七年级数学培优讲义第21讲 一元一次不等式(组)的应用

第21讲 一元一次不等式（组）的应用教学目的1．进一步巩固一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及它们的解集的意义，并会简单运用•2．会列不等式或不等式组解决一些典型的实际问题•典题精析【例1】当x 取何有理数时，代数式3221--x 的值不大于1？ 【解法指导】从题目中找出不等关系来，并依此列出不等式，解此不等式即可求出本题所求“不大于”，即是小于或等于，类似的还有“不超过”、“不多于”、“顶多为”，另外，“不少于”、“不低于”、“至少为”等，即为“大于或等于”•解：依题意得12123x --≤ 去分母，得 3－2(x －2)≤6 去括号，得 3－2x ＋4≤6 合并同类项，得 －2x≤6－3－4 即 －2x≤－1 系数化为1，得 12x ≥ ∴ 当x 取值不小于12时，3221--x 的值不大于1• 变式练习01．如果2(1)3x --的值是非正数，则x 的取值范围是（ ） A ．x≤－1 B ．x≥－1 C ．x≥1 D ．x≤102．当x 取何值时，代数式2x －5的值：⑴大于0？ ⑵等于0？ ⑶不大于－3？03．若代数式1132x x +--的值不小于16x -的值，求正整数x 的值• 【例2】（乐山）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午他又买了20斤，价格为每斤y 元•他以每斤2x y +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） A ．x ＜y B ．x ＞y C ．x≤y D ．x≥y【解法指导】若要比较两个有理数a 和b 的大小，有一种方法就是判断a －b 的值的正负：若a －b ＝0，则a ＝b ；若a －b ＜0，则a ＜b ，反之亦然•用这种方法比较两数大小，称之为作差比较法•本题实质就是比较30x ＋20y 与502x y +⋅的大小的问题，所谓“赔了钱”，就是进价3020502x y x y ++<⋅，也就是30205002x y x y ++-⋅<变形可得x ＞y ，故选B• 变式练习01．如果2213x x --比23-大，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x≤1 D ．x≠102．试比较两个代数式322x x x +-与31x -的大小•03．若代数式2321x x -+比231x x +-大，求x 的取值范围•【例3】某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，从甲、乙两商场了解到统一餐桌每张均为200元，餐椅报价每把均为50元•甲商场称：每购买一张餐桌赠餐椅；乙商场称：所有的餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么什么情况下到甲商场购买更优惠？什么情况下到乙商场购买更优惠？【解法指导】餐椅的购买数量是个变量，到哪个商场购买更优惠，取决于餐椅的数量多少•把餐椅数量设为x 把，到甲、乙两商场购买所需费用分别设为y 甲、y 乙，它们分别用含x 的式子表示，再比较y 甲、y 乙的大小即可，在求y 甲是，应注意x 减去12后，在乘以50，即y 甲＝200×12＋50(x －12)；同理y 乙＝(200×12＋50x)×85%•解：设学校计划购买x 把餐椅，到甲、乙两商场购买所需费用分别为y 甲元、y 乙元•根据题意，得：y 甲＝200×12＋50(x －12)，即y 甲＝1800＋50x ，y 乙＝(200×12＋50x)×85%，即8520402y x =+乙•①当y 甲＜y 乙时，8518005020402x x +<+，解这个不等式，得x ＜32•即当购买的餐椅少于32把时，到甲商场购买更优惠•②当y 甲＞y 乙时，8518005020402x x +>+， 解这个不等式，得x ＞32•即当购买的餐椅多于32把时，到乙商场购买更优惠 ③当y 甲＝y 乙时，8518005020402x x +=+，解这个不等式，得x ＝32• 即当购买的餐椅等于32把时，到两家商场购买均可•变式练习01．某电信公司对电话缴费采取两种方式，一种是每月缴纳月租费15元，每通话1分钟0．20元；另一种是不交月租费，但每通话1分钟收话费0．30元•请问，用那种缴费方式比较合适？02．某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元•经协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 03．（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱•供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂朱琳机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需要成本费2．4元•⑴若需要这种规格的纸箱x 个，请用含x 的代数式表示购买纸箱的费用y 1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y 2（元）；⑵假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由•【例4】（潍坊）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化•绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的32，则种植草皮的最小面积是多少？ 【解法指导】应用题中，要充分挖掘题目中所蕴含的不等关系，一个也不能遗漏，否则就会出错•注意到题中表示不等关系的关键词语“不少于”，这是列不等式的依据•显然，本题中有三个不等式关系：①种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩；②种植草皮面积不少于种植树木面积的32，根据这三个不等关系可以求出种植草皮的面积的范围解：设种植草皮的面积为x 亩，则种植树木的面积为(30－x)亩，则有1030103(30)2xxxx-⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥≥，解得18≤x≤20•故x的最小值为18答：种植草皮的最小面积为18亩•变式练习01．2007年某厂制定某种产品的年度生产计划，现有如下数据供参考：⑴生产此产品的现有工人为400人；⑵每名工人的年工时约计2200小时；⑶预测2008年的销售量在10万箱到17万箱之间；⑷每箱需用工4小时，需用料10千克；⑸目前村料1000吨，2007年还需用料1400吨，到2007年底可补充原料2000吨•试根据以上数据确定2008年可能生产的产量，并根据产量确定工人人数•02．某公司在下一年度计划生产出一种新型环保冰箱，下面是公司各部门提出的数据信息；人事部：明年生产工人不多于80人，每人每年工作时间2400h计算；营销部：预测明年年销量至少为10000台；技术部：生产1台电冰箱平均用12个工时，每台机器需要安装5个某种主要部件；供应部：今年年终库存主要部件1000件，明年能采购到这种主要部件80000件•根据上述信息，下一年度生产新型冰箱数量应该在什么范围内？【例5】“六一”儿童节前夕，某消防官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物•如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班虽然分得有福娃，但不足4套•问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【解法指导】抓住题中的关键词“虽然分有福娃，但不足4套”来建立不等式组，这是本题的关键所在•解：设该小学有x个班，则奥运福娃共有(10x＋5)套，根据题意，得10513(1)410513(1)x xx x+<-+⎧⎨+>-⎩①②解①得x＞143，解②得x＜6•因为x只能取正整数，所以x＝5，此时10x＋5＝55答：该小学有5个班级，奥运福娃共有55套•变式练习01．幼儿园有玩具若干份，分给小朋友，如果每个小朋友分3件，难么还剩59件；如果每个小朋友分5件，那么最后一个小朋友还少几件，这个幼儿园有多少玩具？有多少个小朋友？02．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们•若每名学生送3本，则还余8本；若前面每名学生送5本，则最后一名学生得到的课外读物不足3本•设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请你解答下列问题•⑴用含x的代数式表示m；⑵求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数•【例6】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，现计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，则工厂安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来•【解法指导】此为典型的材料供应类设计方案的应用题，题中的不等关系不很明显，但经过认真分析，结合生活实际仍可挖掘出题中所蕴含的不等关系，即生产所使用的甲种原料总量不得超过360千克，乙原料总量不得超过290千克，据此可以列出两个一元一次不等式，从而组成一元一次不等式组•此类题的不等关系不十分显眼，发掘不等关系是解决此类题之关键所在•解：设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(50－x)件•根据题意，得36029094(50)310(50)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤，解这个不等式组，得30≤x≤32• 因为x 需要取整数，所以x 可以取30、31、32，对应50－x 应取20、19、18•故可设计三种方案：A 种产品30件，B 种产品20件；A 种产品31件，B 种产品19件；A 种产品32件，B 种产品18件•变式练习01．近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称“蒜你狠”、“豆你玩”•以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克•市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格•经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克•为了既能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）•问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？02．（深圳）迎接亚运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺找些共50个摆放在迎宾大道两侧•已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆•⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；⑵若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明⑴中哪种发案成本最低？最低成本是多少元？03．某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．⑴该校初三年级共有多少人参加春游？⑵请你帮该校设计一种最省钱．．．的租车方案• 【例7】如果关于x 的不等式组0607x n x m -<-⎧⎨⎩≥的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m ，n)共有( )对A ．49B ．42C ．36D ．13【解法指导】本题属于“由不等式的解集中包含的整数解来确定字母系数的值”这类题，此类题首先根据不等式组的解集包含哪些整数来确定每个边界点的范围，据此求出符合条件的字母系数的值• 解：由此不等式组得到其解集是76x m n <≤ ∵此解集中仅含有整数1，2，3• ∴107m <≤，即70m <≤，且436n <≤ 即2418n <≤ 故m ＝1，2，3，4，5，6，7，n ＝19，20，21，22，23，24故符合此不等式组的整数对(m ，n)共有6×7＝42对，即本题选B变式练习01．已知：关于x 的不等式组302x a b x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩的整数杰有且仅有4个：－1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(a ，b)共有多少个？巩固提高01．用不等式表示：⑴x与2的和小于5________________；⑵a与b的差是非负数_________________•02．若x＜y，则x－y______y－2；5－x_______5－y；a2x_______a2y；－x3_____－y5；x(a2＋1)______ y(a2＋1)03．不等式组12305xx+>-⎧⎨⎩≤的解集是___________，其整数解是__________．04．关于x的不等式组320x ax->⎧⎨->⎩的整数解共有6个，则a的取值范围是．05．已知：三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是_________________．06．若不等式(a－5)x＞1的解集是x＞1a－5，则a的取值范围是__________________．07．如果不等式组737x xx n+<-⎧⎨>⎩的解集是x＞7，则n的取值范围是（）A．n≥7B．n≤ C．n＝7 D．n＜708．若abcd＞0，a＋b＋c＋d＞0，则a、b、c、d中负数的个数至少有（）A．1个B．2个C．3个D．4个09．如果2(1)3x--是非正数，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x≥1 D．x≤110．已知：关于x的不等式组152x ax->-⎧⎨⎩≥无解，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3C．0＜a＜3 D．a≤311．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超过300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超过200元后，超出部分按原价8．5折优惠，设顾客预计累计购物x元（x＞300）．⑴请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所需费用；⑵试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．12．七⑵班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：⑴设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；⑵请你根据学校现有的材料分别写出七⑵班制作A型和B型陶艺品的件数•13．某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李•⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助选择哪一种租车方案更节省费用•14．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元•已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台•⑴至少购进乙种电冰箱多少台？⑵若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？15．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆•经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李•⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案；⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省•培优升级检测01．如果不等式组809x bx a-<-⎧⎨⎩≥的整数解仅为1，2，3，那么适合这三个不等式组的整数a、b的有序数对(a，b)共有（）对•A．17 B．64 C．72 D．8102．设a、b、c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与C的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（）A．M＝P B．M＞P C．M＜P D．不确定的03．a1、a2、…、a2004都是正数，如果M＝(a1＋a2＋…＋a2003)(a2＋a2＋…＋a2004)，N＝(a1＋a2＋…＋a2004)( a-2＋a2＋…＋a2003)，那么M、N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．MN D．不确定的04．设23ama+=+，12ana+=+，1apa=+，若a＜－3，则（）A．m＜n＜p B．n＜p＜m C．p＜n＜m D．p＜m＜n05．已知：a、b、c、d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜50，那么a的最大值是（）A．1157 B．1167 C．1191 D．119906．已知关于x的不等式组4132x xx a+⎧>+⎪⎨⎪+<⎩的解集为x＜2，那么a的取值范围是________________•07．正六边形轨道ABCDEF的周长为7．2米，甲、乙两只机器鼠分别冲A、C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9．2厘米/秒，乙的速度为8厘米/秒，那么出发后经过_______秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．08．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备•现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表．经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，请你设计，该企业购买方案有_______种．09．大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差等于1000，那么这三个正整数的和为_____________．10．已知不等式ax＋3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是______•11．小慧上宝塔观光，他发现：若上了7阶楼梯时，剩下的楼阶梯数是已上的阶数的3倍多，若再多上15阶楼梯时，已上阶数是剩下的楼梯阶数的3倍多，那么，此宝塔的楼梯一共有多少阶•12．若正整数x＜y＜z，k为整数，且111kx y z++=，试求x、y、z的值•13．已知：a1＋2a3≥3a2，a2＋2a4≥3a3，a3＋2a5≥3a4，…，a8＋2a10≥3a9，a9＋2a1≥3a10，a10＋2a2≥3a1，且有a1＋a2＋a3＋…＋a10＝100，求a1，a2，a3，…，a9，a10的值•。