平面解析几何(专题复习)

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高考专题----平面解析几何

高考专题----平面解析几何一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π2 [答案] C[解析] 化为x21sinα＋y2－1cosα＝1，∴－1cosα>1sinα>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x225＋y216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x±3y ＝0 B ．3x±4y ＝0 C ．4x±5y ＝0D ．5x±4y ＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c2－a2＝4， ∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x2a2＋y2b2＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( ) A.x24＋y22＝1 B.x23＋y2＝1 C.x22＋y24＝1D ．x2＋y23＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2， ∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为x24＋y22＝1.3．分别过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22[答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b ，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝c2a2<12，又∵e>0，∴0<e<22，故选B.4．椭圆x2100＋y264＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( ) A.6433 B.9133 C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2. 又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝2563， ∴S △F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2x C ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[答案] A[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c2a2＝a2－b2a2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513B.1213C.35D.45[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b2＝a2－c2＝(a ＋c)(a －c)＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513.(理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( ) A.3＋12 B.5－12 C.3－12D.5＋12[答案] B[解析] ∵FB →＝(c ，b)，AB →＝(－a ，b)，FB →·AB →＝0， ∴－ac ＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，∴a2－ac －c2＝0，∴e2＋e －1＝0， ∵e>0，∴e ＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1→·PF2→＝0，则1e12＋1e22＝( ) A ．2 B. 2 C. 3D ．3[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a ′，|PF1|＋|PF2|＝2a ，将两式两边平方相加得： |PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a ′2)，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a ′2＝2c2， ∴1e12＋1e22＝1⎝⎛⎭⎫c a 2＋1⎝⎛⎭⎫c a ′2＝a2＋a ′2c2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x24＋y22＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB|＝83；正确结论的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[答案] A[解析] ∵a ＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a ＝8，故①正确；∵F2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x24＋y22＝1中得3x2－42x ＝0，∴x1＝0，x2＝423，∴|AB|＝1＋12⎪⎪⎪⎪⎪⎪423－0＝83，故③正确． 9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F1PA ，且PQ ⊥AF1， ∴Q 为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|， ∴|OQ|＝12|AF2|＝12(|PA|＋|PF2|)＝a ， ∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，49B.⎝⎛⎭⎫23，1C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 [答案] C[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝⎛⎭⎫c ，±b2a ，已知k ∈⎝⎛⎭⎫13，12，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b2a . 斜率k ＝b2a c ＋a ＝b2ac ＋a2＝a2－c2ac ＋a2＝1－e2e ＋1.由13<k<12，解得12<e<23.(理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x2a2＋y2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则kAB·kOM 的值为( ) A ．e －1B ．1－eC ．e2－1D ．1－e2[答案] C[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，x12a2＋y12b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，作差得x1－x2x1＋x2a2＝y2－y1y2＋y1b2，∴kAB·kOM ＝y2－y1x2－x1·y1＋y2x1＋x2＝－b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________． [答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 [解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b>c ，∴b2>c2，即a2>2c2， ∴c a <22.12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA ＋sinC sinB ＝________. [答案] 54[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知， sinA ＋sinC sinB ＝|BA|＋|BC||AC|＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上存在点P(x ，y)，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________． [答案] 22<e<1[解析] 在椭圆x2a2＋y2a2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x2－ax ＋y2＝0与椭圆方程b2x2＋a2y2＝a2b2联立消去y 得 (a2－b2)x2－a3x ＋a2b2＝0，将a2－b2＝c2代入化为(x －a)(c2x －ab2)＝0， ∵x≠a ，∴x ＝ab2c2，由题设ab2c2<a ，∴a2－c2c2<1. 即e>22，∵0<e<1，∴22<e<1.(理)已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是________． [答案] 10＋210[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M1、M2.任取椭圆上一点M ，则|MB|＋|BF|＋|MA|≥|MF|＋|MA|＝2a ＝|M1A|＋|M1F|＝|M1A|＋|M1B|＋|BF| ∴|MB|＋|MA|≥|M1B|＋|M1A|＝2a －|BF|. 同理可证|MB|＋|MA|≤|M2B|＋|M2A|＝2a ＋|BF|， 10－210≤|MB|＋|MA|≤10＋210.14．(文)已知实数k 使函数y ＝coskx 的周期不小于2，则方程x23＋y2k ＝1表示椭圆的概率为________． [答案] 12[解析] 由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程x23＋y2k ＝1表示椭圆， ∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________． [答案] x24＋y23＝1[解析] 平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a≤2,0<b≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x24＋y23＝1. 三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标； (2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为kPM 、kPN ，当kPM·kPN ＝－14时，求椭圆的方程． [解析] (1)∵圆x2＋y2＝b2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x ，y)，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1. 两式相减得：y2－y02x2－x02＝－b2a2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则 kPM ＝y －y0x －x0，kPN ＝y ＋y0x ＋x0，kPM·kPN ＝y －y0x －x0·y ＋y0x ＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，则－b2a2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)由题意⎩⎨⎧a2＝b2＋c2a b ＝2 3c ＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C 的方程为x216＋y212＝1.(2)设P(x ，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x216＋y212＝1，故－4≤x≤4. 因为MP →＝(x －m ，y)，所以|MP →|2＝(x －m)2＋y2＝(x －m)2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x216. ＝14x2－2mx ＋m2＋12＝14(x －4m)2＋12－3m2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m≥4，解得m≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF2→＝2F2B →，求椭圆C 的方程． [解析] (1)设焦距为2c ，则F1(－c,0)，F2(c,0) ∵kl ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c) 即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c|32＋－12＝3c ＝2 3∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2x2a2＋y2b2＝1消去x 得，(3a2＋b2)y2＋43b2y －3b2(a2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧ y1＋y2＝－43b23a2＋b2 ①y1·y2＝－3b2a2－43a2＋b2② ∵AF2→＝2F2B →，∴－y1＝2y2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧ －y2＝－43b23a2＋b2 ③－2y22＝－3b2a2－43a2＋b2④③2④得12＝48b43a2＋b22·3a2＋b23b2a2－4＝16b23a2＋b2a2－4⑤ 又a2＝b2＋4 ⑥由⑤⑥解得a2＝9 b2＝5∴椭圆C 的方程为x29＋y25＝1. 17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c又b2＝a2－c2＝3c2∴椭圆方程为x24c2＋y23c2＝1.又∵椭圆过点A(2,3)∴44c2＋93c2＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为x216＋y212＝1.(2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF2的方程为x ＝2.设P(x ，y)为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x)即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0. 法二：设AM 平分∠F1AF2，则直线A F1与直线AF2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k.则直线AM 方程y －3＝k(x －2)．由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F2(2,0)关于直线AM 的对称点F2′(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y0x0－2＝－1k y02－3＝k x0＋22－2解之得F2′(－6k ＋2k2＋21＋k2，61＋k2)． ∵直线AF1与直线AF2关于直线AM 对称，∴点F2′在直线AF1上．即3×－6k ＋2k2＋21＋k2－4×61＋k2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，∴AF1→＝(－4，－3)，AF2→＝(0，－3)，∴AF1→|AF2→|＋AF2→|AF2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)，∴kl ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0. [点评] 因为l 为∠F1AF2的平分线，∴AF1→与AF2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF1→、AF2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x24＋y2b2＝1把(1,1)代入得14＋1b2＝1∴b2＝43，则椭圆方程为x24＋y243＝1∴c2＝a2－b2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB|＝22，取椭圆上一点M(－2,0)，则|AM|＝10∴|AM|>|AB|.从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．(3)设AC 方程为：y ＝k(x －1)＋1联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋1x24＋3y24＝1消去y 得(1＋3k2)x2－6k(k －1)x ＋3k2－6k －1＝0 ∵点A(1,1)在椭圆上∴xC ＝3k2－6k －13k2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k(x －1)＋1 同理xD ＝3k2＋6k －13k2＋1又yC ＝k(xC －1)＋1，yD ＝－k(xD －1)＋1 yC －yD ＝k(xC ＋xD)－2k所以kCD ＝yC －yD xC －xD ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。

平面解析几何-高考复习知识点

平面解析几何高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。

例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或．经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》基础测试题及答案

数学高考《平面解析几何》复习资料一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.2．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A ．3B ．3C ．163D ．3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积．【详解】解：由抛物线的方程可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-，所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =，由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==gg g ，故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．3．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, 233AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤, 在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn ABAFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.6．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（）A ．3B ．12C ．23D ．2【答案】B 【解析】【分析】由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，得213k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，所以213k <，129x x =①.因为1112p FA x x =+=+，2212pFB x x =+=+，且5FA FB =，所以1254x x =+②.由①②及20x >得21x =，所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，得12k =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴23OP =，在POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =∴36PQ OP ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：渐近线的方程为，而，因此渐近线的方程为，选D.考点：双曲线渐近线9．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】A 【解析】【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以AF u u u v ===故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.10．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】【分析】推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程．【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ ∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ．【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（）A B ．12C ．2D【答案】D 【解析】【分析】设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ==== D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.12．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题因而()p q ∧⌝为真命题所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A．y = B．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得:b =Q 双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.14．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线by x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（）A ．2 BC ．3D．【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-，解得21122a c AF -=，1722a cAF -=，直线1AF 与by x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅，化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =. 故选：A 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.15．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（）A BC ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可．【详解】由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，圆22(4x y +-=的圆心为(0,，半径为2，由题意及|AB |＝2，可得22212+=，222123a a b=+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e ca==2．故选：C ．【点睛】本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.17．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．详解：由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得，双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a=±，即20x ay ±=． ∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于3， ∴2314a =+，解得234a =，∴双曲线的方程为224413x y -=，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合， ∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的距离22416243d ⨯+==+．故选B ．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．18．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD ．22a 【答案】D 【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ．故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.19．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A 6B 3C ．23D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即22d a a b==+，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率2633c e a ===，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.20．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B ，两点，OAB ∆，则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值．【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±=±OAB V 的面积为21223b c a ⋅⋅= 3b a ⇒=可得3c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．。

平面解析几何职高专题

选择题在平面直角坐标系中，点P(3, -2)关于x轴对称的点Q的坐标是（）。

A. (-3, 2)B. (3, 2)C. (-3, -2)D. (2, -3)直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为（）。

A. (-3/2, 0)B. (0, 3)C. (-3, 0)D. (3/2, 0)若直线l的斜率为-1，且过点(1, 2)，则直线l的方程是（）。

A. y = -x + 3B. y = -x - 1C. y = x + 1D. y = x - 3圆x² + y² = 9与直线y = 2x的交点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 无法确定两点A(1, 2)和B(4, 5)之间的距离是（）。

A. √10B. 3√2C. 5D. √26填空题若点A(-2, y)在直线y = 3x + 1上，则y = _______。

直线y = mx + b与直线y = 2x平行，且过点(1, 3)，则m = _______，b = _______。

圆(x - 2)² + (y + 3)² = 4的圆心坐标是_______。

在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，且点P在第三象限，则点P的坐标是_______。

已知两直线l₁: y = 2x + 1 和l₁: y = kx - 3 互相垂直，则k = _______。

简答题求直线y = 2x - 4与坐标轴围成的三角形的面积。

已知两点A(1, 2)和B(3, 4)，求线段AB的中点坐标。

已知圆的方程为x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0，求该圆的圆心和半径。

证明：两条平行线分别被第三条直线所截，所得的对应线段成比例。

已知直线l过点P(1, 2)且与直线y = -x + 3垂直，求直线l的方程。

专题12平面解析几何(第二部分)

专题12平面解析几何（第二部分）一、单选题1．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．42．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP二、填空题3．抛物线216y x =的焦点坐标为．4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为； MNF V 的面积为．5．设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为． 6．已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为.7．设0a >，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是．三、解答题8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠ 都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 11．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．12．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.13．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交3y =-交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．15．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为 (1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．17．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .18．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u v u u u v ，QN QO μ=u u u v u u u v ，求证：11λμ+为定值． 21．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》两条直线的位置关系

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

专题08 平面解析几何(原卷版)

专题08 平面解析几何1．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（）A ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2- 2．在平面直角坐标系中，曲线C 上任意点P 与两个定点()2,0A -和点()2,0B 连线的斜率之和等于2，则关于曲线C 的结论正确的有（）A ．曲线C 是轴对称图形B ．曲线C 上所有的点都在圆222x y +=外 C ．曲线C 是中心对称图形D ．曲线C 上所有点的横坐标x 满足2x > 3．若双曲线C 的一个焦点(5,0)F ，且渐近线方程为43y x =±，则下列结论正确的是（） A ．C 的方程为221916x y -= B ．C 的离心率为54 C ．焦点到渐近线的距离为3 D ．两准线间的距离为1854．我们通常称离心率为51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条6．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为47．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（）A ．4p =B ．DF FA =C ．2BD BF = D ．4BF =8．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90，则点A 的坐标可以是（）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,1 9．已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（）A ．234⋅=-OC OD pB ．四边形ACBD 面积最小值为216pC ．1112AB CD p+= D ．若24AF BF p ⋅=，则直线CD 的斜率为 10．已知三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为（）A B ．3 C ．2 D11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为y x =C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒ 12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线D ．在三棱锥中P ABC -，PA ⊥面ABC ，且3PA =，6BC =，2AC AB =，该三棱锥体积最大值为1213．下列选项正确的为（）A ．已知直线1l ：()()2110a x a y ++--=，2l ：()()12320a x a y -+++=，则12l l ⊥的充分不必要条件是1a =B ．命题“若数列{}2n a 为等比数列，则数列{}n a 为等比数列”是假命题C ．棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AC D 与平面1ACB 距离为3a D ．已知P 为抛物线22y px =上任意一点且(),0M m ，若PM OM ≥恒成立，则(],m p ∈-∞ 14．已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D ．12PF F ∆的面积为115．椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，以下说法正确的是（） A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8. B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=. C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆2214x y +=一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3.。

2025版高考数学总复习第8章平面解析几何高考大题规范解答__解析几何课件 (1)

解法二：(1)依题意，A(－2,0)，B(2,0)．(1 分) 设 C(x1，y1)，则x421＋y321＝1，所以 kAC·kBC＝x1y＋1 2·x1y－1 2(2 分)
＝x21y－21 4＝3x121－－x4421(3 分) ＝－34.(4 分) 即－34＝kAP·kBQ＝4＋yP2·4－yQ2.故 yPyQ 的值为－9.(5 分)
y＝kx＋m，方程(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0 的判别式 Δ＝32k2＋16－8m2>0，
x1＋x2＝－1＋4k2mk2，则x1x2＝21m＋2－2k42 .
(7 分)
因为 kMA·kMB＝1，所以x1y－1 2·x2y－2 2＝1，所以(k2－1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2－4＝0，整理得(m＋2k)(m＋6k)＝0.(9 分)
[解析] (1)由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝2， ∴a＝1，(1 分) 又由|F1F2|＝4，∴c＝2，(2 分) ∵a2＋b2＝c2，∴b＝ 3，(3 分) ∴双曲线 C 的方程为 x2－y32＝1.(4 分)
(2)①证明：设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1＝ 3x1①，y2＝－ 3x2②，将①＋②可得 y1＋y2＝ 3(x1－x2)，将①－②可得 y1－y2＝ 3(x1＋x2)，(5 分) ∴ 3y1x＋1＋y2x2＝ 3y1x－1－y2x2，即xy11＋＋yx22＝3yx11－－yx22，(6 分)
由题可知|MP|＝|MQ|， ∴x1＋x2＝2x0， y1＋y2＝2y0， ∴xy00＝3yx11－－yx22，即 kPQ＝3yx00，(7 分) ∴直线 PQ 的方程为 y－y0＝3yx00(x－x0)，即 3x0x－y0y＝3x20－y20，

专题10平面解析几何(第二部分)

专题10平面解析几何（第二部分）一、填空题1．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为． 2．已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．3．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .4．设抛物线22{2x pt y pt ==（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||C F AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为．二、解答题5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程． (2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．6．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．7．设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值.8．设椭圆2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.9．已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，，且BF = （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r ，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD△AP的方程.13．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|2||OA OB=（O为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且OC AP∥，求椭圆的方程.14．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率.15．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为(,0)F c-，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA△的面积为22 b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，32FQ c=，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM QNP，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.16．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为 B ,左焦点为F ,离心率为（Ⅰ）求直线BF 的斜率;（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点 M ,||=||PM MQ l . （ⅰ）求λ的值;（ⅱ）若||sin PM BQP ∠=求椭圆的方程.。

高考数学经典试题与解析专题八平面解析几何

专题八平面解析几何——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知点(3)1,A -，(3,1)B ，若直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为()A.(,5][1,)-∞-+∞ B.[5,1]-C.(,1][5,)-∞-+∞ D.[1,5]-1．答案：C解析：由题意知直线l 过定点(0,2)P -，易求直线PA 的斜率3(2)510PA k --==---，直线PB 的斜率1(2)130PB k --==-，直线l 的斜率l k m =-，作出线段AB 及直线PA ，PB ，如图，由图知，1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥，故选C.2．若直线10x my ++=是2221:(1)(2)(0)C x y r r -++=> 与222:(2)(2)4C x y -+-= 的公切线，则实数r 的值为()A.3413B.1712C.127D.922．答案：A解析：已知1C 的圆心1(1,2)C -，半径是r ；2C 的圆心是2(2,2)C ，半径是2.由题知直线10x my ++=是1C 和2C 的公切线，当0m =时，直线为1x =-，此时直线1x =-与圆2C 不相切，所以0m ≠，由2=，解得512m =-，则有3413r ==.故选A.3．已知双曲线22:22C x y -=，过点(1,2)P 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长MN 等于()A.3B.4C.D.3．答案：D解析：由题设，直线l 的斜率必存在，设过(1,2)P 的直线MN 的方程为2(1)y k x -=-，联立直线与双曲线的方程并化简得()()22222(2)460k xk k x k k -+---+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，0∆>，则1222(2)22P k k x x x k -+=-=-，所以22(2)22k k k--=-，解得1k =，则122x x +=，123x x =-.弦长MN ===.故选D.4．[2023届·全国·模拟考试联考]阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为21π，点P 在椭圆C 上，且点P 与椭圆C 左、右顶点连线的斜率之积为949-，记椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，则1PF 的值不可能为()A.4 B.7 C.10 D.144．答案：D解析：因为椭圆C 的面积为21π，所以π21πab =，即21ab =.①设()()000,P x y x a ≠±，则2200221x y a b +=，则()2220202b x a y a-=-，所以点P 与椭圆C 左、右顶点连线的斜率之积为22000222000949y y y b x a x a x a a ⋅==-=--+-.②联立①②可得7a =，3b =，则c ==177a c PF c a -=-<<+=，故选D.5．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C上，且12MF MF ⊥，1OMF △的面积为218a （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为() A.103B.52C.102D.3835．答案：A解析：不妨设点M 在双曲线的右支上，如图所示.设1MF m =，2MF n =，则22222,4,1,418m n a m n c a mn ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩①②③由①得22224m n mn a +-=.将②③代入即可得2224449c a a -=，故224049c a =，所以22109c a =，所以离心率103c e a ==.故选A.6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的交点，若4FP FQ =，则||FQ =()A.4B.52C.2D.326．答案：D 解析：依题意得12p=，(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-.因为点P 是l 上一点，所以设点(1,)P t -，()00,Q x y ，则(2),FP t =-，()001,FQ x y =-，因为4FP FQ = ，所以()0241x -=-，解得012x =.又Q 是直线PF 与C 的交点，所以由抛物线的定义可得03||12FQ x =+=.故选D.7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点A 在F 的正上方，过点A 的直线l 与抛物线交于另一点B ，满足||2||BF AF =，则钝角AFB ∠=()A.7π12B.2π3C.3π4D.5π67．答案：D解析：由题知，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-.因为点A 在F 的正上方，所以点A 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为AFB ∠为钝角，则点B 在x 轴下方，所以||2||22B p x BF AF p +===，解得32B x p =，即点B 的坐标为332p ⎛⎫ ⎪⎝⎭（舍去）或3,32p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为直线BF 的斜率33322BF k p p ==-，所以直线BF 的倾斜角为2π3，故钝角π2π5ππ236AFB ∠=+-=.故选D.8．[2024春·高二·四川眉山·开学考试校考]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点是A ，左、右焦点分别是1F ，2F ，M 是C 在第一象限上的一点，直线1MF 与C 的另一个交点为N .若2//MF AN ，则直线MN 的斜率为()A.52B.311C.12D.1578．答案：A解析：因为椭圆C 的离心率为12，故可设2a k =，(0)c k k =>，故3b k =，因此椭圆C 的方程为22243x y k +=，而1AF a c k =-=，122F F k =，故11212AF F F =，因为2//MF AN ，所以1112NF MF =.因为直线MN 与x 轴不垂直也不重合，故可设:(0)MN x my k m =->，()11,M x y ，()22,N x y ，则122y y =-，由222,3412x my k x y k=-⎧⎨+=⎩可得()22243690m y mky k +--=，因为1F 在椭圆C 的内部，所以0∆>恒成立，且1222122126,439,432,km y y mk y y m y y ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩故22226129434343km km k m m m --⨯=+++，因为0k ≠，所以255m =，此时112355012445k y k ⨯==>+，1452k x k k =⨯-=>故M 在第一象限，符合条件，因此直线MN 的斜率为152m =.故选A.二、多项选择题9．已知双曲线22:2(0)C mx y m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若圆22(4)8x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率e =B.若双曲线C 上一点P 满足1PF x ⊥轴，则1PF =C.若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F △的周长为4+D.双曲线C 上存在一点P ，使得点P 到C9．答案：BC解析：对于A 项，由220mx y -=，可得双曲线的渐近线方程为y =.圆22(4)8x y -+=的圆心为(4,0)，半径r =因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心(4,0)0y -=的距离=1m =，所以双曲线的方程为22122x y -=，a b ==，24c =，2c =，所以离心率ce a==A 项错误.对于B 项，由A 知，1(2,0)F -，所以直线1PF 的方程为2x =-.代入双曲线方程可得22y =，则y =，所以1PF =B 项正确.对于C 项，由已知1222PF PF PF =>，根据双曲线的定义可知，1222PF PF PF a -===，所以1PF =又1224F F c ==，所以12PF F △的周长为12124PF PF F F ++=+，故C 项正确.对于D 项，设()00,P x y ，双曲线的渐近线方程为y x =±，则点()00,P x y 到直线0x y -=的距离1d =，到直线0x y +=的距离2d =2200122x y d d -=.又点()00,P x y 在双曲线222x y -=上，所以22002x y -=，所以121d d =，故D 项错误.故选BC.10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是()A.34PQ k =- B.121x x =C.25||4PQ =D.1l 与2l 之间的距离为410．答案：BC解析：由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =中得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121x x =，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，12125||4244PQ x x p =++=++=，故C 正确；因为1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选BC.11．[2024春·高二·山西·月考联考]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点32⎫⎪⎪⎭，直线1:2l y x m =-+与椭圆C 交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为32，则下列结论正确的是()A.椭圆C 的离心率为12B.椭圆C 的方程为22112x y += C.若1m =，则35||2MN =D.若12m =，则椭圆C 上存在E ，F 两点，使得E ，F 关于直线l 对称11．答案：AC解析：设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，即121232OP y y k x x +==+因为点M ，N 在椭圆C 上，所以2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-，由题得121212MN y y k x x -==--，所以221304a b -=，即2234b a =，又222a b c =+，所以2214c a =，则离心率12c e a ==，故A 正确.因为椭圆C过点32⎫⎪⎪⎭，所以223314a b +=，又由A 选项知，2234b a =，联立解得24a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，故B 错误.若1m =，则直线l 的方程为112y x =-+，由2211,21,43y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得220x x --=，所以11x =-，22x =，则|||21|2MN =+=，故C 正确.若12m =，则直线l 的方程为1122y x =-+.假设椭圆C 上存在E ，F 两点，使得E ，F 关于直线l 对称，则设()33,E x y ，()44,F x y ，线段EF 的中点为()00,Q x y ，则3402x x x +=，3402y y y +=.因为E ，F 关于直线l 对称，所以2EF k =，且点Q 在直线l上，即001122y x =-+.又E ，F 两点在椭圆C 上，所以223322441,431,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()()()()34343434043x x x x y y y y +-+-+=，即()()()34343434043y y y y x x x x +-++=-，所以()343438x x y y ++=-，即0038y x =-.联立000011,223,8y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得004,3,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩即34,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为22342143⎛⎫- ⎪⎝⎭+>，所以点Q 在椭圆C 外，这与Q 是弦EF 的中点矛盾，所以椭圆C 上不存在E ，F 两点，使得E ，F 关于直线l 对称，故D 错误.故选AC.三、填空题12．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）的焦点相同，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若2PF x ⊥轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为___________.12．答案：1解析：设122F F c =，由题可知122PF PF a +=，122PF PF m -=.因为2PF x ⊥轴，所以21PF -22212PF F F =，所以椭圆和双曲线的离心率之积为2121212221212121F F F F F F c ca m PF PF PF PF PF PF ⋅=⋅==+--.13．[2023年全国高考真题]已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =-，则C 的离心率为__________.13．答案：355解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设1(,0)F c -，2(,0)F c ，(0,)B n .由2223F A F B =- ，得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又11F A F B ⊥ ，且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，1(,)F B c n = ，则22118282,(,)03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =.又点A 在双曲线C 上，则2222254991c n a b -=，整理得22222549c na b-=，将224n c =，222b c a =-代入，得2222225169c c a c a -=-，即222162591e e e -=-，解得295e =或215e =（舍去），故355e =.法二：由2223F A F B =-得2223F A F B =，设22F A x =，则23F B x =，||5AB x =.由双曲线的对称性可得13F B x =，由双曲线的定义可得122AF x a =+.设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x axθ+==，解得x a =，所以14AF a =，22AF a =.在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，即2259c a =，可得355e =.14．已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，8OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是__________.14．答案：12解析：由题意可知)1(,02F ，设直线AB 的方程为x ty m =+，点211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 与x 轴的交点为(,0)C m ，联立方程2,2,x ty m y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2220y ty m --=，则2480t m ∆=+>，122y y m =-.因为8OA OB ⋅= ，所以()21212804y y y y +-=，解得124y y =或128y y =-，由点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，可知120y y <，所以1228y y m =-=-，故4m =，此时0∆>，即218y y =-.不妨设点A 在x 轴上方，则10y >，120y y ->，且1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(4,0)C ，则12111||||22ABO AFO S S OC y y OF y +=⨯⨯-+⨯⨯△△12112111119916421222244y y y y y y y =⨯⨯-+⨯⨯=-=+≥=，当且仅当119164y y =，即183y =时，等号成立.所以ABO △与AFO △面积之和的最小值是12.四、解答题15．[2023年全国高考真题]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-，离（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.15．答案：（1）221416x y -=（2）证明见解析解析：（1）因为双曲线C的左焦点为(-，所以c =.由离心率25c e a a===2a =，所以4b ==，所以C 的方程为221416x y -=.（2）证明：设()11,M x y （10x <，10y >），()22,N x y ，显然直线MN 的斜率不为0，故设直线MN 的方程为4x my =-.因为1(2,0)A -，2(2,0)A ，所以直线1MA 的方程为1122)(y y x x =++，直线2NA 的方程为22(2)2y y x x =--，联立1122(2),2(2),2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩消去y 得12122222y x x x y x --⋅=++.联立224,1,416x my x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得()224132480m y my --+=，则2410m -≠，22561920m ∆=+>，则1223241m y y m +=-，1224841y y m =-，所以()121232my y y y =+，所以211212112122123926223312222y y y x my y y x y my y y y y---⋅===-+--，所以232x x -=-+，解得1x =-，所以点P 在定直线1x =-上.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，上顶点为B ，其长轴长是短轴长的2倍，P 是C 上任意一点，12F PF S △.（1）求椭圆C 的方程；（2）过(,)E a b 作一直线与C 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 与x 轴分别交于点R ，S ，求证：RS 的中点是定点.16．答案：（1）2214x y +=（2）证明见解析解析：（1）由题意知2a b =，12F PF S △，而()122max122F PF S b c bc =⋅⋅====△，则21b =，即1b =，2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：根据（1）知(2,1)E ，(0,1)B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由题意知直线EM 斜率存在，且不为0，设直线EM 的方程为(2)1y k x =-+.则由22(2)1,14y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148(21)16160k x k k x k k +--+-=.则有1228(21)14k k x x k -+=+，12216(1)14k k x x k-=+.直线BM 的方程为1111y y x x --=，则111R xx y =-；直线BN 的方程为2211y y x x --=，则221s xx y =-.取RS 的中点为()0,0x ，则有120121211xx x y y ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭12121222x x k x x ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭()121212411224x x k x x x x ⎡⎤-=-+⎢⎥-++⎣⎦22216(1)4114116(1)16(21)241414k k k k k k k k k k -⎡⎤-⎢⎥+=-+⎢⎥--⎢⎥-+++⎣⎦2=.即RS的中点是定点(2,0).17．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在坐标轴上，且过(2,A，1,2B⎛⎝两点.（1）求C的方程；（2）设过点F的直线l与C交于M，N两点，P，Q两点分别是直线AM，BN与x轴的交点，证明：||||OP OQ⋅为定值.17．答案：（1）24y x=（2）证明见解析解析：（1）由题意可知抛物线C过第一、四象限，故可设抛物线C的方程为22(0)y px p=>，代入(2,A得84p=，则2p=，故抛物线C的方程为24y x=.（2）证明：由（1）可得(1,0)F，易得直线l的斜率不为0，则可设直线:1l x my=+，211,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yN y⎛⎫⎪⎝⎭.联立方程得21,4,x myy x=+⎧⎨=⎩消去x得2440y my--=，则216160m∆=+>，124y y m+=，124y y=-.当直线AM的斜率不存在时，(2,M-，此时直线:14l x y=-+，则12N⎛⎝，(2,0)P∴，1,02Q⎛⎫⎪⎝⎭，则1||||212OP OQ⋅=⨯=；当直线AM的斜率存在时，12124AMyky-==-，则直线AM的方程为2)y x-=-，令0y=，则2)x-=-，解得122x=-，12,02P⎛⎫∴- ⎪⎪⎝⎭，同理可得22,04Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故121||||14OP OQ y y ⋅===（定值）.综上，||||OP OQ ⋅为定值1.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，焦距为动圆D 的圆心坐标是(0,2)，过点A 作圆D 的两条切线，分别交椭圆于M ，N 两点，记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k .（1）求证：121k k =.（2）若O 为坐标原点，作OP MN ⊥，垂足为P .问：是否存在定点Q ，使得PQ 为定值？18．答案：（1）证明见解析（2）存在点5,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PQ 为定值解析：（1）证明：由题意知，椭圆C 的左顶点为(2,0)A -，焦距为，可得2222,2,a c abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=.若过点A 作圆D 的一条切线的斜率不存在，则其方程为2x =-，其与椭圆只有点A 一个交点，此时圆D 半径为2，与题干矛盾，所以设过点A 且与圆D 相切的直线方程为(2)y k x =+，动圆D 的半径为(2)r r ≠，则r =，化简得()2224840r k k r --+-=，()2264440r ∆=-->，即208r <<，所以1k 和2k 是方程()2224840r k k r --+-=的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系知，121k k =.（2）存在点5,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PQ 为定值，理由如下：设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程得22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14161640)k x k x k +++-=，0'∆>，则212164241k x k --=+，得2122841k x k -=+，12441ky k =+，所以222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为121k k =，所以将k 换成1k ，可得222284,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.易知直线MN 的斜率存在，则直线MN 的斜率为()2222222443414282841414k kk k k k k k k k -++=--+-++，所以直线MN 的方程为()22224328414141k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭.直线MN 的方程可化为()22224328414141k k k y x k k k ⎛⎫-=+- ⎪+++⎝⎭，即()()222224134284134141k k kk y x k k k k ⎡⎤+-⎢⎥=⋅+⨯-+++⎢⎥⎣⎦，即()2310341k y x k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，所以直线MN 过定点10,03E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为OP MN ⊥，所以点P 的轨迹是以OE 为直径的圆上的一段弧，故存在点5,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PQ 为定值.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，C 的焦点是F .（1）若过原点O 作两条直线交曲线C 于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求证：直线AB 过定点；（2）若过曲线C 上一点(2,1)P 作两条直线交曲线C 于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=，求AFB △的面积的取值范围.19．答案：（1）证明见解析（2）[12)-+∞解析：（1）证明：因为A ，B 是两直线与抛物线C 的交点，所以OA ，OB 的斜率均存在，且不为零，故可设直线:(0)OA y kx k =≠，则直线1:OB y x k =-.由12,02y kx x x py =⎧⇒=⎨=⎩，22x pk =，所以()22,2A pk pk .同理得222,p p B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则2222122ABppk k k k p k pk k -==-+，则直线AB 的方程为2112(2)2y pk k x pk y k x p k k ⎛⎫⎛⎫-=--⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线AB 过定点(0,2)p .（2）因为点(2,1)P 在曲线C 上，所以将点P 的坐标代入曲线C 的方程可得2p =，即24x y =，则(0,1)F .设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，则可设直线AB 的方程为y kx t =+.则由24,x y y kx t ⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --=，则124x x k +=，124x x t =-，()2160k t ∆=+>.所以()()1122,1,1FA FB x y x y ⋅=-⋅-，()()()222212121(1)(1)41(1)4(1)0k x x t k x x t t k k t k t =++-++-=-++-+-=，得()22161034k t t t =-+≥⇒≥+3t ≤-0∆>.而点F 到AB 的距离d =，||AB ==则211||2|1|(1)22AFB S d AB t t =⋅==-=-△.所以12AFB S ≥-△.所以AFB △的面积的取值范围为[12)-+∞.。

专题11平面解析几何(第一部分)

专题11平面解析几何（第一部分）一、单选题1．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．42．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A B ．2 C ．3 D ．3．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( )A ．1B ．2C D ．4．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 5．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=6．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-7．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．78．已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．1±B ．C ．D ．2±9．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 A ．a 2=2b 2 B ．3a 2=4b 2 C ．a =2b D ．3a =4b二、填空题10．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为．三、解答题11．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．四、单选题12．若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -= C ．22531x y -= D ．22126x y -=五、填空题13．已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)C 的方程为．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则=a ；b =．15．已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =． 16．已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距离是． 17．已知双曲线2221x y a-= (a ＞0)＋y ＝0，则a ＝.六、单选题18．已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4 C ．2 D ．12七、填空题19．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．20．若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =. 21．若双曲线221y xm -=m =． 22．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=.23．已知()2,0是双曲线2221y x b -=（0b >）的一个焦点，则b =．。

高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》知识点总复习有解析

新数学《平面解析几何》高考复习知识点一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）A 3B 3C 3D ．23【答案】B 【解析】【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,3)C m B m +，则123323242(3)pm p p p m =⎧⎪∴=∴=⎨=+⎪⎩，即抛物线的焦点到其准线的距离是32，选B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，()2,2-，则①和③都错误；由0xy<，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4．直线3y kx=+与圆22(3)(2)4x y-+-=相交于M，N两点，若||23MN≥．则k 的取值范围是（）A．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】【分析】可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解【详解】如图所示，设弦MN中点为D，圆心C(3,2),330y kx kx y=+⇒-+=Q∴弦心距222(1)1CDk k==+-+，又2||23||33MN DN DN厖?，∴由勾股定理可得222222231DN CN CDk⎛⎫=-=-+…，222231|31|1(31)1(43)004 1k k k k k k kk⇒++++⇒+⇒-+剟剟答案选A【点睛】圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

专题08[2837]平面解析几何

专题08[2837] 平面解析几何一、单选题1．已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．62．已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 3．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．4．双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -= 5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >） B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 6．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A B ．2 C ．3 D ．二、多选题7．设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 8．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A e 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．10．圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．11．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为．12．抛物线216y x =的焦点坐标为．13．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．四、解答题14．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP V 的面积为9，求l 的方程．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程． (2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.18．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．。

平面解析几何初步复习题

平面解析几何初步复习题(共7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面解析几何初步复习题平面直角坐标系中的基本公式1．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为()A．4 B．－4或2 C．－2 D．－2或42．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．3.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标．直线的方程4．已知A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为()A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠15．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 6．△ABC的顶点坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．若D为△ABC的边AB 上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围是________．7．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，则y＋1x＋1的取值范围是________．8．已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．9．下列四个结论中正确的是()A．经过定点P1(x1，y1)的直线都可以用方程y－y1＝k(x－x1)表示B．经过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示C．不过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示10．直线ax＋by＋c＝0同时经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足() A．ab>0，bc<0 B．ab<0，bc<0C．ab>0，bc>0 D．ab<0，bc>011．下列说法正确的有()①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A．1个B．2个 C．3个D．4个12．直线l：(a2＋4a＋3)x＋(a2＋a－6)y－8＝0与y轴垂直，则实数a的值是() A．－3 B．－1或－3C．2 D．－113．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则直线l的方程为________．14．如图，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC 边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．15.已知点A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB ⊥CD，求m的值．16．求与直线y＝43x＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程．17．两条直线x－2y＋3＝0和2x－y＋3＝0关于直线x－ay＝0对称，则实数a ＝()A．1 B．－1C．－2 D．218．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是 ()A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝019.求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．20．已知直线l过点(0，－1)，且点(1，－3)到l的距离为322，求直线l的方程，并求出坐标原点到直线l的距离．21.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与l的距离为2的直线方程．22.已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC 的面积为10，求C点坐标．23．若点P(a，b)为直线x＋y＋1＝0上任一点，则a－12＋b－12的最小值为________．24．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动.当线段AB最短时，点B的坐标是________．25．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为() A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝026．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为()A．3 2 B．2 3 C．3 3 D．42圆的方程27．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝128．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)，B(3，－2)的圆的标准方程．29．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－32，＋∞)30．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是()A．3－ 2 B．3＋ 2 C．3－2 231．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．32．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是A．相交B．相切 C．相离D．不确定33．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．1 B．2 2 D．334．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．35．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()C．2 5 D．2636．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5 B．1 C．35－5 D．35＋537.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________. 38．若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限有交点，则k 的取值范围为________．39．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．空间直角坐标系40．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对41．如图，已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF 互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动．设CM＝BN＝a(0＜a＜2).(1)求MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小。

平面解析几何高考复习知识点

平面解析几何高考复习知识点平面解析几何是数学中的一个分支，主要研究平面上的点、直线、圆、曲线等几何图形的性质和运算。

在高考中，平面解析几何通常是在数学试卷中占有一定的比重。

本文将介绍平面解析几何的高考复习知识点，包括坐标系、点的坐标、线的方程、圆的方程等内容。

一、坐标系1.笛卡尔坐标系：平面上的点可以用两个有序实数来表示，称为点的坐标。

一个点的坐标用有序对(x,y)表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。

横纵坐标轴相互垂直，且原点的坐标为(0,0)。

2.极坐标系：平面上的点可以用极径和极角来表示。

极径为点到原点的距离，极角为点到横轴的角度。

极坐标系转换为直角坐标系的公式为：x = rcosθy = rsinθ3.参数方程：平面上的点可以用一个参数来表示。

参数方程为：x=x(t)y=y(t)4.直角坐标系与极坐标系的转换：r²=x²+y²tanθ = y/x二、点的坐标1.两点间的距离：设两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点之间的距离d 为：d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]2.中点：设两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点连线的中点M的坐标为：x=(x₁+x₂)/2y=(y₁+y₂)/2三、线的方程1.一般式方程：形如Ax+By+C=0的线的方程。

其中A、B、C为实数，且A和B不同时为0。

2.点斜式方程：已知线上一点A(x₁,y₁)和该线的斜率k，线的方程可以表示为：y-y₁=k(x-x₁)3.斜截式方程：已知直线与y轴的交点为(0,b)，直线的斜率为k，则直线的方程可以表示为：y = kx + b4.两点式方程：已知直线上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，直线的方程可以表示为：(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)5.截距式方程：已知直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，直线的方程可以表示为：x/a+y/b=1四、圆的方程1.标准方程：圆心为(h,k)、半径为r的圆的方程可以表示为：(x-h)²+(y-k)²=r²2.参数方程：圆心为(h,k)、半径为r的圆的参数方程为：x = h + rcosθy = k + rsinθ3.一般方程：圆心为(h,k)、半径为r的圆的一般方程可以表示为：x²+y²+Dx+Ey+F=0五、其他知识点1.直线与圆的位置关系：直线与圆相交、相切或相离。

平面解析几何(选择题、填空题)(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．【答案】2220x -=【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k⨯=--，解得22k =或22k =（舍去），又23MN =，即()22223MN m m=+=2m =或2m =-（舍去），所以直线2:22AB y x =-+，即2220x -=；故答案为：2220x -=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为3MN =3OE =联立直线AB 与椭圆方程得22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得222(12)4260k x mkx m +++-=其中2221224=4-4(12)260,12mkmk k m x x k ∆+-+=-+（）（）>，∴AB 中点E 的横坐标2212E mk x k =-+,又,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴22=122E mk x k m k =-+-∵0k <，0m >，∴22k 又22+322O m m k E -=（）（），解得m=2所以直线2:22AB y x =-+，即2220x -=2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．【答案】22(1)(1)5x y -++=【解析】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，点M 到两点的距离相等且为半径，2222(3)(12)(2)-+-+-a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=[方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【解析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()2224913,413a a a r a +=+-⇒=+=22(2)(3)13x y -+-=；（2）若圆过A B D 、、三点，设圆心坐标为(2,)a ，则22244(2)1,45a a a r a +=+-⇒==+=的方程为22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程为25y x =-+，联立得4765,333x y r ==⇒=，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =，线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=．故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．【答案】12（或12-，答案不唯一）【解析】联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12（或12-，答案不唯一）.5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．33【解析】双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =．336．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．【答案】2【解析】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,13圆心到直线()00x y m m -+=>1122m-+由勾股定理可得22322m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =.故答案为：2.7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a +-=，解得12a =．故选：A ．8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B【解析】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径5r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为()22222PC =+-223PA PC r =-可得51036sin ,cos 442222APC APC ∠=∠==，则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎫∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径5r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得()22222PC =+-223PA PB PC r ==-=，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以215sin 1cos 4αα=-=；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径5r 若切线斜率不存在，则切线方程为0x =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，22251k k -=+2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得()21212124215k k k k k k -+-=所以1212tan 151k k k k -==+αsin 15cos αα=，可得cos 15=α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且()0,πα∈，则sin 0α>，解得15sin 4α=.故选：B.9．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32【答案】D【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=()()221323211--+=+-故选：D.考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -【解析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，2||11c b =+24.1b=+故221c b =+①，|34||4|.b c c ++=于是344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.x y +-=(填一条即可)[方法二]：设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =，则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+24311k k -=+，解得724k =，从而该切线的方程为724250.(x y --=填一条即可)[方法三]：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离19116d ==+，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意22113441p k k p k ⎧=⎪+⎪⎨++⎪=⎪+⎩，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为=1x -，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -.考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)2，则C 的方程为．【答案】22122x y -=【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C 22ca=2a =222b c a =-=所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=【答案】D【解析】如图，因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，所以222bc bcPF b ca b ==+，所以2b =.设2POF θ∠=,则2tan PF b bOP OP aθ===，所以OP a =，所以2OF c =.因为1122P ab c y =⋅,所以P ab y c =，所以tan P P P aby b c x x a θ===，所以2P a x c =，所以2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()1,0F c -，所以122222222424PF ab ab a a ck a a c a a a c c=====+++++，)2224a a +=，解得2a =所以双曲线的方程为22124x y -=故选：D13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【解析】抛物线245y =的准线方程为5x =-5c =，则()15,0F 、)25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【解析】因为离心率22113c b e a a ==-，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B.15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）【答案】A【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为333直线DE 的方程：3x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：22136390y cy c --=，判别式()2222634139616c c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴()212Δ13226461313cDE y =+-==⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．352【答案】B【解析】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b θ∠== ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+，解得：1tan 2θ=，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===-=，所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯ ，解得：23p y =，即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =++故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212OP PO PF PF ==+ ，即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =++⋅+=+⨯⨯= ．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：221221PF PF +=，由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F=302OP =．故选：B ．18．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】B【解析】方法一：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠=，从而122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅，所以122PF PF ⋅=．故选：B.方法二：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又1225PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选：B.考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =．【答案】3-【解析】对于双曲线221x y m+=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m -=-，则1a =，b m =-221x y m +=的渐近线方程为33y =±，所以33a b =33m =-，解得3m =-；故答案为：3-20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．【答案】()4,0【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4523．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】由题意可得：2521p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．【答案】6【解析】易知圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，2231k k =+3k =232y y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或23233p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2222348333p p p OP ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：6p =．当3k =-故答案为：6．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个【答案】ABD【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长22224115PQ PA r =-=-=，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，422(4)1164t t t +-=+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>【答案】BCD【解析】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-⎧⎨=⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-⎧⎨=⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又2221111||OP x y y y =+=+，2222222||OQ x y y y =+=+所以2121212||||(1)(1)||2||OP OQ y y y y kx kx k OA ⋅=++=⨯=>=，故C 正确；因为21||1||BP k x =+，22||1|BQ k x =+，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形【答案】AC【解析】A 选项：直线)31y x =-过点()1,0，所以抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，所以1,2,242pp p ===，则A 选项正确，且抛物线C 的方程为24y x =.B 选项：设()()1122,,,M x y N x y ，由)2314y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩消去y 并化简得()()231033310x x x x -+=--=，解得1213,3x x ==，所以121163233MN x x p =++=++=，B 选项错误.C 选项：设MN 的中点为A ，,,M N A 到直线l 的距离分别为12,,d d d ，因为()()12111222d d d MF NF MN =+=+=，即A 到直线l 的距离等于MN 的一半，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，C 选项正确.D 选项：直线)31y x =-330x y +=，O 330y +的距离为3d =所以三角形OMN 的面积为1163432323⨯=由上述分析可知)1212333123,3133y y ⎫=--=-=--=⎪⎭所以()22221231332321,333OM ON ⎛⎫⎛⎫=+-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三角形OMN 不是等腰三角形，D 选项错误.故选：AC.考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．32【答案】B【解析】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线=1x -的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以()()22310222AB =-+-=.故选：B29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．55B ．255C ．355D ．455【答案】D【解析】由5e =222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+，所以弦长22145||22155AB r d =-=-=.故选：D考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．【答案】32【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225bAF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3231．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．【答案】2（满足15e <皆可）【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以221145=++c b e a a又因为1e >，所以15e <≤故答案为：2（满足15e <皆可）32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=- ，则C 的离心率为．355/355【解析】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a =方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =-，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b-=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b -=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169c c a a c a c a --=-，整理得4224255090c a c a -+=，则()()22225950c a c a --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以355e =或55e =（舍去），故355e =故答案为：355.33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．【答案】364【解析】过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a=+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=.36434．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C 132D ．172【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，52b e 2a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a =+=选C[方法二]：答案回代法5A e 2=选项特值双曲线())22121,F 5,0,F 5,04x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x 5=+，两交点都在左支,62N 5,555⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF 5∴===，则123cos 5F NF ∠=，13C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F 13,0,F 13,049-=∴-，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 133=+，两交点在左右两支，N 在右支，1418N 13,131313∴，2112NF 5,NF 9,FF 213∴===，则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos bcβ=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a =+=若,M N 均在左支上，同理有()212sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF cβαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2512b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：AC.35．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 2【答案】C【解析】由题意，设()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，()22164410PF =++=，()2226446PF +-=，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.36．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 6【答案】A【解析】由213e e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以233a =.故选：A37．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A ．32B ．22C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==- A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故()14AP AQ PA PB k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA PBb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==- A.考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【答案】ACD【解析】对于A ，易得(,0)2p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224ppp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则36()42p A ，则直线AB 的斜率为6226342p p =-，A 正确；对于B ，由斜率为26可得直线AB 的方程为226p x y =+，联立抛物线方程得2206y py p -=，设11(,)B x y ，则16626p y p +=，则163y =-，代入抛物线得2162p p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13p x =，则6(,)33p pB ，则22673332p p p p OB OF ⎛⎫⎛⎫=+-≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确；对于D ，23663663()(,)0423343234p p p p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又26262665()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确.故选：ACD.39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，点M 在C 上，所以M 到准线2x =-的距离为MF ，又M 到直线3x =-的距离为5，所以15MF +=，故4MF =.故选：D.考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离()()223342132a ad a ----=≤-+，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】因为直线20ax y a ++-=，即()120a x y -++=，令10x -=，则x 1,y 2==-，所以直线过定点()1,2-，设()1,2P -，将圆2241=0C x y y ++-：化为标准式为()2225x y ++=，所以圆心()0,2C -，半径5r =，1PC =当PC AB ⊥时，AB 的最小，此时222514AB r PC =-⨯-.故选：C42．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212B ．4C ．132+D ．7【答案】C【解析】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得132132k -≤≤+故x y -的最大值是321，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 132cos 14x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值321，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离|21|32k d =≤，解得132132k -≤≤+故选：C.考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=【答案】C【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222,42,2210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：1222PF PF a -==222,8a b c a ==-所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（112,2,,22--中任意一个皆可以）【解析】设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得224AB d =-，。

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举一反三
1. 直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是
A.[ 0,π)
C. , 4 4
(
)
3 B , 4 4 3 D 0, [ , ) 4 4
解析
设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.
≧θ∈R,-1≤-cosθ≤1,≨-1≤tanα≤1， ≨α∈ 0, [ , ) . 4 4 答案 D
2 1 1 1 ab 4 ,当且仅当 ,即a=4,b=2时，等号成立. a b 2 2
x y 故直线方程为 1 ,即x+2y-4=0. 4 2
5 B. 0, [ , ) 6 6
5 D. , 6 6
5 C. 0, 6 分析先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围. 解由直线xcosα+ 3y+2=0,
cos 3
所以直线的斜率为k=
设直线的倾斜角为β,则tanβ=
解
方法一：如图所示，直线 l如果
通过一、二、三或一、三、四象限时， △AOB的面积不存在最值，因此只考虑直线 l 与x,y轴正方向相交的情况，这时斜率必为负值. 设直线 l 的方程为y-1=k(x-2)（k＜0）,
则有A(2- ,0)与B(0,1-2k)，
1 1 1 1 1 2 4 4 k 所以 S (k ) 1 2k 2 4 4 4 2 k 2 k
3 （1）设直线 l 的倾斜角为α,则sinα= ， 5
即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0. (2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为α、β，则 ,
2
3 3 又tanβ=- ,故- =tan2α= 2 tan ， 2 4 4 1 tan 1 解得tanα=3或tanα=- (舍去). 3
由点斜式，得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. 学后反思求直线方程首先要根据已知条件选择合适的方程形式，同时注意各种形式的适用条件.用斜截式或点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线等.
举一反三
2. 直线 l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线 l 的方程.
截距式
一般式
x y 1 a b
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０平面直角坐标系内的直线都适用 A2 B 2 0
典例分析
题型一直线的倾斜角和斜率 ( )
【例1】直线xcosα+ 3 y+2=0的倾斜角的范围是 A. , ( , 5 ] 6 2 2 6

x y x y 故所求的直线方程为 1 或 4 16 1 , 9 3
即x+3y-9=0或4x-y+16=0.
题型三与直线方程有关的最值问题【例3】直线l 过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当 △AOB面积最小时，直线 l 的方程. 分析先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从而求出直线的方程.
cos 3
又
3 cos 3 , 即 3 tan 3 3 3 3 3 3
5 所以β∈ 0, [ , ) . 6 6
学后反思求倾斜角范围的步骤是：（1）求出斜率的取值范围；（2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值范围.
3
题型二求直线的方程
【例2】求下列直线l 的方程. 3 （1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; 5 (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线 l1 ：3x+4y+10=0的倾斜角的一半. 分析由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.
解
3 3 所以tanα=〒 ,故l 的方程为y=〒 x+2， 4 4
x2 x1
直线与方程
2. 直线方程的五种形式
名称点斜式斜截式两点式方程
y y0 k x x0
适用范围不含直线 x x0 不含垂直于ｘ轴的直线不含直线 x x1 x1 x2 和直线 y y1 y1 y2
ｙ＝ｋｘ＋ｂ
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
解析由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线 l在两轴上的截距都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程.
设直线 l 的方程为
x a y 1 ,则a+b=12. b
3 4
① ②
又直线l 过点(-3,4),则 a b 1 . a=9, a=-4, 由①、②解得或 b=3 b=16.
第十单元平面解析几何
第一节
基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 ①定义：当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为0°≤α<180°. (2)直线的斜率 ①定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 y2 y1 x x k 经过两点P (其中 1 2 )的直线的斜率公式为 1 x1 , y1 , P 2 x2 , y2
1 k
当且仅当 4k
1 1 ,即k=- 时，等号成立. 2 k 1 2
故直线 l 的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.
方法二：设过P（2，1）的直线为
2 1 则 1 . a b
x y 1 (a＞0,b＞0), a b
由基本不等式得 2
SOAB
2 1 2 1 1 ,即ab≥8, a b a b