2假设一个经济体中的总量生产函数为。其中、、顺次代表t时期的总

2．假设一个经济体中的总量生产函数为(,)t t t Y Af L K =。其中t Y 、t L 、t K 顺次代表t 时期的总产量、投入的劳动数量和资本量，t A 代表t 时期的技术状况。试推导经济增长率关于技术进步率、劳动和资本增长率的分解式，并指出其对增长问题的意义。(人大1999研)

解：增长率分解式为y A L k G G G G αβ=++

推导过程如下：

已知总量生产函数为(,)t t t Y Af L K = ① 对①)式求全导数，可得：

d d d d (,)d d d d t t t t t t t t t t Y A L K f f f L K A A t t L t K t

∂∂=+⋅+⋅∂∂ 在上式两端除以t Y ，并且定义参数//t t t t a Y L L Y =∂∂ 为劳动的产出弹性，参数/t t t t Y K K Y β=∂∂⋅为资本的产出弹性，则有：

d /d d /d d /d d /d t t t t t t t t

y t A t L t K t Y A L K αβ=++ ② ②式就是增长率的分解式。它的左端为产出的增长率，右端第一项为技术进步增长率，第二、三项为参数与资本、劳动投入量的增长率的乘积。

方程②式在实际应用时，由于原始资料中Y 、L 、K 均是离散的数据，所以，在时间间隔t ∆较小时，可以用差分方程来近似代替②式：

////t t t t t t t t

Y t A t L t K t Y A L K αβ∆∆∆∆∆∆∆∆=++ ③ 为了使方程的形式更加简练，可记

Y A L K ////,,,t t t t t t t t

Y t A t L t K t G G G G Y A L K ∆∆∆∆∆∆∆∆=

=== 则③化为④式 Y A L K G G G G αβ=++ ④

即增长率的分解式。

上式的意义是，产出的增长率是由资本和劳动的增长率以及技术进步带来的。由于Y G 、L G 、K G 的数据可以从历史资料的分析中得到，因此，在用适当的方法估计参数α和β之后，便可以把技术进步增长率A G 作为“余值”计算出来，即有：

A Y L K ()G G G G αβ=-+

此外，从分解式④可以看到，当参数和都小于1时，要想提高产出增长率，技术水平的提高最为有效，这也是为教育投资的政策提供了理论说明。