湖南省邵东三中2020-2021学年高二下学期期中考试理数试题

湖南省邵东三中【最新】高二下学期期中考试理数试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．复数2i

z 2i

-=

+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60︒”时，应假设（ ） A ．三个内角都不大于60︒ B ．三个内角都大于60︒

C ．三个内角至多有一个大于60︒

D ．三个内角至多有两个大于60︒

3．通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：

由

得，

参照附表，得到的正确结论是 （ ）

A ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好运动与性别有关”

B ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为 “爱好运动与性别有关”

C ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好运动与性别无关”

D ．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关”

4．已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( )

5．2

(3sin )x x dx π

+⎰

=（ ）

A ．

2

14

π-

B ．312

π+

C ．2

318

π-

D ．2

318

π+

6．已知函数f(x)=x 3+x 2+(a +6)x +1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(−1,2) B ．(−∞,−3)∪(6,+∞) C ．(−3,6)

D ．(−∞,−1)∪(2,+∞)

7．在R 上可导的函数()f x 的图象如图示，()'f x 为函数()f x 的导数，则关于x 的不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)

C ．(2,1)(1,2)--⋃

D ．(,2)

(2,)-∞-+∞

8．()12n

x -的展开式中，各项系数的和是（ ） A ．-1

B ．1

C ．()1n

-

D ．2n

9．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A =（ ）

A ．

18

B ．

14

C ．

25

D ．

12

10．已知一个射手每次击中目标的概率为3

5

p =，他在四次射击中命中两次的概率为（ ） A ．

36625

B ．

216

625

C ．

96625

D ．

24625

11．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A ．210种

B ．420种

C ．630种

D ．840种

12．设ABC ∆的三边长分别为a,b,c, ABC ∆的面积为S ，则ABC ∆的内切圆半径为

2=

++S

r a b c

，将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC 的四个面的面积分别为

1234,,,s s s s ，体积为V ，则四面体的内切球半径为（ ）

A ．1234

+++V

S S S S

B ．1234

2+++V

S S S S

C ．

12343+++V

S S S S

D ．

1234

4+++V

S S S S

二、填空题

13．(1)2,,i x yi x y x yi -=++=设其中是实数，则________________ 14

．二项式210)x 的展开式中的常数项是 __________． 15．用0到9这10个数字，可以组成_________个没有重复数字的三位数．

16．已知随机变量X 服从二项分布()10,0.6B ，随机变量82X η=-，则D η=______。 17．直线23y x =+与抛物线2y x 所围成的图形面积是_______________．

三、解答题

18．某种产品的广告费支出x （单位：百万元）与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应数据：

（1）画出散点图；

（2）求y 关于x 的线性回归方程。

（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？ 参考公式

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：

，a y bx =-．

19．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为

，乙、丙面试合格的概率都是

，且面试是否合格互不影响．

（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．

20．已知数列114⨯ ，147⨯ ，1

710

⨯ ，...，1(32)(31)n n -⨯+，...，记数列的前n 项

和n S .

（1）计算1S ，2S ，3S ，4S ； （2）猜想n S 的表达式，并证明.

21．设1x =与2x =-是函数()3

2

2,0f x ax bx x a =+-≠的两个极值点.

（1）试确定常数a 和b 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；

22．已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈．

（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在 [1,3]上是减函数，求实数a 的取值范围；

（3）令2

()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈（e 是自然对数的底数）时，

函数()g x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．