初中数学-平行线与相交线
初中数学第五章 相交线与平行线(讲义及答案)附解析
初中数学第五章 相交线与平行线(讲义及答案)附解析一、选择题1．如图所示，已知 AB ∥CD ，下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠42．下列说法中，正确的有（ ）①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，∠1的同位角是（ ）A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠54．如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）A ．14°B ．15°C ．16°D ．17°5．如图，直线12//,,140l l αβ∠=∠∠=︒，则2∠等于（ ）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒ 6．如图，在ABC 中，//EF BC ，ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，则B 的度数为（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°7．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒8．已知两个角的两边两两互相平行，则这两个角的关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．相等且互补9．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④ 10．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ） A ．垂直B ．两条直线互相平行C ．同一条直线D ．两条直线垂直于同一条直线二、填空题11．如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=，则CDB ∠=______．12．如图,AB ∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED 的度数为_______.13．如图，已知AB∥CD,∠EAF =14∠EAB,∠ECF=14∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是_____________________________14．如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）15．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．16．如图，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度．17．如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别与直线a，c相交于点B，C，则∠1＋∠2的度数是___________．18．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则CBD ∠=________︒．19．如图,AC ∥BD,AE 平分∠BAC 交BD 于点E,若∠1=62°，则∠2=______.20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．三、解答题21．已知直线//EF MN ，点,A B 分别为EF ， MN 上的点．（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN ∠与ADB ∠的度数；（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠，则ADB =∠_________︒； （3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠”改为“FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=∠， 1CBD CBN n∠=∠”，则ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）22．如图1，D 是△ABC 延长线上的一点，CE //AB ． （1）求证：∠ACD ＝∠A+∠B ；（2）如图2，过点A 作BC 的平行线交CE 于点H ，CF 平分∠ECD ，FA 平分∠HAD ，若∠BAD ＝70°，求∠F 的度数．（3）如图3，AH //BD ，G 为CD 上一点，Q 为AC 上一点，GR 平分∠QGD 交AH 于R ，QN 平分∠AQG 交AH 于N ，QM //GR ，猜想∠MQN 与∠ACB 的关系，说明理由．23．如图①，已知AB ∥CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠EFB ＝∠B ，FH ⊥FB ，点Q 在BF 上，连接QH ．(1)已知∠EFD ＝70°，求∠B 的度数；(2)求证： FH 平分∠GFD ．(3)在(1)的条件下，若∠FQH ＝30°，将△FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边FH 转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH 与△EBF 的某一边平行?24．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．(1)求出∠BEF 的度数；(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）25．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．（1）求证：//AD BC ；（2）连结CF ，当//CF AB ，且32CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．26．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限． （1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）；（2）连接BD 、BC ，若三角形BCD 的面积为5，求k 的值；（3）如图2，分别作∠ABC 和∠ADC 的平分线，它们交于点P ，请写出∠A 、和∠P 和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】∵AB∥CD，∴∠1=∠4，故选 C．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．D解析：D【解析】分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；③等腰三角形的两底角相等；正确；④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．故选D．点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．3．D解析：D【分析】根据同位角定义可得答案．【详解】解：解：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据定义，结合图形，∠1的同位角是∠5．故选：D．【点睛】本题考查同位角的定义，解题关键是熟练理解同位角的定义，本题属于基础题型．4．C解析：C【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．【详解】如图，∵∠ABC=60°，∠2=44°，∴∠EBC=16°，∵BE∥CD，∴∠1=∠EBC=16°，故选C．【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．A解析：A【分析】作出如下图所示的辅助线，然后再利用平行线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，作直线m∥n∥l1∥l2，此时有∠3=∠1=40°，∠6=180°-∠2，∠4=∠5，又∠α=∠3+∠4，∠β=∠5+∠6=∠5+(180°-∠2)，且∠α=∠β，∴∠3+∠4=∠5+(180°-∠2)，由于∠4=∠5，∴∠3=180°-∠2，代入数据：40°=180°-∠2，∴∠2=140°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．6．D解析：D【分析】由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B 的度数即可.【详解】∵ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，∴70DEB ∠=︒∴270140BEF ︒=∠=⨯︒∵//EF BC∴180B BEF ∠+∠=︒∴180********B BEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选D【点睛】此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用7．B解析：B【分析】AD ∥BC ，∠D=∠ABC ，则AB ∥CD ，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF 中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【详解】解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．8．C解析：C【解析】分类讨论：两个角的两边方向是否相同.若相同，则相等；否则互补.故选C. 9．C解析：C【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．10．D解析：D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选：D ．【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．二、填空题11．30°【分析】先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“平分，”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题．【详解】∵AB//CD∴∠ABD=x°解析：30°【分析】先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题．【详解】∵AB//CD∴∠ABD=x°，∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒,BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD∵:4:1C DBA ∠∠=，∴4C DBA ∠=∠设∠ABD=x°，则∠CBD=x°，∠C=4x°，∴2x°+4x°=180°,解得，x=30∴∠ABD=30°，∴∠CDB=30°，故答案为：30°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，求出∠ABD=30°是解此题的关键． 12．70°【分析】此题要构造辅助线：过点E ，F 分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．【详解】解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥A解析：70°【分析】此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．【详解】解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥AB，∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，又∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．故答案为70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．13．4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18解析：4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）=180°-[180°-（4x°+4y°）]=4x°+4y°=4（x°+y°），∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-[180°-（3x°+3y°）]=3x°+3y°=3（x°+y°），∴∠AFC=34∠AEC，即：4∠AFC=3∠AEC，故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．14．【解析】分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2解析：n180︒【解析】分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，…，第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180︒，故答案为180n︒.点睛：平行线的性质.【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80解析：80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.16．40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.解析：40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.故答案为：40.17．270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵解析：270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵b∥c∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，∵∠BAC是直角，∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，∴90°=360°-（∠1+∠2），∴∠1+∠2=270°．故答案为：270°【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．18．65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，解析：65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，∴∠DBE=∠2，∴AE∥CF，∴∠4=∠ADF，∵∠3=∠4，∴∠EBC=∠4，∴AD∥BC，∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠4=∠CBD，∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．19．121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即解析：121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．【详解】∵AC∥BD，∴∠B=∠1=64°，∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，∵AE平分∠BAC交BD于点E，∴∠BAE=12∠BAC=59°，∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．故答案为121°．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．20．（n ﹣1）×180【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB 的平行线P1E ，P2F ，P3G ，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18解析：（n ﹣1）×180【分析】分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，∠1+∠P 1+∠2=2×180，∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．【详解】解：如图，分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥P 1E ∥P 2F ∥P 3G ．由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°，（2）∠1+∠P 1+∠2=2×180，（3）∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，（4）∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，∴∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．故答案为：（n+1）×180．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．三、解答题21．（1）120º，120º；（2）160；（3）()1360n m n -⋅- 【分析】（1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据 12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果； （2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠求解即可； （3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n∠=∠， 1CBD CBN n∠=∠求解即可； 【详解】 解：（1）如图示，分别过点,C D 作CGEF ，DH EF ，∵EFMN ， ∴EF MN CG DH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴120CBN GCB ∠=∠=︒，∵1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403CAD FAC ∠=∠=︒ ∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．故答案为：160；（3）同理（1）的求法∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，∴ACG FAC m ∠=∠=︒，∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵13602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-=︒， ∴()1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：()1360n m n-⋅-． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN ＝12∠ACB ；理由见解析． 【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE ＝∠A ，∠ECD ＝∠B ，然后通过等量代换即可得出答案；（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ，进而得出∠F ＝12（∠HAD+∠ECD ），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD 的度数，进而可得出答案；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出12QGR QGD ∠=∠，12NQG AQG ∠=∠，180MQG QGR ∠+∠=︒ ，再通过等量代换即可得出∠MQN ＝12∠ACB ． 【详解】解：（1）∵CE //AB ，∴∠ACE ＝∠A ，∠ECD ＝∠B ，∵∠ACD ＝∠ACE+∠ECD ，∴∠ACD ＝∠A+∠B ；（2）∵CF 平分∠ECD ，FA 平分∠HAD ，∴∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ， ∴∠F ＝12∠HAD+12∠ECD ＝12（∠HAD+∠ECD ）， ∵CH //AB ，∴∠ECD ＝∠B ，∵AH //BC ，∴∠B+∠HAB ＝180°，∵∠BAD ＝70°，110B HAD ∴∠+∠=︒，∴∠F ＝12（∠B+∠HAD ）＝55°； （3）∠MQN ＝12∠ACB ，理由如下： GR 平分QGD ∠，12QGR QGD ∴∠=∠． GN 平分AQG ∠，12NQG AQG ∴∠=∠． //QM GR ，180MQG QGR ∴∠+∠=︒ ．∴∠MQN ＝∠MQG ﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR ﹣∠NQG＝180°﹣12（∠AQG+∠QGD ） ＝180°﹣12（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC ） ＝12（∠CQG+∠QGC ） ＝12∠ACB ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．23．（1）35°；（2）见解析；（3）30°或65°或175°或210°【分析】(1)利用AB ∥CD ，得到∠B ＝∠BFD ，又∠B=∠EFB ，由此得到∠EFB=∠BFD=12∠EFD=35°； (2)由(1)知∠EFB ＝∠BFD ，利用FH ⊥FB ，得到∠BFD ＋∠DFH ＝90°，∠EFB ＋∠GFH ＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH ＝∠GFH 即可求解；(3)按QH 分别与△EBF 的三边平行三种情况分类讨论即可．【详解】解：(1)AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BFD ．∵∠EFB ＝∠B ，∴∠EFB =∠BFD =12∠EFD =35°， ∴∠B ＝35°，故答案为：35°；(2)∵FH ⊥FB ，∴∠BFD ＋∠DFH ＝90°，∠EFB ＋∠GFH ＝90°∵∠EFB ＝∠BFD ，由等角的余角相等可知，∴∠DFH ＝∠GFH ．∴FH 平分∠GFD ．(3)分类讨论：情况一：QH 与△EFB 的边BF 平行时，如下图1和图4所示：当为图1时：∵BF与HQ平行，∴∠H+∠BFH=180°，又∠H=60°，∴∠BFH=120°，此时旋转角α=∠BFQ=120°-∠HFQ=120°-90°=30°，当为图4时：此时∠HFB=∠H=60°，旋转角α=∠1+∠2+∠3=360°-(∠HFB+∠HFQ)=360°-(60°+90°)=210°；情况二：QH与△EFB的边BE平行时，如下图2所示：此时∠1=∠3=35°，∠2=∠4=30°，∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2=35°+30°=65°；情况三：QH与△EFB的边EF平行时，如下图3所示：此时∠3=∠Q=30°，∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2+∠3=35°+110°+30°=175°，综上所述，旋转角α＝30°或65°或175°或210°．故答案为：α＝30°或65°或175°或210°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，周角的定义等，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．24．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠【分析】（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．【详解】（1）过点F 作//FN AB ，如图：∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒∴35AEF EHL ∠=∠=︒又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒∴90EHM x ∠=︒+︒∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒又∵125FGD ∠=︒∴125PGN y ∠=︒-︒∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠【点睛】本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．25．（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；（2）设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF ＝1.5x ，由角平分线的定义得出∠ABC ＝3x ，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x 的方程，求解即可；（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF ＝∠CBF ，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC 与∠FDC ，由平移的性质与平行公理的推论得出AD ∥PQ ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．【详解】解：（1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠EDF ＝∠DAB ，∵DF 平分∠EDC ，∴∠EDF ＝∠FDC ，∴∠FDC ＝∠DAB ，∵∠FDC +∠ABC ＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵32CFB DCF∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，∵CF∥AB，∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，∵AD∥BC，∴∠FDC+∠BCD＝180°，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠BCD＝∠ABC＝3x，∴∠BCF＝2x，∵CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠BCD＝3×36°＝108°；（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，∴BF∥CD，∴∠CDF +∠BFD＝180°，∵AD∥BC，∴∠CBF +∠BFD＝180°，∴∠CDF＝∠CBF，∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，∴BC∥PQ，∵AD∥BC，∴AD∥PQ，∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．26．（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝12∠BCD+12∠A，理由详见解析【分析】（1）由平移的性质可得出答案；（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA＝12∠ABC，∠PDC＝12∠ADC，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，∴D（k+2，2）；（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，∴1(12)(k4)2⨯+⨯+＝111(k2)22522⨯⨯++⨯⨯+，解得：k＝2．（3）∠BPD＝12∠BCD+12∠A；理由如下：过点P作PE∥AB，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝12∠ABC，∠PDC＝12∠ADC，∴∠BPD＝12∠ABC+12∠ADC＝12∠BCD+12∠A．【点睛】本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．。
七年级数学下新思维第一讲 相交线与平行线
精心整理七年级数学下新思维第一讲相交线与平行线一、多条直线相交的交点问题1、平面内直线的交点问题--------公式平面内n条直线相交最多交点公式：2)1(-nn个（1）平面内直线的位置出现什么情况，直线的交点个数会减少？平面内直线的位置出现时，直线的交点个数会减少。
（两直线平行或多条直线交于同一点）（2）减少直线交点个数的方法：✍平行消减法-------------------每两条直线平行会减少一个交点✍交点重合法-------------------每三条直线交于同一点会减少2个交点每四条直线交于同一点会减少5个交点【测试1】平面内6条直线恰好有11个不同的交点，请画出满足条件的图形解：最多15个交点，减少3个。
（1）6条直线分3组平行，共减少3个【测试2】直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠EOD：∠DOB=3：2，求∠COB的度数【测试3】如图，MO⊥NO,OG平分∠MOP,∠PON=3∠MOG,求∠GOP的度数四、根据角度关系判断直线平行-----判定直线平行的方法有哪些？1.判定定理2.平行公理的推论：【测试2】如图，已知CD‖EF,∠1+∠2=∠ABC，求证：AB‖GF五、平行性质的应用-------平行线有哪些性质？1、行路拐弯的平行问题-----规定正方向（正前方为起始边向左右拐），用箭头表示方向B【测试1】如图，一张条形纸片ABCD（AB∥CD）沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在D′、C′的位置上，若∠EF G=60°，则∠2=________（1）试证明∠B=∠ADG（2）求∠BCA的度数．3、如图，直线AB‖CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4、则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=______°．。
七年级下册数学平行线与相交线
第一讲 两条直线的位置关系知识点一 ：相交线、平行线的概念（1）相交线平行定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 （2）平行线定义:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（3）两套直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种 （4）两条直线是指不重合的两条直线注意：1、两条直线在同一平面内2、我们有时说两条射线或线段平行，实际上是指它们所在的直线平行 知识点二：关于对顶角的定义和性质定义 对顶角：像这样直线AB 与直线CD 相交于O ，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.注意：对顶角的判断条件：⎪⎩⎪⎨⎧无公共边有公共顶点两条直线相交另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个。
性质 同角或等角的对顶角相等。
一般题型 下列说法中，正确的是（ ）． A ．有公共顶点，并且相等的角是对顶角 B ．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角 C ．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D ．互补的两个角不可能是对顶角 练习 1、如图2-1，共有________对对顶角．图2-1知识点三： 互为余角、互为补角的概念及其性质定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角. 互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角 钝角没有余角注意： 互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关. 性质 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等一般例题 ⑴∵1∠和2∠互余，∴=∠+∠21_____(或2_____1∠-=∠) ⑵∵1∠和2∠互补，∴=∠+∠21_____(或2_____1∠-=∠)练习1、若∠α=50º，则它的余角是 ，它的补角是 。
若∠β=110º，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。
2若∠1与∠2互余，∠3和∠2互补，且∠3=120º，那么∠1= 。
人教版七年级数学下册第5章相交线与平行线(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示平行线的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行线的定义、性质和判定方法，以及它们在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
实践活动环节，分组的讨论和实验操作让同学们有了实际操作的机会，这有助于他们更好地消化吸收理论知识。但我观察到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要在今后的教学中加强对讨论主题的引导。
至于学生小组讨论，我认为这是一个很好的互动和学习的机会。学生们能够在这个过程中相互启发，共同解决问题。不过，我也注意到，一些学生在讨论中较为沉默，可能需要我在以后的教学中更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与。
-突破方法：通过动态几何软件或实物模型演示，让学生直观感受两条直线从不平行到平行的过程。
-判定方法的灵活运用：学生可能会在具体应用判定方法时感到困惑，尤其是在复杂的几何图形中。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
七下数学“相交线与平行线”的知识点
七下数学“相交线与平⾏线”的知识点开学已经有⼏天了，新的第⼀章知识掌握的怎么样了呢？这⼀单元主要是概念和性质定理⼀定要理解清楚，可以在这篇⽂章梳理⼀下，⼀定能帮到你！⼀、相交线1.邻补⾓与对顶⾓两直线相交所成的四个⾓中存在⼏种不同关系的⾓，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶⾓是成对出现的，对顶⾓是具有特殊位置关系的两个⾓；⑵如果∠α与∠β是对顶⾓，那么⼀定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不⼀定是对顶⾓⑶如果∠α与∠β互为邻补⾓，则⼀定有∠α∠β=180°；反之如果∠α∠β=180°，则∠α与∠β不⼀定是邻补⾓。
⑶两直线相交形成的四个⾓中，每⼀个⾓的邻补⾓有两个，⽽对顶⾓只有⼀个。
2.垂线⑴定义：当两条直线相交所成的四个⾓中，有⼀个⾓是直⾓时，就说这两条直线互相垂直，其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线，它们的交点叫做垂⾜。
符号语⾔记作：如图所⽰：AB⊥CD，垂⾜为 O⑵垂线性质 1：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直 (与平⾏公理相⽐较记)⑶垂线性质 2：连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3.垂线的画法：⑴过直线上⼀点画已知直线的垂线；⑵过直线外⼀点画已知直线的垂线。
注意：①画⼀条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过⼀点作线段的垂线，垂⾜可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：⑴⼀靠：⽤三⾓尺⼀条直⾓边靠在已知直线上，⑵⼆移：移动三⾓尺使⼀点落在它的另⼀边直⾓边上，⑶三画：沿着这条直⾓边画线，不要画成给⼈的印象是线段的线。
4.点到直线的距离直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
应该结合图形进⾏记忆。
如图，PO⊥AB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。
PO 是垂线段。
PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的⼀条。
现实⽣活中开沟引⽔，牵⽜喝⽔都是“垂线段最短”性质的应⽤。
5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近⽽⼜相异的概念。
初中数学专题讲义-相交线、平行线
初中数学专题讲义-相交线、平行线一、课标下复习指南1．直线、射线和线段(1)表示直线AB(BA)或直线l，如图9－1．图9－1射线OA或射线l，如图9－2．图9－2线段AB(BA)或线段a，如图9－3．图9－3(2)性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简称两点确定一条直线．在所有连接两个点的线中，线段最短，简称两点之间，线段最短．(3)线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点．2．角(1)角的概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．(2)角的度量以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．把周角分成360等份，每一份叫1°的角．1°＝60′，1′＝60″．1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°．(3)角的计算①度、分、秒的换算．②计算角度的和、差、积、商．(4)角的比较可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；也可以把它们叠合在一起比较大小．如图9－4(a)中∠AOB＜∠A′O′B′，图9－4(b)中∠AOB＝∠A′O′B′，图9－4(c)中，∠AOB＞∠A′O′B′．图9－4(a) 图9－4(b) 图9－4(c)(5)角的分类：锐角：大于0°而小于90°的角．直角：等于90°的角．钝角：大于90°而小于180°的角．(6)角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．(7)有关的角及其性质余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．邻补角：有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角．对顶角：若一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．对顶角相等．3．垂线(1)垂直的定义若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，则这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂直是相交的一种特殊情形．(2)垂线性质①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短．4．平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．(1)直线平行的条件如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．(2)平行线的性质两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．5．同一平面内两条直线的位置关系相交、平行．6．距离(1)两点的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．(2)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离．(3)两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．7．基本作图(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)按指令语言画角及角的和、差；(4)作已知角的平分线；(5)作线段的垂直平分线；(6)用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；(7)过直线外一点画这条直线的平行线．二、例题分析例1 解答下列问题：(1)过一个已知点可以画多少条直线?(2)同时过两个已知点可以画多少条直线?(3)过三个已知点可以画出直线吗?(4)经过平面上三点A，B，C中的每两个点可以画出多少条直线?(5)借鉴(4)的结论，猜想经过平面上四点A，B，C，D中的任意两点画直线会有什么样的结果?如果不能画，请简要说明理由；如果能画，画出图形．分析画图的依据是直线性质，(3)、(4)、(5)中没有明确平面上三点、四点是否在同一直线上，解答时要分各种可能情况解答，这种解答方法叫分类讨论．运用这种方法时，要考虑到可能出现的所有情形，不能丢掉一种．解(1)过一点可以画无数条直线．(2)过两点可以画唯一的一条直线．(3)过三个已知点不一定能画出直线，当三点不共线时，不能作出直线；当三点共线时，能画一条直线．(4)当A，B，C三点不共线时，过其中的每两个点可以画一条直线，所以共有3条直线；当A，B，C三点共线时，上面画的3条直线就重合了，因而只能画1条直线．即经过平面上三点A，B，C中的每两点可以画1条或3条直线．(5)经过平面内四个点中的任意两点画直线有三种情况：①当A，B，C，D四点在同一直线上时，只可以画出1条直线，如图9－5(a)所示．②当A、B、C、D四个点中有三个点在同一直线上时，可画出4条直线，如图9－5(b)所示．③当A，B，C，D四个点中任意三个点都不在同一直线上时，可画出6条直线，如图9－5(c)所示．图9－5说明这个例题用到分类思想，这种分类能力对于今后学习也是很有用的．分类要注意不重不漏．例2 把一段弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是( )．A．两点之间，线段最短B．两点确定一直线C．线段有两个端点D ．线段可以比较大小分析 此题是应用几何知识解释生活中现象的问题，由于这是两点之间距离的比较，符合“两点之间线段最短．”解 选A ．例3 如图9－6，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线．图9－6(1)如果∠AOB ＝130°，那么∠COE 是多少度?(2)若∠COE ＝65°，∠COD ＝20°，求∠BOE 的度数． 解 (1)∵OC 平分∠AOD ，OE 平分∠BOD ，,21AOD COD ∠=∠∴ .21BOD DOE ∠=∠ ∴∠COE ＝∠COD ＋DOE+∠=∠+∠=AOD BOD AOD (212121.21)AOB BOD ∠=∠∵∠AOB ＝130°，.6513021οο=⨯=∠∴COE(2)∵∠COE ＝65°，∠COD ＝20°，∴∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝65°－20°＝45°． ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE ＝∠DOE ． ∴∠BOE ＝45°．说明 角的平分线的性质是进行角度计算常用的重要依据，必须熟练掌握角平分线及其相关的各种几何表达式．例4 (1)已知：如图9－7(a)，点C 在线段AB 上，线段AC ＝6，BC ＝4，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；图9－7(a)(2)根据(1)的计算过程和结果，设AC ＋BC ＝a ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗?请用一句简洁的话表述你发现的规律．(3)当点C 在线段AB 的延长线上或点C 在线段AB 所在的直线外时，(2)中的结论是否仍然成立?画出图形并说明理由．解 (1)∵AC ＝6，BC ＝4， ∴AB ＝AC ＋BC ＝1 0．又∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，.21,21BC CN AC MC ==∴ BC AC CN MC MN 2121+=+=∴ .521)(21==+=AB BC AC (2)根据(1)中已知AB ＝10，求出MN ＝5．由(1)的推算过程可知，AB MN 21=，故当AB ＝a 时，a MN 21=，从而可得到：线段上任一点把线段分成的两部分中点间的距离等于原线段长度的一半．(3)答：(2)中的结论仍然成立． 理由如下：①当点C 在AB 的延长线上时，如图9－7(b)所示，图9－7(b)⋅==-=-=221)(21a AB BC AC CN CM MN ②当点C 在AB 所在的直线外时，如图9－7(c)所示，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，由三角形中位线定理可得.2121a AB MN ==图9－7(c)说明 本题向我们提示了从特殊事例中观察、猜测、发现一般规律的过程．总结出规律，以后遇到同类问题就容易解了．本题还启示我们，一般规律包含在特殊事例之中．这就要求同学们在解题时，不要停留在表面上，要运用运动变化的观点多思考，就会发现新问题，得到新收获．例5 填空：(1)已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，若∠1＝63°，则∠3＝______度；若∠1＝α，则∠3＝______度．(2)已知∠1与∠2互为余角，∠1的补角等于∠2的余角的2倍，则∠1＝______度，∠2＝______度．分析 (1)由∠1和∠2互余，∠1已知，可求出∠2的度数，再由∠2和∠3互补，即求出∠3的度数．解 (1)∵∠1和∠2互余，∠1＝63°， ∴∠2＝90°－∠1＝90°－63°＝27°． ∵∠2和∠3互补，∴∠3＝180°－∠2＝180°－27°＝153°．当∠1＝α时，∠3＝180°－∠2＝180°－(90°－∠1)＝90°＋α．说明 正确理解余角和补角的概念是本章的重点之一，也是一个重要的考点，它们与角的大小有关而与两角的位置无关．分析 (2)题目所给条件可以理解为关于∠1，∠2两个未知量的两个等量关系，列方程(组)是解决这类问题的有效办法．解 (2)设∠1的度数为x ，∠2的度数为y ，则⎩⎨⎧-=-=+).90(2180,90y x y x 解得⎩⎨⎧==.30,60y x答：∠1的度数为60，∠2的度数为30．说明 有关余角和补角数量关系的这类问题，通常考虑用列方程和方程组的方法来解决．例6 如图9－8，小华参加运动会的跳远比赛，他从地面的A 处起跳，落到沙坑点B 处，怎样测量他的跳远成绩?图9－8分析 这是点到直线的距离的实际应用．解 作BC ⊥l 于点C ，则线段BC 的长即为小华的跳远成绩．例7 如图9－9所示，已知∠1＝∠2，再添加什么条件可使AB ∥CD 成立?图9－9分析 解题前先回忆平行线的判定，再添条件时要用上原来题目已给条件，否则不合要求．解 可分别添加以下条件： (1)∠MBE ＝∠MDF ； (2)∠EBN ＝∠FDN ；(3)∠EBD ＋∠BDF ＝180°； (4)BE ∥DF ；(5)BE ⊥MN ，DF ⊥MN 等等． 三、课标下新题展示例8 (安徽)如图9－10，若直线l 1∥l 2，则∠α等于( )．图9－10A ．150°B ．140°C ．130°D ．120° 解 选D ．例9 (长春)如图9－11，l ∥m ，矩形AB －CD 的顶点B 在直线m 上，则α＝______°．图9－11解 25．四、课标考试达标题 (一)选择题1．如图9－12，O 是直线AB 上一点，OC ，OD ，OE 是3条射线，OC ⊥AB ，OD ⊥OE ，则图中互余的角有( )．图9－12A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 2．如图9－13所示，若OD 平分∠BOC ，则( )．图9－13A ．∠COD ＝∠AOB －∠BOC B ．)(21BOC AOB COD ∠-∠=∠ C ．AOB BOC AOD ∠-∠=∠21D ．)(21AOC AOB AOD ∠+∠=∠ 3．两条直线被第三条直线所截，下列条件中，不能判定这两条直线平行的是( )． A ．同位角相等 B ．内错角相等 C ．同旁内角互补 D ．同旁内角互余4．如图9－14，l 1∥l 2，若∠1＝105°，∠2＝140°，则∠α等于( )．图9－14A．55°B．60°C．65°D．70°(二)填空题5．用度、分、秒表示：56.625°＝______．6．已知∠α＝31°，若∠β的两边分别与∠α的两边平行，则∠β＝______；若∠γ的两边分别与∠α的两边垂直，则∠γ＝______．7．如图9－15，已知AB∥EF，BC⊥CD于C，若∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE ＝______．图9－15(三)解答题8．一个角的补角的一半比这个角的余角的二倍小3°，求这个角．9．求证：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．10．点C，D在直线AB上，线段AC，CB，AD，DB的长满足AC∶CB＝5∶4，AD∶DB＝2∶1，且CD＝2cm，求线段AB的长．参考答案相交线、平行线1．C ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．56°37′30″． 6．31°或149°，31°或149°． 7．105． 8．58°． 9．略．10．解：由AC ∶CB ＝5∶4，设AC ＝5k ，CB ＝4k ，可知点C 只能在线段AB 上或线段AB的延长线上．答图9－1(1)当点C 在线段AB 上时，D 点的位置只有两种可能性：①点D 1在线段AB 上，此时AD 1＝6k ，D 1B ＝3k ，CD 1＝k ＝2，则AB ＝9k ＝18； ②点D 2在线段AB 的延长线上，此时BD 2＝AB ＝9k ，CD 2＝13k ＝2，则132=k ，AB ＝9k 1318=； (2)当点C 在线段AB 的延长线上时，D 点的位置也只有两种可能性：答图9－2①点D 3在线段AB 上，此时33,32BD k AD =2313,33===k CD k ，则k AB k ==,136;136=②点D 4在线段AB 的延长线上，此时AD 4＝2k ，BD 4＝AB ＝k ，CD 4＝CB －BD 4＝3k ＝2，则⋅==32k AB。
第五章 相交线与平行线—— 命题、定理、证明
第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题 定理 证明
学习目标
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的 题设和结论；（重点） 2. 会判断真假命题，知道证明的意义及必要性， 了解反例的作用. （重点、难点）
观察与思考
导入新课
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
①过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直； ②垂线段最短.
五、证明的概念
讲授新课
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理 才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
典例精析
讲授新课
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
A
但它们不是对顶角.
O
）1 ）2
C
确定一个命题是假命题的方法：
B
只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，
但不满足结论即可.
1.下列语句中，不是命题的是( D ) A.两点之间线段最短 B.对顶角相等 C.不是对顶角不相等 D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
2.下列命题中，是真命题的是( D ) A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
bc 12
a
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 ∵ b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等） ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
六、举反例
讲授新课
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
《相交线与平行线》课件
本课程将介绍相交线和平行线的定义、性质以及实际应用。通过本课程的学 习，您将对这些几何概念有更深入的了解。
相交线的定义和性质
什么是相交线
相交线是在平面上有一个 公共点的两条线段。
相交线的性质
相交线的两条直线之间会 形成一对垂直的角。
如何判断两条线是否 相交
可以通过检查线段是否有 公共点、检查线段的斜率 是否相等或使用交叉乘积 判断线段关系。
总结和回顾
相交线和平 行线的定义 和性质
如何判断两 条线是否相 交
相交线和平 行线的实际 应用
重要概念
如果两条线段的斜率相 等，它们就可能相交。
3 使用交叉乘积
通过计算线段的交叉乘 积可以判断线段之间的 关系。
相交线和平行线的实际应用
1
几何构图中的应用
平行线和相交线在绘制和构图几何图形时起到重要作用。Βιβλιοθήκη 2建筑设计中的应用
平行线和相交线在建筑设计中用于布局、平面图和立面图。
3
数学问题中的应用
平行线和相交线在解决数学问题时提供了一些有用的工具和线索。
平行线的定义和性质
什么是平行线
两条直线在平面上没有任何公 共点的线段被称为平行线。
平行线的性质
平行线之间的直线拓展无限延 伸，永远不会相交。
平行线的实际应用
平行线在几何构图、建筑设计 和数学问题中都有重要应用。
如何判断两条线是否相交
1 检查线段的公共点 2 检查线段的斜率
如果两条线段有公共点， 它们就相交。
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最长。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角成正比，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2.负数：小于0的数。
3.0即不是正数也不是负数。
4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。
如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。
3.分数：正分数、负分数。
(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。
初中数学平行线与相交线的性质与关系
初中数学平行线与相交线的性质与关系数学中，平行线与相交线是一种重要的几何概念。
平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线；相交线则是指在同一个平面上，会相交成一点或线段的两条直线。
平行线与相交线的性质和关系可以帮助我们解决各种几何问题，包括证明几何定理和计算几何图形的面积等。
本文将从不同角度探讨平行线与相交线的性质与关系，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
一、平行线的性质1. 同一平面上只有一个与给定直线平行的直线。
对于给定的一条直线和一个平面，在该平面上只存在唯一一条与给定直线平行的直线。
这个性质被称为平行线的唯一性。
2. 平行线具有传递性。
如果直线A // 直线B，直线B // 直线C，那么可以得出直线A // 直线C。
这个性质被称为平行线的传递性。
3. 平行线的两个内角相等，两个外角相等。
当两条平行线被一条横切直线所截时，所得的内角和外角具有特殊的关系。
即内角对应的相等，外角对应的相等。
这个性质被称为内错外分性质。
二、相交线的性质1. 相交线的两个对应角相等。
当两条直线相交时，所得的两对对应角具有特殊的关系。
即对应角相等。
这个性质被称为同位角性质。
2. 相交线的同位角之和为180度。
当两条直线相交时，所得的同位角之和等于180度。
这个性质被称为同位角和为180度定理。
三、平行线与相交线的关系1. 同位角与内错外分性质的关系。
当两条平行线被一条横切直线所截时，同位角与内错外分性质存在一定的关系。
比如，如果两条平行线被横切直线所截，它们所得的内角和为180度，那么同位角必然相等。
利用这个关系，我们可以证明很多几何定理，如等腰三角形的性质、相似三角形的性质等。
2. 平行线与平行线的关系。
平行线之间的关系是平面几何中常见的问题。
当两条直线与一组平行线成交角相等时，可以推断出这两条直线也是平行的。
3. 相交线与平行线的关系。
当两条直线相交，并且一条直线与另一条直线所形成的对应角或同位角相等时，可以推断出这两条直线是平行的。
中考数学复习：相交线与平行线
中考数学复习：相交线与平行线中考数学温习：相交线与平行线一、知识框架二、知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边区分是另一个叫的两边的反向延伸线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相反位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题：判别一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后失掉的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后失掉的，这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
10垂线的性质：性质1：过一点有且只要一条直线与直线垂直。
性质2：衔接直线外一点与直线上各点的一切线段中，垂线段最短。
11.平行公理：经过直线外一点有且只要一条直线与直线平行。
平行公理的推论：假设两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
12.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
本章使先生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研讨了两条直线相交时的构成的角的特征,两条直线相互垂直所具有的特性,两条直线平行的临时共存条件和它一切的特征以及有关图形平移变换的性质,应用平移设计一些优美的图案.?重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.?难点:探求平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探求图形之间的平移关系,以及停止图案设计。
平行线和相交线的角度关系
平行线和相交线的角度关系平行线和相交线是初中数学中的基础知识点，它们之间的角度关系也是我们学习的重点之一。
在本篇文章中，我们将深入探讨平行线和相交线的角度关系，并从几何角度进行解释。
1. 定义和概念在开始详细解释平行线和相交线的角度关系之前，我们先来回顾一下它们的定义和概念。
1.1 平行线平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
形式化地说，如果两条直线上的任意一点与第三条直线所在的平面的交点数目都是相同的，则这两条直线是平行线。
1.2 相交线相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。
相交线上的两个点称为交点。
2. 平行线和相交线的角度关系平行线和相交线之间有多种不同的角度关系，我们依次进行介绍。
2.1 同位角同位角是指两条平行线被相交线所切割形成的对应角。
对于同位角，我们有以下性质：- 同位角互补，即它们的和为180度；- 同位角相等，如果一对同位角中的一个角是直角，则另一个角也是直角；- 同位角对应相等，如果两条平行线被一条横切线所切割，对应于相同交点的同位角相等。
2.2 内错角和外错角内错角和外错角是指两条平行线被一条横切线所切割形成的角。
内错角是两条平行线之间的两个相邻角，而外错角则是在两条平行线的同一侧的两个相邻角。
内错角和外错角有以下性质：- 内错角互补，即它们的和为180度；- 外错角互补，即它们的和为180度。
2.3 顶角和底角顶角和底角是指两条平行线被一条横切线所切割形成的角。
顶角是两条平行线之间的对应角，而底角则是两条平行线之间的非对应角。
顶角和底角有以下性质：- 顶角相等，如果两条平行线被一条横切线所切割，对应于相同交点的顶角相等；- 底角相等，如果两条平行线被一条横切线所切割，对应于相同交点的底角相等；- 顶角和底角互补，即它们的和为180度。
3. 实际应用平行线和相交线的角度关系不仅仅是抽象的几何概念，它们在现实生活中也有广泛的应用。
3.1 建筑设计在建筑设计中，平行线和相交线的角度关系常常用于设计平面图和立体结构。
中考数学中的平行线与相交线性质总结
中考数学中的平行线与相交线性质总结平行线与相交线是中考数学中的重要概念，它们之间存在一系列的性质和规律。
本文将对平行线与相交线的性质进行总结。
一、同位角性质在平行线与相交线形成的图形中，同位角有以下性质：1. 同位角互等性质：当两条平行线被一条相交线切割时，同位角相等。
2. 内错角互补性质：当两条平行线被一条相交线切割时，内错角互补，即它们的和为180度。
二、对顶角性质当两条平行线被一条相交线切割时，形成的对顶角具有以下性质：1. 对顶角互等性质：对顶角相等。
2. 对顶角补角性质：对顶角的补角也相等。
三、内错角性质当两条平行线被一条相交线切割时，内错角有以下性质：1. 内错角互补性质：内错角互补，即它们的和为180度。
2. 内错角对位性质：内错角的对位角也互补。
四、同旁内角和性质当两条平行线被一条相交线切割时，同旁内角和有以下性质：1. 同旁内角和等于180度：同旁内角和等于180度。
五、平行线与平行线的性质两条平行线之间的性质如下：1. 平行线具有传递性质：如果有两条平行线，其中一条与第三条线平行，则第一条线也与第三条线平行。
2. 平行线与自身平行：每一条线都与自身平行。
六、平行线与相交线的角性质1. 同位角相等性质：两条相交线与平行线所形成的同位角相等。
2. 内错角互补性质：两条相交线与平行线所形成的内错角互补。
3. 对位角相等性质：两条相交线与平行线所形成的对位角相等。
综上所述，平行线与相交线在中考数学中具有一系列的性质。
在解题过程中，我们可以利用这些性质进行推理和计算，从而快速解决问题。
熟练掌握平行线与相交线的性质，能够提高中考数学的应试能力。
因此，对这些性质进行总结和理解是非常重要的。
总之，平行线与相交线性质是中考数学中的重要内容，通过对其性质的总结，我们可以更好地应用它们解决各类问题。
在备考中考数学时，要牢记这些性质，并灵活运用于解题过程中。
只有充分理解和熟练掌握平行线与相交线的性质，才能在考试中取得好成绩。
人教版七年级数学下册《平行线的性质》相交线与平行线PPT优秀课件
感悟新知
特别警示 ●两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同
位角相等； ●格式书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆.
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例 1 如图5.3-2，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， 若∠ 1=30°，则∠ 2 的度数为( A ) A.60° B.50° C.40° D.30°
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1-1.[中考·柳州] 如图，直线a，b 被直线c 所截，若a ∥ b， ∠ 1=70 °，则∠ 2 的度数是( C ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 110°
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知识点 2 平行线的性质2
1. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
2. 表达方式：如图5.3-3，因为a ∥ b(已知)， 所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等).
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特别警示 并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平
行”的前提下，才有内错角相等.
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例2 如图5.3-4，AB ∥ CD，BE 平分∠ ABC，CF 平分 ∠ BCD，你能发现BE 和CF 有何特殊的位置关系吗？ 说说你的理由. 解题秘方：由两直线平行得到 内错角相等，再由内错角相等 得到两直线平行.
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解：BE∥CF.理由如下：∵ AB∥CD(已知)，
∴∠ ABC= ∠ BCD (两直线平行，内错角相等).
∵ BE 平分∠ ABC，CF 平分∠ BCD (已知)，
∴∠ 2=
1 2
∠ ABC，∠ 1=Fra bibliotek1 2
七年级数学下册-相交线与平行线
第2讲相交线与平行线知识导航1．三线八角．2．平行线与平行公理．3．平行线的判定．4．平行线的性质．5．平移．【板块一】平行线的判定◆题型一三线八角方法技巧1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．2．同位角形如字母“F"(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置)．3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．【例1】在∠1至∠8这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来．87654321◆题型二平行公理及其推论方法技巧(1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．(2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上．【例2】下列说法中正确的是(B)．A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．因为a∥b，c∥d，所以a∥dD．一条直线的平行线只有一条◆题型三平行线的判定——两步导角证平行方法技巧1.已知角相等导角证平行.2.通过角的数量关系证平行.3.通过同角(等角)的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行.【例3】如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2，试判断AC与DE的位置关系，并说明理由.E DC BA21◆题型四 平行线的判定方法＋平行公理推论证平行 【例4】如图，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFC ＝∠DCG ，试说明：AD ∥EF .GF ED CBA◆题型五 作辅助线证折线中的平行关系 方法技巧有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.【例5】如图，在长方形ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，AM 平分∠EAD ，CN 平分∠DCF .(1)直接写出图中∠ABC 的所有同位角；(2)求证：AM ∥CN .ABCDE FMN针对练习11.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向与角度可能是( ) A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°2.平面上有2018条直线，若a 1⊥a 2，a 2⊥a 3，a 3∥a 4，a 4∥a 5，a 5⊥a 6，a 6⊥a 7，…，那么a 1和a 2018的位置关系是_________.3.如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1＝∠2，∠CNF ＝∠BME ，那么AB ∥CD ，MP ∥NQ ，请说明理由.QP N MFEDCB A124.如图，直线EF 与直线AB ，CD 分别相交于点M ，N ，直线PT 经过点M ，∠MQN ＝∠BMQ ＋∠QND ，∠AMT ＝∠QN D. (1)求证：МР∥NQ ；(2)АВ∥СD.Q P N MT FEDCBA5.在长方形ABCD 中.(1)如图1，若CD ＝3，BD ＝5，BC ＝4，AE ⊥BD 于点E ，P 是BD 上一动点，连接CP ，当CP 为何值时，CP ∥AE ?说明理由； (2)如图2，若∠ADB ＝20°，P 为BC 上一动点，将三角形ABP 沿AP 翻折到三角形AEP 位置，当∠BAP 等于多少度时AE ∥BD ?说明理由.图1图2P EDCBAABCDEP【板块二】平行线的性质◆题型一 利用平行线性质导角 方法技巧1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.2.利用平行线的性质构建等角链.【例1】如图，AF ∥CD ，CB 平分∠ACD ，BD 平分∠EBF ，且BC ⊥BD ，下列结论：①BC 平分∠ABE ；②AC ∥BE ；③∠CBE ＋∠D ＝90°；④∠DEB ＝2∠ABC ，其中结论正确的个数有哪些?说明理由.F EDCB A◆题型二 利用角平分线的性质与判定进行计算与证明 方法技巧利用已知得可知，思考结论看需知.【例2】如图，DC ∥FP ，∠1＝∠2，∠FED ＝30°，∠AGF ＝80°，FH 平分∠EFG . (1)说明：DC ∥AB ；(2)求∠PFH 的度数.PH GFED C BA 312◆题型三 平行线间的距离 方法技巧1.平行线间的距离处处相等.2.夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线间的距离.3.夹在两平行线间的图形的等积变换.【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，连接AC ，BD 相交于点O . (1)图中有几对面积相等的三角形?(2)若AD 与BC 之间的距离为a ，AC ＝4，BD ＝5，求AD ＋BC 的最大值.(用a 表示)ODCB A◆题型四 命题 方法技巧(1)命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可.(2)命题的内容可以是几何的，也可以是代数的，还可以是生活中的事情，如“如果a ＝b ，那么a 2＝b 2”，“末位数字是0或5的数能被5整除”，“这支粉笔是红色的”等都是命题. (3)命题是判断句，而判断句可对可错，因而命题所描述的关系可真可假，如“相等的角都是对顶角”，这个判断虽是错的，但仍然是命题.(4)疑问句、具体操作都不是命题，如“今天是星期天吗?”就不是命题.【例4】判断下列语句是不是命题，如果是命题，写成“如果…，那么…”的形式，指出题设和结论，并指出是真命题还是假命题： (1)画直线AB ；(2)两直线相交，有几个交点? (3)等角的补角相等； (4)两点确定一条直线.针对练习21.如图，AD 与BC 交于点O ，点E 在AD 上，∠C ＝∠3，∠2＝80°，∠1＋∠3＝140°，∠A ＝∠D ，求∠B 的度数.OF E DC BA 3122.如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，EC 交AD 于点G ，BF 交AD 于点H ，已知∠A ＝∠AGE ，∠D ＝∠DG C. (1)试说明AB ∥CD ； (2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC ＝2∠B ＋60°，求∠C 的度数.HG F E DC A 123.如图，点F 在CA 的延长线上，点E 在CD 的延长线上，已知AB ∥CD ，∠C ＝35°，AB 是∠F AD 的平分线，∠ADB ＝110°，求∠BDE 的度数.AB CD EF4.直线a 上有一点A ，直线b 上有一点B ，且a ∥b .点P 在直线a ，b 之间，若P A ＝3，PB ＝4，则直线a ，b 之间的距离( )A.等于7B.小于7C.不小于7D.不大于75.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别为C ，D 两点，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB ；②∠A ＝∠3；③AC ∥DE ；④∠2与∠3互补；⑤∠1＝∠EDB ，其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个ED CBA 3126.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有3块面积分别是12，32，52的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是( ) A.108 B.96 C.84 D.727.如图1，将线段AB 平移至CD ，使点A 与点D 对应，点B 与点C 对应，连接AD ，B C. (1)填空：AB 与CD 的位置关系为_________，BC 与AD 的位置关系为___________； (2)点G ，E 都在直线DC 上，∠AGE ＝∠GAE ，AF 平分∠DAE 交直线CD 于点F . ①如图2，若G ，E 为射线DC 上的点，∠F AG ＝30°，求∠B 的度数；②如图3，若G ，E 为射线CD 上的点，∠F AG ＝α，求∠C 的度数(结果用含α的式子表示).DCBAG F E DCB图3图1图2ABC D EF G【板块三】阅读理解填空、解答题◆题型一 阅读理解填理由题 方法技巧看图，联系上下文，运用有关定理进行合理填空. 【例1】完成下列推理过程如图，M ，F 两点在直线CD 上，AB ∥CD ，CB ∥DE ，BM 、DN 分别是∠ABC 、∠EDF 的平分线，求证：BM ∥DN .NMFEDC BA312证明：∵BM 、DN 分别是∠ABC 、∠EDF 的平分线，∴∠1＝12∠ABC ，∠3＝__________(角平分线定义). ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠ABC ＝________（____________） ∵CB ∥DE ，∴∠BCD ＝________（____________）. ∴∠ABC ＝∠EDF ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝________（____________） ∴BM ∥DN （____________）◆题型二阅读理解和运用【例2】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：图2图1MFEDC BAM FE DCB A213312(1)如图1，如果AB ∥CD ，BE ∥DF ，那么∠1与∠2的关系是_________； 如图2，如果AB ∥CD ，BE ∥DF ，那么∠1与∠2的关系是_________；(2)根据(1)的探究过程，我们可得出结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________；(3)利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度?针对练习31.完成下面的证明：如图，点D 、E 、F 分别在线段AB 、BC 、AC 上，连接DE 、EF ，DM 平分∠ADE 交EF 于点M ，∠1＋∠2＝180°，求证：∠B ＝∠BE D.ME DCBA12证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)， 又∵∠1＋∠BEM ＝180°(平角定义)， ∴∠2＝∠BEM (___________)，∴DM ∥_________(_________________) ∴∠ADM ＝∠B (_________________) ∠MDE ＝∠BED (_________________) 又∵DM 平分∠ADE (已知)，∴∠ADM ＝∠MDE (角平分线定义)， ∴∠B ＝∠BED (_________________).2.探究：如图1，直线AB ，BC ，AC 两两相交，交点分别为点A ，B ，C ，点D 在线段AB 上，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F .若∠ABC ＝40°，求∠DEF 的度数.图1FE D CBA请将下面的解答过程补充完整.解：∵DE ∥BC (已知)，∴_________________(两直线平行，内错角相等) ∵EF ∥AB (已知)，∴∠ABC ＝∠EFC (_____________)， ∴∠DEF ＝∠ABC ＝40°(等量代换).应用：如图2，四边形BDEF 中，BF ∥DE ，DB ∥EF ，∠F ＝2∠D －50°，点C 在线段BF 上，若∠FCE ＝∠CEF ＋10°，求∠CEF 的度数.图2FEDCB【板块四】运用“中间等角”导角证两线平行◆题型一 利用同角或等角的余角(或补角)相等导角 方法技巧在已知条件为a ＋b ＝90°或a ＋b ＝180°的题目中，寻找第二对a ＋c ＝90°或a ＋c ＝180°，得出b ＝c .【例1】如图，已知直线AB ∥DF ，点G 在射线BC 上，射线DE 分别交AB 、AG 于点H 、M ，∠D ＋∠B ＝180°. (1)求证：DE ∥BC ； (2)如果∠AMD ＝80°，∠AHE ＝70°，∠EHB 与∠MGC 的平分线交于点P ，求∠HPG 的度数.ABCDEFGHMP◆题型二 运用等式的性质证角相等 方法技巧1.若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；2.若a ＝b ，则a ＋c ＝b ＋c .【例2】如图，点B 在AC 上，AB ∥EF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AF 与BE 平行吗?为什么?3412FEDCB A◆题型三 反复运用平行线的判定与性质导角【例3】如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，求证：AB ∥C D.3412ABC DE F◆题型四 作适当的辅助线构造中间等角 方法技巧有些题目给出的等角的位置不是三线八角中的基本角，这时作适当的辅助线(连线，延长线或作平行线)来转化角.【例4】如图是一个汉字“互”字，其中点M 在AB 上，点N 在CD 上，点G 在ME 上，点F 在NH 上，GH ∥EF ，∠1＝∠2，∠MEF ＝∠GHN . 求证：(1)∠MGH ＝∠GHN ；(2)AB ∥C D.12A B C DEFG H MN题型三设两个未知数，列关系式求解 方法技巧题目中有两个独立未知角，一个已知方程不能求出未知角时，需列两个方程求解． 【例3】如图1，在五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，∠A ＝∠C ． （1）猜想AB 与CD 之间的位置关系，并说明理由； （2）如图2，延长DE 至点F ，连接BE ，若∠1＝∠3，∠AEF ＝2∠2，∠AED ＝2∠C －140°，求∠C 的度数．图2图1ABCDE321FED BA题型四设两个未知数列一个方程巧解角的度数题目中有两个独立未知角，只有一个等戏，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角． 【例4】已知AB ∥CD ，M ，N 分别是直线AB ，CD 上两点，点G 在AB ，CD 之间，连接MG ，NG ，点E 是AB 上方一点，连接EM ，EN ，且GM 的延长线平分∠AME ，NE 平分∠CNG ，2∠MEN ＋∠MGN ＝105°，求∠AME 的度数．NMGF E DCB A针对练习71．如图，AB ∥CD ，点E 在直线AB 上，点N ，F 在直线CD 上，PE 平分∠AEN ，FH ∥EN ，延长PF 到点G ，FG 平分∠DFH ，若∠PFC ＝∠AEP ＋10°，求∠BEN 的度数．HNPFE DCBA2．如图1，AC 平分∠DAB ，∠1＝∠2．（1）试说明AB 与CD 的位置关系，并予以证明；（2）如图2，延长AD ，BC 交于点G ，过点D 作DH ∥BC 交AC 于点H ，若AC ⊥BC ，问当∠CDH 多少度时，∠GDC ＝∠ADH ?图2图12121H GBD ACDCBA3．如图，已知AB ∥CD ，∠EBF ＝2∠ABF ，CF 平分∠DCE ，若2∠F －∠E ＝10°，求∠ABE 的度数．KFEACBD【板块八】分类讨论思想求角题型一 按照点的不同位置关系分类讨论求角 方法技巧点在运动过程中，由于点在线上的不同位置，产生不同的图形，需分类讨论． 【例1】已知AB ∥CD ，∠BAD ＝50°，点P 在直线AD 上，E 为UD 上一点 （1）如图1，当点P 在线段AD 延长线上时，求证：∠PEC －∠APE ＝130°；图1PE DCBA（2）如图2，当点P 在直线AD 上运动时（不与点A ，D 重合），求∠APE 与∠PEC 之间 的数量关系．题型二 按照线的不同位置关系分类讨论求角 方法技巧按照动线的不同位置来分类讨论求角．【例2】一个角为60°，另一个角的两边分别与这个角的两边平行，则这个角的度数为 ．题型三分类讨论求角之间的关系 方法技巧点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系 【例3】如图，已知AB /CD 、BE 平分ABD ，DE 平分/BDC （1)求证：BE ⊥DE ;（2）H 是直线CD 上一动点（不与点D 重合），BI 平分∠HBD 交CD 于点I ，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI 与∠BHD 的数量关系，且说明理由．图3图2图1ABCD EABCDEE DCBA针对练习81．如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少80°，则这两个角的度数分别是 ．2．如图，AB ∥CD ，直线EF 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，∠BEF <150°，点P 为直线EF 左侧平面上一点，且∠BEP ＝150°，∠EPF ＝50°，则∠DFP 的度数是 ．FEDC BA3．(1)如图1，F 是OC 边上一点，求证：∠AFC ＝∠AOC ＋∠OAF ；（2）如图2，∠AOB ＝40°，OC 平分∠AOB ，点D ，E 在射线OA ，OC 上，点P 是射线OB 上的一个动点，连接DP 交射线OC 于点F ，设∠ODP ＝x °，若DE ⊥OA ，是否存在这样的x 的值，使得∠EFD ＝4∠EDF ?若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．备用图图2图1DBEC AAC EBDCF OA【板块九】平移题型一平移定义 方法技巧1．图形的平移必须具备两个要素：平移的方向与平移的距离．其中，平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向；平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离．2．平移只改变位置，形状与大小都不改变。
初中数学平行线与相交线
初中数学平行线与相交线平行线与相交线是初中数学中的重要概念，在几何学的学习中起着关键的作用。
本文将对平行线和相交线的定义、性质以及相关应用进行详细介绍。
一、平行线与相交线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
记作∥。
相交线是指在同一个平面上，有一个公共点的两条直线。
记作⊥。
二、平行线的性质1. 如果两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也平行。
2. 如果两条直线被一条平行于它们的直线所截断，则这两条直线的截断线段互相平行。
3. 平面上的两条平行线分别与一条直线相交，则所形成的内错角、内错角相等。
三、相交线的性质1. 在同一平面上，两条互相垂直的直线称为相交线。
2. 相交线的交点称为垂足。
3. 在一个三角形内，高交于底边上的一点，这条高与底边的垂线相等。
四、平行线与相交线的应用1. 平行线在建筑设计中的应用：建筑工程中常常使用平行线来保证建筑结构的牢固和稳定。
2. 相交线在交通规划中的应用：交叉路口中的线路交叉又称为相交线，交通规划中需要合理设计相交线的交叉方式，以确保交通的流畅和安全。
五、实例分析以一道典型的应用题为例，来展示平行线与相交线的解题思路。
题目：如图，已知AB∥CD，AE⊥CD，且AC=15cm，BD=12cm，DE=9cm，求BE的长度。
解析：根据已知条件，在平行线AB和CD之间可以得到∠ADE和∠DCE为直角，因此∠ADE≌∠DCE。
由于两直角三边全等，则∆ADE≌∆DCE。
根据全等定理可知，AE=CE，由此可得AC=AE+EC=2AE。
又已知AC=15cm，因此AE=15/2=7.5cm。
根据直角三角形的性质，可以得到BE=√(EC^2+AE^2)=√(15^2+7.5^2)=√(225+56.25)=√281.25≈16.77cm。
六、总结平行线与相交线是初中数学中的重要内容，通过对平行线和相交线的定义、性质以及应用的学习，可以帮助我们更好地理解几何学中的相关知识。
初中数学 什么是相交线和平行线的性质
初中数学什么是相交线和平行线的性质相交线和平行线是初中数学中关于直线的重要概念。
它们在几何学中有着广泛的应用，用于描述和分析直线的位置关系。
在本文中，我们将详细讨论相交线和平行线的概念、性质和应用。
一、相交线相交线是指两条直线在同一平面内相交的情况。
相交线具有以下几种情况：1. 相交于一点：当两条直线在同一平面内相交于一个点时，这两条直线称为相交于一点。
2. 不相交：当两条直线在同一平面内没有交点时，这两条直线称为不相交。
3. 相交于一条直线：当两条直线在同一平面内相交于一条直线时，这两条直线称为相交于一条直线。
相交线具有一些重要的性质。
首先，两条相交线之间有且仅有一个交点。
其次，相交线之间的交点是唯一的，不受其他直线的影响。
此外，两条相交线之间的交点将平面分成四个部分，这四个部分称为角。
二、平行线平行线是指在同一平面内没有交点的直线。
平行线具有以下几种情况：1. 平行：当两条直线在同一平面内没有交点且方向相同时，这两条直线称为平行。
2. 不平行：当两条直线在同一平面内有交点或方向不同时，这两条直线称为不平行。
平行线具有一些重要的性质。
首先，平行线之间的距离是恒定的，即平行线之间的任意两点之间的距离相等。
其次，平行线之间的任意一条线段与平行线之间的其他线段成比例。
此外，平行线之间的任意一条线段与平行线之间的其他线段的对应角是相等的。
三、性质相交线和平行线具有一些重要的性质。
下面我们将分别讨论相交线和平行线的性质。
1. 相交线的性质：a. 相交线之间的交点将平面分成四个部分，这四个部分称为角。
相邻的两个角称为邻角，互补的两个角称为补角，补角的和为180度。
b. 相交线上的对应角是相等的。
c. 相交线上的内错角互补，外错角互补。
d. 相交线上的同旁内角相等，同旁外角相等。
2. 平行线的性质：a. 平行线之间的距离是恒定的，即平行线之间的任意两点之间的距离相等。
b. 平行线之间的任意一条线段与平行线之间的其他线段成比例。
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F A D
O B E
练习3：下列命题是真命题的有( C, E, G ) A、相等的角是对顶角； B、不是对顶角的角不相等； C、对顶角必相等； D、有公共顶点的角是对顶角； E 、邻补角的和一定是180°； F、互补的两个角一定是邻补角； G、两条直线相交,只要其中一个角的大小确 定了,那么另外三个角的大小就确定了。
随堂 练习
3、垂直与垂线
（1）概念：两条直线相交形成一个直角时称两 条直线垂直，其中一条直线是另一条的垂线， 交点叫垂足。 （2）垂线的性质：在同一平面内，经过一点有 且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短。简称：垂线段最短。
直线外一点到此直线的垂线段的长度叫做点到 直线的距离。
例题3：如图，在宽18米、长32米的长方形草地ABCD的中 间有一条宽2米的曲折的小路，你能否算出草地的面积？
A D
解：小路边沿的两条曲线，因小 路宽度的一致，形状、长度是完 全一样的，故可以将其中的一条 经过平移与另一条重合。 利用平移，两条曲线重合，将 中间的小路“挤”没了！小路 两边的草地重新“拼接”成一 个新的长方形，此长方形只是 比原长方形一边短了2米。
3 4 O' O 1 2 A B
祝大家学习愉快！
A D F C
B E
∴ EF// BC。 (平行于同一条直线的两条直线互相平行)
例题2：如图，EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC， A 求证：∠AGD=∠ACB。
证明： ∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知） ∴ AD∥BC ∴ ∠EFB＝ ∠DCB （两直线平行，同位角相等） ∵ ∠EFB=∠GDC （已知） ∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换）
练习1： （1）直线AB、CD相交,图中有 几对对顶角？几对邻补角? （2）当一个角确定了,另外三 个角的大小确定了吗? 如∠1=40°，其它角呢？
A 2 1 3 C 4
随堂 练习
D
B
练习2：直线AB、CD、EF相交与 于O,图中有几对对顶角？ ６对 若n条直线相交于一个点，有多少 对对顶角？ n(n-1) C
初中数学
相交线与平行线
一、相交线
1、相交线：两条直线有一个公共点，则两 直线相交。公共点叫交点。 A 2、对顶角与邻补角：
如图：∠1与∠2是对顶角。 ∠AOD与∠BOC也是对顶角。
C 1 O 2 D
B
**对顶角性质：对顶角相等。
如图：∠1与∠AOD 、 ∠BOC 是邻补角， ∠2与∠AOD 、 ∠BOC是邻补角。
D A E 1 B 2
C
∠CAE
4、平行线的识别：
方法（1）：平行线的定义——同一平面内不相交。 方法（2）：平行公理——同平行于第三条直线。 方法（3）：同位角相等，两直线平行。 方法（4）：内错角相等，两直线平行。 方法（5）：同旁内角互补，两直线平行。 方法（6）：同一平面内，垂直于同一条直线的两 直线平行。
练习2： 当图中各角满足下列条件时,指出哪两条直线平行? (1)∠1 = ∠4; a∥b l a m (2) ∠2 = ∠4; 4 n b 2 l // m 1 (3) ∠1 + ∠3 = 180; 3 l // n
做一做
5、平行线的性质： （1）：两直线平行，同位角相等。 （2）：两直线平行，内错角相等。 （3）：两直线平行，同旁内角互补。
D E B F
G C
∴ DG∥BC （内错角相等,两直线平行） ∴ ∠AGD=∠ACB。（两直线平行，同位角相等）
三、平移
1、定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移 动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换, 简称平移。 2、平移特征:平移不改变物体的形状和大小； 平移只改变物体的位置。 3、平移前后：图形上对应点的连线平行且相等； 对应角相等；对应线段平行且相等。 4、平移前后：图形上每个点都向同一个方向移动 了相同的距离。
B C
2 S草地 18 ( 32 2) 540m
例题4：如图，两块平面镜α、β成夹角θ，入射 光线AO平行于β入射到α上，经过两次反射后的 反射光线O’B平行于α，求θ的度数。 解：由反射原理 ∠1=∠2，∠3=∠4 又∵AO∥β, BO′ ∥ α ∴∠1=∠θ, ∠ θ= ∠4 ∴∠θ=∠1=∠2=∠3= ∠ 4 又∵∠θ+∠2+∠3=180° ∴∠θ= 180°÷3=60 °.
二、平行
1、平行线：在同一平面内两条不相交的直线叫平行线。 注意：两条平行线必须在同一平面内。 2、平面内两条直线的位置关系： 有且只有两种：相交或平行。垂直只是相交的特例。 3、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
两直线都平行于第三直线,则此两条直线也相互平行.
随堂 练习 4、三线八角：同位角、内错角、同旁内角。 练习1：如图 ： （1）∠1与哪个角是内错角？ ∠DAB （2）∠1与哪个角是同旁内角？ ∠2、∠BAC、∠BAE （3）∠2与哪个角是内错角?
（4）会画垂线：压线→压点→画垂线
PABFra bibliotek注意：画垂直符号及答题描述。
练习：找出图中相等的角。
B A
1 2 3
C
1 2
随堂 练习
C
A
D
D
B
O
右图中： 左图中： ∠ADC=∠BDC=∠ACB=90° ∠AOC=∠BOD=90° ∠1=∠B， ∠2=∠A （同角的余角相等） ∠1=∠3（同角的余角相等）
6、平行线间的距离：
（1）夹在平行线间的垂线段处处相等； （2）夹在平行线间的垂线段的长度叫平行线间的 距离。
例题1：如图若∠DAC= ∠ACB， ∠D+∠DFE=180°, 求证:EF//BC。
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知) ∴ AD// BC (内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=180 °(已知) ∴ AD// EF (同旁内角互补,两直线平行)