等比数列的概念及通项公式一.ppt

变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 , ……
2 4 8 16
(3) 1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2、等比数列{an}中, 相邻三项an1, an , an1(n 2)的关系.
an2 an1 an1(n 2)
等比数列通项公式的推导: 归纳法
an1an d
an1an q
等差数列通项公式的推导(归纳法)
将q
1 2
代人（1），得
本例题求解过程
a1 24 所以，数列的通项公式为
中，通过两式相除求 出公比的方法是研究 等比数列问题的常用
an
a13
24 (1)n1 2
a1 q12 24
1 2
方法．
12
28
1． 256
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x, x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1, 2, 4,8,16,鬃?
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1 , 1 ,鬃? 2 4 8 16
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
012
例2：9是等比数列3 2 ，3 2 ，3 2 ，...的第几项 ?
0
1
n 1
解：a1 32 1，q 32 ， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，
2
即9为该数列的第5项.
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
a1 ?qn， q
它的图象是函数y = a1 ?qx的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
例1 在等比数列an 中，a5 1，a8 18，求a13．
解
由
a5
1, a8
1有 8
巩
1 a1 q4， (1)
固 知
1 8
a1
q7，
(2)
（2）除以（1）得
识
1 q3，q 1；
8
2
典 型 例 题
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a2 = q a3 = q ……
a1
a2
将等式左右两边分别相乘可得：
an = q an- 1
a2 a3 …… an
n1
q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an qn1 a1
即：
an a1 qn1
此式对n=1也成立 ∴ an a1 qn1 (n N )
等比数列的通项公式： an a1gqn1 （n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1
或 an1 q an
an1 an q
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
wk.baidu.com
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
1
结论： 等比数列an的图象是其对应的
·
函数的图象上一些孤立的点
0 1234 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an =