2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学真题(答案详细解析)

2017年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷

一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则()M N P = （ ）

A.{0,1,2,3,4}

B.{0,3}

C.{0,4}

D.{0}

2.函数y=lg (x+1) 的定义域是（ ）

A.(,)-∞+∞

B. (0,)+∞

C. (1,)-+∞

D. [1,)-+∞

3.设i 为虚数单位,则复数1i i

-= （ ） A. 1+i B.1-i C. -1+i D. -1-i 4.命题甲：球的半径为1cm;命题乙:球的体积为4

3πcm 3,则甲是乙的（ ）

A.充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C.充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线112

y x =+垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y =2x B. y =-2x +4 C. 1322y x =+ D. 1522

y x =+ 6.顶点在原点，准线为x =-2的抛物线的标准方程是（ ）

A.28y x =

B. 28y x =-

C. 28x y =

D. 28x y =-

7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),

=+（ ）

A. 5

B. 4

C. +

D.

8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点

P

)2-,下列等式不正确的是（ ） A. 2sin 3α=- B. 2sin()3απ+=

C. cos 3α=

D. tan 2

α=- 9.下列等式恒成立的是（ ）

A. 23x -= (0x ≠)

B. 22(3)3x x =

C.22333log (1)log 2log (3)x x ++=+

D. 31log 3x

x =- 10.已知数列{a }n 满足1a 1=,且1a a 2n n +-=,则{a }n 的前n 项之和n S =（ ）

A. 21n +

B. 2n

C. 21n -

D. 12n -

11.已知实数x, y, z

满足 3

2

x y x x y ≤≤+≥,则z =2x +y 的最大值为（ ）

A. 3

B. 5

C. 9

D. 10

12.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）

A.22(2)(5)x y +++=

B. 22(2)(5)18x y +++=

C. 22(2)(5)x y -+-=

D. 22(2)(5)18x y -+-=

13.下列不等式一定成立的是（ ）

A.12x x +≥ (0x ≠)

B. 22111

x x +≥+ (x R ∈) C. 212x x +≤ (x R ∈) D. 2560x x ++≥ (x R ∈)

14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且当(,0]x ∈-∞时, 2()sin f x x x =-,则当[0,]x ∈+∞时, ()f x =（ ）

A. 2sin x x +

B. 2sin x x --

C. 2sin x x -

D. 2sin x x -+

15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）

A. 4和3

B. 4和9

C. 10和3

D. 10和9

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

16.已知x >0, 且5,,153

x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是

18.从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字,将它们组成一个两位数,该两位数小于20的概

率是

19.中心在坐标原点的椭圆,其离心率为12

,两个焦点F 1 和F 2在x 轴上,P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4,则椭圆的标准方程是

三、 解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步

骤）

20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知

cos cos a b A B

= （1）证明: ABC ∆为等腰三角形；

（2）若a =2, c=3,求sin C 的值.

21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60o ABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC

的中点.

（1）证明: PA CD ⊥；

（2）求三棱锥P -ABC 的体积；

（3）证明: AE PCD ⊥平面.

2017年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（答案解析）

1、B 解析：{}4,3,2,1,0=N M {}3,0)(=∴P N M .

2、C 解析： 对数函数要求真数大于0 101->⇒>+∴x x .

3、D 解析:

i i i i i i i i i --=--=-+=⋅-=-111

1)1(1. 4、C 解析：充分性：若cm R 1=，则233434cm R V ==π；同样利用此公式可证必要性. 5、B 解析：121-=⇒k k 两直线垂直 2-=∴k l 的斜率为直线.

根据点斜式方程)(00x x k y y -=-可得)1(22--=-x y ，整理得42+-=x y . 6、A 解析：由准线方程2-=x 可知焦点在x 轴上 422

=⇒-=-

∴p p 由px y 22=可得x y 82=. 7、A 解析：)1,1(),2,3(-=-=BC AB )3,4(-=+∴BC AB

5)3(422=-+=+.

8、D 解析：x

y r x r y y x r ====-+=+=αααtan ,cos ,sin ,3)2()5(2222 C B A ,,∴正确，D 错误5525

2tan -=-==x y α. 9、D 解析：A.)0(1

3

1

3≠=-x x x ；B.x x 223)3(=；C.)1(2log 2log )1(log 22222+=++x x . 10、B 解析：由已知可得{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列

2122

)1(2)1(n n n n d n n na S n =⨯-+=-+=∴. 11、C 解析：如图，画出可行域，当直线z x y +-=2平移经过点A 时在y 轴上的截距z 取得最大

值，由)3,3(3

33A y x x y x ⇒⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==得 9332max =+⨯=∴z . 12、D 解析：圆的标准方程为222)()r b y a x =-+-（， 其中圆心为)5,2()228,251(=++-C ，半径为23)28()51(2

122=-+--=r