华师大版八年级数学下册分式的运算及分式方程
华师版八年级数学下册1.分式的乘除
你会利用分式的乘除法运算法则计算下 列各式吗？
例1 计算
(1)
a2x by 2
ay 2 b2 x
(2)
a2 xy b2 z 2
a2 yz b2 x2
注意：计算结果要化为最简分式或整式
解：(1)
a2x by 2
ay 2 b2 x
= a2 x ay 2 = a3 by 2 b2 x b3
x4 y2
(
y6 x3
)
x4 y4
x4 y6 x4 y2 y4 x3
x5
随堂演练
计算
(1)
xy 2a2b
4
(2)
ab 2ab
a2b a2
ab2 b2
(3)
a
2
a2 9 6a
9
a
3
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
(k为正整数)
看看你会用上面的公式吗？
计算：
(1)(
2a 2b c3
)
3
解:原式
(2a2 b)3 (c3 )3
23 a2 3 b3 (c3 )3
8a 6b3 c9
8a 6b 3 c9
(2)( x2 )2 ( y2 )3 ( y )4
y
x
x
解 : 原式
的积做积的分母；分数除以分数，把除式的分子、
分母颠倒位置后，与被除式相乘.
推进新课 分式的乘除法运算法则
a c ac b d bd
这里abcd都是整 式，bcd都不为零
华东师大版八年级下册数学分式方程小结(课件)
分式方程的增根有两个性质： ①增根使_最__简__公__分_母__为__零__为零；②增根是分式方程化成的 _整__式__方程的根． 解答增根问题可按以下步骤进行： ①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为__整__式__方_程____； ③把增根代入整__式__方__程_即可求得相关字母的值．
A. 1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87 B. 1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87 C. 2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87 D. 2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87
典例分析，导练结合
（2）（2013 三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款 式T恤衫，由于深受顾客爱好，很快售完，老板又用4950元购 进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价 比第一批多了 9元． ①第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ 90 ②老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤 衫售出时，出现了滞销于是决定降价促销，若要使第二批的 销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？ （利润＝售价－进价） 80
基础梳理，考点扫描
考点五 列一元一次方程与分式方程解实际问题
步骤如下：审题，设未知数，列方程，解方程，验根，作答． 简单的说：审、设、列、解、验、答
典例分析，导练结合
例1 （1）已知5是关于x的方程3x-2a=7的解，则 a的值为_4_.
（2）若（m2+1）a=（m2+1）b，则a__=_b．
跟踪训练：
布置作业，课后促学
作业
《初中复习指点丛书》 强化训练1—11题
华师大版八年级数学下册分式的运算及分式方程
分式的运算及分式方程【知识梳理】分式的运算分式方程基础知识➢分母中含有______的方程叫做分式方程。
（注：分式方程的两边必须是_____）➢在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的____➢解分式方程的思想：把分式方程转化为_______.➢解分式方程的一般步骤①把方程两边都乘以_________，化成整式方程。
②解这个______方程。
③检验：把整式方程的根代入 ,若使最简公分母的值为 ,则这个根是原方程的 ,必须舍去，若不等于零，则它是 .➢整式方程和叫做有理方程。
（二）中考赠言1、分式方程的验根方法通常两种：一是代入原方程检验，二是代入最简公分母检验，代入最简公分母检验的前提是解答的每一步是正确的，如果某一步出现错误，这种检验法将失去意义。
2、由增根求参数值的解答思路：（1）将原方程化为整式方程（两边同时乘以最简公分母）（2）确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）（3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
（理由：增根是由分式方程化成的整式方程的根）3、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂些，解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数，确定主要等量关系，用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。
另外，还要注意从多角度思考，分析，解决问题，注意检验。
【典型例题】一、分式的运算（1）xy y x y x y x 2211-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- （2） 444)1225(222++-÷+++-a a a a a a（3）a a a a a a 4)22(2-⋅+-- （4）2211xy x y x y x y ⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭二、分式方程1、解方程：22321011x x x x x --+=-- 2、解分式方程x x +27—23x x -=1+1722--x x3、若关于x的分式方程111=----xxxm有增根，则m的取值是?4、若关于x的分式方程121mx-=-的解为正数，则m的取值范围是（）5、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。
16.2.1 分式的乘除 华师大版八年级数学下册课件
a 10 b
a b
a b
a a10 b b10
10个
想一想：
(a)n b
an bn
.
一般地，当n是正整数时，
n个
(a)n a a b bb
a b
aaa bbb
an bn
n个
n个
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.
分式的乘方法则
(a)n an . b bn
理解要点：
分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，
a(a 2) (a 1)(a 1)
a2 a 1
当a=0时，原式=-2.
思考：a可以取任何实数吗？
a不可以取±1，±2.
√ 不要把
a
n
b
an bn
× 写成
a n b
an b
.
例3 计算：
2a2b 2 4a4b2
3c2 = 9c2
3x4 y2
2 z 3
3
=- 27x12 y6 8z3
例4 计算：
b2 a 27b3 27b4
4a2
b
64a3
=
256a4
x
y2
x2
x
y2
y 2
x
1
y2
x
x3
2.计算
ab2 3ax 2cd 4cd
等于（
C
）
A. 3 b2 x 2
B. 2b 2
3x
C. 2b2
3x
3.化简a
1 a
a 1 a2
的结果是（
B
）
A. 1 B.a C.a 1 D. 1
a
a 1
D. 3a2b2 x
8c2d 2
华东师大版八年级数学下册分式的运算分式的乘除
例 3 [教材补充例题] 计算:
(1)
������-������ ������������������
2;
(2)
-������������ ������������������������������
3.
解:(1)
������-������ ������������������
2=((���������������-���������������))������������=������(���������·���-(������������)���������)���������=(���������������-���������������)������������.
1.分式的乘除
【归纳总结】 分式乘除运算的“两点注意”: (1)运算顺序:分式的乘除运算要从左到右依次进行; (2)运算技巧:分式的乘除混合运算,先统一成乘法运算,能 约分的要先约分,以减少运算量.
1.分式的乘除
例 5 [教材补充例题] 计算:
-
������������������ ������
技巧 原分式的分子和分母能约分的要先约分，以使运算简便
方法 最后的结果要化简
1.分式的乘除
例 2 [教材补充例题] 计算:
(1)���������������������-���������������������·���������+���������������;
(2)������������������������������--������������������������������÷������������������+-������������������.
������
华东师大版八年级数学下册分式及其基本性质分式
1.分式
目标二 理解分式有、无意义的条件
例 2 [教材例 2 针对训练] (1)若分式������+������有意义,则 x 满足的条
������-������
件是 ( C )
A.x=1
B.x=-1
C.x≠1
D.x≠-1
[解析] 根据分式有意义,分母不等于 0 列不等式求解即
可.由题意得,x-1≠0,解得 x≠1.故选 C.
第16章 分式
16.1 分式及其基本性质
第16章 分式
1.分式
目标突破 总结反思
1.分式
目标突破
目标一 理解分式和有理式的概念
例 1 [教材例 1 针对训练] 下列有理式中,哪些是整式,
哪些是分式?
(1)������������������+������; (2)-������������; (3)���������������������-���������;
x≠-4 时分式有意义. (2)分式无意义的条件是分式的分母为零,所以当|x|-1=0,即 x=1 或 x=-1 时,分式无意义.
1.分式
【归纳总结】 分式有、无意义的条件:
分式
������ ������
有意义:������
≠
������;
分式
������ ������
无意义:����ห้องสมุดไป่ตู้�
=
������.
(4)������������.
解:(1)(3)是整式,(2)(4)是分式.
1.分式
【归纳总结】 判断分式的“三看两注意”: 三看:一看所给代数式是不是分式形式;二看分子、分母是否都 为整式;三看分母中是否含有字母且分母是不是零. 两注意:①应该从形式上判断,而不能从化简后的结果判断;②π 是常数(圆周率),而不是字母.
华东师大版八年级下册数学：分式的乘除法
例2: 计算
（1） a2 4a 4 • a 1 a2 2a 1 a2 4
（2） １ 1 49 m2 m2 7m
（3） m2 16 m2 4m 12 3m
[解题技巧] (1)分式的分子,分母都是多项式的
分式除法先转化为乘法,然后把多项式进行因式分解, 最后约分,化为最简分式. (2)如果除式是整式,则把它的分母看做”1”.
今天你学到了哪些知识？
作业：教材第8页，练习 第1 2题
（2） 12xy 5a
8x2
y
（3） 3xy 2 y2 （4） x y • x y
3x
xy xy
想一想
下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？
（1） x • 6b 3xb 2b x2 x2b
x • 6b 3 2b x2 x
（2） 4x a 2 3a 2x 3 4x a 4x • 2x 4x2 3a 2x 3a a 3a2
的分子分母颠倒位置后, 再与被除式相乘.
例1: 计算
(1)
4
3
x y
•
y 2x
3
（2） ab 3 5a2b2 2c2 4cd
（3） 2ab （ 3b2 ） a
[注意]:运算结果如不是最简分式时,一定
要进行约分,使运算结果化为最简分式.
巩固练习: 计算
（1） 3a 4b
•
16b 9a2
第十六章 分式
三义寨乡第二中学 薛占彬
[问题1]:一个长方体容器的容积为V,底面的
长为a,宽为b,当容器的水占容积的 m 时,求
n
水面高度为多少?
v
分析:长方体容器的高为 ab
;
水高为
v •m ab n .
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华东师大版八年级数学下册分式的运算分式的加减
分母不变，分子相加减
（1）当减式的分子是多项式时，要对多项式添加括号， 避免符号出错；
（2）当分母互为相反数时，可以通过变形将其化为同 分母分式相加减运算，常见的变形：a-b=-(b-a)
2.分式的加减
目标二 能进行异分母分式的加减运算
例 2 [教材例 4 针对训练] 计算:
(1)������������������������������+������������������������������������;
目标三 会进行分式的混合运算
例 3 [教材补充例题] 计算: ���������������-������������������-������+��� ������-������+������������ ÷������������+-������������. [解析] 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计 算,然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算转化为 乘法运算,约分即可得到结果.
2.分式的加减
解:(1)������������������������������+������������������������������������=������������������������������������������������+������������������������������������������������=���������������������������+���������������������������������. (2)���������������+���������������������-���������������+���������������������=���������������(���������������+������������)-������������(���������������+��� ������)=������������������������(������������-+������������������).
八年级数学下册-17.3分式的乘除运算-华东师大版PPT课件
1、分式的乘、除法的法则； 2、运用法则时注意符号的变化； 3、注意因式分解在分式乘除法中的运用； 4、分式乘除的结果要化为最简分式或整式。
注意1：
1.整式与分式运算时,可以把整式看作分母是 1 的 式子。 2.分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步 骤是： ①把分式除法运算变成分式乘法运算； ②求积的分式； ③确定积的符号； ④约分。
学以致用
学数学是为了用数学解 决问题
分式加减法的运算方法及思路：
异分母的分式
转化 通分
同分母的分式
而通分的关键是找出正确的最简公分母
通分的关键是找出准确的最简公分母
———各分母所有因式的最高次幂的积
确定最简公分母时要注意：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）相同字母的幂（或因式）的指数取其 最高次； （3）凡出现的字母（或含字母的因式 ）都要取到； （4）当分母是多项式时应先分解因式；
注意2：
分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步 骤是： ①除法转化为乘法; ②把各分式中分子或分母里的多项式分解因 式； ③ 约分得到积的最简分式.
补充练习:计算(1) Nhomakorabeaxy 2a2b
4
(2)
ab 2ab
•
a2b a2
ab2 b2
(3)
a2
a2 9 6a9
a
3
计算
a2 1
(1)
a2
a2
2a
2 3 a 2 3 b 3
=
学以致用
(c 3 )3
8a
6b c9
3
8a 6b3 c9
(2)(x2)2(y2)3(y)4 yx x
解:原式 x y4 2
(x y3 6)
华师大版八年级数学下册第2课时 分式方程的应用课件
解：设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲 每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得
2640 2640 2×60 2x x
解得：x=11. 经检验，x=11是原方程的解. 并且x=11，2x=2×11=22，符合题意. 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟 能输入11名学生的成绩.
列分式方程解应用题的一般步骤： 审—设—列—解—验—答.
甲乙合作所需天数：1÷（
1 60
1
90）= 36（天）
36×（3.5+2）=198（万元）
∴甲、乙合作完该工程最省钱.
课后小结
用分式方程解决实际问题的步骤： 设未知数为x； 根据等量关系列出分式方程； 解分式方程； 检验.
课后作业
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
解：设该厂原来每天加工x个零件，则采
用新技术后，每天加工2x个零件，
100 600 100 7
x
2x
去分母，得200 + 500 =14x，
系数化为1，x = 50.
检验：x = 50时，2x ≠ 0. 所以x = 50是原方程的根. 答：该厂原来每天加工50个零件.
4.商场用50 000元从外地采购回一批T恤 衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采 购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第 一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T
华师大版八年级数学下册第6讲：分式方程的解法
第六讲：分式方程的解法一．重点知识：1、分式方程：分母含有未知数的方程，叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：（1）“化”：方程两边同时乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；（2）“解”：解出整式方程；（3）“检验”：将整式方程的解代入最简公分母。
若最简公分母为0，则原方程无解；若最简公分母不为0，则整式方程的解就是原分式方程的解。
二、典例解析：例1、下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是（ C ）（A ）a ba a x +=+1 （B ）x ab x ba +=-11（C ）b x a a x 1-=+ (D)1=-+++-n x mx m x nx例2、解分式方程12211xx x +=-+．解：去分母得(1)2(1)2(1)(1)x x x x x ++-=+-．去括号得2212222x x x x ++-=-．解这个整式方程得3x =．经检验3x =是原方程的解．所以原方程的解是3x =．1．解分式方程：（1）32-x x +x 235-=4 （2） 224x x -=21+x -12. 解分式方程：（1）12152-=+x x （2）171372222--+=--+x x x x x x3．解分式方程：（1）x x x --=---31132 （2） 6165122++=-+x x x x4．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=5．当a=____________时，关于x 的方程45x a 3ax 2=-+的根为1。
6．已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为___________ . 7．解方程xx x x x x x 225121212223+=+++++．8．解方程45342312++-++=++-++x x x x x x x x9．阅读下列材料：∵11111323⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111157257⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，……1111171921719⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，∴11111335571719++++⨯⨯⨯⨯=11111111111(1)()()()2323525721719-+-+-++- =11111111(1)2335571719-+-+-++-=119(1)21919-=． 解答下列问题： （1）在和式111133557+++⨯⨯⨯中，第6项为______，第n 项是__________．（2）上述求和的想法是通过逆用________法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项 外的中间各项可以相互对消，从而达到求和的目的．（3）受此启发，请你解下面的方程：1113(3)(3)(6)(6)(9)218x x x x x x x ++=++++++．初中数学试卷灿若寒星 制作。
华师大版数学八年级下第1讲 分式及分式方程
第1讲 分式及分式方程第一部分： 分式知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值思路导航：对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法. 典题精练【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a aa a a a -+÷---【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值；⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值；⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．（5） 已知实数x,y,z 满足1z y x =+++++yx zx z y ，求y x z x z y Z y +++++222x 的值。
（6） 若,05a 22=-+b ab 求baa -b 的值题型二：分式的恒等变形 思路导航恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．典题精练【例3】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++题型三：部分分式与分离常数例题精讲【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值．典题精练【例4】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【例5】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ． ⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 【例6】 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值．思维拓展训练训练1. ⑴若不论x 为何值，分式212x x c++总有意义，则c ．⑵已知分式22153x x x +--的值为零，那么x 的值是 .⑶当x 时，分式215x x -+的值为正数.⑷当x 满足 时，102x x +<-. 训练2. ⑴ ÷． ⑵2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中23a =训练3. 已知13x x -=，求1242++x x x 的值.训练4. 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．复习巩固题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 计算： 22222112326246x x x x x x x x ⎛⎫++⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭【练习2】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 . 题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习3】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值．【练习5】当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？第二部分：分式方程知识互联网模块一 分式方程的基本解法 知识导航1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．可化为一元一次方程的分式方程的解法⑴解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． ⑵可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意．．：⑴增根能使最简公分母等于0． ⑵增根是去分母后所得整式方程的根． 3．解分式方程产生增根的原因增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即分式方程无解． 夯实基础【例1】 ⑴若分式方程：11222kx x x -+=--有增根，则k 的值为__________. ⑵若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为_________.⑶若分式方程212x ax +=--的解是正数，求a 的取值范围.(4)当m 为何值时，关于x 的方程121x 1-12+=-+x mx x 无解？题型二 巧解分式方程知识导航对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。
华师大版数学八下16.分式方程及其解法课件
请你动手做一做：
解方程
1 x 1
2 x2 1
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
思考：x=1是不是原分 式方程的解（或根）呢？
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
分式方程增根产生的原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使方 程中 各分式的分母的值均不为零,但变形后得到的整 式方程则没有这个要求。
如果所得整式方程的某个解(或根)，使原 分式方程中至少有一个分式的分母的值为零， 也就是说 使变形时所乘的整式(各分式的最简公分母)的 值为零，它就不合适原方程，即是原分式方程 的增根。
引入问题
课前热身
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间和逆水航行60千米所需的时间相同.已 知水流的速度是3千米/时，求轮船在静 水中的速度. 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/ 时，根据题意，得
80 60 x3 x3
这个方程有何特点？
分式方程的概念
方程 80 中60含有分式，并且 x3 x3
因此，在解分式方程时必须进行检验.
练习2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
解这个整式方程，得x=10.
检验：把 x=10代入x(x-7)，得
10×(10-7)≠0，
所以， x=10是原方程的解.
分式方程验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的 根是否使原分式方程中的分式的分母为零. 为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公 分母)，看它的值是否为零.如果为零,即为增根.
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分式的运算及分式方程
【知识梳理】
分式的运算
分式方程基础知识
➢分母中含有______的方程叫做分式方程。
（注：分式方程的两边必须是_____）
➢在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的____
➢解分式方程的思想：把分式方程转化为_______.
➢解分式方程的一般步骤
①把方程两边都乘以_________，化成整式方程。
②解这个______方程。
③检验：把整式方程的根代入,若使最简公分母的值为,则这个根是原方程的,必须舍去，若不等于零，则它是 .
➢整式方程和叫做有理方程。
（二）中考赠言
1、分式方程的验根方法通常两种：一是代入原方程检验，二是代入最简公分母检验，代入最简公分母检验的前提是解答的每一步是正确的，如果某一步出现错误，这种检验法将失去意义。
2、由增根求参数值的解答思路：
（1）将原方程化为整式方程（两边同时乘以最简公分母）
（2）确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
（理由：增根是由分式方程化成的整式方程的根）
3、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂些，解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数，确定主要等量关系，用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。
另外，还要注意从多角度思考，分析，解决问题，注意检验。
【典型例题】
一、分式的运算
（1）xy y x y x y x 2
211-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-- （2） 444)1225(222++-÷+++-a a a a a a
（3）a a a a a a 4)22(2-⋅+-- （4）2211xy x y x y x y ⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭
二、分式方程
1、解方程：22321011x x x x x --+=--
2、解分式方程x x +27—23x x -=1+1722--x x
3、若关于x 的分式方程01
11=----x x x m 有增根，则m 的取值是?
4、若关于x 的分式方程121
m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是（ ）
5、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
6、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？
3、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元。
（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？。