数列通项公式经典例题解析

求数列通项公式

一、公式法

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1

2

n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113

222

n n n n

a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1

2

22a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为

11

3

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

练习题：

1.已知数列{}n a 满足1132313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

二、累乘法

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅

⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出

1

32

112

21

n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅

⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 例4 已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通

项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥

①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++

+-+

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-=

则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以1

3

22212

2

!

[(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

⋅⋅⋅

⋅=-⋅⋅⨯=

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知

11a =，则21a =，代入③得!13452

n n a n =⋅⋅⋅⋅

⋅=

。 所以，{}n a 的通项公式为!.2

n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

1

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出

1

3

212

2

n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅

⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 练习题：

1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 2.已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a

三、待定系数法

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5 已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

15

2(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯