数学活动 折纸与证明
第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角
第十八章数学活动:折纸做60°,30°,15°的角教材分析:本课之前，学生已通过折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称等活动获得了较为丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础。
本节课是在此基础上折出特殊度数的角。
折纸不仅是培养学生动手能力的一种游戏，折纸中还蕴含着许多数学知识，它还是开发学生智力的一种有效手段。
本节活动课的目的是让学生在动手操作中学会运用数学知识，发展学生的想象力、创造力。
学情分析:学生已学习了平移、旋转、轴对称等基本图形变换，角平分线、平行与垂直、三角形的全等、四边形等知识，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣。
教学目标:知识与技能：通过折叠，加深对轴对称、全等图形性质的认识；探索并能折出60°,30°,15°的角；初步体会研究几何问题的方法.过程与方法：学生经历折出60°，30°，15°角的折纸过程，培养学生观察、思考、抽象、动手的能力，领悟数学活动是个充满着探索与创造的过程.情感态度与价值观：通过折纸活动，让学生体会生活与数学是紧密联系的，感受数学中的美；在探索过程中养成学生与他人合作交流的习惯，获得成功的体验，提高克服困难的勇气和信心.教学重点:通过探究折60°,30°,15°的角，培养学生的动手能力和推理能力.教学难点:折出60°,30°,15°角的方法的探究和证明.教学准备:教师：课件；矩形纸片学生：矩形纸片；折纸教学方法:合作探究教学过程:1.创设情境，引入新课:导语:同学们，你们玩过折纸吗？都会折什么？在折纸的过程中，蕴含着许多数学知识，例如图形的全等、轴对称。
这节课，我们一起折60°,30°,15°的角.师生活动：学生欣赏折纸，教师引导.折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程中要用到很多的数学知识，比如：轴对称、全等、特殊的角度等等，这就需要我们通过数学知识来解决这些问题，今天我们就一起学习如何通过折纸，折出特殊的角度.设计意图：通过观察生活中的实例,点出课题，激起学生的学习兴趣.2.提出问题，深度思考:问题1：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个正方形？师生活动：学生在小组内动手折，教师指导，及时调整.追问：正方形的对角线与每一边的夹角是多少度?师生活动：学生观察所折图形，思考教师提出的问题，口述理论依据.设计意图：从学生最熟悉的正方形为知识生长点，折出本节课第一个特殊角.问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？师生活动：通过折叠，师生共同归纳对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n份，还可以利用角的和差得出相关度数的角.设计意图：从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出22.5°,67.5°,112.5°等度数的角，由此引导学生发现上面的结论.此过程也让学生感受折纸可以得到角的和差倍分关系.问题3：动手试试，你能否折出30°的角呢？怎样折？师生活动：学生动手尝试，最终会把矩形纸片的90°角折叠的接近三等分.设计意图：这个问题的提出是为了增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、联系性，是螺旋上升的关系.3.动手操作，实验探究:追问：你能精确的折出30°的角吗？师生活动：学生动手尝试.设计意图：问题层层深入，学生在折叠过程中出现困难，为以下问题做铺垫.问题4：我们学过哪些和30°角有关的知识？师生活动：教师引导学生思考：如果折一个直角三角形，使斜边是直角边的2倍，问题就可以解决，怎样得到满足条件的三角形呢？为突破重难点，教师做以下铺垫：（1）矩形对折，寻找边长的二倍关系（2）FAB FEM NQ PBE=2ME学生探究如何折出满足条件的线段.（小组交流，展示图片）设计意图：让学生体会轴对称变换的性质，为学生更加容易的去构造存在30°角的直角三角形打基础，分散难点.视学生情况，第二种折法也可由教师折叠后与学生分享。
折纸与数学简介
折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
数学活动折纸与证明-苏科版八年级数学上册教案
数学活动折纸与证明-苏科版八年级数学上册教案一、活动简介折纸是一种常见的美术活动，但它也可以用来帮助学生学习数学。
在这个活动中，学生将学习如何通过折叠纸张来证明一个数学问题。
这个活动的主要目的是帮助学生更好地理解数学公式，并帮助他们练习语言表述、证明和思考技巧。
二、活动目标•培养学生证明数学问题的能力•帮助学生更好地理解数学公式•练习学生语言表述、证明和思考技巧三、准备材料•方格纸若干•铅笔、直尺、三角板四、活动步骤第一步：教师讲解首先，教师将示范如何用一张方格纸证明一个简单的数学问题。
例如，证明等腰三角形底角相等。
教师将给出一张模板，让学生在上面观察和模仿。
然后，教师将让学生用自己的语言解释这个问题，说明如何用折纸来证明这个问题。
第二步：学生实践接下来，学生将在教师的指导下，使用方格纸来证明一些不同的数学问题。
例如，证明正方形对角线相等、证明等腰直角三角形斜边长。
在学生完成这些任务后，教师将为他们提供更复杂的问题，以帮助他们进一步巩固和应用所学知识。
第三步：学生展示一旦学生完成了证明过程，教师将邀请他们向其他同学演示他们的解法。
这将帮助学生发展他们的表达能力、思考能力和解决问题的能力，同时也能让他们学习如何从他人的工作中获得启示和想法。
第四步：总结反思最后，教师将与学生一起总结本次活动所学的东西，回顾他们的成果，强调一些关键的概念和技能，并给学生一个机会提出关于这个活动的问题和建议。
五、注意事项•活动开始前，教师要准备模板，方便学生使用。
•活动过程中，教师要密切关注学生的学习进度，及时发现和纠正学生的错误。
•活动结束后，应及时与学生进行反馈和总结，鼓励他们做得好，同时指出他们需要改进的地方。
六、知识扩展活动中用到的证明方法，是数学的一种常用方法——演绎法。
演绎法又分为直接法、间接法和归纳法，活动中的证明使用的是直接法。
学生在认真理解活动中的证明方法后，可以尝试使用不同的证明方法解决其他数学问题。
初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思
《 全 日制 义 务 教育 数 学 课 程 标 准 （ 修订稿） 》 明 确 提 出： “ 数学 教学 是数 学活 动 的教 学 。” “ 数 学 活动 是学 生
杂 ，说 理要 求循 序渐 进 ，并在 活动 中激 发学 生认 真 思考 、 经历 数 学化 过程 的活 动 。 ”相 应地 ， “ 数 学活动 ”也走进 积极 探 索 、主动 发现 问题 ，并从 问题 中归纳 出折纸 问题 中 了各 种版 本 的实验 教材 。以苏科 版义 务 教育 课程 标准 实验 教科 书为 例 ，各章 结束 时都 安排 “ 数 学 活动 ”这 一教 学 内 蕴含 的数学 知识和 解 决折纸 问题 的 一般 方法 ，从而 促进 学 容 ，设置 的 目的在 于培 养学 生综 合运 用章 节 知识及 方 法解 生研 究性 学 习方式 的形 成 ， 同时通过 小组 内学 生相 互协 作 决 实 际 问题 ，培 养 学 生 的 问题 意 识 、应 用 意 识和 创新 意 研究 ，培 养学 生合 作性 学 习精神 。 三 、案例细节分析 识 ，积 累 学 生 的活 动经 验 ，提 高 学 生 解 决 现 实 问题 的 能 １ ． 目标定 位 。（ １ ） 从 教材 的角度 。本节 内容 在教 材 中安 力 。但 鉴 于 “ 数学 活动 ” 内容设 置较 少 、较 开放 ，对教 师 图 形 与证 明（ 一） 、（ 二） ”学完 后 ， 意在 突 出从 数 学 的课堂 设计 及 组织 能力 都提 出 了挑战 ，现 实状 况是 很 多学 排在 “ 理论 的角 度 ，即用 证 明的方 法来 说 明折 纸活 动 的合 理性 ， 校 都跳 过 “ 数 学活 动 ”教学 。 同时 体现 了本 章在 认知 过程 中想 要突 显 的两种 认知 方法 间 笔 者 结合 自己开设 的一 节市 级公 开课— — 苏科 版九 年 级 上第 一章 数学 活动 课 《 折纸 与证 明》 ，谈谈 自己对数 学 重要 的辩证 关 系 ：观察 操作 丰富 了我们 对 图形 的认 识和 感
数学活动 折纸与证明
数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明【学习重、难点】重点：经历操作方式、证明的过程，探究化解折纸问题的方法并可以化解折纸问题难点：探究化解折纸问题的思路学习过程：活动一：(1)用一张长方形纸片八折正方形，并探究操作方式的合理性。
(2)用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
活动二：（1）用一张正方形纸片八折矩形。
（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。
(1)用一张等边三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。
(2)用一张等腰三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。
)观察与发现：小明将三角形纸片abc(ab>ac)沿过点a的直线折叠，使得ac落在ab 边上，折痕为ad，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点a和点d重合，折痕为ef，展平纸片后得到△aef（如图②）．再分别沿de、df折叠展平纸片后得四边形aedf（如图③）。
试判断四边形aedf是什么四边形？，并证明你的结论。
用两张长方形纸条纸片比拼菱形，并探究操作方式的合理性。
活动四：用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。
卷曲问题方法概括：1、如图，将△abc中，ab＞ac，d、e分别是ab、ac上的点，△ade沿线段de翻折，使点a落在边上，记作a′.则下列说法正确的是()(a)de垂直平分线段aa′(b)ad=ae(c)aa′垂直平分线段de(d)aa′平分∠bac2、将一矩形纸片按如图方式折叠，bc、bd为折痕，折叠后a'b与e'b与在同一条直线上，则∠cbd的度数（）a.大于90°b.等于90°c.小于90°d.不能确定5、例如图，将△abc沿de卷曲，使点a与bc边的中点f重合，以下结论中：①ef∥ab且ef=1ab；②∠baf=∠caf；四边形adfe=2afde；④∠bdf+∠fec=2∠bac，恰当的个数就是（）（a）春蕾杯教学反思———5.4折纸与证明今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。
30度60度折纸以及黄金矩形
CD 5 1 . ∴ BC 2 5 1 . 即矩形BCDE的宽与长的比为 2
课堂小结
1.通过本节课的学习，你利用折纸可以做什么？ 2.在推理论证的过程中,我们用到了哪些以前学过的知识？ 3.在本节课的学习中,你体会到了哪些数学思想方法？
折纸
折60°、30°、15°的角 折黄金矩形
轴对称 全等三角形 矩形 直角三角形
468
289
上海东方明珠电视塔 高468m,上球体到塔 底部的距离大约是 289m.两者之比约为 0.618.
文明古国埃及 的金字塔，形 似方锥，大小 各异.但这些 金字塔底面的 边长与高这比 都接近于 0.618.
D
宽与长的比是
5 1 2
约为0.618的矩形叫做 黄金矩形.
B A C BC AB 点B把线段AC分成两部分,如果 ,
利用折纸得到60°、30°、15°的角
在图中，你能找出所有30°的角吗？ 60°的角呢？ 还有其他度数的角吗？
Z```x``xk
A
M
D
E
G
N
F
B
C
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
问题4： 怎样折出15°的角呢？
利用折纸得到黄金矩形 问题5： 下列矩形中,哪些比较匀称?
作业布置
1.如何利用折纸折出75°的角？ 2.问题7中的矩形MNDE是黄金矩形吗？你能说明吗？
AB AC
那么称线段AC被点B黄金分割, 点B为线段AC的黄金分割点, BC与AB的比叫做黄金比 (约为0.618 ).
黄金矩形的美感
• 黄金矩形给我们以协调、均匀的美感.世界
各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
3.提问：折纸过程中，我们是如何将一个平面图形变换成另一个平面图形的？这中间涉及到了哪些几何知识？
4.引导学生回顾已学的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍折纸与几何图形的关系，引导学生了解如何通过折纸来探究几何性质。
（3）发展性评价：关注学生的个性差异，鼓励学生在原有基础上不断进步，激发学生的学习潜能。
4.教学资源：
（1）利用多媒体教学设备，展示折纸过程和几何证明动画，提高学生的直观认识。
（2）提供丰富的折纸材料，让学生在动手操作中感受数学的乐趣。
（3）借助网络资源，拓展学生的学习视野，引导学生了解折纸在现实生活中的应用。
（3）注重培养学生的创新思维，鼓励学生在折纸与证明的基础上，进行拓展性思考，提出新的问题并尝试解决。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、动手操作能力、团队合作意识等方面，全面评价学生的学习过程。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，检验学生对折纸与证明知识的掌握程度。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解折纸的基本概念，理解折纸与几何图形之间的关系，能够运用折纸技巧绘制常见的几何图形。
2.学会使用折纸证明几何定理，如等腰三角形的性质、勾股定理等，提高学生的几何推理能力。
3.能够运用折纸方法解决实际问题，如计算图形的面积、周长等，增强学生的实践操作能力。
4.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使学生形成积极向上的学习态度。
二、学情分析
八年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何图形知识，具备了一定的空间想象力和逻辑思维能力。在此基础上，学生对折纸与证明的学习将更加深入地理解几何图形的性质和关系。然而，由于学生的个体差异，部分学生对几何证明的掌握程度可能不够扎实，需要教师在教学过程中给予关注和指导。
折纸与证明教学教案
折纸与证明教学教案
折纸与证明教学教案
第一数学活动：折纸与证明
一、学习目标：
1．充分给学生思考、探索折叠等边三角形、特殊四边形等的方法，并在折叠的基础上证明所折叠的图形满足条．
2．培养学生动脑思考、动手操作及合作探究的能力．
二、学习重点与难点
重点：探索折叠等边三角形、特殊四边形等的方法．
难点：证明所折叠的图形是要求的等边三角形、特殊四边形等。
三、操作与思考：
活动一：请参阅本34~35活动1、2：
应让学生充分活动，可让学生参照本35页提供了的做法，也可让学生找出尽可能多的其它方法，重点在说明所折叠的.图形符合要求活动二：请参阅《数学综合与实践活动》P2活动2：
（1）让学生了解折出三角形高线的方法；
（2）进一步让学生了解折叠中位线的方法；
（3）可利用上面的方法证明三角形的中位线定理以及直角三角形的一些性质。
活动三：请参阅《数学综合与实践活动》P3活动3：
（1）点O是矩形的对称中心，两个图形全等，面积也相等。
（2）方法一：可以把余下的图形看成两个矩形拼成的，只要分别找出这两个矩形的中心相连即可；
方法二：可将剪掉的矩形补回，分别找出原矩形和剪掉的矩形的中心相连即可。
四、巩固反馈
本35页数学活动3，证明较复杂，可灵活选用，让有兴趣的同学后探索。
折叠(翻折)在证明(解题)中的应用
第一讲；折叠（翻折）在证明（解题）中的应用一，知识点回顾；折叠具有什么样的性质？二，例题讲解；将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。
（1）求证：△ABE≌△A F。
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
证明：（1）由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD∴∠B＝∠D′，AB＝AD′∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3∴∠1＝∠3∴△ABE≌△A D′F．（2）四边形AECF是菱形由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE∵AE＝EC，∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形∵AF＝AE∴四边形AECF是菱形．三．巩固练习；1，如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）找出图中的全等三角形．（2）△DEF是什么三角形，并证明．（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明．2，如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，（1）求证：AE=AF；（2）求证：△ABE≌△AGF．3，已知，一张矩形纸片ABCD，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．（1）猜猜四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；（2）若AB=9cm，BC=3cm，求折痕EF的长．4．将矩形纸片ABCD按如图所示折叠，EF为折痕，点B与点P（点P在DC边上）重合．（1）当BC与CP重合（如图甲）时，四边形BFPE是形；（2）当BC与CP不重合时，分别指出图乙、丙中的四边形BFPE是什么特殊四边形，并选择两图之一给出证明．5，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．（1）求证：△ABE≌△AGF；（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，23ECBC，求AC•EF的值．7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．四，中考链接；8，（2014•临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．9，（2010•荆门）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．10，（2012•深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式11，（2014•鼓楼区一模）将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE．根据上述过程，求长方形纸片的长宽之比AB BC？12，（2014•山西）课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．13，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第16题）即（2013•绍兴数学中考试题）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为14，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第24题）即（2014•南通通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．。
初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思论文
初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思【摘要】笔者结合自己开设的一节市级公开课《折纸与证明》数学活动课设计过程，重点从目标制定和活动设计两个方面结合教材、学情进行重点分析，努力对“如何开展数学活动的有效设计？”展开深入思考，意在引发大家重视“数学活动”，增强对“数学活动课有效性及策略”的研究。
笔者结合自己开课的效果，在优化目标、优化活动设计、优化互动生成、多媒体合理使用等方面进行了反思，希望对数学活动的设计提供借鉴。
【关键词】数学活动课教学设计反思《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》明确提出：“数学教学是数学活动的教学。
”“数学活动是学生经历数学化过程的活动。
”相应地，“数学活动”也走进了各种版本的实验教材。
以苏科版义务教育课程标准实验教科书为例，各章结束时都安排“数学活动”这一教学内容，设置的目的在于培养学生综合运用章节知识及方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
但鉴于“数学活动”内容设置较少、较开放，对教师的课堂设计及组织能力都提出了挑战，现实状况是很多学校都跳过“数学活动”教学。
笔者结合自己开设的一节市级公开课——苏科版九年级上第一章数学活动课《折纸与证明》，谈谈自己对数学活动课的设计和反思。
一、案例实施背景2009—2010学年度第一学期第五周，南京市初三数学中心组研讨活动在第十三中学红山校区开展，笔者选择苏科版九年级（上）第一章数学活动《折纸与证明》开设公开课，通过对本节开放型课型的活动展示，笔者希望抛砖引玉，激发大家更深层次思考。
开课班级是笔者所教的班级，班级中数学优秀生、中等生居多，后进生较少。
二、案例主题分析与设计本节课是苏科版义务教育课程标准实验教科书九年级数学（上册）第一章图形与证明（二）的最后一课，教材将本节课的内容安排在图形与证明（一）、（二）学完后，既说明本节课的折纸活动是前两章知识的综合应用，又说明证明的过程是操作活动的理论依据，从而进一步让学生认识到证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。
2023版山西数学中考总复习第六章图形的变化提分小专题十二-图形折叠的计算与证明
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4.（2022河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，AC = 8，点
E是边AB的中点，点P为边AC上的一动点，连接EP，将△AEP沿EP折叠得
5 到△A'EP.当A'E与△ABC的一条直角边垂直时，则线段AP的长为 2 或 5 ．
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点拨：由勾股定理易得 AB = 10.由题意知 E 为 AB 的中点，则 AE = 5.分如下两种情
应点为D'，AD'的延长线交BC于点E，则BE的长为 10 .
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点拨：（1）如图析 1，连接 FE ，易证 Rt△FD'E ≌ Rt △FCE ，
得 D'E = CE ， 设 D'E = CE = x， 则 BE = 10 - x，AE = 10 + x， 根据勾股定理列方程可求出 CE = 9 ，
49 若AE = 5，则GE的长为 13 ．
点拨：易证△DFC ≌ △AED，得到 CF = DE，
DF = AE = 5，根据勾股定理得 DE = 13，
可证△FCD ∽ △FDO，求出 DO = 60 ， 13
GE = DE - 2DO = 49 . 13
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3.（2022黄岩区模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A = 45°，点E是边
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典例精讲 掌握通性通法
（一）三角形中的折叠 1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，∠B = 35°，AD是斜边 BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB 相交于点E，则∠FAE等于 20° ．
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2. 如图，直角三角形纸片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为6，8，现 7
九年级数学上册《有关正多边形的折纸》教案、教学设计
2.学生在尺规作图和折叠技巧上存在能力差异，有的学生可能动手操作能力较强，而有的学生则需要更多实践机会来提高。
3.学生在解决问题时，可能缺乏独立思考和合作交流的经验，需要教师在教学过程中给予适当的引导和鼓励。
-从生活中寻找一个正多边形的实例，如建筑图案、艺术作品等，并描述其特点，测量相关数据，计算其面积和周长。
-总结正多边形内角和、外角和的规律，并用自己的语言解释这些规律的原因。
2.选做作业：
-设计一个以正多边形为主题的折纸作品，可以是平面图案也可以是立体结构，要求至少包含三种不同的正多边形。
-探索正多边形与平面几何的其他知识点的联系，例如正多边形与圆的关系、正多边形在三角形或四边形中的镶嵌问题等，并撰写一篇小报告。
2.计算给定正多边形的面积和周长。
3.解决实际问题，如计算正多边形地板的总面积。
学生独立完成练习题，我巡回辅导，及时解答学生的疑问。对于典型错误，我在课堂上进行讲解和纠正。
（五）总结归纳
在本节课的尾声，我结归纳：
1.正多边形的定义和性质：学生应掌握正多边形各边相等、各角相等的特点，以及内角和、外角和等性质。
2.学会使用尺规作图折叠正多边形，并能够运用数学语言和符号进行表达。
-通过实际操作，让学生掌握将正多边形从平面纸张折叠成立体图形的技巧，培养空间想象能力。
-引导学生运用数学证明的思路，用尺规作图验证正多边形的性质，如等边等角。
3.掌握正多边形面积和周长的计算方法，能够解决实际问题。
-通过例题和练习，让学生掌握正多边形面积和周长的公式推导和应用。
2.增强学生的合作意识和解决问题的能力，通过小组合作学习，共同探讨正多边形的折叠技巧和数学性质。
初中数学苏科版八年级上册数学活动 折纸与证明 课件PPT
以A4纸的短边为边长，划出一个正方形并裁 掉，剩下长方形的长宽比即是白银比例。我们可 以验证一下，A4纸的长宽比是 2：1，用短边划 出正方形并裁掉后，剩下长方形的长宽比将会是 （ 1 2 ）：1= 2.414:1。
四、课后思考
A4纸为什么不设计成黄金矩形？
谈谈你的收获
B
C
图1
A
D
（2）结合图1，找出图形相等的线段。
E
F
（3）图1中除了相等的线段，还存在特殊 倍数关系的线段吗？请找出来。
B
C
图1
A
2、将刚才折叠后得到的纸张继续折叠，
尝试操作：CE所在的直线与CD所在的 E
直线能重合吗？
A
D
此时，你又有何重大发现？
E
F
B
C
图1
A'
N
D（E'）
M
F
图2
C
3、将A4纸按图3的方式对折，取其一 半（我们称之为A5纸），请探究A5纸 的长与宽的比。
4、将操作3中剩余的小长方 形再次按图3的方式对折，取 其一半（我们称之为A6纸）， 你能猜想它的长宽比是多少吗？
5、通过刚才一系列的折纸操作，你有什么发现？ A'
能用自己的话表达一Hale Waihona Puke 吗？ADAN
D（E'）
E
FE
M
F
B
C
图1
图2
C
三、知识拓展 类似黄金比例的比例，隐藏在A4纸里面，
名字刚好跟《圣斗士星矢》里圣斗士的阶级 相同，是黄金圣斗士之下的白银圣斗士，白 银比例(silver ratio)——2.414:1。
初中数学苏科版八年级上册 《数学活动 折纸与证明》
第十八章平行四边形数学活动1折纸做60°,30°,15°的角
八、作业布置
1、完成活动一其它的证明过程（至少两种以上）。 2、自学活动二：折黄金矩形。
对折可以平分一个角，还可以把一个角分成 2n 等份， 同时通过角的和差得到相关的度数.
二、动手折一折
问题2. 动手试一试，用一张矩形纸片，你能否折出30° 的角呢？
三、动手操作 实验探究
追问 你折出30°的角准确吗？动手用量角器量一量 问题2 你能找出不准确的原因吗？
M D
A
折叠后点A的位置
B
C
四、验证猜想
问题4 你能证明你的猜想吗？
证明：连接AN. ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称 ∴AN=BN ∵△ABM与△NBM关于BM对称 ∴AB=NB，∠1=∠2 ∴AB=AN=NB ∴∠ABN=60° ∴∠1=∠2=30° ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴∠3=90°-60°=30° ∴∠1=∠2=∠3=30°.
追问 你还有其他证明方法吗？
五、发散思维
问题5 还有其它的折法吗？
A
D
A
D
A
D
O（B）
O
M
N
M
N
M
N
E
F
E
F
E
F
P
Q
Q
P
Q
B
C
C
B
R
R
C
六、变式练习 学以致用
问题6 看一看，找一找： 在图中，你能找出所有的30°角吗？ 60°的角呢？
还有其它度数的角吗？
A
M
EH
N
D
△MNH为等边三角形
F
还有120°和150°的角
同学们玩过折纸吗?都折过些什么？
数学活动课《折纸与证明》
数学活动 折纸与证明【学习重、难点】重点：经历操作、证明的过程，探究解决折纸问题的方法并会解决折纸问题 难点：探究解决折纸问题的思路学习过程： 活动一：(1) 用一张长方形纸片折正方形，并探究操作的合理性。
FB(2) 用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
活动二：（1）用一张正方形纸片折矩形。
（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。
活动三：(1)用一张等边三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。
(2)用一张等腰三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。
)观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．再分别沿DE 、DF 折叠展平纸片后得四边形A EDF （如图③）。
试判断四边形AEDF 是什么四边形？，并证明你的结论。
活动四：用两张长方形纸条纸片拼菱形，并探究操作的合理性。
活动四：用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。
折叠问题方法归纳： NF EBC A B E CD FG C 'D 'A C D B图① A C D B 图②F E ACD B图③F E课堂小结：通过本节课的活动，你有哪些收获？达标检测1、如图，将ABC △中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边上，记作A ′.则下列说法正确的是 ( ) (A) DE 垂直平分线段A A ′ (B) AD=AE(C) A A ′垂直平分线段DE (D) A A ′平分∠BAC2、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后B E B A ''与与在同一条直线上，则∠CBD 的度数 （ ） A. 大于90° B.等于90° C. 小于90° D.不能确定5、如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB∥且12EF AB =；②BAF CAF ∠=∠； ③12ADFE S AF DE = 四边形；④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（ ）（A ）A ．1B ．2C ．3A E BD C A 'E '第5题图春蕾杯教学反思———5.4折纸与证明今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。
《数学活动——折纸做60°,30°,15°的角》
问题3：根据等腰三角形和矩形的对称性，你能利用矩形纸片ABCD折出以AB为底的等腰三角形吗？
师生活动：学生独立尝试通过动手操作，利用图形的轴对称性，折出等腰三角形。
【设计意图】直接折出等边三角形是ห้องสมุดไป่ตู้个难点，利用学生的最近发展区，让学生先动手尝试折叠等腰三角形，再折叠等边三角形，降低难度。
问题4：你能折出等边三角形吗？（以小组为单位进行讨论），并说明理由.
师生活动：学生以小组为单位进行讨论，教师针对每组的讨论引导学生观察、分析、思考，然后请学生代表上台展示说明操作过程，板书证明过程。
【设计意图】在折纸的过程中让学生体会轴对称变换的性质，为学生更容易构造腰和底相等的等边三角形打下基础，分散难点。
师生活动：学生推理论证三个角都相等并且都等于30°。
【设计意图】学生了解折纸可以得到角的倍分关系。
问题6：通过折纸，构造等边三角形，我们已经能够折出60°和30°的角，你还有其它的折法吗？
师生活动：不同学生进行展示，
【设计意图】学生经历动手操作、实验度量、大胆猜想、推理论证后最终解决问题，培养学生的动手操作能力、逻辑推理能力、空间观念，同时通过一个问题多种解决方法，培养学生的发散思维能力。
2.复习巩固知识链接
1.如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相，这个图形就叫做.
2.等腰三角形、等边三角形，矩形都是对称图形.
3.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的.
4.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离.
【设计意图】复习是一座架设在学生新、旧知识之间的桥梁，加强了对旧知识的巩固，也为接下来的内容做好铺垫。
江苏省泰州市姜堰区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)
2023年秋学期期末学情调查八年级数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．第一部分选择题（共 1 8 分）一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上）1．新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（）A．蔚来汽车B．小鹏汽车C．理想汽车D．哪吒汽车2．下列实数中，其中是无理数的是（）A．12B．3C．4D．53．如图，工人师傅常用“卡钳”测定工件内槽的宽卡钳由两根钢条AA'、BB'组成，O为AA'、BB' 的中点，只要量出A'B'的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△A'B'O≌△ABO的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．在平面直角坐标系中，点P（m²+2024，-1）一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．如图，有一长方体容器，AB=5，BC=3，AA'=6，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点C'的最短爬行路程是（）A．8 B．9 C．10 D．116．关于一次函数y=kx+k（k≠0）, 下列说法中正确的是（）A．该函数的图像一定不经过第四象限B．当k=2 时，若x的取值增加1,则y的值也增加1C．该函数的图像向右平移1个单位后一定经过坐标原点D．若该函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积是1,则k=2第二部分非选择题（共132分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．9的平方根是____________．8．地球上七大洲的面积约为149480000km², 将149480000 km²用科学记数法表示为____________km²（精确到10000000 km²）．9．如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF=8，BE=4，则CE的长为，____________．10．如图，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,AC=9,AE:EC=2:1, 则点B到点E的距离为____________11．若点P（a,b）在一次函数y=3x-1的图像上，则代数式6a-2b+8 的值等于____________．12．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，且AB=5,AC=4, 则四边形AEDF的周长为____________．13．在平面直角坐标系中，点A（3,2）、B（5,4）, 现将线段AB平移后得到线段A'B'．若点B'与点A重合，则点A'的坐标是____________．14．如图，一次函数y=mx-2（m>0）与y=nx（n>0）的图像相交于点P（2,m）, 则方程组2y mxy nx=-⎧⎨=⎩的解为____________．15．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3，AB=4。
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数学活动折纸与证明
设计意图：
《折纸与证明》是苏科版初中数学教材的一个数学活动．本课时主要内容是让学生探索折纸图形中边角及图形的一些关系，培养学生用数学的知识解决实际生活中相关的数学问题的能力．
本节课通过几个折纸活动，遵循由简单到复杂的顺序展开，让学生在活动中发展动手实践能力和空间想象能力及逻辑推理能力，最后通过几个练习加以巩固和提高．在课堂教学中，采用“小组合作探究”的模式展开，组织学生在小组内合作探究，阐述观念，揭示原理，发展合作意识．
教学设计：
活动2 折角的平分线
活动3 用矩形纸折正方形
说明右图为什么是个正方形？
活动4用正方形纸折等边三角形，使其边长等于正方形的边长．
（1）把正方形纸片ABCD对折后再打开，折痕为EF；
（2）将点A翻折到EF上的点A′处，且使折痕过点B；
（3）沿A′C折叠，得△A′BC．它是什么图形？
讨论：对于任一矩形，依上述方法是否一定能折出一个等边三角形？
活动5 用长为8cm，宽为6cm的矩形纸折菱形并计算其面积．
方法1：矩形上下、左右分别对折一次，再
沿对角线折，展开即可得菱形；
方法2：先折出矩形的对角线，再折出对角线的垂直平分线，即可得菱形四个顶点，从而折出菱形；
方法3：把矩形沿对角线折叠后再沿BE、DE 折一下，即可得菱形．引入课题
活动1和2教师采
用提问的形式，让学
生自己获得解决问
题的办法．
巡视指导
引导学生思考：为什
么右图是正方形？
适当点拨
以小组为单位讨论
思考片刻后举手发
言．
拿出事先准备好的
纸，动手实践操作
活动1、2、3
用学过的知识进行
推理论证
小组讨论
学生对第3问的为
什么较感兴趣，拿
着纸片在回顾折
法，折好后纷纷度
C
E
D A
提问：如何求菱形的面积？
活动6 用矩形纸条折一个正五边形．见教材35页．
（1）把一个矩形纸片打好一个结，再拉紧压平．
（2）沿图1－37中的虚线剪开，就得五边形ABCDE（如图1－38）．
提问：是正五边形吗？为什么？
三、交流总结
1、经过这一节课的学习，你有什么收获？
2、利用矩形纸片，你还能折出哪些图形？
四、拓展作业
1、利用活动三中折叠出的正方形纸片，你能折出一个正方形，使它的面积为原正方形面积的一半吗？
2、用两条对角线分别为6cm和10cm的菱形纸折正方形并计算其面积．（用两种方法解答）
3、有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，
AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将 AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如下图），则CF的长为（）．
A、0.5
B、0.75
C、1
D、1.25 如何证明操作的合
理性，并让学生板演
证明过程．然后师生
一起点评并完善证
明过程．
巡视指导
教师提问，引导学生
用多种方法解决问
题，教师最后总结补
充．
给足够的时间让学
生思考，待时机成熟
让学生代表发言．
教师点评
量折叠、剪裁得到
的纸片，验证他们
得到的是否是等边
三角形．
小组讨论，自主解
决
一位学生到讲台上
展示自己的折法，
并说明理由．
有同学发现还有其
它的方法,这时小组
讨论热烈，课堂气
氛活跃起来．
学生边听讲，边思
数学活动评价表。