2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.
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状元随笔 异面直线所成角的范围是 0 °<θ≤90 °，所以垂直有
两种情况：异面垂直和相交垂直．
[教材解难]
求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点， 常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有 困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找 的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为 θ.若 0°<θ≤90°，则 θ 为所求；若 90°<θ<180°，则 180°－θ 为所求．
答案：(1)C
(2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD， CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________．
解析：
(2)如题图，过点 M 作 ME∥DN 交 CC1 于点 E，连接 A1E，则 ∠A1ME 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角(或其补角)，E 为 CN 的中 点．设正方体的棱长为 a，则 A1M＝32a，ME＝ 45a，A1E＝ 441a， 所以 A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为 90°.
[基础自测]
1．已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：由已知得直线 c 与 b 既可能为异面直线，也可能为相交 直线，但不可能为平行直线，若 b∥c，则 a∥b，与已知 a、b 为异 面直线相矛盾．
状元随笔
利用中位线作平行线，找出异面直线 DB1 与 EF 所成的角即可 求解.
方法归纳 求异面直线所成角的步骤
一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三 角形求解．
跟踪训练 1 (1)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直 线 A1B 与 B1C 所成的角为( )
C. 答案：C
3．已知正方体 ABCD－A′B′C′D′中： (1)BC′与 CD′所成的角为________； (2)AD 与 BC′所成的角为________．
解析：连结 BA′，则 BA′∥CD′，连结 A′C′， 则∠A′BC′就是 BC′与 CD′所成的角．由△A′BC′为正 三角形．
【解析】 方法一 如图所示，连接 A1C1，B1D1，并设它们相 交于点 O，取 DD1 的中点 G，连接 OG，A1G，C1G，
则 OG∥B1D，EF∥A1C1， ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． ∵GA1＝GC1，O 为 A1C1 的中点，∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
则∠DPM 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． 设 AA1＝k(k>0)，则 MP＝ 22k，DM＝ 25k，DP＝ 23k，
∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线 DB1 与 EF 所成 的角为 90°.
方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正
方体，连接 B1Q，易得 B1Q∥EF， ∴∠DB1Q 就是异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． 设 AA1＝k(k>0)，则 B1D＝ 3k，DQ＝ 5k，B1Q＝ 2k， ∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：(1)连接 A1D，DB，∵A1D，DB 和 BA1 分别是正方体三 个面上的对角线，∴A1D＝DB＝BA1，∴∠BA1D＝60°.
∵B1C∥A1D，∴B1C 与 A1B 所成的角即 A1D 与 A1B 所成的角， 即∠BA1D.故异面直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°.
方法二 如图所示，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE， 则 HE 綊12DB1，
∴∠HEF 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． 连接 HF，设 AA1＝1，则 EF＝ 22，HE＝ 23， 取 A1D1 的中点 I，连接 HI，IF，则 HI⊥IF， ∴HF2＝HI2＋IF2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2， ∴∠HEF＝90°. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
答案：C
来自百度文库
2．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，直线 AD1 与 DC1 所 成角的大小为( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
解析：连接 AB1 和 B1D1，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB1 ＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线 AD1 与 DC1 所成的角即为 直线 AB1 与 AD1 所成的角，设∠B1AD1＝θ，在等边三角形 AB1D1 中，∠B1AD1＝60°，即异面直线 AD1 与 DC1 所成的角为 60°，故选
方法三：如图，连接 A1C1，分别取 AA1，CC1 的中点 M，N，连接 MN.
∵E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点， ∴EF∥A1C1，又 MN∥A1C1，∴MN∥EF.
连接 DM，B1N，MB1，DN，则 B1N 綊 DM，
∴四边形 DMB1N 为平行四边形，∴MN 与 DB1 必相交，设交点为 P，
知识点 异面直线所成的角 θ 1．定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线
a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐___角_ (或_直__角_)叫作异面直
线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
2．范围：__0_°_<_θ_≤__9_0_°__. 3．当 θ＝_9_0_°_时，a 与 b 互相垂直，记作a_⊥__b_.
∴∠A′BC′＝60°， 由 AD∥BC，∴AD 与 BC′所成的角就是∠C′BC. 易知∠C′BC＝45°. 答案：(1)60° (2)45°
题型一 求异面直线所成的角[经典例题] 例 1 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点，求异面直线 DB1 与 EF 所成的角的大小．
两种情况：异面垂直和相交垂直．
[教材解难]
求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点， 常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有 困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找 的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为 θ.若 0°<θ≤90°，则 θ 为所求；若 90°<θ<180°，则 180°－θ 为所求．
答案：(1)C
(2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD， CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________．
解析：
(2)如题图，过点 M 作 ME∥DN 交 CC1 于点 E，连接 A1E，则 ∠A1ME 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角(或其补角)，E 为 CN 的中 点．设正方体的棱长为 a，则 A1M＝32a，ME＝ 45a，A1E＝ 441a， 所以 A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为 90°.
[基础自测]
1．已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：由已知得直线 c 与 b 既可能为异面直线，也可能为相交 直线，但不可能为平行直线，若 b∥c，则 a∥b，与已知 a、b 为异 面直线相矛盾．
状元随笔
利用中位线作平行线，找出异面直线 DB1 与 EF 所成的角即可 求解.
方法归纳 求异面直线所成角的步骤
一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三 角形求解．
跟踪训练 1 (1)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直 线 A1B 与 B1C 所成的角为( )
C. 答案：C
3．已知正方体 ABCD－A′B′C′D′中： (1)BC′与 CD′所成的角为________； (2)AD 与 BC′所成的角为________．
解析：连结 BA′，则 BA′∥CD′，连结 A′C′， 则∠A′BC′就是 BC′与 CD′所成的角．由△A′BC′为正 三角形．
【解析】 方法一 如图所示，连接 A1C1，B1D1，并设它们相 交于点 O，取 DD1 的中点 G，连接 OG，A1G，C1G，
则 OG∥B1D，EF∥A1C1， ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． ∵GA1＝GC1，O 为 A1C1 的中点，∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
则∠DPM 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． 设 AA1＝k(k>0)，则 MP＝ 22k，DM＝ 25k，DP＝ 23k，
∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线 DB1 与 EF 所成 的角为 90°.
方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正
方体，连接 B1Q，易得 B1Q∥EF， ∴∠DB1Q 就是异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． 设 AA1＝k(k>0)，则 B1D＝ 3k，DQ＝ 5k，B1Q＝ 2k， ∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：(1)连接 A1D，DB，∵A1D，DB 和 BA1 分别是正方体三 个面上的对角线，∴A1D＝DB＝BA1，∴∠BA1D＝60°.
∵B1C∥A1D，∴B1C 与 A1B 所成的角即 A1D 与 A1B 所成的角， 即∠BA1D.故异面直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°.
方法二 如图所示，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE， 则 HE 綊12DB1，
∴∠HEF 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)． 连接 HF，设 AA1＝1，则 EF＝ 22，HE＝ 23， 取 A1D1 的中点 I，连接 HI，IF，则 HI⊥IF， ∴HF2＝HI2＋IF2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2， ∴∠HEF＝90°. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
答案：C
来自百度文库
2．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，直线 AD1 与 DC1 所 成角的大小为( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
解析：连接 AB1 和 B1D1，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB1 ＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线 AD1 与 DC1 所成的角即为 直线 AB1 与 AD1 所成的角，设∠B1AD1＝θ，在等边三角形 AB1D1 中，∠B1AD1＝60°，即异面直线 AD1 与 DC1 所成的角为 60°，故选
方法三：如图，连接 A1C1，分别取 AA1，CC1 的中点 M，N，连接 MN.
∵E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点， ∴EF∥A1C1，又 MN∥A1C1，∴MN∥EF.
连接 DM，B1N，MB1，DN，则 B1N 綊 DM，
∴四边形 DMB1N 为平行四边形，∴MN 与 DB1 必相交，设交点为 P，
知识点 异面直线所成的角 θ 1．定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线
a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐___角_ (或_直__角_)叫作异面直
线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
2．范围：__0_°_<_θ_≤__9_0_°__. 3．当 θ＝_9_0_°_时，a 与 b 互相垂直，记作a_⊥__b_.
∴∠A′BC′＝60°， 由 AD∥BC，∴AD 与 BC′所成的角就是∠C′BC. 易知∠C′BC＝45°. 答案：(1)60° (2)45°
题型一 求异面直线所成的角[经典例题] 例 1 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点，求异面直线 DB1 与 EF 所成的角的大小．