方法，它适用于一些数学问题的证明。
归纳法分为“递归证明”和“引理证明”两种形式。
递归证明是基于特例的证明方法，通过举例证明命题在某些情况下成立，并通过迭代运用，将命题推广到无穷多个情况。
引理证明是基于前提条件的证明方法，通过先证明一个引理，然后再利用该引理证明原命题。
引理是一个辅助定理，通过先证明它，可以帮助我们更容易地证明原命题。
四、相似证明法相似证明法是通过相似三角形的性质来证明几何问题。
相似证明法常用于证明尺寸比例或长度比例等问题，它通过找到两个相似三角形之间的对应关系，推导出结论。
例如，我们要证明“三角形的高与底边成比例”，可以利用相似三角形的性质，将原三角形和一个与之相似的三角形进行对应，然后通过边长比例关系得出结论。
五、反证法反证法是通过假设命题不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而否定了最初的假设，证明了原命题。
数学中的证明方法及技巧
数学中的证明方法及技巧在数学领域中，证明是一种非常重要的方法，用于验证定理和推断结论的正确性。
证明不仅要求准确无误，还需要展示出逻辑性和严密性。
本文将介绍数学中常用的证明方法及一些技巧，帮助读者更好地理解和运用数学知识。
一、直接证明法直接证明法是一种最为直观的证明方法，通常是通过列举事实、运用已知定理和逻辑推理来证明一个命题的正确性。
例如，我们要证明一个数学命题：“所有偶数的平方都是4的倍数”。
我们可以用直接证明法来解决这个问题。
假设偶数为2n（n为整数），根据定义，平方为(2n)^2=4n^2。
显然，4n^2是4的倍数，因此我们可以得出结论：所有偶数的平方都是4的倍数。
二、间接证明法间接证明法又称反证法，是一种常用的证明方法。
它假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推演推导出矛盾，从而说明假设错误，命题成立。
例如，要证明“根号2是一个无理数”，可以运用反证法来证明。
假设根号2是一个有理数，即可以表示为p/q（p、q互质）的形式。
将p/q代入根号2的定义中，有(p/q)^2=2，得到p^2=2q^2。
这意味着p^2是偶数，因此p也是偶数。
将p表示为2k（k为整数），代入原等式中，则有(2k)^2=2q^2，化简得到4k^2=2q^2，即2k^2=q^2。
这说明q^2也是偶数，进而推断q也是偶数。
综上所述，假设了p和q都是偶数，与p和q互质的前提相矛盾。
因此，根号2不可能用有理数表示，即根号2是一个无理数。
三、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明某种性质在每个自然数上成立的方法。
它包括两个步骤：证明当n为特殊值时命题成立，以及假设当n=k时命题成立，利用这一假设证明当n=k+1时命题也成立。
例如，我们要证明一个命题：“对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2”。
首先，当n=1时，左边等于1，右边等于1(1+1)/2，两边相等。
因此，当n=1时命题成立。
接下来，我们假设当n=k时命题成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
直接证明与间接证明数学归纳法
直接证明与间接证明、数学归纳法 结 束
(2)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 x＋y＋1＝0 垂
直，证明：xf－x1>0.
[解] 证明：由题可得，f′(x)＝λln
x＋λx＋x 1－1.
由题设条件，得 f′(1)＝1，即 λ＝1.
要证…，只需证…，即证…
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
直接证明与间接证明、数学归纳法 结 束
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
综合法
综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适 用范围是：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求 证无条件的等式或不等式；
直接证明与间接证明、数学归纳法 结 束
2．[考点一](2017·广州调研)若 a，b，c 为实数，且 a＜b＜0，则
下列命题正确的是
()
A．ac2＜bc2
B．a2＞ab＞b2
C.1a＜1b
D.ba＞ab
解析：a2－ab＝a(a－b)，
∵a＜b＜0，∴a－b＜0，
∴a(a－b)>0，即 a2－ab＞0，∴a2＞ab.①
分析法 分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够 明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体 时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不 等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
直接证明与间接证明、数学归纳法 结 束
所以 2·2r－q＝2r－p＋1.
(*)
又因为 p<q<r，
正数的数学证明方法
正数的数学证明方法在数学领域中，证明是非常重要的一个环节，它能够使我们对于某个结论或者命题的真实性产生信心，同时也能够加深我们对于数学知识的理解。
在证明过程中，我们通过合理的推理和逻辑推导，用严密的数学论述来阐明问题的解答。
本文将介绍几种用于证明正数的数学方法，分别是直接证明法、间接证明法和数学归纳法。
一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，通过建立命题的前提及逻辑关系来直接证明命题的真实性。
对于证明正数的时候，我们可以通过下述的步骤来进行。
首先，我们要明确正数的定义，正数是指大于零的实数。
接着，我们可以先证明一个更简单的命题，即“1是正数”。
我们可以通过定义证明法来说明这一点，定义证明法是一种直接证明法，它通过对定义的阐述来证明命题的真实性。
根据正数的定义，我们可以得知1是大于零的实数，因此1是正数。
接下来，我们可以通过数学的运算性质来证明更一般的情况。
例如，我们要证明对于任意的正数a和b，它们的和也是正数。
我们可以通过下述的推理过程来进行证明：假设a和b是正数。
由于a是正数，所以a大于零。
由于b是正数，所以b大于零。
根据实数的加法性质，正数加正数的结果仍然是正数。
因此，a加b是正数。
综上所述，我们可以通过直接证明法来证明正数的一些基本性质和运算规律。
二、间接证明法间接证明法是一种通过对假设的推理，从而推出矛盾来证明命题的真实性。
它常常用于证明否定命题或者存在性命题。
对于证明正数的时候，我们可以通过间接证明法来说明。
举个例子，我们要证明“不存在一个数x，使得x既是正数又是负数”。
我们可以通过反证法来进行证明。
首先，我们假设存在这样一个数x，即x是正数且x是负数。
然后，我们可以通过下述的推理过程来推导矛盾：假设存在数x，使得x是正数且x是负数。
根据正数的定义，正数是大于零的实数。
根据负数的定义，负数是小于零的实数。
因此，x既大于零又小于零，产生矛盾。
由此可见，我们的假设是错误的。
因此，不存在一个数既是正数又是负数。
高中数学证明题的解题方法有哪些
高中数学证明题的解题方法有哪些1高中数学证明题的解题方法(一)加强证明题读题审题能力加强我们对证明题读题审题的能力，以提高证明题解题思路，进而提高证明题解题能力.在学习的过程中进一步优化数学知识结构，提高思维方法，确保我们在解题的过程中更加灵活地利用数学基本定义和概念.所以，要做到审题时做好标记，加强对证明题读题能力的培养;得到已知条件和简单的结论，找到最简单、最快捷的证明题解题思路;反复思考，总结证明题解题的思路、技巧和经验.(二)使用技巧性方法解决证明题时，选择向量或者辅助线的方式是一个不错的选择，防止使用普通解题方法导致解题过程繁杂，进而出现错误.加强证明题的灵活性，重点关注题目的变形以及与其他题型的综合，研究典型的证明题题型，多思考.(三)培养发散思维，逻辑训练在学习的过程中我们可以摘选某些典型的数学证明题题型，然后，让学生独立思考解题，并总结解题技巧.最后，学生间互相讨论自己的证明题解题方法和技巧，主要目的在于对解题方法进行更深入、更多样化的分析，以提高学生的发散思维能力，提高证明题解题技巧.(四)提高对数学的学习兴趣俗话说：“兴趣是最好的老师.”因此，提高高中生对数学的学习兴趣可以说是提高数学证明题解题能力的重要方法.因此，在高中数学学习的过程中应该找到学习数学的乐趣，并且充分调动解证明题积极性，并培养独立思考的能力，进而培养其解决数学证明题的能力.2如何提高数学几何证明题的解题能力指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法.教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法.而对于分析证明题，有三种思考方式：?正向思维.对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出.?逆向思维.顾名思义，就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题，能使学生从不同角度、不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路.这种方法是推荐学生一定要掌握的.在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法.如果学生已经上九年级了，证明题不好，做题没有思路那一定要注意了：从现在开始，总结做题方法.有些学生认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议从结论出发.例如：可以有这样的思考过程：要证明某两个角相等，那么结合图形可以看出，有可能是通过证两条边相等，等边对等角得出;或通过证某两个三角形全等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要什么，是否需要做辅助线，这样思考下去……我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法.?正逆结合.对于从结论很难分析出思路的题目，我们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们某个角的角平分线，我们就要想到会得到哪两个角相等，或者根据角平分线的性质会得到哪两条线段相等.给我们梯形，我们就要想到是否要做辅助线，是作高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等的辅助线.正逆结合，战无不胜.3高中数学证明题解题方法设置小组讨论制度，让学生多多思考证明题和其他题目的解题方法与众不同，解决证明题需要学生多多思考、自己探索。
数学归纳法
上一节我们学习了直接证明方法，间接证明方法 和反证法（归谬法），这节课我们进行另外一种 证明方法——数学归纳法。
数学归纳法简要介绍： 假设要证明的命题能写成如下形式：当n n0时， P(n)成立，其中n0是某个固定整数，那么如下方法 可以说明如何做到这一点。假设 (a)P(n0)为真； (b) 如果对某个kn0有P(k)为真，那么P(k+1)也一 定为真，于是对所有n n0， P(n)为真。 这种方法称作数学归纳法原理。
8
归纳步骤 需要使用命题P(k )：如果A是具有k 个元素 的任意集合，那么A是可数的。于是选择任意一个有 k 1个元素的集合B，并且在B中任选一个元素x。因 为B -{x}是只有k 个元素的集合，由归纳假设P(k )可 知存在一个序列x1 , x2 , , xk，它对应的集合为B -{x}。 那么序列x1 , x2 , , xk , x所对应的集合为B，所以B是 可数的。因为B是任意具有k 1个元素的集合，所以 若P(k )为真，则P (k 1)为真，因此由归纳法原理可 知，对所有的n 1，P(n)为真。
14
证明：设X n和Yn是在n 0次通过WHILE循环之后的X 和Y的值, 设 P (n) : GCD ( X n , Yn ) GCD ( X , Y )。下面通过数学归纳法证明结论成立。 基础步骤：因为在循环开始之前存在变量值X 0 X , Y0 Y，因 此P (0)是命题GCD ( X 0 , Y0 ) GCD ( X , Y )，显然命题为真。 归纳步骤：设经过k次循环之后GCD ( X k , Yk ) GCD ( X , Y )成立. 考虑经过k 1次循环之后的P (k 1)的左边，即GCD ( X k 1 , Yk 1 )。 在通过k 1次循环之后，或者有X k 1 X k 与Yk 1 Yk - X k，或者 有X k 1 X k - Yk 与Yk 1 Yk，于是如果P (k )：GCD ( X k , Yk ) GCD ( X , Y ) 为真，则由前面学过的1.4节定理5有GCD ( X k 1 , Yk 1 ) GCD ( X k , Yk ) GCD ( X , Y )。因此，由数学归纳法原理可知，对所有n 0，P(n)为真。 当时X n Yn，有GCD ( X n , Yn ) X n，所以函数的返回值是GCD ( X , Y )。
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第十二篇
第四节
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综合法以公理、定理、性质等为依据， 进行推理论证.
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第十二篇
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第十二篇
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问题探究 2：利用反证法证明问题的关键是什 么？可能出现的矛盾是什么？ 提示：反证法证明问题的关键是推出与假设矛 盾的结论，从而说明假设错误，结论成立，可能出 现的矛盾：与假设，与已知，与数学公理，定理， 公式，定义或已证明的结论矛盾，与公认的简单事 实矛盾.
第四节
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基 础
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知 识 回 顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书P256)
考 点 互 动 探 究 课 时 作 业
2 2 2 2 2 2
所以 a ＋b ＋c ≥ab＋bc＋ac，① 1 1 1 1 1 1 同理a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，② 1 12 2 2 2 1 故 a ＋b ＋c ＋ a＋b＋c 1 1 1 ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋3ac≥6 3.③
2 2 2
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用分析法证题时， 一定要严格按格式 书写，否则容易出错.
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第十二篇
第四节
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|a|＋|b| 已知非零向量 a，b，且 a⊥b，求证： ≤ 2. |a＋b| 【思路启迪】 a⊥b⇔a· b＝0. 同时注意，|a|2＝a2，将要证式子变形平方即可获证.
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第十二篇
第四节
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2.间接证明 (1)反证法定义： 假设原命题
不成立
(即在
原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后 得出
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矛盾
，因此说明假设错误，从而证明了
原命题成立，这样的证明方法叫反证法.
1 1 已知 a>0，b－a>1，基 础 知 识 1 求证： 1＋a> . 1－b
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第十二篇
第四节
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1 1 证明：由已知 － >1 及 a>0，可知 0<b<1， b a 1 要证 1＋a> ， 1－b 只需证 1＋a· 1－b>1， 只需证 1＋a－b－ab>1， a －b 1 1 只需证 a－b－ab>0 即 >1，即 － >1， ab b a 这是已知条件，所以原不等式得证.
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第 十 二 篇
算法初步、复数、推理与证明
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第十二篇
算法初步、复数、推理与证明
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第四节
直接证明与间接证明、数学归纳法(1)
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第十二篇
已知 a， b， c 均为正数， 基 证明：a ＋b ＋c
2 2 2
1 1 12 ＋a＋b＋ c ≥6
3，并
础 知 识 回 顾 考 点 互 动 探 究 课 时 作 业
确定 a，b，c 为何值时，等号成立.
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第十二篇
第四节
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证明：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a ＋b ≥2ab，b ＋c ≥2bc，c ＋a ≥2ac，
第十二篇
第四节
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(2)如图所示，连接 EF、A1C1，连接 AC 交 BD 于 O，连接 EO， 1 1 ∵EF∥2A1C1，AO∥2A1C1， ∴四边形 AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE， ∴AF∥平面 BDE.
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第十二篇
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所以原不等式成立 当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立， 当且仅当 a＝b＝c， (ab) ＝(bc) ＝(ac) ＝3 时，③式等号成立.
2 2 2
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即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原式等号成立.
础 知 识 回 顾 考 点 互 动 探 究 课 时 作 业
可证 DE⊥EC，DE⊥BC；(2)欲证 AF∥平面
BDE，可证 AF 与平面 BDE 中某条直线平行， 为此可连接 AC，BD∩AC＝O，连接 EO，证 AF∥EO.
第十二篇 第四节
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如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1 ＝AD＝a，AB＝2a，E、F 分别为 C1D1、A1D1 的中点. 课 时 (1)求证：DE⊥平面 BCE； 作 业 (2)求证：AF∥平面 BDE.
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第十二篇
第四节
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【思路启迪】
(1)欲证 DE⊥平面 BCE，基
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(4)特殊结论的反设
原结论词 反设词 原结论词 反设词 大于(>) 不大于(≤) 有无穷多个 小于(<) 不小于(≥) 都是 都不是 至少 n 个 不都是 至少有一个是 至多 n-1 个
知 至少 n+1 个 识 回 顾 考 点 互 动 探 究 课 时 作 业
至多 n 个础
基
存在唯一的
对任意 x, 使„恒成立 至少有一个 x, 使„不成立
只有有限多个 不存在或至少存在两个
(5)引出矛盾的形式
①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立; ②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立; ③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.
2
只需证|a| ＋2|a||b|＋|b| ≤2(a ＋2a· b＋b )， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|) ≥0，
2
上式显然成立，故原不等式得证.
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第十二篇
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第十二篇
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(3)用反证法证明问题时要注意的问题： ①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结 论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结 论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的； ②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结 论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推 证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行 推理，就不是反证法.
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第十二篇
第四节
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(2)适宜用反证法证明的数学命题有： 基 ①结论本身以否定形式出现的一类命题； 础 知 识 回 ②关于唯一性、存在性的命题； 顾 ③结论以“至多”、“至少”等形式出现 考 点 互 的命题； 动 ④结论的反面比原始结论更具体、更容易 探 究 研究的命题； 课 ⑤要证的结论与条件之间的联系不明显， 时 作 业 直接由条件推出结论的线索不够清晰.
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考点1
综合法
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综合法是一种由因导果的证明方法，即由 已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等 式成立.因此， 综合法又叫做顺推证法或由因导 果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法， 这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保 证结论的正确性.
基 础 知 识 回 顾 考 点 互 动 探 究 课 时 作 业
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第十二篇
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【证明】
∵a⊥b，∴a· b＝0， 2， 2|a＋b|，
2 2 2
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|a|＋|b| 要证 ≤ |a＋b| 只需证|a|＋|b|≤
基 础 知 识 回 顾 考 点 互 动 探 究 课 时 作 业
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第十二篇
第四节
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考 点
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