求数列通项公式ppt
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由数列的递推公式求通项公式课件
+1
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
数列通项公式的求法课件-高三数学一轮复习
(2)证明：∵cn＝a2nn(n∈N*)， ∴cn＋1－cn＝a2nn＋ ＋11－a2nn＝an＋21－n＋12an＝2bn＋n 1. 将 bn＝3·2n－1 代入，得 cn＋1－cn＝34(n∈N*)． ∴数列{cn}是公差为34的等差数列，c1＝a21＝12， 故 cn＝12＋34(n－1)＝34n－14.
探究 5 此类题可由 an＝SS1n（－nS＝n－11（）n，≥2）求出通项 an，但要注意 n＝1 与 n ≥2 两种情况能否统一．
思考题 5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，n∈
N*，求 an. 【解析】
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，
例 4 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2aan＋n 1(n∈N＋)．求数列{an}的通项公 式．
【解析】 易知 an＞0，依题意得an1＋1＝2ana＋n 1＝a1n＋2， ∴数列a1n是等差数列，公差为 2，首项为 1，∴a1n＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝2n1－1.
探究 4 已知数列递推公式的分母中含有通项公式的表达式，求解对应的通 项公式时，往往可以通过观察表达式的特点，通过倒数关系加以转化，利用等差 数列的性质分析相应的通项公式问题．
思考题 4 设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝ 0(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【解析】 ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.∴an1＋1－a1n＝1. 又a11＝1，∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n，∴an＝1n.
题型四 已知 Sn 求 an
题型二 累乘法
例 2 在数列{an} 中，已知 a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求 an. 【解析】 据题意有aan＋n 1＝n＋n 1⇒aan－n 1＝n－n 1(n≥2 且 n∈N*)． ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝3×12×23×34×…×n－n 1＝3n(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝3n(n∈N*)．
数列的通项公式课件ppt
故有an1＋1－a1n＝2.故数列a1n是首项为a11＝13，
公差为 2 的等差数列，所以a1n＝31＋2(n－1)＝6n3－5，
故 an＝6n3－5.
答案：6n3－5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
观察法
根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3,33,333,3 333，…；
试一试：
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
且 Sn＝n＋n 1，则a15＝ (
)
5
6
A.6 B.5
1 C.30
D．30
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n 1－n－n 1＝nn1＋1，
则 a5＝5×1 6＝310.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1，
故 an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
等差数列的概念及通项公式.ppt
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
a 由此可知，等差数列 n 的通项公式为 当d≠0时，这是
an a1 (n 1)d
关于n的一个一 次函数。
10等差数列的图象1
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
2.2.1等差数列的概念 及通项公式
学习目标： 1.通过实例，理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问
题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
●
等差数列的图象2
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
等差数列的图象3
10 9 （1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差中项
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2 递减数列
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0 非零常数列
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列通项公式的求法第2课时-累加法累乘法ppt课件
.
四、总结并区分（灵丹妙药）
1、累加法的适用条件：已 a 1 且 知 a n-a n -1f(n )( 2 n) 2、累乘法的适用条件：已知 a1且aann-1 f(n)(n2) 3、倒数法的适用条件：已a知 1且 anpanan-1-11(n2)
.
五、过关斩将
1、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1.anan-1n n -1 1(n2)求其通项公
.
三、倒数法
1、倒数法适用题型：已a知 1且 anpanan-1-11(n2) 分式的形式
2、例题: 已知{a 数 n}满 列 a足 n3aa n-n1-11(n2)a ,11,求其通项公
解：将原式两边同时取倒数得：
1 1 (n -1) 3 3n - 2
1 3an-113 1
an
an
an-1
2、已知 {an}数 满列 a足 11,an1a2nan2,求其通项公式。 3、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1,anan-12（ n n2） ,求其通项
4、设{an数 }的列 n项 前和 sn,a1为 1｛ , snnna}为常数列， 求其通项公式。
.
五、过关斩将答案
1、 ann22n（提示：本 法题 的在 时用 候累 ， 算 乘 等 结式 果右 是边 保 前两项的分 项子 的与 分最 母后 ）两
有问题随时欢迎大家提问
.
.
.
.
2、an
2（提示：倒数同法时，取两倒边数） n1
3、 an2n1-（ 3 提示：累 右加 边法 是， 一等 个 前 n-1式 等 项比 的
4、 ann21n （提示：先 和 a1根 求{据 s出 nn常 na}的 数 通 列 项公 然后利 sn求 a用 n,最 由 后用累 . 乘法求得）
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
2024届高三数学一轮复习-求数列通项公式的方法 课件(共25张ppt)
再得出 的表达式
例五.2
在数列 中，1 = 1，+1 =
，求通项公式 ？
3 +2
解：由题意，两边同取倒数，得
设
1
an+1
+k=2
1
an
+k
即
1
an+1
1
an+1
=
=
1
2
an
1
2 +3
an
+k
对比原式，得k = 3
∴
1
an
1
an
+ 3 为首项为4，公比为2的等比数列
+ 3 = 4 · 2n−1 = 2n+1
解题思路：设 ，构造等比数列{ + }
具体步骤： 设+1 + = +
即+1 = ⋅ + − 1 ·
对比原式，得k =
q
p−1
得到以1 +为首项，为公比的等比数列{ + }
例四.1
在数列 an 中，a1 = 1，an+1 = 3an + 1，求通项公式an ？
故an =
1
2n+1 −3
六、取对数法
①形如+1 = ⋅
对数运算法则： log ⋅ = log + log
解题思路：等式两边同取对数，构造等比数列
log ⋅= · log
具体步骤： 两边同取以p为底的对数，得log +1 = log + 1
使用条件：已知+1 − =
解题思路： 2 − 1 = 1
等差数列的概念及通项公式ppt课件
1+2+3+···+100=?
高斯，(1777— 1855） 德国著 名数学家。
预习：等差数列的前n项和
生物普遍存在变异 人们根据自己需要
选择合乎要求的变异个体，淘汰其他 数代选择 所需变异被保存
微小变异变成显著变异
培育出新品种
实例：在经常刮大风的海岛上，无
翅或残翅的昆虫特别多
达尔文的自然选择学说如何解释 长颈鹿脖子为什么会变长？
yyrr Yy Rr
Y y 基因座位
一个特定基
r
R 因在染色体
上的位置
一对相对性状：有3种基因型，2种表现型
两对相对性状： 有9种基因型，4种表现型
那么n 对相对性状？ 3n
2n
生物通过变异(基因突变)产生新的基因,通过 基因重组和染色体变异产生新的基因型。
种群中普遍存在的 可遗传变异 是自然 选择的前提，也是生物进化的前提。
解：设an=a1+(n-1)d，则有
a1+4d=10
(1)
a1+11d=31
(2)
解得 a1 = -2 ，d = 3 an=-2+(n-1).3
=3n-5
题后点评
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程， 由此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系， 列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
解： ∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2 =2n+1
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d 想一想
1、①1，8，15, 22, 29；
等比数列的概念及通项公式 课件
等比数列的通项公式
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
1 2
，q＝
1 2
，an＝
1 32
，则
项数n为
()
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a
2 5
＝a10,2(an＋an＋2)＝
5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析]
(1)因为an＝a1qn－1，所以
式为an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n
等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后 再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最 后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
等比中项
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 等比数列 ，那
么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝± ab. [点睛] (1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符
号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝± ab，即等比中项有两个，且互为相反数． (2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝ 5×0，但0,0,5不是等比数列． 3．等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式 为：an＝ a1qn－1.
[典例] 在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证 明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一 定义法] ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴aan＋n＋1＋33＝2ana＋n＋3＋ 3 3＝2aann＋＋33＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
数列通项公式的求法最全市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
新数列
a 2
n n
，2a
n1 n1
、an 2n
是其
相邻两项，1与 2都是常数
可化为 an1 2n1
2
an 2n
1
an1 2 n1
1
2
an 2n
1
故数列
an
1
2n
an 22
1是首项为
2 2n1 2n
a1 1 2，公比为 2
an 4n 2n
2
的等比数列
其他解法探究：
数列 an 的a1 2, an1 4an 2n1
故 an 2 3n 1=-2 2n1 2n 即an 2 3n 2n 1
an1 Aan B An1
相除法 两边同除以 An1
例7：数列 an 满足:a1 3, an1 3an 3n1 , 求an 通项公式.
解：
an 3an1 3n
an 3n
an1 3n1
1
an 3n
例1：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
解：
an an1 n
an1 an2 n 1
an2 an3 n 2 an3 an4 n 3
.......
a3 a2 3 以上各式相加得
a2 a1 2
an a1 (2 3 4 n)
(n+2)(n-1)
是以
a1 3
为首项，以1为公差的等差数列
an 3n
a1 3
（n - 1）1
n
an n3n
相除法
an1 Aan B C n1
两边同除以 An1 或 C n1
变式：数列an 的a1 2, an1 4an 2n1 (n N )，求数列an 的通项公式
数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt
电路设计
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
等比数列的概念和通项公式17页PPT
(3)a3 20, a6 160, an
(4 )a2 1 0, a3 2 0, a40
(5)a2 10, a4 40, a3
数学必修五第二章
数列
2.已知等比 an的 数通 列项公式
为an 32n,求首a1和 项公q比
补补充充为 思 12..an考 在 在等 等a： 比 比qn数 数,如 其 列 列{{果 中 aaann,q}}都 一 中中aaannn是 个 的 ==222n3不 数 通 -1n0，，的 则则为 列 项a常 a11==公数式，， ，qq==
. .
那么这个数列比 一数 定列 是吗 等？
当a, q其中有一个为0时，
这个数列就不是等比数列
数学必修五第二章
数列
课时小结
1.等比数列定义：
an1 an
q,(q0,nN*)
an q,(q0.n2,nN*) an1
2.等比数列通项公式：
a n a 1q n 1(a 1 0 ,q 0 )
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
是一个关于n的"一次函数"
数学必修五第二章
数列
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要 求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗 麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推， 每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．” 国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满 足发明者的要求了吗？
一个新数列，这个数 还列 是等比数列吗？ 如果是，它的首项和 比公 是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗
等差数列及其通项公式ppt课件
新课探索
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列， 这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．
数列①、②、③均为等差数列， 它们的公差分别为－0.5，2%，4．
显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为： an－an-1=d，n≥2 ； an+1－an = an－an-1，n≥2．
1.2.1 等差数列及其通项公式
温故知新
数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，
那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
数列的递推公式： 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可
用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作 数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
归纳小结
性质2 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q， （n，m，p，q∈N+）那么
an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d， 所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d， 又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
新课探索
当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立， 因此等差数列{an}通项公式为：
an=a1＋(n－1)d（n∈N+）
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2 2 2
2
3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an 解: ∵ a1+2a2+3a3+· · · +nan=3n+1 (n≥1)
∴ a1+2a2+3a3+· · · +(n－1)an－1=3n（n≥2） 两式相减得： nan=3n+1－3n=2· 3n 2· 3n ∴an= n （n≥2） 而n=1时,a1=9
1 n 1 1 1 n 方法二：令an 1 x ( ) (an x ( ) ) 2 3 2 1 1 1 n 1 1 1 n 1 an 1 an ( ) x ( ) 与an 1 an ( ) 比较得 3 3 2 3 2 1 1 n 1 1 1 n ( ) x 1, x 3, an 1 3 ( ) (an 3 ( ) ) 3 2 3 2 1 n 1 1 2 数列an 3 ( ) 是以 为公比，以a1 3 ( ) 为首项 2 3 2 3 1 n 2 1 n 1 的等比数列 an 3 ( ) （ ） , 2 3 3 1 n 1 n a n 2 ( ) 3 ( ) 3 2
六待定系数法（构造法） 形如an1 pan q( p 0, p 1)的递推式 求法 : 待定系数法.令an 1 p(an ),
其中为待定系数, 化为等比数列
例 6： 数列an 满足a1 1, an1 2an 1 , 求an . 解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比
an 1 是以 an 1 所以 2 为首项，以1为公差的等差数列. n 2 2
方法2：（代入法）
因为a1＝5,n≥2时，
n a 1 a 1 ( 2 a 2 1) 1 an 1 1 n 1 n 1 所以 n ， 2n 2 n 1 2n 2 n 1 所以 an 1 是以 an 1 2 为首项，以1为公差的等差数列. n 2 2
1 2 解 :由an 2S n , 得an 1 2Sn an , an 又an S n S n 1 (n 2) 代入上式化简得S n S n 1 1,由已知S1 a1 1 数列 Sn 是等差数列，公差为 1，首项为 1， Sn 1 （n 1 ） n n, an 0, S n 0 S n n , n 2时，an S n S n 1 n n 1 而n 1时，a1 1也适合上式 数列a n 的通项公式是an n n 1
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分 别是下列各数。
1 1 1 1 1、 3 , 5 , 7 , 9 , ; 4 8 16 32
2 3 4 5 6 2、 , , , , . 3 8 15 24 35
an 2n 1
n
1 2 n 1
an （- 1） 2 （n 1） -1
{an }求通项.
的等比数列.
所以an+1=2n,即an=2n-1
练:已知an 中，a1 2, an1 3an +2, 求通项an .
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即 令an+1+x=p(an+x) an+1=pan+px-x
q q n 1 an (1 ) p x= 根据已知 p1 p1Fra bibliotekn1练习：
1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, …… 分析：注意观察各项与它的序号的关系 有 10－1，102－1，103－1，104－1 解：an=10n－1 (2) 1, 11, 111, 1111, …… 分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,· · · 联系
练习2
五、迭代法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例5.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an.
特点 逐项代换
解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)
∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3 = 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +· · · +3+ a1 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 +· · · +3+1 n －1 3 = 2
an 1 an 1 n 1 2 an 解法一：两边同除以（ ） 得 1, 令bn 1 n 1 3 1 n 1 n 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 n 1 bn 1 bn 1,即bn 1 3 （bn 3）， bn （ ） 3 3 3 3 3 an 4 2 n 1 1 n 1 n （ ） 3, an 2 ( ) 3 ( ) 1 3 3 3 2 ( )n 2
n个等式 相加得
（1）注意讨 论首项; (2)适用于 an+1=an+f(n)型递推 公式
an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1 =(n － 1)+(n －2)+ •••+2+1+1
2
n1 n n2 n 2 1 2
求法：累加法 an1 an f (n) 练习：
1 解：an= (10n－1) 9
(n N * )
这是特殊到一般的思想，也是数 学上重要的思想方法，但欠严谨！
二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公
式）
s1 主要是公式an sn s n 1
( n 1) ( n 2)
的运用
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an 解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2 当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1
(n=1)
4n －2(n≥2,
n N *)
不要遗漏n=1的情形哦！
2,已知数列an 中，an 0, S n是数列的前n项的和， 1 且a n 2 S n , 求a n an
∴an=
9 (n=1) 2· 3n * n N （ n ≥2, ） n
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项 an 解:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*) a1 = 1 a2 －a1 = 1 a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3 ••• an－an－1 = n －1
反思 形如an1 pan f (n)( p 0, p 1)
an 1 an f (n) 求法 : 待定系数法或化为 n 1 n n 1 p p p 后累加法求解.
在数列{a n }中,已知a1 1,当n 2时, 有a n a n1 2n 1( n 2), 求数列 的通项公式.
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式 解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
类型四、累乘法形如 an 1 f (n) an 的递推式
练习1： 已知 an 中，a1 2, an1 3n an , 求通项an .
an 解： 3 n 1 , an 1 ....... an 1 3n 2 , an 2 a3 32 , a2 an 2 3n 3 , an 3 an 3 3 n 4 an 4
q 所以数列{ an p 1 }是等比数列.
类型七、相除法形如 an1 Aan B An1 的递推式
例 8： 数列
an 满足:a1 3, an1 3an 3 求 an 通项公式.
n
n 1
,
解： an 3an 1 3
an an 1 n n 1 1 3 3
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
a n 1 n ∴ (n≥1) an n1 a2 a n a n1 n 1 n 2 n 3 2 1 ... 1 a1 ∴ an= ... n n 1 n 2 3 2 a1 a n1 a n2 1 n 注意：累乘法与累加法有些相 似，但它是n个等式相乘所得
（2）由（1）知 an 1 2 (n 1) 1 ,所以an＝（n＋1）2n＋1. 2n
形如递推式为an 1 p an q n ( p 1) 方法一 : 相除法（略）方法二：待定系数法构造等比数列，令 an 1 x q n 1 p (an xq n )( p 1)与已知递推式比较后解得x, 转化为 an xq n 是公比为p的等比数列（此法只适用于p q, 若 p q只能用方法一解决） 5 1 1 例7：已知数列a n 中，a1 , an 1 an ( ) n 1 , 求an 6 3 2
2
3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an 解: ∵ a1+2a2+3a3+· · · +nan=3n+1 (n≥1)
∴ a1+2a2+3a3+· · · +(n－1)an－1=3n（n≥2） 两式相减得： nan=3n+1－3n=2· 3n 2· 3n ∴an= n （n≥2） 而n=1时,a1=9
1 n 1 1 1 n 方法二：令an 1 x ( ) (an x ( ) ) 2 3 2 1 1 1 n 1 1 1 n 1 an 1 an ( ) x ( ) 与an 1 an ( ) 比较得 3 3 2 3 2 1 1 n 1 1 1 n ( ) x 1, x 3, an 1 3 ( ) (an 3 ( ) ) 3 2 3 2 1 n 1 1 2 数列an 3 ( ) 是以 为公比，以a1 3 ( ) 为首项 2 3 2 3 1 n 2 1 n 1 的等比数列 an 3 ( ) （ ） , 2 3 3 1 n 1 n a n 2 ( ) 3 ( ) 3 2
六待定系数法（构造法） 形如an1 pan q( p 0, p 1)的递推式 求法 : 待定系数法.令an 1 p(an ),
其中为待定系数, 化为等比数列
例 6： 数列an 满足a1 1, an1 2an 1 , 求an . 解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比
an 1 是以 an 1 所以 2 为首项，以1为公差的等差数列. n 2 2
方法2：（代入法）
因为a1＝5,n≥2时，
n a 1 a 1 ( 2 a 2 1) 1 an 1 1 n 1 n 1 所以 n ， 2n 2 n 1 2n 2 n 1 所以 an 1 是以 an 1 2 为首项，以1为公差的等差数列. n 2 2
1 2 解 :由an 2S n , 得an 1 2Sn an , an 又an S n S n 1 (n 2) 代入上式化简得S n S n 1 1,由已知S1 a1 1 数列 Sn 是等差数列，公差为 1，首项为 1， Sn 1 （n 1 ） n n, an 0, S n 0 S n n , n 2时，an S n S n 1 n n 1 而n 1时，a1 1也适合上式 数列a n 的通项公式是an n n 1
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分 别是下列各数。
1 1 1 1 1、 3 , 5 , 7 , 9 , ; 4 8 16 32
2 3 4 5 6 2、 , , , , . 3 8 15 24 35
an 2n 1
n
1 2 n 1
an （- 1） 2 （n 1） -1
{an }求通项.
的等比数列.
所以an+1=2n,即an=2n-1
练:已知an 中，a1 2, an1 3an +2, 求通项an .
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即 令an+1+x=p(an+x) an+1=pan+px-x
q q n 1 an (1 ) p x= 根据已知 p1 p1Fra bibliotekn1练习：
1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, …… 分析：注意观察各项与它的序号的关系 有 10－1，102－1，103－1，104－1 解：an=10n－1 (2) 1, 11, 111, 1111, …… 分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,· · · 联系
练习2
五、迭代法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例5.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an.
特点 逐项代换
解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)
∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3 = 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +· · · +3+ a1 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 +· · · +3+1 n －1 3 = 2
an 1 an 1 n 1 2 an 解法一：两边同除以（ ） 得 1, 令bn 1 n 1 3 1 n 1 n 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 n 1 bn 1 bn 1,即bn 1 3 （bn 3）， bn （ ） 3 3 3 3 3 an 4 2 n 1 1 n 1 n （ ） 3, an 2 ( ) 3 ( ) 1 3 3 3 2 ( )n 2
n个等式 相加得
（1）注意讨 论首项; (2)适用于 an+1=an+f(n)型递推 公式
an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1 =(n － 1)+(n －2)+ •••+2+1+1
2
n1 n n2 n 2 1 2
求法：累加法 an1 an f (n) 练习：
1 解：an= (10n－1) 9
(n N * )
这是特殊到一般的思想，也是数 学上重要的思想方法，但欠严谨！
二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公
式）
s1 主要是公式an sn s n 1
( n 1) ( n 2)
的运用
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an 解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2 当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1
(n=1)
4n －2(n≥2,
n N *)
不要遗漏n=1的情形哦！
2,已知数列an 中，an 0, S n是数列的前n项的和， 1 且a n 2 S n , 求a n an
∴an=
9 (n=1) 2· 3n * n N （ n ≥2, ） n
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项 an 解:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*) a1 = 1 a2 －a1 = 1 a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3 ••• an－an－1 = n －1
反思 形如an1 pan f (n)( p 0, p 1)
an 1 an f (n) 求法 : 待定系数法或化为 n 1 n n 1 p p p 后累加法求解.
在数列{a n }中,已知a1 1,当n 2时, 有a n a n1 2n 1( n 2), 求数列 的通项公式.
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式 解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
类型四、累乘法形如 an 1 f (n) an 的递推式
练习1： 已知 an 中，a1 2, an1 3n an , 求通项an .
an 解： 3 n 1 , an 1 ....... an 1 3n 2 , an 2 a3 32 , a2 an 2 3n 3 , an 3 an 3 3 n 4 an 4
q 所以数列{ an p 1 }是等比数列.
类型七、相除法形如 an1 Aan B An1 的递推式
例 8： 数列
an 满足:a1 3, an1 3an 3 求 an 通项公式.
n
n 1
,
解： an 3an 1 3
an an 1 n n 1 1 3 3
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
a n 1 n ∴ (n≥1) an n1 a2 a n a n1 n 1 n 2 n 3 2 1 ... 1 a1 ∴ an= ... n n 1 n 2 3 2 a1 a n1 a n2 1 n 注意：累乘法与累加法有些相 似，但它是n个等式相乘所得
（2）由（1）知 an 1 2 (n 1) 1 ,所以an＝（n＋1）2n＋1. 2n
形如递推式为an 1 p an q n ( p 1) 方法一 : 相除法（略）方法二：待定系数法构造等比数列，令 an 1 x q n 1 p (an xq n )( p 1)与已知递推式比较后解得x, 转化为 an xq n 是公比为p的等比数列（此法只适用于p q, 若 p q只能用方法一解决） 5 1 1 例7：已知数列a n 中，a1 , an 1 an ( ) n 1 , 求an 6 3 2