基于MATLAB的计算机仿真吉布斯现象

％进行循环计算
ｂ ＝ｓｉｎ （ ｎ@ｔ ＋ｎ@ｐｉ ／２） ／ｎ； ％ 为 了 对 称 显 示 波
形， 将图象左移 １ ／４ 周期
ａ＝ａ＋ｂ；
ｅｎｄ
ｙ＝４@ａ ／ｐｉ；
ｘ＝ｓｑｕａｒｅ （ ｔ＋ｐｉ ／２） ；
％设定矩形波
ｐｌｏｔ （ｔ， ｙ， ｔ， ｘ）
运行程序， 分别输入不同的级数 Ｎ。
（ ２） 用 Ｍａｔｌａｂ 画出吉布斯 （ Ｇｉｂｂｓ） 现象波形
分 别 取 Ｎ＝７、Ｎ＝２１、Ｎ＝５１ 和 Ｎ＝１０１， 画 出 的 矩 形 波
及谐波分量合成波形如下：
①取 Ｎ＝７ 时合成波形见图 ２；
③取 Ｎ＝５１ 时合成波形见图 ４；
图 ４ 级数为 ５１ 的谐波合成图 ④取 Ｎ＝１０１ 时合成波形见图 ５。
图 ２ 级数为 ７ 的谐波合成图 ②取 Ｎ＝２１ 时合成波形见图 ３；
程， 改变 Ｎ 的值， 来演示吉布斯现象。
关键词： 信号分析； 吉布斯现象； 计算机仿真实验； ＭＡＴＬＡＢ 编程语言
中图分类号： Ｏ２４２．１
文献标识码： Ａ 文章编号： １００９－ ９４９２ （２００６） １０－ ００４２－ ０２
随着现代机械工业的发展、机械加工精度的提高， 机 械加工过程从单机自动化、生产自动线发展到柔性加工系 统， 并朝着无人化工厂方向发展。工程中为满足自动测 量、安全监控、设备管理和故障诊断等要求， 先进的测试 和信号分析技术已成为生产系统中必不可少的组成部分。
图 ３ 级数为 ２１ 的谐波合成图
图 ５ 级数为 １０１ 的谐波合成图
４ 实验分析
从附图 １、图 ２、图 ３ 和图 ４ 可看出， 当用有 限 项 级 数之和重现方波时， 所取级数愈多， 其合成波形越接近原 波形， 并随级数值 Ｎ 的增加， 波形顶部逐渐平坦。
通过上述计算机软件仿真吉布斯现象， 可以直观地验 证和演示吉布斯现象。 参考文献： ［ １］ 卢 文 祥． 机 械 工 程 测 试．信 号．信 号 分 析 ［ Ｍ］ ． 武 汉 ： 华 中 科
４３
我们在这里对周期信号进行频域分析， 把周期方波展 开成傅里叶级数的三角函数表达式， 用计算机仿真实验， 改变谐波分量的项数， 可以演示信号分析中的吉布斯现象。
１ 数学分析 ［１］
周期函数：
!Ａ － π／４＜ｔ＜π／４
ｘ （ ｔ） ＝ － Ａ π／４＜ｔ＜π／２ 或－ π／２＜ｔ＜－ π／４
时域波形图如图 １ 所示。
技大学出版社， ２００２． ［ ２］ 石博强． ＭＡＴＬＡＢ 数字计算范例教程 ［ Ｍ］ ． 北京： 中国铁道
出版社， ２００４．
作 者 简 介 ： 刘 丽 华 ， 女 ， １９７１ 年 生 ， 湖 南 衡 阳 人 ， 硕 士 研 究 生 ， 讲师。研究领域： 机电一体化。已发表论文 ２ 篇。
（编辑： 梁 玉）
图 １ 时域波形图
从数学分析中， 任何周期函数在满足狄利克莱
（ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ） 条 件 下 ， 可 以 展 开 成 傅 里 叶 级 数 。 其 数 学 表 达
式如下：
∞
" ｘ （ ｔ） ＝ａ０＋ （ ａｎｃｏｓｗ０ｔ＋ｂｎｓｉｎｎｗ０ｔ） ｎ＝１
Ｔ０
# 其中，
ａ０＝
１ Ｔ０
２
ｘ （ ｔ） ｄｔ
之和来表达。如果用 Ｎ 表示谐波分量的项数， 例如方波
Ｎ＝５ 时，
表示取分量
４Ａ π
ｃｏｓω０ｔ，
－
４Ａ ３π
ｃｏｓ３ω０ｔ，
４Ａ ５π
ｃｏｓ５ω０ｔ
之和时的波形。谐波数列叠加合成时， 会产生尖锐不连续
的区间， 好比方波的下降及上升， 这就是吉布斯现象。这
种现象与谐波叠加合成数量有关。
３ 计算机仿真实验
－ Ｔ０
２
Ｔ０
# ａｎ＝
２ Ｔ０
２
ｘ （ ｔ） ｃｏｓｎｗ０ｔｄｔ
－ Ｔ０
２
Ｔ０
# ｂｎ＝
２ Ｔ０
２
ｘ （ ｔ） ｓｉｎｎｗ０ｔｄｔ
－ Ｔ０
２
把方波 ｘ （ ｔ） 用傅里叶级数展开计算结果如下：
$ % ｘ（
ｔ）
＝
４Ａ π
ｃｏｓω０ｔ－
１ ３
ｃｏｓ３ω０ｔ＋
１ ５
ｃｏｓ５ω０ｔ－
１ ７
ｃｏｓ７ω０ｔ＋…
研究与开发
机电工程技术 ２!"００"#６ 年第 $３５% 卷第 &１０" 期
基于 ＭＡＴＬＡＢ 的计算机仿真吉布斯现象
刘丽华
（ 广州铁路职业技术学院， 广东广州 ５１０４３０）
摘要： 一个周期信号方波， 用数学分析法， 展开成 ｎ 个谐波之和， 从傅里叶级数的收敛性分析， 产生吉布斯现象。用计算机编
（ １）
其中 ｎ＝１， ３， ５， ７， ……
由于在任一有限区间中， ｘ （ ｔ） 只能取有限个最大值
或最小值。如果我们只取 （ １） 式右边的无穷级数中的有
限项作和 ｘ （ ｔ） ， 那么 ｘ （ ｔ） 在这些点上会有起伏。
２ 吉布斯现象的原理
从上述数学分析中， 方波 ｘ （ ｔ） 是由无限个谐波分量
这里我要强调的是， 本文的意思并非要论证吉布斯现
象的正确性， 只是想通过计算机语言编程的方法来验证并
演示吉布斯现象。
下 面 介 绍 这 个 程 序 是 利 用 ＭＡＴＬＡＢ 程 序 ６．５ 版 编 写
的 。ＭＡＴＬＡＢ 编 程 语 言 简 洁 ， 具 有 卓 越 的 数 值 计 算 能力 ，
具有可视化建模仿真和实时控制功能。
收稿日期： ２００６—０３—０２
４２
机电工程技术 ２!０""０６# 年第 $３５% 卷第 １&"０ 期
研究与开发
（ １） 编写程序
用 Ｍａｔｌａｂ 编写程序 ［２］ ：
ｃｌｅａｒ； ｃｌｏｓｅ ａｌｌ
ｔ＝－ ｐｉ：０．０１：ｐｉ；
％设定图象周期
ａ＝０；
Ｔ＝ｉｎｐｕｔ （’Ｔ＝’）
％输入级数 Ｎ
ｆｏｒ ｎ＝１：２：Ｔ