高一数学课件：2.3 对数与对数运算(新人教版必修1)

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计算下列各式的值: 计算下列各式的值 (1)lg52+
2 lg8+lg5·lg20+(lg2)2; 3
(2) lg 2 + lg3 - lg 10
lg1.8
log 5 2 ⋅ log 7
1 3 9
;
(3)
log 5 ⋅ log 7 3 4
+ log 22 ( 3 + 5 − 3 − 5 ) 2
18
18
于是log 于是 3645= log 36 = log (18 × 2) 18 18
18 1 + log 18 b=5,∴log 5=b,9 解法二： 解法二：∵log189=a,18 ∴ 18
log18 9 + log18 5 = = 1 + log18 2
a+b
=
a+b 2-a
于是log 于是 3645 = log 18 (9 × 5) = log 18 9 + log 18 5 = 18 2 2log 18 − log 18 9 log 18 9
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学点一

学点二 学点三 学点四 学点五
为底N的对数 为底 1.如果 x=N(a>0,且a≠1)，那么数 叫做 以a为底 的对数 如果a , 如果 且 ，那么数x叫做 其中a叫做 对数的底数 ，N叫 叫 记作 x=logaN ，其中 叫做 . 做 真数 2.对数的性质 对数的性质: 对数的性质 (1)1的对数等于 0 ; 的对数等于 (2)底数的对数等于 1 ; 底数的对数等于 (3)零和负数没有 对数 . 零和负数没有 3.以10为底的对数叫做 常用对数 ,log10N记作 lgN 以 为底的对数叫做 记作 4.以无理数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为 以无理数 为底的对数称为 logeN记作 lnN . 记作 （500×85）-lg ）解法一：原式=lg（ × ）
［ × ］ 64+50［lg(2×5)］2
=lg800-lg8+50 800 1 =lg +50=lg100+50=2+50=52. 8 解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5- 2 lg82+50 解法二：原式 =lg100+50=52. 【评析】（1）对于有关对数式的化简问题，解题的常 评析】 ）对于有关对数式的化简问题， 用方法：①“拆 将积（ 用方法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和 ）；②“ ②“收 将同底的和（ （差）；②“收”：将同底的和（差）的对数收成积 的对数. （商）的对数 （2）分是为了合，合是为了分，注意本例解法中的拆 ）分是为了合，合是为了分， 并项不是盲目的，它们都是为了求值而进行的. 项、并项不是盲目的，它们都是为了求值而进行的
1 = (1-lg2+2lg3) 2 = 1 - 1 lg2+lg3=0.826 6. 2 2
【评析】在运算过程中注意运算法则的正确运用,体 评析】在运算过程中注意运算法则的正确运用 体 性质的灵活运用. 会lg2+lg5=1性质的灵活运用 性质的灵活运用
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(1)用lg2和lg3表示 用 和 表示 表示lg75; (2)用logax,logay,logaz表示 a 用 表示log 表示
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(1)已知6 =27,求 (1)已知6a=27,求log1618; 已知 (2)已知log 25=b,求 (2)已知log310=a,log625=b,求log445. 已知 log2 27 3log2 3 = a=27,∴a=log 27= (1) ∵6 a ∴ log2 6 1 + log2 3 , 6
log 3 4 2log 3 2 2(2a - b)
.
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学点四
对数方程
已知log3(x-1)=log9(x+5)，求x. 已知 ， 【分析】对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法， 分析】对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法， 利用换底公式可得log 利用换底公式可得 aN=loganNn(N>0,n≠0). 【解析】原方程可化为log9(x-1)2=log9(x+5), 解析】原方程可化为 ∴(x-1)2=x+5,∴x2-3x-4=0, ∴ 解得x=-1或x=4. 或 解得 分别代入方程,检验知 不合题意， 将x=-1，x=4分别代入方程 检验知 ， 分别代入方程 检验知x=-1不合题意，舍去 不合题意 舍去. ∴原方程的根为x=4. 原方程的根为 【评析】注意解题的等价变形，如本题中将log3(x-1)化 评析】注意解题的等价变形，如本题中将 化 实质上是非等价变形，扩大了定义域， 为log9(x-1)2，实质上是非等价变形，扩大了定义域， 因此，在解对数方程后要验根. 因此，在解对数方程后要验根
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(1)原式 原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 原式 =2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.
18 1 (lg2 + lg9 - lg10) lg 10 = lg1.8 = 1 2 = (2)原式 原式= . 原式 lg1.8 2lg1.8 2lg1.8 2
2
1 = (lg9+lg10-lg2) 2 1 = (2lg3+1-lg2) 2 1 1 =lg3+ - lg2 2 2
=0.477 1+0.5-0.150 5 =0.826 6.
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1 2 lg45= 1 lg(5×9) 解法二: 解法二 lg 45 = × 2 1 = 2 (lg5+2lg3)
1 log;4−1 +( ) 9
3
【分析】根据对数的运算性质创造条件，灵活地加以应用. 分析】根据对数的运算性质创造条件，灵活地加以应用
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【解析】（1）原式= lg 2 (2lg 2 + lg5) + (lg 2 − 1) 解析】 ）原式
= lg 2 (lg2 + lg5) + 1 − lg 2 = lg 2 + 1 − lg 2
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(1)方程 2(x-1)=2-log2(x+1)的解为 方程log 方程 的解为
.
(2)方程 2-lg(x+3)=lga(a∈(0,+∞))在区间 方程lgx 在区间(3,4)内有解， 内有解， 方程 ∈ 在区间 内有解 . 则a的取值范围为 的取值范围为 (1)5 (2)32<a<167 (1)∵ (1)∵log2(x-1)=2-log2(x+1), ∴log2(x2-1)=2, ∴x2-1=4, ∴x=±5. ± 经检验,x=-5是增根 舍去 是增根,舍去 经检验 是增根 舍去. ∴方程的解为x=5. 方程的解为
a + b. 2-a
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【评析】（1）解决这类问题，要注意分析条件和所 评析】 ）解决这类问题， 求式子之间的联系，找到联系就找到了思路. 求式子之间的联系，找到联系就找到了思路 （2）当出现多个不同底的对数时，往往要用换底公 ）当出现多个不同底的对数时， 式统一成适当的同底来解决，要有“化同底”的意识. 式统一成适当的同底来解决，要有“化同底”的意识 （3）题中利用了“方程组”的观点，把log32,log35作 ）题中利用了“方程组”的观点， 作 为两个未知数处理. 为两个未知数处理
f(4)>0 f(3)<0,
16 ∴32<a< 7 .
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学点五
换底公式的应用
1 ( 2 )lg0.7的值 的值.
(1)求log89·log2732的值 求 的值; 的值 (2)求7lg20· 求
【分析】利用换底公式及其他对数公式化简求值. 分析】利用换底公式及其他对数公式化简求值 【解析】(1)换为常用对数2lg3 5lg2 2 5 10 换为常用对数,得 解析】 换为常用对数 得 lg9 lg32 · = × = ⋅ log89·log2732=lg8 lg27 = 3lg2 3lg3 3 3 9. (2)原式 1+lg2·21-lg7=(7×2)(7lg2×2-lg7)=14. 原式=7 原式 × 【评析】对数的换底公式在对数式的化简、求值、证明 评析】对数的换底公式在对数式的化简、求值、 中有广泛的应用.当对数式的底数不同时 当对数式的底数不同时， 中有广泛的应用 当对数式的底数不同时，可利用换底公 式化为同底的对数式，再进行有关的运算. 式化为同底的对数式，再进行有关的运算
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学点一
不查表计算对数值
计算下列各式的值: 计算下列各式的值 (1) 2(lg 2 ) 2 + lg 2 + lg5 + (lg 2 ) 2 − lg2 + 1; (2)
3
1+ log 3 6
−2
4 + log 2 3
+ 10
3lg3
(3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5; 8 1 (4)lg500+lg - lg64+50(lg2+lg5)2. 5 2
log 1 2
(3)原式 原式= 原式
3
log 5 ⋅ log5
1 3
1 3
⋅
log 4 9
3
log 4 7 ⋅ log7 4
3
3 3
+ log 2 ( 3 + 5 − 3 − 5 ) 2
2
= log
1 3
2 ⋅ log 4 9 + log4 (3 + 5 + 3 − 5 − 2 9 − 5 )
3 3 1 = − + log4 2 = − + = −1 2 2 2
x4 ⋅ 3 y 2 z xyz 3
.
(1)原式 原式=lg(25×3)=lg(52×3)=2lg5+lg3 原式 × 10 =2lg（ ）+lg3=2(1-lg2)+lg3=2-2lg2+lg3. （ 2 2 (2)原式 原式=loga(x4· 3 y z )-loga xyz3 原式 1 1 =4logax+ loga(y2z)- loga(xyz3) 3 2 1 1 =4logax+ (2logay+logaz)- (logax+logay+3logaz) 2 31 7 7 = logax+ logay- logaz. 2 6 6
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学点二
求值问题
已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求lg 45的值 的值. 已知 求 分析】解本题的关键是设法将45的常用对数分解为 【分析】解本题的关键是设法将 的常用对数分解为 2,3的常用对数 再代入计算 的常用对数,再代入计算 的常用对数 再代入计算. 90
1 1 【解析】解法一: lg 45 = 2 lg45= 2 lg 解析】解法一
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学点三
条件求值
已知log 已知 189=a,18b=5,求log3645. 求 【分析】利用对数换底公式和其他对数公式变形. 分析】利用对数换底公式和其他对数公式变形 【解析】解法一：45log189=a,18b× 5) log185=b, 解析】解法一：∵ ∴ log log (9 =5,∴
2
+ 10 （2）原式 ）原式= 9 = 18 − 48 + 27 + 16 39 =− 16
lg 3 6
3
3⋅3
= ⋅ − 161 2lg2
lg27
+3
2−lg 316
（3）原式 ）原式=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5 ［ =(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2+3lg2·lg5 =(lg2+lg5)2=1.
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log a N logbN= log a b 6.对数换底公式为 对数换底公式为
5. alogaN= N . （1）loga(MN)= ） loga(N1N2…Nk)= M （2）loga ） N = （3）logaMn= ）
.
7.如果 如果a>0，且a≠1，M>0;N>0，那么： 如果 ， ， ，那么： logaM+logaN ； logaN1+logaN2+…+logaNk ; logaM-logaN nlogaM ; .
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(2)∵lgx2-lg(x+3)=lga在(3,4)内有解 整理得 lgx − lg(x + 3) = lga . ∵ 内有解.整理得 在 内有解
2
内有解， ∴x2-ax-3a=0在(3,4)内有解， 在 内有解 设f(x)=x2-ax-3a. 该函数恒过(0,-3a), 该函数恒过 故只需
{
3 . ∴log23= - a log 18 1 + 2log 3 3+a 2 2 = = ∴log1618= log2 16 4 4(3 − a ) .
(2)a=log310=log32+log35
2log 3 5 b=log325log36= 1 + log 3 2
① ②
2a - b ab + b ①②可知 可知log . 由①②可知 32= 2 + b ,log35= b+2 于是log 于是 445 = log 3 45 = 2 + log 3 5 = ab + 3b + 4