版初二上册数学分式

第十六章 分式

一、知识总览

本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．

知识点一：分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B

A 叫做分式，A 为分子，

B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩

⎨

⎧≠=00B A ） 经典例题 1、在

2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24

x y -中，分式的个数为（ ） .2 C 2、当1a =-时，分式211a a +-（ ）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义 )

3、已知分式1-x 的值是零，那么x 的值是（ ）A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±

5、下列命题中，正确的有（ ） ①A 、B 为两个整式，则式子

A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13m m -+有意义 ③分式2116

x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. 个 B .2个 个 个

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

?

字母表示：C B C ••=A B A ，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B

B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意

C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分

子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

>

知识点五：分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ③确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

^

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题

1、把分式a a b

+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ） A.不变 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.扩大4倍

2、下列各式与x y x y

-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y

-+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y -+ 3、下列化简结果正确的是（ ）

：

A.222222x y y x z z -=-+

B.220()()a b a b a b -=-+-

C.63233x y x x y

= D.231m m a a a +-= 4、约分：222________20ab a b =； 通分：222,,693x y z ab a bc abc

-

5、已知511=+b

a )(

b a ≠，求)()(b a a b b a b a ---的值.

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

① }

② 分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：c b a c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为:bd bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 ②分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

d

b c a d c b a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为c c ••=•=÷b d a d b a d c b a ③分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛ ;

④分式的混合运算: 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）

经典例题

1、下列运算正确的是（ ） A.62x x x = B.0x y x y +=+ C.1x y x y -+=-- D.a x a b x b

+=+ 2、下列各式的计算结果错误的是（ ）

A.b n y bnx a m x amy ⨯÷=

B.b n y bmy a m x anx

⨯÷= C.b n y bmx a m x any ÷÷= D.()b n y bmx a m x any ÷⨯= 3、

{

知识点七整数指数幂

1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。即：其中m ，n 均为整数。

★n m n m a

a +=⋅a ★()mn n m a a = ★()n n n

b b a a = ★n m n m a a -=÷a （0≠a ） ★n n b a b a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛n ★n a 1=-n a （0≠a ） ★10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 经典例题