【压轴卷】高中必修三数学上期末试题(及答案)

【压轴卷】高中必修三数学上期末试题(及答案)
一、选择题
1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795
B ．0780
C ．0810
D ．0815
2．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．
112
B ．
15
C ．
115
D ．
215
3．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )
A ．4i >？
B ．5i >？
C ．4i ≤？
D ．5i ≤？
4．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；
②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为1
50； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000
A ．①④
B ．①③
C ．②④
D ．②③
5．《九章算术》
是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )
A ．7
B ．4
C ．5
D ．11 6．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()
sin sin α
α，()
cos sin α
α，
()
sin cos α
α，其中,42ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭，则输出的x 为( )
A ．()
cos cos α
α
B ．()
sin sin α
α
C ．()
cos sin α
α
D ．()
sin cos α
α
7．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（ ） A ．5个
B ．10个
C ．20个
D ．45个
8．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）
A ．4k <
B ．5k <
C ．6k <
D ．7k <
9．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的值是
A ．－1
B ．1
2 C ．1
D ．
32
10．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A ．
13
B ．
49
C ．
59
D ．
23
11．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．15
12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）
A．2
5
B．
3
5
C．
2
3
D．
1
5
二、填空题
13．若正方形ABCD的边长为4, E为四边形上任意一点,则AE的长度大于5的概率等于______
14．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________. 15．从边长为4的正方形ABCD内部任取一点P，则P到对角线AC的距离不大于2的概率为________.
16．执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．
17．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________
18．在区间[0,1]中随机地取出两个数，则两数之和大于
4
5
的概率是______. 19．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．
20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．
三、解答题
21．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
22．有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）求频率分布直方图中m 的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率 23．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、
日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[
)20,30，[)30,40，
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问： （1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.
24．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。

从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)70,75，[)75,80，
[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a 的值及样本的中位数与众数；
（2）若从竞赛成绩在[)70,75与[]
95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率. 25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了
n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直
方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于
40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人
(1)求,n p 的值;
(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?
非读书之星 读书之星 总计
男
女 10 55 总计
(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
26．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组
频率
第1组 [)160,165
0.05 第2组
[)165,170
0.35
第3组[)
170,175①
第4组[)
175,1800.20
第5组[]
180,1850.10
()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.
详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为1000
20 50
=
所以抽取的第40个数为1520(401)795
+⨯-=
选A.
点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】
由捆绑法可得所求概率为24
24
66
A A 1A 15P ==. 故答案为C 【点睛】
本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】
根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
4．B
解析：B 【解析】
分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：
①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400
100240016001000
⨯=++48人、
中部地区学生1600
100240016001000
⨯=++32人、
西部地区学生1000
100240016001000
⨯
=++20人，题中的说法正确；
②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为1001
24001600100050
=++，题中的说法正确；
④中部地区学生小张被选中的概率为1001
24001600100050
=++，题中的说法错误；
综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
解析：C 【解析】
模拟程序框图的运行过程，如下：
输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；
2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-；
4i =，()2164533293m a a =--=-；
输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】
由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈
⎪⎝
⎭
∴0cos α1sin α<<
<<， 又()y x
sin α=在R 上为减函数，y sin x α
=在()0∞+，
上为增函数， ∴()
sin sin α
α＜()
cos sin α
α，()
sin cos α
α＜()
sin sin α
α
故最大值为()cos sin α
α，输出的x 为()
cos sin α
α
故选：C 【点睛】
本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．
7．A
解析：A 【解析】
应抽取红球的个数为50
10051000
⨯
= ，选A. 点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i
＝n∶N.
8．C
解析：C
【解析】
由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;
a=4a+1=5,k=k+1=3;
a=4a+1=21,k=k+1=4;
a=4a+1=85,k=k+1=5;
a=4a+1=341;k=k+1=6.
要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”. 9．D
解析：D
【解析】
【分析】
由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数
()
()
,
1,
a a
b a b
S
b a a b
⎧-≥
⎪
=⎨
+<
⎪⎩
的
值，由此计算可得结论.【详解】
由已知的程序框图可知:
本程序的功能是:计算并输出分段函数
()
()
,
1,
a a
b a b
S
b a a b
⎧-≥
⎪
=⎨
+<
⎪⎩
的值，
可得
2
tan cos
43
ππ
⎛⎫⎛⎫
⊗
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1
1
2
⎛⎫
=⊗-
⎪
⎝⎭
，
因为
1
1
2 >-，
所以，
113 111
222⎛⎫⎛⎫
⊗-=⨯+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
故选D.
【点睛】
本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】
如图，设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ， 则0≤x≤15，0≤y≤15，
两人到达汽车站的时刻（x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．
将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，
必须满足{（x ，y ）|0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515
515x y ≤⎧⎨
≤⎩
＜＜}，
即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×
5+10×10=125， 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=5
9
， 故选：C 【点睛】
本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值. 【详解】
0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=； 1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=； 3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=. 7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.
由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选A. 【点睛】
本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题
进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．A
解析：A 【解析】
分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过
当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟 ∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为532
55
P -=＝ ． 故选A .
点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键
二、填空题
13．【解析】【分析】确定在正方形的位置即可求解【详解】由题时则当在上运动时的长度大于5故的长度大于5的概率等于故答案为【点睛】本题考查长度型几何概型确定的轨迹是关键是基础题
解析：1
8
【解析】 【分析】
确定E 在正方形的位置即可求解 【详解】
由题3BG DF ==时5AG AF ==，则当E 在,GC CF 上运动时，AE 的长度大于5 故AE 的长度大于5的概率等于111
168
+= 故答案为
18
【点睛】
本题考查长度型几何概型，确定E的轨迹是关键，是基础题
14．【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20y﹣x
解析：3
8
【解析】
【分析】
由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，
5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）
|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．
【详解】
由题意知本题是一个几何概型，
设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，
则10≤x≤20，5≤y≤20，
甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，
则试验包含的所有区域是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，
甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，
如图：
正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为1
2
⨯15×
15
225
2
=，
∴甲至少需等待乙5分钟的概率是
225
3
2
3008
=，
故答案为
3
8
【点睛】
本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．【解析】如图所示分别为的中点因为到对角线的距离不大于所以点落在阴影部分所在区域由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得到对角线的距离不大于为故答案为
解析：
3
4
【解析】
如图所示，,,,
E F G H分别为,,,
AD DC AB BC的中点，因为P到对角线AC的距离不大2P落在阴影部分所在区域，由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得，P到对角线AC2
1
2223
2
1
444
⨯⨯⨯
-=
⨯
，故答案为
3
4
.
16．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环退出循环输出
解析：42
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S的值。

【详解】
输入0,2,1
S a i
===，
第一次循环，2,4,2S a i ===； 第二次循环，6,6,3S a i ===； 第三次循环，12,8,4S a i ===； 第四次循环，20,10,5S a i ===； 第五次循环，30,12,6S a i ===； 第六次循环，42,14,7S a i ===， 退出循环，输出42S =，故答案为42. 【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
17．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24 解析：
【解析】 【分析】
求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【详解】
4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况， ∴所求概率为=．
故答案为：． 【点睛】
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
18．【解析】分析：将原问题转化为几何概型的问题然后利用面积型几何概型公式整理计算即可求得最终结果详解：原问题即已知求的概率其中概率空间为如图所示的正方形满足题意的部分为图中的阴影部分所示其中结合面积型几 解析：
1725
【解析】
分析：将原问题转化为几何概型的问题，然后利用面积型几何概型公式整理计算即可求得最终结果.
详解：原问题即已知01,01x y ≤≤≤≤，求4
5
x y +≥
的概率， 其中概率空间为如图所示的正方形，满足题意的部分为图中的阴影部分所示， 其中4,05E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，40,5F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
结合面积型几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：
144
1725511125
p ⨯⨯
=-=
⨯.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.
19．【解析】分析：根据题意求出区间内随机取两个数分别记为以及对应平面区域的面积再求出满足调价使得函数有零点的所对应的平面区域的面积利用面积比的几何概型即可求解详解：由题意使得函数有零点则即在平面直角坐标 解析：14
π
-
【解析】
分析：根据题意，求出区间[,]-ππ内随机取两个数分别记为,a b ，以及对应平面区域的面积，再求出满足调价使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的所对应的平面区域的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.
详解：由题意，使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点， 则222(2)4()0a b π∆=--+≥，即222a b π+≥，
在平面直角坐标系中,a b 的取值范围，所以对应的区域，如图所示， 当,[,]a b ππ∈-对应的面积为边长为2π的正方形，其面积为24π，
所以其概率为
23
2
4
1
44πππ
π
-
=-.
点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算，对于几何概型概率可以为线段的长度
比，区域的面积、几何体的体积比等，其中这个“几何度量”值域大小有关，与形状和位置无关，解决的步骤为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”，在求出总的事件所对应的“几何度量”，最后根据公式求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
20．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力
解析：1
【解析】
分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果.
详解：7245%74(145%)72.1
⨯+⨯-=．
点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.
三、解答题
21．（1）0.4 （2）15人（3）3∶2
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，用频率估计概率值；
（2）计算样本中分数小于50的频率和频数，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）由题意计算样本中分数不小于70的学生人数以及男生、女生人数，求男生和女生人数的比例．
【详解】
解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．
所以从总体的300名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4．
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
故样本中分数小于50的频率为0.1，
故分数在区间[40，50)内的人数为100×0.1－5＝5．
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为5
30015100
⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为1
60302
⨯=． 所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，
男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理应用问题，属于中档题． 22．（Ⅰ）0.005m =（Ⅱ）6，4，2（Ⅲ）25
【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：
（1）种用频率分布直方图的意义，所有小长方形的面积和为1列方程即可； （2）利用（1）的结果分别求出数据每个区间内的频率，从而求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；
（3）由（2）知，成绩落在的学生共有6人，其中成绩落在[80,90)中的学生人数为4，记落在[80,90)中的学生为1234,,,a a a a ，落在[90,100]中的学生为12,b b ，利用古典概型的概率计算公式可求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．
试题解析：解：（1）由题意10(23456)1m m m m m ⨯++++=，0.005m =． （2）成绩落在[70,80)中的学生人数为20100.036⨯⨯=， 成绩落在[80,90)中的学生人数20100.024⨯⨯= 成绩落在[90,100]中的学生人数20100.012⨯⨯=．
（3）设落在[80,90)中的学生为1234,,,a a a a ，落在[90,100]中的学生为12,b b ， 则{}1121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b bb Ω=，基本事件个数为15n =，
设A ＝“此2人的成绩都在[80,90)”，则事件A 包含的基本事件数6m =， 所以事件A 发生概率62
()155
m P A n =
==． 考点：1、频率分布直方图；2、古典概型． 23．(1)30;(2)54,55;(3) X 的分布列如下：
数学期望3
EX = 【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×
0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为1
2
处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X 的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出． 试题解析：
（1）由频率分布直方图知年龄在[
)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=， 所以40名读书者中年龄分布在[
)40,70的人数为400.7530⨯=. （2）40名读书者年龄的平均数为
250.05350.1450.2550.3⨯+⨯+⨯+⨯ 650.25750.154+⨯+⨯=.
设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[
)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人， 年龄在[
)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，
()20242
41
015C C P X C ===， ()1124248
115C C P X C ===，
()02242
46
215
C C P X C ===， X 的分布列如下：
数学期望0121515153
EX =⨯
+⨯+⨯=. 24．（1）0.06，87.5，87.5；（2）
7
15
【解析】
【分析】
（1）根据小矩形面积之和等于1列方程求出a ，根据中位数定义估计中位数的范围，再列方程计算中位数，最高矩形的组中值为众数；（2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率即可求解
【详解】
（1）由题意，5×（0.01+0.02+0.04+0.05+a +0.02）＝1，解得a ＝0.06；
样本众数是 85902
+=87.5， 设样本中位数为b ，∵5×（0.01+0.02+0.04）＝0.35＜0.5，
5×（0.01+0.02+0.04+0.06）＝0.65＞0，
∴85＜b ＜90，
令5×（0.01+0.02+0.04）+（b ﹣85）×0.06＝0.5，解得b ＝87.5，
∴样本的中位数是87.5．
（2）成绩在[70，75）的人数为40×0.01×5＝2，成绩在[95，100]的人数为40×0.02×5＝4，
故从此6人中随机抽取2人，抽取的2人在同一分数段的概率为1112426715
C C C -=． ∴事件M 发生的概率为
715
． 【点睛】 本题考查了频率分布直方图，古典概型及其应用，注意对立事件的应用，属于基础题．
25．（1）0.01P =,n =100,（2）表见解析，没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，()34
E X =
【解析】
【分析】
（1）首先根据频率和为1求P ，再根据频率，频数和样本容量的关系求n ；
（2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写22⨯列联表；并根据公式计算2K 和3.841比较大小，做出判断；
（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为
14，由题意可知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 并求分布列和数学期望.
【详解】
（1）()0.0050.0180.0200.0220.025101P +++++⨯=
解得：0.01P =， 所以100.101
0n ==.
(2)因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525⨯=
从而22⨯列联表如下图所示:
()2210030101545100 3.0304555752533
K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关
(3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为
14. 由题意可知1~3,4X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
所以()3030
1127041464
P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭-=⎝⎭== ()321
1271146414P X C ⎛==-=⎫⨯ ⎪⎝⎭， ()2
231921464
14P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-= ()3
33413641P X C ⎛⎫ ⎪⎭=⎝== 所以X 的分布列为
故()344
E X =⨯
=. 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验，二项分布，意在考查利用所给数据，分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.
26．(1) 0.30, 频率分布直方图见解析，(2) 平均数为172.25，中位数为170.10
【解析】
【分析】。