行列式的计算及克莱姆法则

判断它有无非零解
例4 已知齐次线性方程组
kx + y + z = 0 x + ky + z = 0 x + y + kz = 0
有非零解，求系数 的值 的值。 有非零解，求系数k的值。
注意： 注意：
1 求出解后，一般应代回方程组检验 求出解后， 2 应用克莱姆法则解线性方程组，计算量 应用克莱姆法则解线性方程组， 仍很大， 仍很大，后面我们会给出更一般的解 法。
齐次线性方程组： 齐次线性方程组：常数皆为零的线性方程组 齐次线性方程组的解： 齐次线性方程组的解： 显然，所有未知量皆取零， 显然，所有未知量皆取零，则为齐次线性方程 组的一个解，这个解称为零解 零解； 组的一个解，这个解称为零解； 此外，若未知量的一组不全为零的值也是它的 此外， 这个解称为非零解 非零解。 解，这个解称为非零解。 齐次线性方程组一定有零解， 齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零 解，下面给出定理
Q D1 =
5 2 9 4
=2
D2 =
1 5 3 9
= −6
D1 2 x1 = D = −2 = −1 所以， 所以，该方程组的解为 x = D2 = −6 = 3 2 D −2
x1 − x2 + x3 = 1 例2 解线性方程组 x1 − 2 x2 − x3 = 0 3x + x + 2 x = 7 3 1 2
结论： 结论：
定理1.2 n阶行列式 等于它的任意一行（列） 阶行列式D等于它的任意一行 定理 阶行列式 等于它的任意一行（ 各元素与其代数余子式乘积之和， 各元素与其代数余子式乘积之和，即
a11 D = a21
M
a12 L a1n a22 L a2 n
M M
an1
an 2 L ann
= a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n = a21 A21 + a22 A22 + L + a2 n A2 n = L = an1 An1 + an 2 An 2 + L + ann Ann = a11 A11 + a21 A21 + L + an1 An1 = a12 A12 + a22 A22 + L + an 2 An 2 = L = a1n A1n + a2 n A2 n + L + ann Ann
2
2
例1 已知四阶行列式
1 4 −2 5
−1 0 3 2 7 6 9
1 0 4
8 −3
，写出元素 a23 = 2
的余子式 M 23与代数余子式 A23。
1 −1 7 6 1 −3 ， 4
解： M 23 = −2 5
A23 = (−1) 2+3 M 23 = (−1) 2+3
1 −1 1 −2 7 −3 5 6 4
则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素 阶行列式为元素 则称剩余元素构成的 数余子式， 数余子式，记为 Aij = ( −1)i + j M ij
aij 的余 子式， 子式，记为 M ij ；并称 ( −1)i + j M ij 为元素 aij 的代
n阶行列式共有n 个元素，有 n 个代数余子式。 阶行列式共有 个元素， 个代数余子式。
a11 x1 + a12 x2 = b1 对于二元线形方程组 a21 x2 + a22 x2 = b2
当 a11a 22 − a12 a 21 ≠ 0 时，此线形方程组仅有唯一 解
a 2 2 b1 − a 1 2 b 2 x1 = a a − a a 11 22 12 21 x = a 1 1 b 2 − a 2 1 b1 2 a1 1 a 2 2 − a1 2 a 2 1
b1 b2 D1 = M bn a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann
a11 b1 L a1n a21 b2 L a2 n D2 = M M M an1 bn L ann
a11
‥‥‥
a12 L b1 a22 L b2 M M an 2 L bn
Dn =
a21 M an1
= 64 − 70 = −6
1 2 2 1 0 1 1 2 例4 计算四阶行列式 2 0 1 2 0 2 0 1
1+ x 1 1 1 1 1 1− y
例5 计算四阶行列式
1 1 1
1− x 1 1 1+ y 1 1
0 1 0 L 0 0 0 1 L 0 M 计算n阶行列式 例6 计算 阶行列式 M M M 0 0 0 L 1 1 0 0 L 0
= a21 (−1) 2+1 M 21 + a22 (−1) 2+ 2 M 22 + a23 (−1) 2+3 M 23 + a24 (−1) 2+ 4 M 24
= 4 ⋅ (−1) 2+1 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−1) 2+ 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ (−1) 2+3 ⋅ 7 +1 ⋅ (−1)
2+ 4
a11
对于三阶行列式 a21
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a31
三组同学分别计算 第一组： 第一组：a11 A11
+ a12 A12 + a13 A13 第二组： 第二组：a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 第三组：a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 第三组：
此时， 此时，若 D ≠ 0 ，则方程组有唯一解
D1 x1 = D x = D2 2 D LL x = Dn n D
x1 + 2 x2 = 5 例1 解线性方程组 3 x2 + 4 x2 = 9
Q 解： D = 1 2 3 4 = −2 ≠ 0 ，故此方程组有唯一解
D1 x1 = D x = D2 2 D
克莱姆法则
已知有n个线性方程式构成的 元 已知有 个线性方程式构成的n元 个线性方程式构成的 线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
如果有非零解，则系数行列式D=0； 如果有非零解，则系数行列式 ； 如果系数行列式D=0，则有非零解。 ，则有非零解。 如果系数行列式
例3 已知齐次线性方程组
x2 + x3 + 2 x4 = 0 x + 2x + x = 0 1 3 4 x1 + 2 x2 + x4 = 0 2 x1 + x2 + x3 = 0
⋅ 8 = −8
7
0
4
0
例3 计算四阶行列式
1 0 5 2 3 −1 −1 6 8 0 5 0
7
0
4
0
1 0 5 2 （按第2列展开） 解：3 −1 −1 6 ======== 0× A +0× A +(−1)× A +0× A 12 22 32 42 8 0 5 0 7 4 0
= (−1) × (−1)3+ 2 1 5 2 8 5 0
1 −1 3 1 1 2
1 −1
1
D = 1 −2 −1 = 9 ≠ 0
D1 = 0 −2 −1 = 18 7 1 2
1 1
1
1 −1 1 D3 = 1 −2 0 = 0 3 1 7
D2 = 1 0 −1 = 9 3 7 2
x1 = 2 该方程组的解为 x2 = 1 x = 0 3
行列式的展开
计算行列式的一种思路是化为三角形 行列式求值， 行列式求值，另一种思路则是化为较低 阶行列式求值， 阶行列式求值，其依据就是行列式的展 开。
定义1.4 定义
aij (1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ n)
阶行列式D中 在n阶行列式 中，若化掉元素 阶行列式 所在的第i行与第 列 所在的第 行与第j列， 行与第
定理1.3 已知有 个线性方程式构成的 元齐次 已知有n个线性方程式构成的 个线性方程式构成的n元齐次 定理 线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0
用行列式表示： 用行列式表示：
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
系数行列式） （系数行列式）
D1 =
b1 b2
a12 a22
= b1a22 − a12b2
a11 b1 D2 = = a11b2 − a21b1 a21 b2
当D
≠ 0 时，此线性方程组的唯一解为
计算n阶行列式时， 计算 阶行列式时，只须应用其中一个关系式 阶行列式时
已知4阶行列式 阶行列式D中第二行的元素自左向右依 例2 已知 阶行列式 中第二行的元素自左向右 次为 ，3，2，1，它们的余子式分别为 ， 6，7，8，求4阶行列式 的值。 ， ， ， 阶行列式D的值 阶行列式 的值。 解：D = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 + a24 A24
a11 a21 令其系数行列式为 D = M an1 a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann
系数行列式中第1， ，‥‥n列元素分别用线性 系数行列式中第 ，2，‥‥ 列元素分别用线性 方程组常数项对应替换后得到的行列式 D1, D2 L Dn 分别记为： 分别记为：
例7 计算n阶行列式 计算 阶行列式
a b 0L 0 0 0 a bL 0 0
M M M M M
0 0 0L a b b 0 0L 0 a
§1.4 克莱姆法则
行列式的一个重要应用就是解线性方程组。 行列式的一个重要应用就是解线性方程组。 本节我们就从最简单的二元线性方程组入手， 本节我们就从最简单的二元线性方程组入手， 讨论如何运用行列式解线性方程组。 讨论如何运用行列式解线性方程组。