预防医学统计学课件(正态分布及其应用)
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Байду номын сангаас
肺活量仅过低异常，应采用单侧制定下侧界值。
通常使用的医学参考值范围有90%，95%， 99%；最常用为95%。
补充习题
抽样调查某市45-55岁健康男性居民的血脂水平， 184名45-55岁健康男性居民的血清总胆固醇的 X=4.84mmol/L，S=0.96mmol/L，已知健康人 的血清总胆固醇服从正态分布。 （1）估计该市45-55岁健康男性居民的血清总胆 固醇的95%参考值范围； （2）估计该市45-55岁健康男性居民中，血清总 胆固醇低于3.80 mmol/L所占的比例。
二、正态分布图形特征
1、高峰位于中央，两侧逐渐下降并对称，
曲线两端不与横轴相交
2、以均数为中心，左右对称
f ( x)
3、正态分布有两个参数:
(1)位置参数 μ (2)形态参数σ
4、正态分布曲线下的面积有
一定的分布规律
0
x
3、正态分布的两个参数
(1) μ－位置参数：决定高峰的位置 当σ一定时， μ越大，曲线沿横轴向右移； μ越小，曲线沿横轴向左移。 (2) σ－形态参数：决定曲线的形态 当μ一定时， 越大,曲线越平坦; 越小，曲线越陡峻。
附表1
Φ(u)
－∞ －3 －2 －1 0 ＋1 ＋2 ＋3 ＋ ∞
查表确定标准正态分布曲线下的 面积时必须注意：
（1）当μ，σ和X已知时，先按u变 换公式求得u值，再用u值查表；
x u
当μ，σ和X未知时，用样本均数 和样本标准差代替求u值。
u
x x
s
（ 2 ）查表时，可以利用标准正态分 布的两个特征：
即血清总胆固醇低于3.80 mmol/L所占的 比例为14.01%。
参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态 分布，记作X~N(0, 1)。 ( x) 其密度函数为
1 ( x) 2 ( x )
x2 e 2
4 2 0
2
4
2、标准正态分布曲表
Φ(u)：表示标准正态分布曲线下区间（ －∞ ，u） 之间的面积，即对应u值左侧标准正态分布曲线 下面积。
2
f ( x)
μ3 ＞ μ1 ＞ μ2
N (4,3 / 5)
N (4,1)
N (4,7 / 5)
0
2
4
6 x
三、正态曲线下面积的分布规律
正态曲线与X轴所夹的面积恒等于1或100%
面积总 等于1
已知：X服从均数为μ ，标准差为σ的正态分 布，试估计X取值在μ± σ， μ±1.96 σ， μ±2.58σ区间上的概率 ( x )2
x
2、百分位数法
(1)适用范围：
适用任何分布 类型的资料
(2)计算公式： 双侧：
95％:P2.5～P97.5 99％:P0.5～P99.5
单侧：
上限 95％: 99％: 下限 95％: 99％: <P95 <P99 > P5 > P1
通常依据医学专业知识确定单双侧，例如： 血清总胆固醇无论过低或过高均属异常，应采 用双侧制定上下侧界值； 血清转氨酶仅过高异常，应采用单侧制定上侧 界值；
正常人：排除了对所研究指标有影响 的疾病和有关因素的同质的人群
1、正态分布法
(1)适用范围：（近似）正态分布或对数正
态分布资料
(2)计算公式:
双侧
95％： 99％：
单侧
上限
x
x ±1.96S
±2.58S
下限
95％:x ＋1.645S 99％: x ＋2.326S 95％:x －1.645S 99％: －2.326S
1 2 2 f ( x) e 2 其中 x
95.00% 2.5% 2.5%
μ -1.96 σ
μ + 1.96σ
1 2 3
μ±σ的区间占总面积的68.27％
μμμ + σ 95％ ±σ 1.96σ的区间占总面积的
μ±2.58σ的区间占总面积的99％
四、
标准正态分布
预防医学（医学统计学）实习
实习二：正态分布及其应用
实习纲要
正态分布的概念
正态分布的图形特征
正态曲线下面积的分布规律
标准正态转换与标准正态分布的特征
正态分布的应用
一、正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频数分布是中 间频数多，两边频数少，且左右对称。比如,考察一 群人的身高,个体的身高是一个随机变量,其取值特点 是:在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较 少。一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似 的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因 此很多文献中亦称之为高斯分布（Gaussian distribution）。
一. 一般正态分布
1. 定义 若随机变量X的密度函数为
1 2 2 f ( x) e 2 其中 x ( x )2
f ( x)
0
x
式中 为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,记为N(, 2).可表为X～N(, 2). 图象见右上角
a.
曲线下对称 于0的区间， 面积相等；
b.
曲线下横轴 上的总面积 为100％或1。
Φ(u)=1- Φ(-u)
五、正态分布的应用
1、估计频数分布 2、制定医学参考值范围 3、质量控制 4、统计处理方法的基础
2、医学参考值范围的制定
医学参考值：指绝大多数正常人的人 体形态、功能和代谢产物等各种生理 及生化指标所在范围。
(1)血清胆固醇95%参考值范围： x±1.96s=4.84±1.96×0.96= (2.96,6.72)（mmol/L）
即该市45-55岁健康男性居民的血清总胆固醇的 95%参考值范围为（2.96,6.72）（mmol/L）
(2)
u=
3.80－4.84
0.96
＝ － 1.08
Ф(u) =Ф(-1.08)=0.1401
肺活量仅过低异常，应采用单侧制定下侧界值。
通常使用的医学参考值范围有90%，95%， 99%；最常用为95%。
补充习题
抽样调查某市45-55岁健康男性居民的血脂水平， 184名45-55岁健康男性居民的血清总胆固醇的 X=4.84mmol/L，S=0.96mmol/L，已知健康人 的血清总胆固醇服从正态分布。 （1）估计该市45-55岁健康男性居民的血清总胆 固醇的95%参考值范围； （2）估计该市45-55岁健康男性居民中，血清总 胆固醇低于3.80 mmol/L所占的比例。
二、正态分布图形特征
1、高峰位于中央，两侧逐渐下降并对称，
曲线两端不与横轴相交
2、以均数为中心，左右对称
f ( x)
3、正态分布有两个参数:
(1)位置参数 μ (2)形态参数σ
4、正态分布曲线下的面积有
一定的分布规律
0
x
3、正态分布的两个参数
(1) μ－位置参数：决定高峰的位置 当σ一定时， μ越大，曲线沿横轴向右移； μ越小，曲线沿横轴向左移。 (2) σ－形态参数：决定曲线的形态 当μ一定时， 越大,曲线越平坦; 越小，曲线越陡峻。
附表1
Φ(u)
－∞ －3 －2 －1 0 ＋1 ＋2 ＋3 ＋ ∞
查表确定标准正态分布曲线下的 面积时必须注意：
（1）当μ，σ和X已知时，先按u变 换公式求得u值，再用u值查表；
x u
当μ，σ和X未知时，用样本均数 和样本标准差代替求u值。
u
x x
s
（ 2 ）查表时，可以利用标准正态分 布的两个特征：
即血清总胆固醇低于3.80 mmol/L所占的 比例为14.01%。
参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态 分布，记作X~N(0, 1)。 ( x) 其密度函数为
1 ( x) 2 ( x )
x2 e 2
4 2 0
2
4
2、标准正态分布曲表
Φ(u)：表示标准正态分布曲线下区间（ －∞ ，u） 之间的面积，即对应u值左侧标准正态分布曲线 下面积。
2
f ( x)
μ3 ＞ μ1 ＞ μ2
N (4,3 / 5)
N (4,1)
N (4,7 / 5)
0
2
4
6 x
三、正态曲线下面积的分布规律
正态曲线与X轴所夹的面积恒等于1或100%
面积总 等于1
已知：X服从均数为μ ，标准差为σ的正态分 布，试估计X取值在μ± σ， μ±1.96 σ， μ±2.58σ区间上的概率 ( x )2
x
2、百分位数法
(1)适用范围：
适用任何分布 类型的资料
(2)计算公式： 双侧：
95％:P2.5～P97.5 99％:P0.5～P99.5
单侧：
上限 95％: 99％: 下限 95％: 99％: <P95 <P99 > P5 > P1
通常依据医学专业知识确定单双侧，例如： 血清总胆固醇无论过低或过高均属异常，应采 用双侧制定上下侧界值； 血清转氨酶仅过高异常，应采用单侧制定上侧 界值；
正常人：排除了对所研究指标有影响 的疾病和有关因素的同质的人群
1、正态分布法
(1)适用范围：（近似）正态分布或对数正
态分布资料
(2)计算公式:
双侧
95％： 99％：
单侧
上限
x
x ±1.96S
±2.58S
下限
95％:x ＋1.645S 99％: x ＋2.326S 95％:x －1.645S 99％: －2.326S
1 2 2 f ( x) e 2 其中 x
95.00% 2.5% 2.5%
μ -1.96 σ
μ + 1.96σ
1 2 3
μ±σ的区间占总面积的68.27％
μμμ + σ 95％ ±σ 1.96σ的区间占总面积的
μ±2.58σ的区间占总面积的99％
四、
标准正态分布
预防医学（医学统计学）实习
实习二：正态分布及其应用
实习纲要
正态分布的概念
正态分布的图形特征
正态曲线下面积的分布规律
标准正态转换与标准正态分布的特征
正态分布的应用
一、正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频数分布是中 间频数多，两边频数少，且左右对称。比如,考察一 群人的身高,个体的身高是一个随机变量,其取值特点 是:在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较 少。一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似 的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因 此很多文献中亦称之为高斯分布（Gaussian distribution）。
一. 一般正态分布
1. 定义 若随机变量X的密度函数为
1 2 2 f ( x) e 2 其中 x ( x )2
f ( x)
0
x
式中 为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,记为N(, 2).可表为X～N(, 2). 图象见右上角
a.
曲线下对称 于0的区间， 面积相等；
b.
曲线下横轴 上的总面积 为100％或1。
Φ(u)=1- Φ(-u)
五、正态分布的应用
1、估计频数分布 2、制定医学参考值范围 3、质量控制 4、统计处理方法的基础
2、医学参考值范围的制定
医学参考值：指绝大多数正常人的人 体形态、功能和代谢产物等各种生理 及生化指标所在范围。
(1)血清胆固醇95%参考值范围： x±1.96s=4.84±1.96×0.96= (2.96,6.72)（mmol/L）
即该市45-55岁健康男性居民的血清总胆固醇的 95%参考值范围为（2.96,6.72）（mmol/L）
(2)
u=
3.80－4.84
0.96
＝ － 1.08
Ф(u) =Ф(-1.08)=0.1401