2016年高考理科数学山东卷-答案

【提示】可令 ，代入双曲线的方程，求得 ，再由题意设出 ， ， ， 的坐标，由 ，可得 ， ， 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线 与圆 相交，所以圆心 到直线 距离小于半径 ，
， ， ， ， ．
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
（ⅱ）由直线 的方程为 ，令 ，可得 ，运用三角形的面积公式，可得 ， ，化简整理，再 ，整理可得 的二次方程，进而得到最大值及此时 的坐标．
【考点】椭圆的简单性质
【提示】求得函数的周期为1，再利用当 时， ，得到 ，当 时， ，得到 ，即可得出结论．
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】（A）函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为 ；
（B）选项中 的导数是 恒大于 ，斜率成绩不可能为 ；
（C）选项中 的导函数 恒大于 ，斜率成绩不可能为 ；
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知：组距为2．5，故这200名学生中每周的自பைடு நூலகம்时间不少于22．5小时的频率为： ， 人数是 人．
【提示】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22．5小时的频率，进而可得自习时间不少于22．5小时的频数．
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
．
（Ⅱ） ，
， ，且 ，当且仅当 时取等号，
又 ， ， ，
由余弦定理 ，
的最小值为 ．
【提示】（Ⅰ）由切化弦公式 ， ，带入 并整理可得 ，这样根据两角和的正弦公式即可得到 ，从而根据正弦定理便可得出 ；
（Ⅱ）根据 ，两边平方便可得出 ，从而得出 ，并由不等式 ，得出 ，也就得到了 ，这样由余弦定理便可得出 ，从而得出 的范围，进而便可得出 的最小值．
（D）选项中 的导函数 恒大于等于 ，斜率成绩不可能为 ．
【提示】若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为 ，进而可得答案．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】3
【解析】 输入的 ， 的值分别为0和9， ．第一次执行循环体后： ， ，不满足条件 ，故 ；第二次执行循环体后： ， ，不满足条件 ，故 ；第三次执行循环体后： ， ，满足条件 ，故输出的 值为3．
【提示】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法
8.【答案】B
【解析】 ， ， ， ， ， ， ， ．
【提示】若 ，则 ，进而可得实数 的值．
【考点】平面向量数量积的运算
9.【答案】D
【解析】当 时， ，既 ，周期为1， ；当 时， ，且 ， ， ．
，
二面角 的平面角是锐角，
二面角 的余弦值为 ．
【提示】（Ⅰ）取 中点 ，连结 、 ，推导出平面 平面 ，由此能证明 平面 ，（Ⅱ）由 ，知 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定
18.【答案】（Ⅰ） ， 时， ，
【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【考点】程序框图
12.【答案】
【解析】 ， ， ， 的系数为 ， ．
【提示】利用二项展开式的通项公式 ，化简可得求的 的系数．
【考点】二项式系数的性质
13.【答案】2
【解析】令 ，代入双曲线的方程可得 ，由题意可设 ， ， ， ，由 ，可得 ，即为 ，由 ， ，可得 ，解得 ．
（Ⅱ）构造函数 ，令 ， ，
则 ，利用导数分别求 与 的最小值得到 恒成立，由此可得 对于任意的 成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性
21.【答案】（Ⅰ）由题意可得 ，抛物线 的焦点 为 ，即有 ， ，解得 ， ，可得椭圆的方程为 ；
（Ⅱ）（ⅰ）设 ，可得 ，由 的导数为 ，即有切线的斜率为 ，则切线的方程为 ，可化为 ，代入椭圆方程，可得 ，设 ， ，可得 ，即有中点 ，直线 的方程为 ，可令 ，可得 ，即有点 在定直线 上；
时， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ） ，
①，
②，
① ②可得：
．
【提示】（Ⅰ）求出数列 的通项公式，再求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求出数列 的通项，利用错位相减法求数列 的前 项和 ．
【考点】数列的求和，数列递推式
19.【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】当 时，函数 的图象如下：
时， ， 要使得关于 的方程 有三个不同的根，必须 ，即 ，解得 ， 的取值范围是 ．
【提示】作出函数 的图象，依题意，可得 ，解之即可．
【考点】根的存在性及根的个数判断
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由 得： ，
两边同乘以 得， ，
，即 ①，根据正弦定理， ， ， ， ，带入①得 ，
【解析】作图：
可见当取点 时取最大值，最大值为 ．
【提示】由约束条件作出可行域，然后结合 的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得 的最大值．
【考点】简单线性规划
5.【答案】C
【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，
体积为 ．
【提示】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
（ⅱ）直线 的方程为 ，令 ，可得 ，则 ， ，则 ，令 ，则 ，则当 ，即 时， 取得最大值 ，此时点 的坐标为 ．
【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的 ， ， 的关系，解得 ， ，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设 ，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点 的坐标，求得 的方程，再令 ，可得 ，进而得到定直线；
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理
17.【答案】（Ⅰ）取 中点 ，连结 、 ，
、 为 、 的中点，
且 ， ，
又 且 ，
且 ，
平面 平面 ，
面 ，
平面 ．
（Ⅱ） ，
，又 面 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，由题意可知面 的法向量为 ，设 为面 的法向量，则 ，即 ，取 ，则 ，
【考点】由三视图求面积、体积
6.【答案】A
【解析】若直线相交，一定有一个交点，平面一定有一条交线，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意．
【提示】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
7.【答案】B
【解析】 ，最小正周期 ．
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设 ， ，则 ， ， ， ， ．
【提示】设出复数 ，通过复数方程求解即可．
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】 ， ， ， ， ．
【提示】求解指数函数的值域化简 ，求解一元二次不等式化简 ，再由并集运算得出答案．
当 时， ， 为减函数；
（Ⅱ） ，令 ，
令 ， ，则 ，由 ，
可得 ，当且仅当 时取等号；
又 ，设 ，则 在 上单调递减，且 ， ， 在 上存在 ，使得 时 ， 时， ，
函数 在 上单调递增；在 上单调递减，由于 ， ，因此 ，
当且仅当 取等号，
，
恒成立，即 对于任意的 成立．
【提示】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；
【考点】离散型随机变量的期望与方差，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列
20.【答案】（Ⅰ）由 ，得
若 ，则 恒成立，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数；
当 ，若 ，当 和 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数；
若 ， 恒成立， 在 上为增函数；
若 ，当 和 时， ， 为增函数，
故概率 ；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为 可能为：0，1，2，3，4，6，则 ，
，
，
，
，
，
故 的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
数学期望 ．
【提示】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（Ⅱ）由已知可得：“星队”两轮得分之和为 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到 的分布列和数学期望．