必修4第二章平面向量复习课

的一组基底;
((32))基任方底一向不向）唯量分一解ar;都成e1可两, e以个2不沿向共两量线个（不1er共1, 线2er的2）方和向的（形er1式, er；2 的
(4)基底给定时,分解形式唯一.
例五.已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，
那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( C )
00
,1800
a
r bB
r
A
r Bb
a
O
A
B
r
b
O
r a
A
0
rr
180
rr
r r 90 r r
a 与b 同向
a 与 b 反向 a 与 b 垂直，记作 a b
三、向量的数量积
(四) 向量的数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义：
| a | | b | 5 5 25
r
r
7、已知向量 a (4,3),b (1, 2)
（１）求
ar与
r br
的夹角
r
的余弦值； rr
（２）若向量 a b 与 2a b 垂直，求 的
值.
rr
(2)a b (4 , 3 2)
rr 2a b (7,8)
rr
rr
Q (a b) (2a b)
r a
共线.
例三 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1
k=-λ k=-1 ∴k=-1
A B
P
C
证明：如题干图，因为向量 BC 与向量 BA 共线，根据向
即B（3，-1）.
[预习导引] 1．两向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当 a∥b 时，有 x1y2－x2y1＝0. (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时，有xx12＝yy12.即两向量的相应坐标成比例．
定理：若两个向量（于坐标轴不平行）平行，则他 们相应的坐标成比例。
所以
r a·
r b=|
|ar|
|cobr sθ=
×2×2 cos45°= 2.
思考2 什么是向量的射影？
uuur r OA a,
uuur OB
r b
，过点B
作BB1垂直于直线OA，垂足为
Br1，则
OB1
r b
cosr,
r
| b | cosθ叫作向量 b在 a 方向
上的射影(也叫投影)．
ur B
当θ为锐角时，
Aｎ A2
A3
A4 Aｎ+1
A1A2+A2A3+…+ AｎAｎ+1=__A_1_A_n_+1_
探究
若平面内有n个首尾相接的向量,构成 一个封闭图形,那么这n个向量的和是 多少呢?
Aｎ-１
A2
A3
A1
A4
Aｎ
A1A2+A2A3+…+ Aｎ-１Aｎ+AｎA１ +=___０____
巩固练习
1.向量
.
(AB MB) (BO BC) OM ___A__C____
求：| a b |;| 3a 4b | .
rr
解：| a b |
rr (a b)2
r2 r r r2 a 2a • b b
42 2 4 2 ( 1) 22
2
2 3.
rr
rr
r
rr r
| 3a 4b | (3a 4b)2 (3a)2 2(3a) • (4b) (4b)2
对于任意的向量 a ， b ，c ：
交换律：a b b a
结合律：(a b) c a (b c)
探究
A2 A1
A2
A1
A3 A1A2+A2A3=__A_1_A_3__
A3
A1A2+A2A3+A3A4=_A_1_A_4___
A4
探究
多 边 形 法则A1
若平面内有n个首尾相接的向量,构成 一个折线,那么这n个向量的和是多少 呢?
x
⑴式是向量 a 的坐标表示.
注意：每个向量都有唯一的坐标.
y
B1
B(x2,y2)
结论1: 一个向量的坐标等于其终 1
A(x1,y1) A1
点的相应坐标减去始点的
1
x
相应坐标。
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐 标的和与差.
结论3：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标.
| b | cos a b 4 |a|
四、向量垂直的判定
（1） a b a b 0
rr
r
r
（2） a b x1x2 y1 y2 0,其中a （x1，y1），b （x2，y2）.
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）a // b b a（a 0）
rr
r
r
（2）b // a x1y2 x2 y1 0，其中a （x1，y1），b （x2，y2）
首尾相连，由起点指向终点
向量的加法
例1.如图，已知向量a,b, 求作向量a+b.
b
平行四边形法则
a
作法:(1)在平面内任取一点A
B A
(2)作 AB a, AD b 共
(3)以AB,AD为邻边 作平行四边形ABCD
起
D
C 则 AC a b
点
作平移,共起点,四边形,对角线
探究
向量加法的运算律
表当示e成1,λ：e12=a,λ互相2=10垂e时1直，时ar，2 e0r称2. 为称向它量为的向正量交的分分解解．．
平面向量基本定理:
如果er1, er2 是同一平面r内的两个不共线向量,那么 对使这ar一平面1er1内的2任er2一向量a ,有且只有一对实数1, 2 ,
说明：
rr
(1)不共线的向量e1, e2 叫做这一平面内所有向量
定理：若两个向量相对应的坐标成比例，Fra Baidu bibliotek他们平 行。
解:依题意,得
六、向量的夹角
向量的夹角: r r uuur r
B
b
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
uuur r
OB b ,则rAOrB (0 180 )
O
a
A
叫做向量 a 和 b 的夹角．
注意: 两向量
必须共起点。
O
夹角的范围： r
2.在矩形ABCD中，AC 等于（ D ）
A. BC BA
B. AB DA
C. AD CD
D. AD DC
3.已则知a正 b方形cA的BC模D为的（边长C为）1，AB
a，BC
b ，AC
c，
A. 0
B. 3 C. 2 2 D. 2
三、向量的减法 r a
r b
r
Oa
r
b
rr
ab
B
指向被减向量
916 24 4 2 ( 1) 16 4 4 19. 2
A起 点 相 同
rr
uuur r
已知向量 a、b ,在平面内任取一点O，作OA = a ,
uuur OB
=
br ,则向量uBuAur叫做ar 与br的差，记作ar
-
r b,即
r r uuur uuur uuur
a - b = OA - OB = BA
这种求向量差的方法，叫做向量减法的三角形法则.
例2 已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=| a- b|,求|a- b|.
量共
五、向量的运算
（１）平面向量基本定理
如果 e1, e2, 是同一平面内两个不共线向量， 存 唯
那么对于这一平面的任意向量 a,
有且只存有在 一对实数，1, 2 ,
使 a 1e1 2 e2
在一 性性
（( 特32 别）)正思地基交考底：分：：解λλ所把上：11=有不≠述0一，向共表0，个λ量线达平2的λ的式≠面一向中20=时向组量的0时，量基ear1，用底,1ar,λ一．e22eu组2uλr2叫,1基areu是做与r1,底否ar这euu与r2唯一共eeur11一平线, 共？e面.2,线内.
b
|
ur
b
| cosθ__＞___0
O
r a
B1 A
已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向
上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的
数量。 解：因为 cos a b 4
|a||b| 5
所以a在b方向上的正射影的数量是
| a | cos a b 12 |b| 5
b在a方向上的正射影的数量是
×
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
×
（5）平行的向量，若起点不同，则终点一定不同 ×
（6）共线向量A一定在B同一直线上；
C×
二、向量的加法 例1.如图，已知向量a,b, 求作向量a+b.
b
三角形法则
a
作法:(1)在平面内任取一点A
A
B
(2)作 AB a, BC b
则 AC a b
C
必修4第二章 《平面向量》复习课
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
向量的运算
基本应用
向量的加法 平行与垂直的充要条件
向量的减法
求长度
相等向量
实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
要点复习
一、向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 （1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量： 长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量： 方向相同或相反的非零向量.也 叫共线向量 （4）相等向量： 长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
A.e1和e1+e2
B.e1-2e2和e2-2e1
C.e1-2e2和4e2-2e1
D.e1+e2和e1-e2
【解题探究】判断两个向量能否作为基底的条件是什么？
看这两个向量是否共线，若共线，则不能作为基底， 否则可以作为基底.
五、平面向量的坐标
探究二：平面向量的坐标 y
在直角坐标系内，我们分别
j
r
oi
|=3，|br
|=4，且
r a
与
r b
的夹角
θ=150°，求ar·br .
解：ar ·
r b
=|
r a
||
r b
|cosθ=3×4×cos150°
=3×4×（-
3 2
）=－6 3..
⑵ 求
ar已·知.br
ar=(1,1),
=br(2,0),
与 ar的夹br 角θ= 45°.
解： | a|r = , |2 |=2,brθ=45°,
cos ra br
| a || b |
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4.（2014·江西高考）已知单位向量
e1，e2的夹角为，且cos=
1 3
,
若向量
a 3e1 2e2,则 a = 3
rr
rr
5.已知a与b的夹角为120o，| a | 4,| b | 2,
rr r r
| a b || a b | 10
四、数乘向量
（三）数乘向量 λ a( R)
r
1、 a 的大小和方向： r
（1）长度： a a
rr
（2）方向： 当 0时，a 与a 同向
当
0时，
rr
ar与ar
异向
当 0时， a 0
r
2、数乘向量的坐标运算：a （x，y）（ x， y）
3、数乘向量的运算律：
r
r
7、已知向量 a (4,3),b (1, 2)
（１）求
ar 与
r br
的夹角
r
（２）若向量 a b 与
的余弦值；
rr 2a b
垂直，求
的
值.
rr 解：（1）因为a b 4 (1) 3 2 2,
r 又| a | 42 32 5,
r | b | (1)2 22 5,
rr
所以cos ra br 2 = 2 5 .
解 设AB a,作AD b,以AB和AD为邻边作ABCD， 则
则AC a b, DB a b
| a b || a b |
| AC || DB |
B
又因为四边形 ABCD为平行四边形 ， a
所以四边形 ABCD为矩形，AD AB
A
C
b
D
| DB | | DB |2 | DB |2 62 82 10
概念辨析
例1、判断
温馨提示： 1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别
uur uur 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定 （1）若AB / /CD，则AB / /CD；
√
uuur
（2）若AB
/
/uCuDr，则AB
/
/CD；
×
rr r r
rr
（ 3 ） a与 b共线，b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
7 (4 ) 8 (3 2) 0
52
9
六、向量的长度
rr r
r
（1） a a | a |2 ， | a |
r2 a
r
r
（2）设 a （x，y），则 | a | x2 y2
（3）若A（x1，y1）, B（x2，y2）,则
AB （x1 x2）2 （y1 y2）2
七、向量的夹角
rr
r
r rr
r
等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
B
a b x1x2 y1 y2
θ
O
4、运算律: （1） ab ba
B1
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）
（3）（a b）c ac b c
例1
⑴
已知|ar
r
r
a a
rrr
（ ）a a a
rr r r
（a b） a b
探究点3 共线向量判定定理和性质定理
思考1:如果
rr b λa,
那么向量
r a
与
r b
是否共线？
rr (a 0)
向量共线的判定定理
r
rr
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b λa.
则向量
r b
与非零向量