离散数学图论基础知识

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
XDC
C
S
|
1)
图的分类-按边的重数
在有向图中,两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终
点的几条边,则这几条边称为平行边,在无向图中,两个结点 间(包括结点自身间)若有几条边,则这几条边称为平行边;
S
W
2)
两结点vi,vj间相互平行的边的条数称为边(vi,vj)或<vi,vj>的
重数; 含有平行边的图称为多重图;非多重图称为线图;
U
S T
XDC
C
S
|
结点的度数 (次数)
1) 在无向图G=<V,E>中,与结点v(vV)关联的边的条 数(有环时计算两次),称为该结点的度数,记为 deg(v); 1) 在有向图G=<V,E>中,以结点v 为始点引出的边的条数,称为该 结点的出度,记为deg+(v);以结点v 为终点引入的边的条数,称为该 结点的入度,记为deg-(v);而结点 的引出度数和引入度数之和称为 该 结 点 的 度 数 , 记 为 deg(v) , 即 deg(v)=deg+(v)+deg-(v); XDC
有一段公共的边界,而不仅仅只有一个公共
点。四色猜想有一段有趣的历史。
XDC
C
S
|
图 论
每个地图可以导出一个图,其中国家都是点,当相应的 两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所以四色 猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面 图理论、代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用。 四色猜想的提出来自英国。1852年,毕业于伦敦大学的
S
W
U
S T
定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯
普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定 了。于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目, 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 XDC
C
S
|
图 论
进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后,由于 演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快 了对四色猜想证明的进程。 1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了
XDC
C
S
|
图 论
理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之
间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问
题,P-NP问题等),通信网络通讯(网络设计, 通讯速度
S
W
和容量, 网络可靠性和容错性等) ;
在基础理论方面的著名四色定理和各种染色问题,极 值理论及树、路和圈问题,HAMILTON理论等); 网络流、组合最优化等运筹学问题;任务人员安排等 管理科学和系统科学的问题以及在物理,化学,社会学,
U
3)
S T
4)
无自回路的线图称为简单图。
G1、G2是多重图,G3, G4是线图,G4是简单图。
XDC
C
S
|
赋权图
图的分类-按权
G是一个三重组<V,E,g>或四重组<V,E,f,g>,
S
W
其中V是结点集合,E是边的集合,f是从V到非负
实数集合的函数,g是从E到非负实数集合的函数。 非赋权图称为无权图。
1859年,英国数学家哈米尔顿发明了一种游戏:用一 个规则的实心十二面体,它的20个顶点标出世界著名 的20个城市,要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶 点刚好一次的闭回路,即「绕行世界」。 用图论的语言来说,游戏的目的是在十二面体的图中
S
W
U
S T
找出一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密顿问题。
U
S T
语言学,生物学等领域的大量应用问题。
XDC
C
S
|
图 论
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的 图形,这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特 定关系,用点代表事物,用连接两点的线表示相应两 个事物间具有这种关系。 图论本身是应用数学的一部份,因此,历史上图论曾经
S
W
U
S T
被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字
S
W
U
S T
台,而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络
的研究中。图论,尤其是随机图论已经与统计物理并 驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
XDC
C
S
|

8.1 图的基本概念
A、B、C、D四个 班进行足球比赛,为了表示四个 班之间比赛的情况,我们作出如 右上图的图形。在该图中的4个小 圆圈分别表示这四个班,称之为 结点。如果两个班进行了比赛, 则在两个结点之间用一条线连接 起来,称之为边。这样,利用图 形使得各班之间的比赛情况一目 了然。 XDC
由于运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都
可以化为哈密顿问题,从而引起广泛的注意和研究。
XDC
C
S
| 四色猜想。
图 论
在图论的历史中,还有一个最著名的问题——
S
W
U
S T
这个猜想说,在一个平面或球面上的任何地图 能够只用四种颜色来着色,使得没有两个相 邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一
个单连通域构成,而两个国家相邻是指它们
3) 每条边都是无向边的图称为无向图; 4) 每条边都是有向边的图称为有向图;
5) 有些边是无向边,而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点,用由u指向v的有向线段表示 <u,v>,无向线段表示(u,v)。 XDC
C
S
|
图的分类-按边的方向
S
W 上图所示的三个图分别表示为:
G1=<V1,E1>=<{v1,v2,v3,v4},{(v1,v2),(v2,v3), (v1,v3),(v2,v4),(v1,v4),(v3,v4)}> G2=<V2,E2>=<{a,b,c,d,e},{<a,b>,<c,b>, <c,a>,<d,e>}> G3=<V3,E3>=<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>, <3,5>,<4,5>}>
U
S T
G1是无向图,G2是有向图,G3是混合图。
XDC
C
S
|
图的分类-按边的方向
设图G=<V,E>如右图所示。 这里 V={v1,v2,v3,v4,v5},
S
W
U
S T
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6},
其中 e1=(v1,v2),e2=<v1,v3>,e3=(v1,v4), e4=(v2,v3),e5=<v3,v2>,e6=(v3,v3)。 图中的e1、e3、e4是无向边,e2、e5是有向边。 这是一个混合图。
S
W
U
S T
C
S
|
图的定义
定义8.1一个图是一个序偶<V,E>,记为 G=<V,E>,其中: 1) V={v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合, vi(i=1,2,3,…,n)称为结点,简称点,V为结 点集; 2) E={e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合, ei(i=1,2,3,…,m)称为边,E为边集,E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E,都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
C
S
|
2013年1月20日星期日
S
W
勿在浮沙筑高台!
程序设计领域里,每一个人都想飞。 但是,还没有学会走之前,连怕跑都别想!
U
S T
XDC
C
S
|
2013年1月20日星期日
S
W
U
S T
图论基础知识讲解
该材料用于图论第1讲课图论基础知识讲解环节
XDC
C
S
|
图 论
图论是组合和离散数学最重要的分支之一,也是计算 机基础理论科学的重要部分。它以图为研究对象。在 理论计算机科学、运筹学、系统科学和数学中都有重 要的地位。 而信息科学和生物科学已成为当今科学和经济发展的
S
W
U
S T
C
S
|
结点的度数 (次数)
1) 对于图G=<V,E>,度数为1的结点称为悬挂结点, 它所关联的边称为悬挂边。 2) 在图G=<V,E>中,称度数为奇数的结点为奇度数结 点,度数为偶数的结点为偶度数结点。
S
W
U
S T v5是悬挂结点,<v1,v5>为悬挂边。
XDC
C
S
|
子图
定义8.7 设有图G=<V,E>和图G'=<V',E'>。 1) 若 V'V , E'E, 则 称 G' 是 G 的 子 图 , 记 为 G'G。
XDC
C
S
|
图的分类-按边的方向
1) 若边e与无序结点对(u,v)相对应,则称边e为无向边,
S
W
U
S T
记为e=(u,v),这时称u,v是边e的两个端点; 2) 若边e与有序结点对<u,v>相对应,则称边e为有向边 (或弧),记为e=<u,v>,这时称u是边e的始点(或弧 尾).v是边e的终点(或弧头),统称为e的端点;
S
W
U
S T
弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作
时,发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可 以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上 不同的颜色。 XDC
C
S
|
图 论
1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学 学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界 关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了 四色猜想的大会战。 1878~1880年两年间,著名律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色
记载最早出现在欧拉1736年的论着中,他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
XDC
C
S
|
问题。
图 论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥
S
W
欧拉证明了这个问题没有解,并
且推广了这个问题,给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍
U
S T
的判定法则。
这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
XDC
C
S
|
图 论
C
S
|
子图
S
W
U
S T 在如图中,给出了图G以及它的真子图G'和 生成子图G" 。G'是结点集{v1,v2,v3,v4,v5}
的导出子图。
显然,每个图都是它自身的子图。
XDC
C
S
|
完全图
1. 设G=<V,E>为一个具有n个结点的无向简单 图,如果G中任一个结点都与其余n-1个结点 相邻接,则称G为无向完全图,简称G为完全 图,记为Kn。 1. 设G=<V,E>为一个具有n个结点的有向简单 图 , 若 对 于 任 意 u,vV(uv) , 既 有 有 向 边 <u,v>,又有有向边<v,u>,则称G为有向完 全图,在不发生误解的情况下,也记为Kn。
S
W
U
S T
100亿判断,终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
XDC
C
S
|
图 论
对于网络的研究,最早是从数学家开始的,其基本的理 论就是图论,它也是目前组合数学领域最活跃的分支。 我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络, 无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语 言和符号精确简洁地描述。 图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平
S
W
U
S T
2) 若G'G,且G'≠G(即V'V或E'E),则称
G'是G的真子图,记为G'G。 3) 若V'=V,E'E,则称G'是G的生成子图。 4) 设V"V且V"≠,以V"为结点集,以两个端 点均在V"中的边的全体为边集的G的子图称为
V"导出的G的子图,简称V"的导出子图。
XDC
XDC
S
W
U
S T
C
S
| 完全图K3。
完全图
无向的简单完全图K3,K4,K5和有向的简单
S
W
U
S T
1 无向完全图Kn的边数为 C = n(n-1),有向 2 2 完全图Kn的边数为 Pn = n(n-1)。
2 n
XDC
C
S
|
图的同构
S
W
U
S T
图的同构:设两个图G=<V,E>和G'=<V',E'>,如果 存在双射函数g:V→V',使得对于任意的e =(vi,vj)(或者<vi,vj>)∈E当且仅当e'= (g(vi),g(vj))(或者<g(vi),g(vj)>)∈E', 并且e与e'的重数相同,则称G与G'同构, 记为G≌G'。 XDC
S
W
U
SFra Baidu bibliotekT
核心和主要动力,也因此大大推动了以研究离散和组
合问题为主要对象的图论的发展
XDC
C
S
|
图 论
一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
S
W
U
S T
随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
XDC
S
W
U
S T
C
S
|
几个概念
1) 在一个图中,关联结点vi 和vj 的边e,无论是有向的还 是无向的,均称边e与结点vI和vj相关联,而vi和vj称为 邻接点,否则称为不邻接的; 2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边;
S
W
U
S T
3) 4) 5) 6) 7)
图中关联同一个结点的边称为环(或自回路); 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点; 仅由孤立结点组成的图称为零图; 仅含一个结点的零图称为平凡图; 含有n个结点、m条边的图 称为(n,m)图;
相关文档
最新文档