等比数列的概念及通项公式一.ppt
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4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件(人教版)
,1 8
,1 16
,1 32
,
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就
通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
复利是指把
2，4，8，16，32，64…
前一期的利息和
4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r, 本金加在一起算.
那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分 作本金，再计算
a1qn1
a1 q
qn
可知，当q>0且
f(x)
q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 a5
f ( x )
a1 q
qx
(x∈R)当x=n时的函数值，即
a4
f(x)=
a1 q
qx
(5,a5)
(4,a4)
an=f(n)(如右图所示).
a3
反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常 a2
数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, a1
…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka,公比为a.
O
(3,a3) (2,a2) (1,a1)
1 2 3 4 5x
五、等比数列的单调性
公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点?
类比指数函数的性质，说说 公比q>0的等比数列的单调性.
q>1
0<q<1
q=1
a1>0
如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用 a、b表示G吗？
a、b同号， G2=ab
Hale Waihona Puke 四、等比数列的通项公式你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 定义，可设得一个aan等n1 比 q数即列a{n+a1n=}a的nq首, 项为a1，公比为q.根据等比数列的 所以
等比数列的概念及通项公式_课件
(1)1，-1/3， 1/9 ,-1/27，… (2)1, 2, 4, 8, 12,16,20, … (3) 1，1，1，… ，1 (4)a，a，a，…，a
√ q=-1/3 × √ q=1
不一定，当a≠0时是等比数列,当a=0时非等比数列。
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
a=4或a=-4
c b - 4 b 解得 1 2 c c b
b 2 c 1
1 1 训练2：求等比数列1，，， 2 4 …的通项公式 及第6项。
解：
an a1 q
n 1
1 1 2
6 1
n 1
1 2
n 1
a n1 q an
等差数列(A P)
a n1 a n d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
a n a 1q
an amq
?
n1
a n a 1 ( n 1 )d a n a m ( n m )d
am an a p aq
复习回顾
1、等数差列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
2、等差数列的通项公式
an = a1+（n-1）d
观察以下几个数列找出它们的共同的特点
(1)
(2)
1, 2, 22 , 23 ,
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
an q （q是常数，n≥2，n∈N*） 数学语言： an1
人教A版选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念及通项公式课件
1
又三个数为正数，故 q 3 或 q
3
当 q 3 时，a 1 ，这三个数依次为1，3，9；
1
当 q 时，a 3 ，这三个数依次为9，3，1.
3
9
由①得d 56
80
代入②中得：
q
80 160
60 0
q2
q
即3q 2 8q 4 0
1、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列．
反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列,则常设成a-d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设
成 ,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,则可设为 ,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,则可
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由等比数列的性质，有 a 2a 10 a 62 ，
所以 a 2a 6a 10 a 63 27，得 a 6 3 ，
则 a 3a 9 a 62 9 .
பைடு நூலகம்
(2)由等比数列的性质，有 a 1a 3 a 22 ，
思考：0 ， 0， 0 ，…是等比数列？ 不是等比数列
思考：2 ， 0， 2，0，…是等比数列？
不是等比数列
结论：1、常数列一定是等差数列
2、 任意项不为零的常数列是等比数列
课堂探究
类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个
什么数后这三个数就会成为一个等比数列：
(1) 2，( 4或-4 )，8
又三个数为正数，故 q 3 或 q
3
当 q 3 时，a 1 ，这三个数依次为1，3，9；
1
当 q 时，a 3 ，这三个数依次为9，3，1.
3
9
由①得d 56
80
代入②中得：
q
80 160
60 0
q2
q
即3q 2 8q 4 0
1、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列．
反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列,则常设成a-d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设
成 ,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,则可设为 ,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,则可
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由等比数列的性质，有 a 2a 10 a 62 ，
所以 a 2a 6a 10 a 63 27，得 a 6 3 ，
则 a 3a 9 a 62 9 .
பைடு நூலகம்
(2)由等比数列的性质，有 a 1a 3 a 22 ，
思考：0 ， 0， 0 ，…是等比数列？ 不是等比数列
思考：2 ， 0， 2，0，…是等比数列？
不是等比数列
结论：1、常数列一定是等差数列
2、 任意项不为零的常数列是等比数列
课堂探究
类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个
什么数后这三个数就会成为一个等比数列：
(1) 2，( 4或-4 )，8
等比数列的概念及通项公式.ppt
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
①
1，1，1，1，1 ，...... 2 4 8 16
②
1,20,202,203,204,205,...... ③
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_12_;
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2_0_;
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt
高考一轮总复习•数学
第13页
题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn 为{an}的前 n 项和，
S5＝5S3－4，则 S4＝( )
A．7
B．9
C．15
D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 8S6＝7S3，则{an}的公 转化为基本量 a1，q 的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
第26页
对点练 2(1)在等比数列{an}中，a1，a17 是方程 x2－14x＋9＝0 的两根，则a2aa916的值为 ()
A. 14
B．3
C．± 14
D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知 0<a1<1，其前 n 项之积为 Tn，且 T12＝T6， 则 Tn 取得最小值时，n 的值是____9____．
率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍．设第二个音的频率为 f1，第八个
音的频率为 f2，则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D．412 2
答案
高考一轮总复习•数学
第18页
(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，记插 入的 11 个数之和为 M，插入 11 个数后这 13 个数之和为 N，则依此规则，下列说法错误的 是( )
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)a11＋a12＋…＋a18＝a1a＋1aa8 8＋aa2＋2a7a7＋a3a＋3aa6 6＋a4a＋4aa5 5. 巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？
4.3.1 等比数列的概念及通项公式(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
二、忽略等比数列中项的符号致错 ►数学运算
[典例 2] (1)在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则 a1a9 的值为( )
A．9
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , … a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
题型一 等比数列的判定
[例1] (1)判断下列数列是否为等比数列．
①1,3,32,33，…，3n－1，…；
②－1,1,2,4,8，…；
探究1：等比数列的概念
思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同 特征？
实例1：有一种细胞分裂时，由1个
分裂成2个，2个分裂成4个，4个分 裂成8个，···，那么细胞分裂而成的
个数依次是
实例2：“一尺之棰，日取其半，万 世不竭” 。如果将“一尺之棰”视 为一份，那么每日剩下的部分依次为
1， 2， 4， 8，….
探究4：等比数列的单调性
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
an a1qn1
an
a1 q
qn
q0 q 1
f (x) a1 qx (x R) q
等比数列{an} 的第n 项 an 是指数函数
f (x) a1 qx (x R) 当 x=nxn 时的函数值， q
当
n≥2
时an＋ an
1＝22n－n
1＝2；
当
n＝1
时，an＋ an
1＝aa21＝2＋2
a.
故当 a＝－1 时，数列{an}成等比数列，其首项为 1，公比为 2；
当 a≠－1 时，数列{an}不是等比数列．
高三一轮复习等比数列课件
判断性质
根据通项公式判断等比数 列的性质，如公比、项数 等。
求解问题
利用通项公式解决等比数 列相关的问题，如求和、 判断单调性等。
特殊等比数列的通项公式
等差等比混合数列
该数列前n项中，有一部分是等差数列，一部分是等比数列，需要分别推导等 差部分和等比部分的通项公式，再结合得到混合数列的通项公式。
平方数列
算法优化
在计算机性。
05 等比数列的习题与解析
基础习题
基础习题
1. 题目：已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，a_3 = 8， 则 a_5 = _______．
3. 题目：已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和为 S_n，且 S_3，S_9，S_6 成等差数列，则 a_2a_8 = _______．
高三一轮复习等比数列课件
目录
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 等比数列的习题与解析
01 等比数列的定义与性质
等比数列的定义
等比数列的定义
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等 ，记作 a_n/a_(n-1)=r（常数） 。
分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连 续性。
04 等比数列在实际生活中的 应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付 时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的 公比，用a_1表示第一项，用n表 示项数。
数学人教A版选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念及其通项公式课件
出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？
等差数列an 1 an d
a n 1
等比数列
q (a1 , q 0)
an
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an an 1 d (n 2)
累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2
a n a1 ( n 1)d
9，
15，
21，
27，
33; 不是； (2) 1，
1.1，
1.21，
1.331，
1，
4641; 是,公比为1.1；
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ; 不是；(4) 4， 8，
16， 32，
64， 128. 是,公比为 2.
3 6 9 12 15 18
(6) 2,0,2,0,2,… 不是；
q (n 1)
an 1
an
递推关系：
等比数列的
项，公比q有
无条件限制？
常被用来证明等比数列
an 1
n N ,
q(q为非零常数 ) {an }为等比数列
an
*
1
例如, 数列① ~ ⑥的公比依次是9, 100, 5, , 2, 1 r .
2
1.等比数列的定义
an
an 1
1
析:
q ,
a2 a5a2 a52源自1 n 111
6n
4
a2 a5 a1q a1q a1 a1 18, a1 32. an 32 ( ) 2
2
16
2
(4)若a1 a2 a3 168 , a2 a5 42 , 求a6 .
等差数列an 1 an d
a n 1
等比数列
q (a1 , q 0)
an
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an an 1 d (n 2)
累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2
a n a1 ( n 1)d
9，
15，
21，
27，
33; 不是； (2) 1，
1.1，
1.21，
1.331，
1，
4641; 是,公比为1.1；
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ; 不是；(4) 4， 8，
16， 32，
64， 128. 是,公比为 2.
3 6 9 12 15 18
(6) 2,0,2,0,2,… 不是；
q (n 1)
an 1
an
递推关系：
等比数列的
项，公比q有
无条件限制？
常被用来证明等比数列
an 1
n N ,
q(q为非零常数 ) {an }为等比数列
an
*
1
例如, 数列① ~ ⑥的公比依次是9, 100, 5, , 2, 1 r .
2
1.等比数列的定义
an
an 1
1
析:
q ,
a2 a5a2 a52源自1 n 111
6n
4
a2 a5 a1q a1q a1 a1 18, a1 32. an 32 ( ) 2
2
16
2
(4)若a1 a2 a3 168 , a2 a5 42 , 求a6 .
4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)
是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…
是等差数列，不是等比数列；
(2) = 时，{}为非零常数列.
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
课堂练习
1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比.
×
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ;×
3 6 9 12 15 18
解：因为 是 与 的等比中项，所以
= = × = .
所以 = ± = ±.
因此， 的第5项是24或-24.
探究二：等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及
递推公式推导它的通项公式吗？
取值规律？你发现了什么规律？
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的
递推关系？
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，
a1 2
2
{an }的通项公式为an 2 n 1 或an 23 n.
例题精讲
课本例2 已知等比数列 的公比为，试用 的第项 表示 .
解：由题意 , 得
am a1q m 1 ,
an a1q
n 1
①
②
,
等比数列的通项公式：
= − ( ≠ , ∈ + )
, , , … , .
, , , , ,…
2,4,8,16,32,64,…
等比数列的概念及通项公式 课件
等比数列的通项公式
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
1 2
，q＝
1 2
，an＝
1 32
，则
项数n为
()
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a
2 5
＝a10,2(an＋an＋2)＝
5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析]
(1)因为an＝a1qn－1，所以
式为an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n
等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后 再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最 后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
等比中项
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 等比数列 ，那
么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝± ab. [点睛] (1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符
号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝± ab，即等比中项有两个，且互为相反数． (2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝ 5×0，但0,0,5不是等比数列． 3．等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式 为：an＝ a1qn－1.
[典例] 在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证 明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一 定义法] ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴aan＋n＋1＋33＝2ana＋n＋3＋ 3 3＝2aann＋＋33＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt
电路设计
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
4311等比数列的概念与通项公式课件共39张PPT
当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
类型二 等比中项
[例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． [思路分析] 根据已知条件，求出等比数列的首项和公比，再利用定义求等比 中项．
此时{an}不是等比数列． 4．(知识点二)数列{an}为等比数列，若 a1＝2，a5＝8，则 a3＝±4.正确吗？为
什么？
提示：不正确．设等比数列{an}的公比为 q，则可得 q4＝aa51＝4，解得 q2＝2，所 以 a3＝a1·q2＝2×2＝4.
二、练一练
1．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数
课堂篇·互动学习
类型一 等比数列的通项公式及应用
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a5； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. [思路分析] 根据题设条件，充分利用等比数列的通项公式代入求解．
[解] (1)方法一：由 a3＝9，a6＝243， 得 a1q2＝9，a1q5＝243. ∴q3＝2493＝27，∴q＝3.∴a1＝1. ∴a5＝a1q4＝1×34＝81. 方法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝aa63＝2493＝27， ∴q＝3. ∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
D．84
解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7， 解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
等比数列的概念及通项公式(一)PPT课件
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*)
3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法
累 加 法最新课件
3
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1,2,4,8,16,
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
最新课件
21
(2)证明：当 n≥2 时，
由 an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得 an ＝－1，又a2＝－1，
an－1
2
a1
2
所以{an}是首项为－12，公比为－12的等
比数列．
最新课件
22
你有什么收获？
小结：填写下表
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 ,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
最新课件
6
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
即9为该数列的第5项.
变 式 ： 3m 1是 该 数 列 中 的 项 吗 ？ 若 是 ， 是 第 几 项 ?
n1
分析：令3m1 3 2 ，则n=2m+3
最新课件
17
例 3 ： 已 知 { a n} 的 通 项 公 式 a n 3 n,求 证 ： { a n} 是
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式课件(人教版)
题型三 等比数列的判定与证明
例 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*) (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
解析：(1)当 n＝1 时，S1＝13(a1－1)＝a1，解得：a1＝－12，
当 n＝2 时，S2＝13(a2－1)＝a1＋a2，解得 a2＝14.
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则 an＝________.
解析：∵a1＝－2，a3
＝
－8
，
∴
a3＝ a1
q2＝－ －82＝4
，
∴q＝±2，
∴an＝(－2)·2n－1 或 an＝(－2)·(－2)n－1，即 an＝－2n 或 an＝(－2)n.
答案：－2n 或(－2)n
题型一 等比数列通项公式的求法及应用
【易错警示】 1. 出错原因 没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得 a7＝±9，错 选 A. 2. 纠错心得 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题 时要小心谨慎，以防上当.
1
1
1
解析：令
an＋1－A·2
n＋1＝1 3
an－A·2
n
，则
an＋1＝13an＋A3·2
n＋1.
由已知条件知A3＝1，得 A＝3，
1
1
所以
an＋1－3×
2
n＋1＝1 3
an－3×
2
n
.
1
又
a1－3×21＝源自2≠0， 31所以
an－3×
2
n
是首项为－2，公比为1的等比数列．
3
3
1
1
于是
an－3×
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一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1
或 an1 q an
an1 an q
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
将q
1 2
代人（1），得
本例题求解过程
a1 24 所以，数列的通项公式为
中，通过两式相除求 出公比的方法是研究 等比数列问题的常用
an
a13
24 (1)n1 2
a1 q12 24
1 2
方法．
12
28
1． 256
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1, 2, 4,8,16,鬃?
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1 , 1 ,鬃? 2 4 8 16
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 , ……
2 4 8 16
(3) 1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
1、定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2、等比数列{an}中, 相邻三项an1, an , an1(n 2)的关系.
an2 an1 an1(n 2)
等比数列通项公式的推导: 归纳法
an1an d
an1an q
等差数列通项公式的推导(归纳法)
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
012
例2：9是等比数列3 2 ，3 2 ，3 2 ，...的第几项 ?
0
1
n 1
解：a1 32 1，q 32 ， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，
2
即9为该数列的第5项.
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
a1 ?qn， q
它的图象是函数y = a1 ?qx的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
例1 在等比数列an 中，a5 1，a8 18，求a13．
解
由
a5
1, a8
1有 8
巩
1 a1 q4， (1)
固 知
1 8
a1
q7，
(2)
（2）除以（1）得
识
1 q3，q 1；
8
2
典 型 例 题
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x, x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
等比数列的通项公式： an a1gqn1 （n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a2 = q a3 = q ……
a1
a2
将等式左右两边分别相乘可得：
an = q an- 1
a2 a3 …… an
n1
q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an qn1 a1
即：
an a1 qn1
此式对n=1也成立 ∴ an a1 qn1 (n N )
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
1
结论： 等比数列an的图象是其对应的
·
函数的图象上一些孤立的点
0 1234 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an =
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1
或 an1 q an
an1 an q
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
将q
1 2
代人（1），得
本例题求解过程
a1 24 所以，数列的通项公式为
中，通过两式相除求 出公比的方法是研究 等比数列问题的常用
an
a13
24 (1)n1 2
a1 q12 24
1 2
方法．
12
28
1． 256
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1, 2, 4,8,16,鬃?
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1 , 1 ,鬃? 2 4 8 16
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 , ……
2 4 8 16
(3) 1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
1、定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2、等比数列{an}中, 相邻三项an1, an , an1(n 2)的关系.
an2 an1 an1(n 2)
等比数列通项公式的推导: 归纳法
an1an d
an1an q
等差数列通项公式的推导(归纳法)
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
012
例2：9是等比数列3 2 ，3 2 ，3 2 ，...的第几项 ?
0
1
n 1
解：a1 32 1，q 32 ， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，
2
即9为该数列的第5项.
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
a1 ?qn， q
它的图象是函数y = a1 ?qx的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
例1 在等比数列an 中，a5 1，a8 18，求a13．
解
由
a5
1, a8
1有 8
巩
1 a1 q4， (1)
固 知
1 8
a1
q7，
(2)
（2）除以（1）得
识
1 q3，q 1；
8
2
典 型 例 题
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x, x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
等比数列的通项公式： an a1gqn1 （n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a2 = q a3 = q ……
a1
a2
将等式左右两边分别相乘可得：
an = q an- 1
a2 a3 …… an
n1
q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an qn1 a1
即：
an a1 qn1
此式对n=1也成立 ∴ an a1 qn1 (n N )
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
1
结论： 等比数列an的图象是其对应的
·
函数的图象上一些孤立的点
0 1234 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an =