常见分布的期望和方差)

常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要
X — 4
1、 正态分布的计算： F(x) = p(x 兰x)=e ( ------ )。

c
2、 随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量， 求丫 = f(X)的概率密度：f Y (y)= f x (x)[h(y)]|h'(y)|。

(参见P66〜
_ x y
3、分布函数F(x,y)=f f f(u,v)dudv 具有以下基本性质:
0<F(x,y)<1，对于任意固定的 x , y 有：F^,y) = F(x^)=0 ;
对于任意的(x i , y i ), (x 2, y 2), X i<:x 2,y i<y 2，有下述不等式成立:
r 2
4、一个重要的分布函数： F(x,y)=l&+arcta n 与Q+arcta n')的概率密度为：f (x, y)=丄 F (x, y) = 2 2
2
兀亠 2 2 2 3 c x c y 兀(x + 4)(y +9)
5、二维随机变量的边缘分布:
f x (x) = J*f(x, y)dy
边缘概率密度：
t
f Y (y) = Lcf(x,y)dx
x -be
F X (x^F(x^^ f J f f (u,y)dy]du
边缘分布函数： '4； 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

⑴、 是变量x , y 的非降函数;
⑵、 ⑶、 F(x,y)关于x 右连续，关于y 右连续;
⑷、
y
F Y(y)=F(P,y) = UJf(x,v)dx]dv
随机变量的独立性：若 F(x, y) =F x (x)F Y (y)则称随机变量X ，Y 相互独立。

简称X 与Y 独立。

两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z=aX+b Y L N(a 已卄巴^务；+b 2cr 2
)o
13、k 阶原点矩：vk=E(X k
)，k 阶中心矩：4k =E[(X-E(X))k
] o
16、独立同分布序列的中心极限定理:
6、 7、 两个独立随机变量之和的概率密度：
f z (z) = J f x (x)f Y (z-x)dx= J f Y (y)f x (z-y)dy 其中Z = X + Y
J-oC
9、 期
望的性质: (3)、EX Y )EX( )EY()
；(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y) o
10、方差： D(X ) =E(X 2
)-(E(X))2
o
若 X , Y 不相关，贝y D(X + Y) = D(X) + D(Y),否贝U D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y),
D(X -Y) = D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)
11、协方差：Cov(X,Y) =E[(X -E(X))(Y-E(Y))]，若 X , Y 独立，则 Cov(X,Y) = 0，此时称：X 与 Y 不相关。

12
、相关系数：卩"|(栄器箫DY)，
P xY 兰
1，当且仅当X 与Y 存在线性关系时P XY
r 1 当 b>o ； 二1，且
P X Y =L 1,当 b<0；o
14、切比雪夫不等式：P 彳X-E(X)|>s
0(X2,或P {j x —E(X)| <S
O 贝努利大数定律:
I m
I
lim P j -- p <
T 0
15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因
c 2 22
，
所以 lim P i-Z X j - 4 <名\=1。

—0 I n i¥
(1)、当n 充分大时，独立同分布的随机变量之和
n
乙=送X i 的分布近似于正态分布 N(n 巴e 2) o
i=1
20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见 P243 和 P248。

_ 1 n _ 1 n n U
1 n
n cT '
仃
⑵、对于 X 1,X 2,...X n 的平均值 X =丄送 X i ，有 E(X ^-Z E(X i)=L =卩，D(X)=4S D(X i^-n
^
n y
n i 吕
n
n y
n
分布的随机变量的 均值当n 充分大时，近似服从正态分布 N(4竺)。

n
⑶、由上可知：lim p{a cZ n 兰 b }=e (b)—①(a)= P 牯 c 乙 <b h ①(b)-①(a)。

n _^
17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理： 设m 是n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意x ,
n imP
｛器兰 x j®x)，其中 q 4p。

19、正态总体参数的区间估计:
=上，即独立同
n
(1)、当n 充分大时, m 近似服从正态分布, N(np Tipq)。

(2)、当n 充分大时,
-近似服从正态分布,
n
N(p,凹)。

n
18、参数的矩估计和似然估计: (参见P200)。