归纳法由数列前几项求数列的通项公式课件
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人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 数列 4.4 数学归纳法
第四章
4.4*
数学归纳法
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
数学归纳法
1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男
同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同
学.
问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).
an=(2-1),且
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
2
解:(1)由题意可知,a2=2×(2×2-1)
1
类似地,求得 a3=35 .
=
1 + 2
1
,a1=3,则
6
1
a2=15 .
1
a1=3.
(2)由
1
1
1
1
a1= ,a2= ,a3= ,猜想:an=
.
1×3
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
4.4*
数学归纳法
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
数学归纳法
1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男
同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同
学.
问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).
an=(2-1),且
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
2
解:(1)由题意可知,a2=2×(2×2-1)
1
类似地,求得 a3=35 .
=
1 + 2
1
,a1=3,则
6
1
a2=15 .
1
a1=3.
(2)由
1
1
1
1
a1= ,a2= ,a3= ,猜想:an=
.
1×3
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
求数列通项公式、前n项和sn常用方法F
求数列通项公式常用方法1.归纳法：由给出已知项寻找规律 ，求同存异，猜想通项公式2.公式法：等差数列与等比数列.3.作差法：利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n , 求n a特别的：已知前n 项积，求n a 使用（作商法）.4、累加法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =-+型时，且{)(n f }中n 项和可求。
5、累乘法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =+型时，且{)(n f } 中n 项积可求。
6、构造法：形如q a p a n n+∙=-1（q p 、为常数）的形式，往往变为)(1λλ-=--n n a p a ，构成等比数列，求}{λ-na 的通项公式，再求n a .7、倒数法：形如)()()(n h a n g a n f n n++，可取倒数后换元，变为q a p a n n +∙=-18.周期法：计算出前n 项，寻找周期精题自测(1)已知数列}{n a 满足)1(23-=n n a S ，则n a =_____________(2)已知数列}{n a 满足11=a ，n n n a a 21+=+，则n a =_____________(3)已知数列}{n a 满足11=a ，)11ln(1na a n n ++=+，则n a =_____________(4)已知数列}{n a 满足11=a ，n nn a a 21=+，则n a =_____________(5)已知数列}{n a 满足11=a ，0>n a ，0)1(1221=∙+-+++n n n n a a na a n ，则n a =____________(6)已知数列}{n a 满足11=a ，121+=+n nn a a a ，则n a =_____________(7)已知数列}{n a 满足31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，则2013a =_____________(8)已知数列}{n a 满足333313221na a a a n n =∙++∙+∙+- ，则n a =_____________（9）已知数列的前n 项积为2n ，则当≥n 2时，则n a =_____________求前n 项和nS 常用方法1、公式法：等差数列的前n 项和公式： 等比数列的前n 项和公式：①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ②⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na S n n nn )1(211+=∑=n n k nk∑=nk k 12=)12)(1(613212222++=++++n n n n 213)]1(21[+=∑=n n k nk 例1：已知3log 1log 23-=x ，求 +++++n x x x x 32的前n 项和.2、分组求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例2：求数列211，413，815，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 2112）（的前n 项和。
数学归纳法课件
根据(1)和(2),可知等式 对任何 n N*都成立.
பைடு நூலகம்
四、练习巩固，深化认识
1 1 1 1 练习：已知数列 , , , , ,..., 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1 , S 2 , S3 , S 4, , 根据计算结果，猜想 S n的表达式，并 用数学归纳法进行证明 。
根据（1）和（2）可知 由 1 和2 知，对任意的n n0 , n N 命题成立 不论有多少块骨牌，都 能全部倒下。
二、讲授新知
数学归纳法：
验证n n0时 命题成立
归纳奠基
若n k (k n0 )时命题成立 证明n k 1时命题也成立
归纳递推
命题对从n0开始所 有的正整数n都成立
当n 1, a1 1
a1 1 当n 2, a2 1 a1 2 a2 1 当n 3, a3 1 a2 3 a3 1 当n 4, a4 1 a3 4
猜想这个数列的通项公式
1 an n
二、讲授新知
多米诺骨牌
二、讲授新知 思考：多米诺骨牌是怎么全部倒下的呢？
根据（1）和（2）可知 不论有多少块骨牌，都 能全部倒下。
根据(1)和(2)，可知对任意的 正整数n猜想都成立
二、讲授新知
数学归纳法：
对于数学问题中，有一类问题是与自然数有关的 命题，因为自然数有无限多个，我们不可能对所有 自然数进行一一验证，因此就需要研究一种新的方 法——数学归纳法。 数学归纳法——通过有限个步骤的推理，证明n 取无限个正整数的情形。
第四步: 下结论，由上可知结论 对任意n n0 , n N *成立。
数学归纳法适用的范围：仅限于与正整数有关的数学命题 数学归纳法的优点：克服完全归纳法的繁杂，又克服不完 全归纳法的不可靠性，使我们认识到有简到繁，由特殊到 一般，由有限到无穷的思想方法。
高中数学课件-2 3数学归纳法(1)
倒下。
也成立。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨 知对任意的正整数n， 牌，都能全部倒下。 猜想都成立。
什么是数学归纳法？
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的
方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立。
证明（：1）当n=1时左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 那么 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
ak
1 k
,那么当n=k+1时猜
1
事实上,
ak 1
ak 1 ak
k 1
1
1 k 1
k
即n=k+1时猜想也成立.
你能得到哪些启示？
多米诺骨牌游戏原理 通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时，2）假设当n=k时猜想
则相邻的第k+1块也 成立，当n=k+1时猜想
=2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何 n∈N*都成立。
【课堂练习】
1、用数学归纳法证明：1 a a2 an1 1 an2
C 1 a
(a 1)，在验证n＝1时，左端计算所得项为_____ .
A、1
B、1 a
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
归纳法(由数列前几项求数列的通项公式)
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的绝对值的 2－3 分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ ，至此原数列已化为－ 2 21－3 22－3 23－3 24－3 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，…，
n 2 －3 n ∴an＝(－1) · 2n .
般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变 化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
3．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规
律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．
写出下列各数列的一个通项公式： 1 3 7 15 31 (1)4,6,8,10，…；(2)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (3)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，…； (4)3,33,333,3 333，….
0n为正奇数 1＋－1n 1＋cos nπ (4)an＝ 或 an＝ 或 an＝ . 2 2 1 n 为正偶数
归纳法（由数列前几项求数列的通项公式）
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，… 2 4 8 16 32 64 (4)0,1,0,1，…
数学归纳法求数列通项
数学归纳法求数列通项介绍如下：
数学归纳法可以用来证明数列中的某个结论对于所有的正整数都成立，包括求解数列的通项公式。
具体步骤如下：
1.首先，根据数列前几项的值，猜测数列的通项公式，例如假设
数列的通项公式为 $a_n = n^2$。
2.然后，利用数学归纳法证明该猜测成立。
首先证明 $n = 1$ 时
结论成立，即 $a_1 = 1^2 = 1$。
这是数学归纳法的基础步骤。
3.接下来，假设当 $n = k$ 时，结论成立，即 $a_k = k^2$。
则
考虑当 $n = k+1$ 时，结论是否仍然成立。
•首先，利用数列的递推公式，将$a_{k+1}$ 表示为前一项$a_k$ 的表达式，例如 $a_{k+1} = 2a_k + 1$。
•然后，利用归纳假设，将前一项$a_k$ 替换为$k^2$，得到$a_{k+1} = 2k^2 + 1$。
•最后，将 $a_{k+1}$ 化简为一个形式简单的式子，如 $a_{k+1} = (k+1)^2$，就能够证明结论对于 $n = k+1$ 时也成立。
4.综上，由数学归纳法可知，对于所有的正整数 $n$，结论 $a_n
= n^2$ 均成立，即数列的通项公式为 $a_n = n^2$。
需要注意的是，对于某些数列，求解通项公式并不是一件容易的事情，可能需要结合更多的数学知识和技巧才能够得到正确的答案。
课件3-数学归纳法
an ,先计算a2,,a3,a4的值， 1 an
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础） （递推关系） 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”
条 a1=1,右= 1 =1，所以公式成立。 1 （2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即 ak= k
那么： ak+1=
ak 1 1 ak 1
k
1 k
1 k 1
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 成立. n
3.数学归纳法：
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 证题步骤：
由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求 数学证明
2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？ 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科
以问题1为例：
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1
再推测通项an的公式. 1 1 1 1 a2= , a3= , a4= , 推测 an= n 2 3 4
课 题： 数学归纳法（一）
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 n ,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通 1 an 项an 的公式. 解：
a2 1 1 1 1 , a3 , a4 , an 2 3 4 n
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高中数学人教A版选修课件：4.1 数学归纳法
1
(k-3)(k≥4).
2
当 n=k+1 时,凸 k+1 边形是在凸 k 边形的基础上增加了一条边,
增加了一个顶点 Ak+1,增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连
线再加上原凸 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角线条数为
(k+1-3)+1=k-1.
题型一
题型二
题型三
1
题型四
1
1
f(k+1) = 2 (k-3)+k-1 = 2 (k2-k-2) = 2 (k+1)(k-2) =
即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数
因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技
巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.
结构的变化特点.并且一定要记住:在证明当n=k+1成立时,必须使
用归纳假设.
题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
=
1
1+1
1
【变式训练 2】 用数学归纳法证明: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ +
1
2
1
1
1
= +1 + +2 + ⋯ + 2 (n∈N+).
1
证明:(1)当 n=1 时,左边=1 − 2
(k-3)(k≥4).
2
当 n=k+1 时,凸 k+1 边形是在凸 k 边形的基础上增加了一条边,
增加了一个顶点 Ak+1,增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连
线再加上原凸 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角线条数为
(k+1-3)+1=k-1.
题型一
题型二
题型三
1
题型四
1
1
f(k+1) = 2 (k-3)+k-1 = 2 (k2-k-2) = 2 (k+1)(k-2) =
即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数
因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技
巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.
结构的变化特点.并且一定要记住:在证明当n=k+1成立时,必须使
用归纳假设.
题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
=
1
1+1
1
【变式训练 2】 用数学归纳法证明: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ +
1
2
1
1
1
= +1 + +2 + ⋯ + 2 (n∈N+).
1
证明:(1)当 n=1 时,左边=1 − 2
数学归纳法及其应用PPT优秀课件
不完全归纳法
可能 错误， 如何 避免
穷 举 法 作业：
数 学 归 纳 法
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
P67 习题2.1 1，2
谢谢! 请多多指导!!
~ 完~
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
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说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
数列的通项公式2(ppt整理)
(1)数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an. (2)已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和， 且an＋a1n＝2Sn，求an.
解析： (1)当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝3＋21＝5，上式中a1＝20＝1. ∴n＝1时不符合an＝2n－1， ∴an＝52nn－＝ 1n1≥，2.
1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，对任意的 n∈N*，都有 Sn＝2－ an，数列{bn}满足 b1＝2a1，bn＝1＋bnb－n1－1(n列，并求{an}的通项公式； (2)判断数列b1n是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项 公式．
an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 定义法 aan＋n1＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项公 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列 式法 a2n＋1＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列
通项 an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列 公式法 an＝cqn(c，q 均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前 n 项 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是等差数列 和公式 Sn＝kqn－k(k 为常数，且 q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等
1]，
即an－a1＝311－－33n－1－nn－2 1.
又∵a1＝1，∴an＝12×3n－nn－2 1－12.
显然a1＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝12×3n－nn－2 1－12.
(2)∵aan＋n 1＝2n， ∴aa21＝2，aa23＝22，aa43＝23，…，aan－n 1＝2n－1， 将上述各式相乘，可得 aa21·aa23·aa43·…·aan－n 1＝2·22·23·…·2n－1， ∴an＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2nn－2 1.
数学归纳法求数列通项公式
数学归纳法求数列通项公式【高考地位】在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。
求通项公式也是学习数列时的一个难点。
由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
解题步骤：第一步求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的.【例】若数列\{a_n\}的前n项和为S_n，且方程x^2-a_nx-a_n=0有一个根为S_n-1，n=1,2,3...(1) 求a_1，a_2 ；（2）猜想数列\{S_n\}的通项公式，并用数学归纳法证明【解析】：（1）由题意得： (a_1 -1)^2-a_1(a_1-1)-a_1=0 \Rightarrow a_1=\dfrac{1}{2}(a_1+a_2-1)^2-a_2(a_1+a_2-1)-a_2=0\Rightarrow \left(a_2 -\dfrac{1}{2}\right)^2-a_2\left(a_2 -\dfrac{1}{2}\right)-a_2=0\Rightarrow a_2=\dfrac{1}{6}（2）由(S_n-1)^2-a_n(S_n -1)-a_n=0知S_n^2-2S_n+1-a_nS_n=0将a_n=S_n-S_{n-1}(n \geqslant 2)代入S_n^2-2S_n+1-a_nS_n=0得S_nS_{n-1}-2S_n+1=0(n \geqslant 2)………（*）由（1）得S_1=\dfrac{1}{2}，S_2=\dfrac{2}{3}由（*）得S_3=\dfrac{3}{4}，猜想S_n=\dfrac{n}{n+1}下面用数学归纳法证明这个结论(i)当n=1时已知结论成立(ii)假设n=k时结论成立，即S_k=\dfrac{k}{k+1}当n=k+1时，由（*）得S_{k+1}=\dfrac{1}{2-S_k}=\dfrac{k+1}{k+2}故n=k+1时，结论也成立综上，由(i)、(ii)可知S_n=\dfrac{n}{n+1}对所有正整数n都成立。
高中数学：数学归纳法(一)课件新课标人教A版选修2-2
证明： (1)当n=1时a1 =1成立
1 (2)假设n=k时猜想成立即 a k k 1
则n=k+1时,a k+1 ak k 1 1 ak 1 1 k 1 k
即n=k+1时猜想也成立
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
练习：1、如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
思考：用数学归纳法证明:当 n N
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
证明 假设 当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 2. 当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 数学归纳法 。
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
例1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
3
1 n(n 1)(n 2) 3
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
(k 1)(k 2)
利 用 假 设
1 ( k 1) (k 1)(k 2) 3
1 ( k 1)k 1 1k 1 2 = 3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
n N ，命题正确。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基
1 1 1 1 答案： 3K 2 3K 3 3K 4 K 1
2020新人教A版高中数学必修5同步课件：第二章 习题课(一) 求数列的通项公式
∴an=
2.
2������ -1
(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
∴an+1=2·3n-1.
∴an=2·3n-1-1.
=
������ (������ -1)
22 .
反思已知数列的递推公式求通项,通常有以下几种情
形:(1)an+1-an=f(n),常用累加法求通项;(2)
������������ +1 ������������
=
������(n),常用累乘法求
通项;(3)an+1=pan+q,通常构造等比数列求通项.
习题课(一) 求数列的通项公式
1.巩固等差数列与等比数列的通项公式. 2.掌握求数列通项公式的常见方法,并能用这些方法解决一些简 单的求数列通项公式的问题.
1.等差数列的通项公式
若数列{an}为等差数列,其首项为a1,公差为d,则an=a1+(n1)d=am+(n-m)d (n,m∈N*).
【做一做1】 已知数列{an}是等差数列,且a2=6,a11=24,则
给项是分数,那么先把它们统一为相同的形式,再分子、分母分别
寻找规律.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公
式.
பைடு நூலகம்
(1)1,1,
5 7
,
7 15
,
9 31
,
…
;
(2)2,22,222,2 222,…;
(3)3,0,-3,0,3,….
数学归纳法及其应用优秀课件
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 22 33 4 n ( n 1 ) n 1 成立，那么
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
a a ( n 1 ) d n 1
a ( n 5 n 5 ) 2．数列通项公式为： n 1 , a 1 , a 1 , a 1 , 验证可知：a 1 ２ ３ ４
2 2
?
25 1 如a 5
2 2 对任何 n N , a ( n 5 n 5 ) 1 n
费尔马认为 2 1一定都是质数，并验证当 n=0，1，2，3，4时都是质数
2n
18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认证明 2 1 =4294967297=6700417×641从而否定了费尔马的 猜想
25
实验问题
1、现在桌上立着许多小木块，我们当然可以一块一块地 把它们全部推倒，但现在只允许推倒一块，你有什么 办法做到使它们全部倒下吗？如果有办法，小木块应 怎样摆？应先推倒哪一块？
2、小木块全部倒下满足的条件：
B、假设n=k(k∈N )时，等式 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 22 33 4 n ( n 1 ) n 1 成立，那么
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
a a ( n 1 ) d n 1
a ( n 5 n 5 ) 2．数列通项公式为： n 1 , a 1 , a 1 , a 1 , 验证可知：a 1 ２ ３ ４
2 2
?
25 1 如a 5
2 2 对任何 n N , a ( n 5 n 5 ) 1 n
费尔马认为 2 1一定都是质数，并验证当 n=0，1，2，3，4时都是质数
2n
18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认证明 2 1 =4294967297=6700417×641从而否定了费尔马的 猜想
25
实验问题
1、现在桌上立着许多小木块，我们当然可以一块一块地 把它们全部推倒，但现在只允许推倒一块，你有什么 办法做到使它们全部倒下吗？如果有办法，小木块应 怎样摆？应先推倒哪一块？
2、小木块全部倒下满足的条件：
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或
a
n＝1＋?2－1?n或
an＝1＋c2os
nπ .
7
解析： (1)各项是从 4 开始的偶数， 所以 an＝2n＋2. (2)每一项分子比分母少 1，而分母可依次写为 21,22,23,24,25，…，故 所求数列的一个通项公式可写为 an＝2n2－n 1. (3)带有正负号，故每项中必须含有 (－1)n＋1 这个因式，而后去掉负 号，观察可得．
4
将第二项－1 写成－55. 分母可化为 3,5,7,9,11,13，…为正奇数， 而分子可化为 12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，…，故其一个通 项公式可写为： an＝(－1)n＋1·2nn2＋＋11. (4)将数列各项改写为93，939，9939，9 9399，…，分母都是 3，而分子 分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以 an＝13(10n－1)．
5
【变式训练】 1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项 公式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1136，－2392，6614，… (4)0,1,0,1，… 解析： (1)符号问题可通过(－1)n 表示，其各项的绝对值的排列规 律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an＝(－ 1)n(6n－5)． (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴an＝89???1－110n???.
6
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的绝对值的 分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－2－2 3，至此原数列已化为－ 212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，
∴an＝(－1)n·2n2－n 3.
(4)an＝???10??nn为为正正偶奇数数??
归纳法（由数列前几项求数列的通项公式）
1
? 1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ? (1)分式中分子、分母的特征； ? (2)相邻项的变化特征； ? (3)拆项后的特征； ? (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
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? 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一 般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变 化，可用 (－1)n或(－1)n＋1来调整．
? 3．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规 律，利用我们熟知的一些基本数列 (如自然数列、奇偶数列等 )转换而使问题得到解决．
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写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10 ，…；(2)12，34，78，1156，3312，…； (3)23，－ 1，170，－197，2116，－3173，…； (4)3,33,333,3 333 ，….