高一数学竞赛及试题答案
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 1D. x = 4答案：B2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数是：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 6x + 5C. 6x^2 - 3x + 4D. 6x^2 - 3x + 5答案：A3. 以下哪个数列不是等差数列？A. 2, 5, 8, 11, ...B. 1, 3, 6, 10, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 5, 10, 15, 20, ...答案：B4. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：66. 函数y = 1 / (x - 2)的渐近线方程为________。
答案：x = 27. 等比数列的前三项为2, 6, 18，则该数列的公比为________。
答案：38. 一个圆的直径为10cm，那么它的面积为________平方厘米。
答案：78.54三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果一个数列的前n项和为S_n，且S_n = n^2，则该数列是等差数列。
证明：设数列的第n项为a_n，则S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
由题意知S_n = n^2，因此S_{n-1} = (n-1)^2。
两式相减得a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1。
由此可知，a_n - a_{n-1} = 2，即数列的相邻两项之差为常数2，因此该数列是等差数列。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
浙江省温州市2023-2024学年高一上学期数学家摇篮竞赛试题含解析
2023年苍南高一数学家摇篮竞赛（答案在最后）满分：120分考试时间：90分钟一､单选题1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为2y x =-，值域为{}0,1,9--的同族函数共有（）个.A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【详解】1339⨯⨯=.选C.2.“23x <<”是“112x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由分式不等式的解法，求得不等式112x >-的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式112x >-可化为131022x x x --=>--，即302x x -<-，解得23x <<，即不等式的解集为{|23}x x <<，所以“23x <<”是“112x >-”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3.设x R +∈.则y =+的最大值为（）.A.3 B.223C.2D.2【答案】D 【解析】【详解】令1 xt=，于是，1yt==≤+=+211122t t⎫=+=-=+⎪⎪++⎭23222≤=.=，即1t=，亦即1x=时成立.所以，y=+的最大值为2.故答案为D4.已知()f x是定义在()()00-∞∞，，+上的偶函数，对任意的()12,0x x∞∈+，满足()()1212f x f xx x->-且24f=（），则不等式()4f x≥的解集为（）A.[)[)202,-⋃+∞， B.[)(]2002-⋃，，C.][()22-∞-+∞，， D.(](],20,2-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】根据题意判断出()f x在()0+∞，上单调递增，再由函数()f x在()()00-∞∞，，+上为偶函数，得到()4f x≥，将24f=（）代入解题即可.【详解】因为对任意的()12,0x x∞∈+，满足()()1212f x f xx x->-，所以()f x在()0+∞，上单调递增，又()f x是定义在()()00-∞∞，，+上的偶函数，且24f=（），所以()()24f x f≥=，所以2xx⎧≥⎨≠⎩，解得2x≤-或2x≥.故选：C5.已知函数()()221,134,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩的值域与函数y x =的定义域相同，则实数a 的取值范围是（）A.(),1∞- B.(],2∞--C.[]2,3- D.][(),23,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】因为函数y x =的定义域为R ，所以()f x 的值域是R ，当1x ≥时，2347y x =+≥，故当1x <时，()21y a x a =-+的值域为(),m -∞，所以7m ≥，所以21017a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得2a ≤-，所以实数a 的取值范围是(],2∞--.故选：B.6.已知函数()y f x =()x y N +∈、满足：（1）对任意a 、b N +∈，a b ¹，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+；（2）对任意N n +∈，都有()()3f f n n =.则()()512f f +的值是.A.17B.21C.25D.29【答案】D 【解析】【详解】对任意的n N +=，由（1）得()()()()()()1111n f n nf n n f n nf n +++>+++，即()()1f n f n +>.故()f x 在N +上为单调增函数.对任意n N +∈，由（2）得()()()()()33f n f f f n f n ==.显然()11f ≠.否则，()()()311ff f ==.矛盾.若()13f ≥，则()()()()()313213f f f f f =≥>>≥，矛盾.所以，()12f =.故()()3316f f ==，()()()63339f ff ==⨯=.由()()()()634569f f f f =<<<=，得()47f =，()58f =.则()()()743412f ff ==⨯=，()()()1273721f f f ==⨯=.故()()51282129f f +=+=.故答案为D二､多选题7.已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）A.()f x 的对称轴为直线2x =-B.()f x 的对称轴为直线2x =C.()()24f f ->D.不等式()()30f x f +>的解集为()3,1-【答案】BD 【解析】【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB ；根据(4)(0)f f =和函数的单调性即可判断C ；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.【详解】A ：因为(2)f x +为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以函数()f x 的对称轴为直线2x =，故A 错误；B ：由选项A 可知，B 正确；C ：因为函数()f x 的对称轴为直线2x =，所以(4)(0)f f =，又函数()f x 在(,2]-∞上单调递增，所以()()02f f >-，则()()42f f >-，故C 错误；D ：因为函数()f x 的对称轴为直线2x =，且()f x 在(,2]-∞上单调递增，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，且(2)(2)f x f x +=-，由(3)(0)f x f +>，得3202x +-<-，即12x +<，解得31x -<<，故D 正确.故选：BD.8.下列说法正确的有（）A.已知1x ≠，则4211y x x =+--的最小值为1+B.若正数x 、y 满足3x y xy ++=，则xy 的最小值为9C.若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D.设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +的最大值为7【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可.【详解】对于A ，因为1x ≠，所以当1x >时，10x ->，()442121114111y x x x x =+-=-++≥=--，当且仅当()4211x x -=-，即1x =当1x <时，10x -<，()10x -->，()4211x x ⎡⎤--+-≥=⎡⎤⎣⎦⎢⎥-⎣⎦当且仅当()4211x x ⎡⎤--=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，即1x =()4211x x -+≤--，所以()4421211111y x x x x =+-=-++≤---，所以函数的值域为(),11⎡-∞-⋃++∞⎣，故A 错误；对于B ，若正数x 、y 满足3x y xy ++=，可得33xy x y =++≥+，当且仅当3x y ==时等号成立，(),0t t =>，则()223,0t t t ≥+>，即()2230,0t t t --≥>，解得3t ≥，即9xy ≥，所以xy 的最小值为9，故B 正确；对于C ，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+，则()1122122552333321x y x y x y y x x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+当且仅当22x y y x=，即1x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为3，故C 正确；对于D ，221239x y xy x y ≥⋅-=⋅+，所以17xy ≤，()()222112395151577x y x y xy xy xy +=+++=+≤+⨯=所以37x y +≤，当且仅当37y x ==时，等号成立，故3x y +的最大值为7，故D 正确.故选：BCD.9.德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列关于狄利克雷函数()D x 的说法错误．．的是（）A.对任意实数x ，()()1D D x =B.()D x 既不是奇函数又不是偶函数C.对于任意的实数x ，y ，()()()D x y D x D y +≤+D.若x ∈R ，则不等式()2430x D x x -+<的解集为{}13x x <<【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断.【详解】若x 是有理数，则()()()11D D x D ==；若x 是无理数，则()()()01D D x D ==，故A 正确；若x 是有理数，则x -也是有理数，此时()()1D x D x =-=；若x 是无理数，则x -也是无理数，此时()()0D x D x =-=；即()D x 为偶函数，故B 错误；若x 是无理数，取y x =-，则y 是无理数，此时()()01D x y D +==，()()0D x D y +-=，即()()()D x y D x D y +>+-，故C 错误；若x 是有理数，则()2243430x D x x x x -+=-+<的解集为{}13x Q x ∈<<；若x 是有理数，()224330x D x x x -+=+<，显然不成立，故D 错误．故选：BCD ．10.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--.若()()20f x f x --≤恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.-1B.12C.13D.1【答案】AC 【解析】【分析】()()20f x f x --≤等价于()()2f x f x ≤+恒成立，当0x ≥时，函数()f x 的解析式进行去绝对值，所以讨论0a ≤和0a >的情况，再根据函数()f x 是奇函数，得到0x <时()f x 的解析式或图像，结合图像得到a 的取值范围.【详解】因为()()20f x f x --≤等价于()()2f x f x ≤+恒成立.当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--.若0a ≤，则当0x ≥时，()()1232f x x a x a a x =-+-+=.因为()f x 是奇函数，所以当0x <时，0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =.综上，()f x x =，此时()f x 为增函数，则()()2f x f x ≤+恒成立.若0a >，当0x a ≤≤时，()()1232f x x a x a a x ⎡⎤=-+---=-⎣⎦；当2a x a <≤时，()()1232f x x a x a a a ⎡⎤=----=-⎣⎦；当2x a >时，()()12332f x x a x a a x a ⎡⎤=-+--=-⎣⎦.即当0x ≥时，函数()f x 的最小值为a -，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，函数()f x 的最大值为a ，作出函数()f x 的图像如图：故函数()f x 的图像不能在函数()2f x +的图像的上方，结合图像可得323a a -≤-，即13a ≤，求得103a <≤.综上，13a ≤.故选：AC.【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像；（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究.三､填空题11.已知不等式20x ax b --<的解集为(2,3)，则不等式210bx ax ++>的解集为______【答案】(,)-116【解析】【分析】根据韦达定理求出,a b ，代入解二次不等式即可.【详解】由不等式20x ax b --<的解集为(2,3)，则2323ab +=⎧⎨⨯=-⎩，则56a b =⎧⎨=-⎩，则210bx ax ++>，即为x x -++>26510，解得：(,)-116.故答案为：(,)-11612.正实数,x y 满足1423x y +=，且不等式24yx m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围__________.【答案】[2,3]-【解析】【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出4yx +的最小值，然后解不等式即可.【详解】因为1423x y +=且x ，y 是正数，所以314343((2(26424242y y y x x x x y x y +=++=++≥+=，当且仅当441423y x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即312x y =⎧⎨=⎩时等号成立，因为不等式24yx m m +≥-恒成立，所以26m m -≤，解得23m -≤≤.故答案为：[]2,3-.13.若函数()f x 在区间[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值区间”．已知定义在R 上的奇函数()g x ，当(],0x ∈-∞时，()22g x x x =+．那么当()0,x ∈+∞时，()g x =______；求函数()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”为______．【答案】①.22x x-+②.11,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数是奇函数求出0x >时，2()2g x x x =-+，再由二次函数的单调性及“倒值区间”的定义，列出方程求解即可.【详解】设0x >，则0x -<，2()2g x x x ∴-=-，由()g x 为奇函数，可得2()()2g x g x x x =--=-+，故当0x >，2()2g x x x =-+，对称轴方程为1x =，所以0x >时，max ()(1)1g x g ==，设[],a b 是()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”，则值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以11a≤，即1a ≥，所以2()2g x x x =-+在[],a b 上单调递减，221()21()2g b b b b g a a a a ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，即22(1)(1)0(1)(1)0a a a b b b ⎧---=⎨---=⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以函数()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”为511,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.故答案为：22x x -+；11,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.设0x >，对函数[][]1()111x xf x x x x x +=⎡⎤⎡⎤⋅+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，其值域是_______.【答案】155,264⎧⎫⎡⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭【解析】【分析】【详解】由于()f x 的表达式中，x 与1x对称.且0x >，不妨设1x ≥.（1）当1x =时，11x =，有1(1)2f =.（2）当1x >时，设,01,x n a a n N +=+≤<∈，则1[],0x n x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，故1()1n a n a f x n +++=+.易证函数1()g x x x =+在[)1,x ∞∈+上递增，故11111n a n n n n a n +++<++++≤，则1111(),,(1,2,)11n n n n n f x I n n n ⎡⎫+++⎪⎢+∈==⎪⎢++⎪⎢⎣⎭故()f x 的值域为12n I I I ⋃⋃⋃⋃ .设22211,1(1)n n n a b n n n +==+++，则[),n n n I a b =.又12(1)(2)n n n a a n n n +--=++，当2n >时，2345n a a a a a =<<<<< ，易知n b 单调递减，故[)2223,n a b I I I =⊇⊇⊇⊇ .因为1255101,,,469I I ⎡⎫⎡⎫==⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，所以12125510551,,,46964n I I I I I ⎡⎫⎡⎫⎡⎫⋃⋃⋃⋃=⋃=⋃=⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭ .综上所述，值域为155[,264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：155[,264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.四､解答题15.已知函数()()()2122R m f x m m x m -=--∈为幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增.（1）求m 的值，并写出()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()1f x a a x +>+，其中R a ∈.【答案】（1）3，()2f x x=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；（2）由（1）可得原不等式变形为()()10x x a -->，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.【小问1详解】因为()()()2122R m f x m m x m -=--∈为幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则222110m m m ⎧--=⎨->⎩，解得3m =，所以()2f x x =；【小问2详解】不等式()21x a x a -++>0，即()()10x x a -->当1a =，1x ≠，即不等式解集为{}|1x x ≠，当1a >，1x <或x a >，即不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞，当1a <，x a <或1x >，即不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞.所以，当1a =，不等式解集为{}|1x x ≠，当1a >，不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞，当1a <，不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞.16.中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2） a 至少应达到10.2万件，每件定价30元.【解析】【分析】（1）设每件定价为t 元，由题设有[80.2(25)]258t t --≥⨯，解一元二次不等式求t 范围，即可确定最大值；（2）问题化为>25x 时，151506x a x +≥+有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【小问1详解】设每件定价为t 元，依题意得[80.2(25)]258t t --≥⨯，则2651000(25)(40)0t t t t -+=--≤，解得2540t ≤≤，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元【小问2详解】依题意，>25x 时，不等式21(600)6525850ax x x -≥++⨯+有解，等价于>25x 时，151506x a x +≥+有解，因为1501+6x x ≥（当且仅当30x =时等号成立），所以10.2a ≥，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．17.已知函数()212f x x x=+，定义域为[)(]1,00,1- ．（1）写出函数()f x 的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数()f x 在(]0,1上的单调性；（2）若(]0,1x ∀∈，都有()2f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围；（3）解不等式()()1f t f t ->．【答案】（1）()f x 在定义域[)(]1,00,1- 为偶函数；()212f x x x =+在区间(]0,1上单调递减，证明见解析.（2）()1∞-，（3）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由偶函数和单调性的定义可得；（2）先根据函数的单调性求最小值，根据恒成立即可得1m <；（3）根据函数的定义域，单调性，偶函数，结合()()1f t f t ->列出不等式组即可.【小问1详解】()f x 在定义域为[)(]1,00,1- 因()()()221122x x f x f x x x =-+=+=--，所以()f x 为偶函数；.()212f x x x =+在区间(]0,1上单调递减，证明如下设1201x x <<≤，则()()()22211212122222121211222x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-+()()12121222221212121122x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦因1201x x <<≤，所以120x x -<，21211x x >，21211x x >，所以()()120f x f x ->，所以()212f x x x=+在区间(]0,1上单调递减.【小问2详解】由（1）可知()f x 在区间(]0,1上单调递减，所以，当1x =时，()f x 取得最小值()13f =，又(]0,1x ∀∈，都有()2f x m >+恒成立，所以只需32m >+成立，即1m <，故实数m 的取值范围为()1∞-，.【小问3详解】由（1）知，()f x 在定义域[)(]1,00,1- 为偶函数且在区间(]0,1上单调递减，故由()()1f t f t ->得111101101t t t t t t -≤-≤⎧⎪-≠⎪⎪-≤≤⎨⎪≠⎪-<⎪⎩，即02111012t t t t t ≤≤⎧⎪≠⎪⎪-≤≤⎨≠⎪⎪⎪>⎩，解得112t <<，所以实数m 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭18.设函数2()f x ax bx c =++（a ≠0）满足(0)2f ≤，|(2)|2f ≤，(2)2f -≤，求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值．【答案】52【解析】【详解】解：由题意知()()()0422422c f a b c f a b c f ⎧=⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得()()()()()()022208224c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪⎪--=⎪⎩，从而当[]2,2x ∈-时，()()()()()()()2222022084f f f f f y f x x x f +----==++()()()222224220884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++．.因为[]2,2x ∈-时2222044x x x x +-⋅≤，从而()222222224224442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+222x x =-++．易知当[]0,2x ∈时22522222x x x x -++=-++≤当[]2,0x ∈-时22522222x x x x -++=--+≤得()2225max max 222x x x f x x ≤≤⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭．最后取()2122f x x x =-++，则()()()2202f f f =-==．故该函数满足题设条件且在[]2,2-上能取到最大值52．因此()y f x =的最大值为52．。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及参考答案
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）试题（含参考答案）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设复数910i z （i 为虚数单位），若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为 ． 答案：2．解：22910181nnnnz z．因21812023z ，而当3n 时，181132023nn n z，故n 的最大值为2．2. 若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为 ． 答案：20．解：因为lg lg lg lg 102a a b b b a ，所以lg lg lg lg lg lg lg ()()()52220ab a b a b b a ab ab a b a b ．3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件“777C C C x y z”发生的概率为 ． 答案：127．解：由于162534777777C C C C C C ，因此当,,{1,2,3,4,5,6}x y z 时，事件“777C C C x y z”发生当且仅当“{1,6},{2,5},{3,4}x y z ”成立，相应的概率为321627． 4. 若平面上非零向量,, 满足 ，2|| ，3|| ，则||的最小值为 ．答案：23．解：由 ，不妨设(,0),(0,)a b ，其中,0a b ，并设(,)x y，则由2||得2by a ，由3|| 得3ax b ．所以2232||2223b ax y xy a b． 取3,2a b ，此时6x y ，||取到最小值23．5. 方程sin cos2x x 的最小的20个正实数解之和为 ． 答案：130 ．解：将2cos212sin x x 代入方程，整理得(2sin 1)(sin 1)0x x ，解得532,2,2()662Z x k k k k．上述解亦可写成2()36Z k x k，其中0,1,,19k 对应最小的20个正实数解，它们的和为192219202013036326k k． 6. 设,,a b c 为正数，a b ．若,a b 为一元二次方程20ax bx c 的两个根，且,,a b c 是一个三角形的三边长，则a b c 的取值范围是 ．答案：7,518． 解：由条件知2222()()()ax bx c a x a x b ax a ab x a b ，比较系数得22,b a ab c a b ，故24,11a a b c a a，从而 24231a a a b c a a a a a ．由于201a a b a，故112a ．此时显然0b c ．因此，,,a b c 是一个三角形的三边长当且仅当a c b ，即4211a a a a a，即2(1)0a a a ，结合112a ，解得15122a ．令23()f x x x x ，则()a b c f a ．显然当0x 时()f x 连续且严格递增，故a b c 的取值范围是151,22f f，即7,518 ． 7. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆 与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆2222:1(0)x y a b a b内，且 与 有唯一的公共点(8,9)．则 的焦距为 ．答案：10．解：根据条件，可设圆心为(,)P r r ，则有222(8)(9)r r r ，解得5r 或29r ．因为P 在 内，故5r ．椭圆 在点(8,9)A 处的切线为2289:1x y l a b ，其法向量可取为2289,n a b． 由条件，l 也是圆 的切线，故n 与PA 平行，而(3,4)PA ，所以223227a b．又2264811a b ，解得22160,135a b ．从而 的焦距为22210a b ．8. 八张标有,,,,,,,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,,,,,,,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按,,,,,,,D B A E C F G H 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ．AB C D EFGH答案：392．解：如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的2m n 阶图(,)G m n 在3,3m n 时的特殊情况．231-3-20P-1 G (m , n )Pn...210-1-2-m ...取卡片（顶点）的规则可解释为：(i) 若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii) 若顶点P 未取走，则必为某个(,)(,0)G m n m n 的情形，此时若0m ，则将P 视为1 号顶点，归结为(i)的情形；若0,0m n ，则将P 视为1号顶点，归结为(i)的情形；若,1m n ，则当前可取P 或m 号顶点或n 号顶点，分别归结为(i)或(1,)G m n 或(,1)G m n 的情形．设(,)G m n 的符合要求的顶点选取次序数为(,)f m n ，本题所求即为(3,3)f ．由(i)、(ii)知1(,0)2(0)m f m m ，1(0,)2(0)n f n n ，且(,)2(1,)(,1)(,1)m n f m n f m n f m n m n ．由此可依次计算得(1,1)12f ，(1,2)(2,1)28f f ，(1,3)(3,1)60f f ，(2,2)72f ，(2,3)(3,2)164f f ，(3,3)392f ，即所求数目为392．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x ，F 为 的焦点，,A B 为 上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点．求点Q 的轨迹方程．解：设1122(,),(,)A x y B x y ．不妨设AP PQ QB ，则121222,33x x y y P． 易知(1,0)F ．由于点P 位于线段OF 上，故122[0,1]3x x ，12203y y ． ……………4分可设12,2y t y t ，则2212,4t x x t ．此时有2122[0,1]32x x t ，且由,A B 不重合知0t ，所以2(0,2]t ． ……………8分设(,)Q Q Q x y ，则21212232,343Q Q x x y y x t y t，有243Q Q y x ． 注意到2330,42Q x t ，故点Q 的轨迹方程为243(0)32y x x ．……………16分10.（本题满分20分）已知三棱柱111:ABC A B C 的9条棱长均相等．记底面ABC 所在平面为 ．若 的另外四个面（即面111111111,,,A B C ABB A ACC A BCC B ）在 上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求 的体积．解：设点111,,A B C 在平面 上的投影分别为,,D E F ，则面11111,,A B C ABB A 1111,ACC A BCC B 在 上的投影面积分别为,,,DEF ABED ACFD BCFE S S S S ．由已知及三棱柱的性质，DEF 为正三角形，且,,ABED ACFD BCFE 均为平行四边形．由对称性，仅需考虑点D 位于BAC 内的情形（如图所示）． 显然此时有ABED ACFD BCFE S S S ． ……………5分XFEB DCA由于,,,23,33,43,53DEF ABED ACFD BCFE S S S S ，故,ABED ACFD S S 必为23,33的排列，53BCFE S ，进而43DEF S ，得DEF 的边长为4，即正三棱柱 的各棱长均为4． ……………10分不妨设23,33ABED ACFD S S ，则333,2ABD ACD S S ．取射线AD 与线段BC 的交点X ，则23ABD ACD BX S CX S ，故85BX ．因此2242cos60195AX AB BX AB BX ， 而58ABD ACD ABC AD S S AX S ，故192AD． ……………15分 于是 的高221352h AA AD． 又43ABC S ，故 的体积615ABC V S h ． ……………20分11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t ：对任意,[1,]a b t ，总存在,[1,]c d t ，使得()()1a c b d ．解：记[1,]t I t ，()()S a c b d ．假如2t ，则当a b t 时，对任意,t c d I ，均有2(1)1S t ，不满足要求．假如312t，则当1,2a b t 时，对任意,t c d I ，均有 21a c t ，12t b d ．若,a c b d 同正或同负，则2(1)1S t ，其余情况下总有01S ，不满足要求． ……………5分以下考虑322t 的情形．为便于讨论，先指出如下引理．引理：若1,2u v ，且52u v ，则1uv ．事实上，当32u v 时，22225312244u v u v uv ． 当32u v 时，1131222uv ．引理得证． 下证对任意,t a b I ，可取11,t c d I ，使得111()()1S a c b d ．① 若12a b ，则取111c d ，此时1(1)(1)(1)(1)S a b a b ，其中31311,12222a b b a ，且5(1)(1)2()2a b a b ，故由引理知11S ．若12a b ，则取1132t c d I ，此时13322S a b， 其中331,222a b ，且3353222a b a b ，故由引理知11S ． ……………15分 注意到，当,t a b I 时，可取2t c I ，使得21a c （例如，当[1,1]a 时取20c ，当(1,]a t 时取21c ），同理，可取2t d I ，使得21b d ．此时22222()()1S a c b d a c b d ．②根据①、②，存在一个介于12,c c 之间的实数c ，及一个介于12,d d 之间的实数d ，使得()()1a c b d ，满足要求．综上，实数t 满足要求当且仅当322t ． ……………20分。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
数学竞赛试题及答案高中
数学竞赛试题及答案高中一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 3x^2 - 6x + 5，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，求数列{an}的前n项和Sn。
A. Sn = 2^(n+1) - 2B. Sn = 2^(n+1) - 1C. Sn = 2^(n+1) - 2^nD. Sn = 2^(n+1) - 2^(n-1)答案：B3. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的数量积。
A. 2B. -2C. 4D. -4答案：B4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 3x + 2C. 3x^2 - 6xD. x^2 - 3x答案：A5. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，求双曲线的离心率e。
A. e = √(1 + b^2/a^2)B. e = √(1 - b^2/a^2)C. e = √(a^2 + b^2)D. e = √(a^2 - b^2)答案：A6. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. 1C. 0D. -1答案：A7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求数列{an}的第10项a10。
B. 20C. 21D. 22答案：A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 1)，求向量a与向量b的夹角θ。
A. π/3B. π/4D. 2π/3答案：D10. 已知函数f(x) = e^x - e^(-x)，求f'(x)。
必修一数学竞赛试题及答案
必修一数学竞赛试题及答案奥赛班数学能力评估一试题卷MATHEMATICS]本卷满分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题分10小题，每题5分，共50分）1.已知函数$f(x)(x\in R)$是以4为周期的奇函数。
当$x\in(,2)$时，$f(x)=\ln(x^2-x+b)$．若函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上有5个零点，则实数$b$的取值范围是(。
)A．$-1<b\leq1$B．$b\leq-1$或$b>1$C．$-1<b<1$或$b=1$D．$b< -1$或$b\geq1$2.设$M=\alpha\alpha=x^2-y^2$，$x,y\in Z$，则对任意的整数$n$，形如$4n,4n+1,4n+2,4n+3$的数中。
不是$M$中的元素的数为(。
)A．$4n$B．$4n+1$XXXD．$4n+3$3.若集合$A=\{(m,n)(m+1)+(m+2)+\cdots+(m+n)=\}$，$m\in Z$，$n\in N^*$，则集合$A$中的元素个数为(。
) A．$4030$B．$4032$C．$$D．$$4.不定方程$(n-1)!=nk-1$正整数解的个数为(。
)A．$3$B．$4$C．$5$D．$6$5.设$a,b,c$为实数，$f(x)=(x+a)\frac{x^2+bx+c}{x^2+1}$，$g(x)=(ax+1)\frac{ax^2+bx+1}{x^2+1}$．记集合S=\{x|f(x)=0\}$，$T=\{x|g(x)=0\}$，$S,T$分别为集合$S,T$的元素个数。
则下列结论不可能的是(。
)A．$S=1$且$T=0$B．$S=1$且$T=1$C．$S=2$且$T=2$D．$S=2$且$T=3$6.设集合$M=\{(x,y)-xy=45,x,y\in N\}$，则集合$M$中的元素个数为(。
)A．$1$B．$2$C．$3$D．$4$7.已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(0)的值为：A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 对于不等式x^2 - 6x + 8 < 0，其解集为：A. (2, 4)B. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)C. (-∞, 4) ∪ (2, +∞)D. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)答案：A4. 已知集合A={x|x^2 - 5x + 6 = 0}，B={x|x^2 - 3x + 2 = 0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D5. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a与向量b的数量积为：A. 8B. 10C. 6D. 2答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(2)的值为______。
答案：38. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为______。
答案：189. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的导数表达式为______。
答案：3x^2 - 6x10. 已知复数z=1+i，求|z|的模长为______。
答案：√2三、解答题（每题20分，共50分）11. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：首先对方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0，所以解为x=2或x=3。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。
解：将函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x-2)^2 - 1。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。
A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。
A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。
6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。
7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。
10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。
答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。
【竞赛题】高一趣味数学题筛选及答案
高一数学趣味竞赛题1、兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱？答案：老大8，老二12，老三5，老四202、桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢答案：5根3、一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？答案：8个头，(半根绳子也是两个头)4、一栋住宅楼，爷爷从一楼走到三楼要6分钟，现在要到6楼，要走多少分钟？答案：15分钟5、24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗？答案：一个六边形6、有一家里兄妹四个，他们4个人的年龄乘起来正好是14，你知道他们分别是多少岁吗？(当然在这里岁数都是整数。
)答案：(14只能分解为2和7，因此四个人的年纪分别为1，1，2，7，其中有一对为双胞胎)7. 1根绳子对折，再对折，再第三次对折，然后从中间剪断，共剪成多少段？答案;9段8、五条直线相交，最多能有多少个交点呢？答案：109、如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。
按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要()分钟时间。
答案：5分钟10、假设有一个池塘,里面有无穷多的水.现有2个空水壶,容积分别为5升和6升.问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水. 答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里在再将5升壶装满向6升壶里到,使6升壶装满为止,此时5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒掉,将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里,此时6升壶里只有4升水再将5升壶装满,向6升壶里到,使6升壶里装满为止,此时5升壶里就只剩下3升水了11、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五千克以上,问他该如何称量.答案：先称3只,再拿下一只,称量后算差.12、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背回家,每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背回家几根香?答案：25根，先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下.回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根.再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根到家.13、花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋．用数学式子分别列出上下联（提示：根据年龄）答案：这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数．即上述下联．上联的算式：2×60＋3×7=141，下联的算式：2×70＋1=141．14、一二五六七（打一成语)答案：丢三落四15、八分之七（打一成语）答案：七上八下16、8+7=5（打一成语）答案：缺衣少食17、 3，4，7, 16, 43（）答案12417、 1.16 8.25 27.36 64.49 （ )答案125.6418、一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到几天刚好长满池塘面积的一半（）答案:9天19、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。
高一数学竞赛试题及答案详解
高一数学竞赛试题一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)1.已知函数f (x )满足f (||2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2 x C. -log 2 x D.x -22.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称,则直线l 的方程为( )A.x =2B.x =1C.x =21 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f (21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的取值范围是( )A.x ＞2或21＜x ＜1B.x ＞2C.21＜x ＜1D.21＜x ＜24.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( )A. f (5)＜f (2)＜f (7)B. f (2)＜f (5)＜f (7)C. f (7)＜f (2)＜f (5)D. f (7)＜f (5)＜f (2)5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,21]成立, 则a 的最小值为( )A.0B. -4C.-5D. -66.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增.如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.可能为0D.可正可负7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )A.m ＞0B.m ≤4C.0＜m ≤4D.0＜m ≤38.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得221)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么,函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( )A.101B.10C.43D.23二、填空题(每小题5分, 共30分)9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k },若A ⊂ ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________ 10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N },那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________12.已知方程组⎩⎨⎧=-=+164log 81log 4log log 6481y xy x 的解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x , 则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m 的取值范围是_________________14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B),且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______三、解答题(每题10分, 共30分)15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|.(1)当a =2时, 求f (x )的最小值;(2)若f (-1)=f (1), f (-a 1)=f (a1)(a ∈R, 且a ≠1), 求a 的值 16.设函数f (x )的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x , y 都有f (xy )=f (x )+f (y )恒成立.已知f (2)=1, 且x ＞1时, f (x )＞0.(1)求f (21)的值; (2)判断y =f (x )在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明;(3)解不等式f (x 2)＞f (8x -6) -1.17.已知函数f (x )=log a (ax 2-x +21)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a 的取值范围.。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。
A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。
A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。
7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。
8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。
9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。
三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。
11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。
12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。
求点P的坐标。
13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。
14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。
高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。
高一奥数竞赛试题及答案
高一奥数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若实数a、b满足a^2 + b^2 = 1，则下列不等式中恒成立的是（）。
A. a + b ≤ √2B. a + b ≥ √2C. a + b ≤ 1D. a + b ≥ 1答案：A解析：根据柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），对于任意实数a和b，有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2。
因为a^2 + b^2 = 1，所以1 × 2 ≥ (a + b)^2，即a + b ≤ √2。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(-1)的值（）。
A. 3B. -3C. -1D. 1答案：A解析：将x = -1代入函数f(x) = x^3 - 3x + 1，得到f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3。
3. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a5的值（）。
A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B解析：根据递推关系an+1 = 2an + 1，可以逐步计算得到：a2 = 2a1 + 1 = 2 × 1 + 1 = 3a3 = 2a2 + 1 = 2 × 3 + 1 = 7a4 = 2a3 + 1 = 2 × 7 + 1 = 15a5 = 2a4 + 1 = 2 × 15 + 1 = 314. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，求角C的大小（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D解析：根据勾股定理，若a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC为直角三角形，且角C为直角，即C = 90°。
二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。
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高一数学竞赛试题及答案时间： 2016/3/18注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）设集合{}()(){}222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈，（1）若{}2A B =I 求a 的值；（2）若A B A =U ,求a 的取值范围；（3）若(),U U R A C B A ==I ,求a 的取值范围.2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ====（1）求证：;N M ⊆（2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =？请说明理由.3．（本小题满分15分）已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．4．（本小题满分15分）已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．5．（本小题满分15分）已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.6．（本小题满分15分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。
（1） 证明：BC DC ⊥1； （2） 求二面角11C BD A --的大小。
ABC D1A 1B 1C7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．8．（本小题满分20分） 设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0，21]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f （1）=a ＞0． （Ⅰ）);41(),21(f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；（Ⅲ）记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→9．（本小题满分20分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f xx 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围.高一数学竞赛试题参考答案1、解：{}2,1=A （1）∵{}2A B =I ∴B ∈2即，0)5(2)12222=-+⋅+⋅+a a （，解得13-=-=a a 或 ① 当3-=a 时， {}{}2044|2==+-=x x x B ② 当1-=a 时， {}{}2,204|2-==-=x x B 综上{}3,1--∈a（2）∵A B A =U∴A B ⊆① 当φ=B 时，则该一元二次方程无解，即△<0，∴()[]0)5(41222<-⋅-+a a ，即3-<a ② 当φ≠B 时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即3-≥a1. 当3-=a 时，{}2=B2. 当3->a 时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2 ∴ )1(221+-=+a ，即25-=a 5212-=⋅a ，即7±=a （舍） ,∴综上(]3,-∞-∈a（3）∵(),U U R A C B A ==I ∴φ=B A I① 当△<0时，即3-<a ，φ=B ，满足要求② 当△=0时，即3-=a ，{}2=B ，φ≠B A I ，舍③ 当△>0时，即3->a ，所以只需B B ∉∉21且将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或 所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、综上，a 的取值范围为()()()()()+∞+-+---------∞-,3131,11,3131,33Y Y Y Y ，2、证明：（1）若M φ=，显然有;M N ⊆ 若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()00f x x =，所以()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，故0xN ∈，所以;M N ⊆ （2）.M N =用反证法证明假设M N ≠，由于M N ⊆，必存在1,x N ∈但1x M ∉，因此()11f x x ≠， ① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数，所以()()11f f x f x >⎡⎤⎣⎦，即()11x f x >，矛盾；3、解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ，则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5. 当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！当01<-m 时，512)(≤+<u u g ，矛盾！综上所述，所求的实数1=m ．4、解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝f (－0)＝－f (0)，②若()11f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x <⎡⎤⎣⎦，即()11x f x <，矛盾。
综合①、②可知()11f x x =，因此1,x M ∈与假设矛盾， 所以假设不能成立，即.M N =∴f (0)＝0，这些f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f (x )＝f [2＋(x －2)]＝f [2－(x －2)]＝f (4－x )，f (x )＝f [7＋(x －7)]＝f (7－(x －7))＝f (14－x )，∴f (14－x )＝f (4－x )，即f [10＋(x －4)]＝f (4－x )∴f (x ＋10)＝f (x )，即函数f (x )的周期为10.又∵f (1)＝f (3)＝0，∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z)，f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z)，即x ＝1＋10n 和x ＝3＋10n (n ∈Z)均是方程f (x )＝0的根．由－2 011≤1＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；由－2 011≤3＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402个；所以方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．5、解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . （1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b 两式相加得12<ab ，所以，10->x ; （2）由aa b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a . 又0121>=a x x ，所以21,x x 同号.∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b . 6、【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥（2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =，则12C O =，111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒7、【解答】 (1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程， 故D ＝2，F ＝b .令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程， 并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝0，y0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1， 经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此，圆C 过定点．9、解：（1）6,5lg )11lg()(,5lg )1(==-==a a x f f 所以则因为 所以 故又时，当,0)0(),106lg()()(02=++-=--=<f x x x f x f x ⎪⎩⎪⎨⎧<++-=>+-=0),106lg(0,00),106lg()(22x x x x x x x x f(2)0)14()2()(0>+++•=k f k f R x f a x x 上单调递增，故在，则若等价于 恒成立，在于是，另),0(01),0(201422+∞>+++>=>+++k kt t t t k k x x x 1)(2+++=k kt t t g 设（1）0<∆时，解得：222222+<<+-k ；（2）时0≥∆，⎪⎩⎪⎨⎧><-0)0(02g k ，解的0>k综上，222+->k（3）设10)(2+-=ax x x h , 由题意知，若函数)(x f 的值域为R ，只需1026,1)(00min <≤≤<>a x h x 解得：时，。