增益与相位裕量

例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小 相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定
性如果系统是稳定的，则求 r(t) t 时的稳态误差。
解：由图得
K(1 j )
G( j) j(1 j

0.1
)(1 j)
0.01 5
看对数幅频特性
15
L()
参看图5-53，当闭环频率 响应的幅值下降到零频率
百度文库
dB L( )
值以下3分贝时，对应的
频率称为截止频率。
0
3
20 lgC R((jj )) 20 lgC R((jj0 0))3dB
3 带宽
对于的 20lgC(j0) 0dB b
b
R( j0)
系统
20lgC(j) R(j)
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
G(j)
n2
j(j2n)
设截止频率 c 则有
()90 a
rc2tg n
G(jc) c
n2 c242n2
cn (44122
1
arctg 2 44122
18
5.7.4截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth)
整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40
解：
增益裕度
相位穿越频率 x
(x)G (jx)H (jx) 1 80
(x ) 9 a 00 r . 2 x c a t0 r g . 0c x 5 t 1 g 80
即 a 10.02r 0 .2.2 xc xx 0 .0t0.a 05g 5xr x0 .0 c x 5 t 9 g 1 0 0.2 x t0.g0 (1 5 x 20 )1tgt1xg 1tt1g 0g 22
则得 1 8 0 (c)7.6 3 >>0 系统稳定
单位斜坡输入时，系统的稳态误差为
ess

1 Kv
1 0.1 10
17
5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬 R(s)
态响应与频率响应之间的关系
_
书上例5-13p203
ωn2
C(s)
S(S+2ξωn)
G(s) n2 s(s2n)
G(jx) 0.1
K
0.1
x (10.0 4x 2)1(0.002 x 2)5
K 0 .1 11 0 41 0 .2 5 2 .5
验证是否满足相位裕度的要求。
根据 40 的要求，则得：
( c ) 9 a 0 0 . 2 r c a c0 . t 0 r g c c 5 1 t 4 8 g 1 0 0 4

Re
G( j)
Positive Phase Margin
1 h
Negative Gain Margin
Stable System
Unstable System
10
例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
K
s(10.2s)1(0.0s5)
K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调
80
dB
60
40
-20dB/dec
K(1 j )
G( j) j(1 j
0.1

)(1

j)
0.01 5
-40dB/dec
20
-20dB/dec
0
5
0.01 0.1
1

rad/s
-20
-40dB/dec
-40
10-3
10-2
10-1
100
101
102
16
2 lK g 0 2 lg 0 1 (1 ) 2 2 lg 0 1 (1 ) 2 2 lg 0 1 ( 1 ) 2 2 l1 g 0
T
P1
0
图5-44 H(j)G(j)极坐标图
图5-44中的奈奎斯特图表明，
H(s)G(s) 轨迹顺时针方向包围-1+0点一次
R1
ZR P 2
这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，
因此系统是不稳定的。
2
例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。
0
-1
-1.5
-1
-0.5
T 1 1 ,T 2 2 ,T 3 3 ,K 2
0
0.5
1
Real Axis
1.5
2
5
G (j)[T 1 T 2(j)2 T 2 K j 1 ]T (3j 1 )
展开
？与负实
轴的交点

K
T 1 T 2 T 3 (j)3 (T 1 T 2 T 2 T 3 )j()2 (T 2 T 3 )j 1
12
Magnitude (dB)
K1 K2.5
K5.2
Bode Diagram 20
10
0
-10
-20
-30
-40 -90
h(dB) h(dB) h(dB)
Phase (deg)
-135

-180
-225
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Kc
c
13
由题意知 h 10
回路闭合后，变成稳定系统的例子。 3
例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)(T1T2s2T2K s1)T (3s1) 式中 K,T1,T2和T3
均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数
T1,T2和T3 之间满足什么关系？
解 ： G (j)[T 1 T 2(j)2 T 2 K j 1 ]T (3j 1 ) 频率特性
ar 0 .2 cc ta gr 0 .0 cc 5 t 5 g0
0.2c0.0 5c 1.2 10.2c0.0 5c
c 4
K
1
K 4 1 .2 1 8 .0 5 2 .2 c (10.0 4c2)1(0.002c2)5
不难看出，K2.5 就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 14
Stable System
90 180 270
Log
Negative Phase Margin
Unstable System
9
Positive Im
Gain Margin
G Plane Negative Im
Phase Margin
G Plane
1
h
1

1
-1
Re
G( j) -1
Im GH 平面
3
在右半s平面内有一个极渐点近线s 1 P1 因此开环系统是不稳定的
4K
1 K

Re

图5-45表明 H(s)G(s)
轨迹逆时针方向包围-1+j0一次 R1
0
ZRP0
图5-45 H(j)G(j)极坐标图
说明
1H(s)G(s)
没有零点位于右半s平面内，闭环系统是 稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是
在 x 处的开环对数幅值为
h (d) B 2l0 o G (g j x)H (j x) 11
2 0 7 12d8B
相位裕度
增益穿越频率 c 截止频率
根据K=1时的开环传递函数
G(jc)H(jc)1
G (jc)jc(1j0.21 c)1(j0.0 5c)
21
为为 改善改 系善 统性系能统性能
输入量
补 串串 偿 联 联 元件 补偿
输 输出出 量量 放大 大 元件 元件 执 执行行 元件 元件 被 被控控 对象 对象
主反馈
局 局部部 反馈 反馈 反 补反 偿 馈 馈 元补 件偿 测 测量 量 元件 元件
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还 要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加 入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整 个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。
0 .1
0 .01
5
K 10 1 K10

G(s) 1(011s0) s(110s)01(0.2s)
1001
由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度
是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 c 1
在(c ) c 9 处 0 ar 0 1 .1 c a tr g 0 .1 0 c a 1 tg r 1 5 c 1 t.4 0 g 6
Design and Compensation Techniques
前面几章讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基 本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。
本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能 指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。
基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组 成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制 器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
第15讲
程向红
控制系统的校正
系统的设计与校正问题 常用校正装置及其特性 串联校正
1
例5-6 设一个闭环系统具有下列
Im 0
GH 平面
开环传递函数 G(s)H(s) K s(Ts1)

试确定该闭环系统的稳定性。
解
H(s)G(s)

Re
1

在右半s平面内有一个极点 s 1
定义幅值裕度为
h
1
G(jx)H(jx)
若以分贝表示，则有 h 2l0 oG (g jx)H (jx)
8
Positive
dB
Gain Margin
c
x
0
Log
Negative
dB
Gain Margin
cLog
0
x
90 180 270
Log
Positive Phase Margin

1
1
c (10.0 4c2)1(0.002 c2)5

c 1
(c ) 9 a 00 r . 2 c c a t0 r g . 0c c 5 1 tg 0
1 8(0 c ) 1 8 10 0 7 4 6
h 2l0 oG (g jx)H (jx)
7
相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为 c
A (j c)G (jc)H (j c) 1
定义相角裕度为 1 8 0 G (j c)H (j c)
K
1
1(T1 T3) T2T1T3T3
(T1T3)T2T1T3T3 K1 6
5.7相对稳定性 5.7.1相位裕度和增益裕度
G 平面
Im

1
0 Re
判断系统稳定 的又一方法
K 大时 K 小时
图5-46 G( j) 的极坐标图
0
h(dB)0
1 8 0 G (j c)H (j c)
3dB

b
图5-53 截止频率与系统带宽
一阶系统的带宽 为其时间常数的倒
(1 bn22)2(2 bn)2
(j)
2
1
(12)2 (2 )2
n2
n
数。二阶系统，闭 环传递函数为
bn12 2(12 2)2119
开始
20
第六章 控制系统的校正
工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
22
6.1 系统的设计与校正问题 6.1.1 控制系统的性能指标
时域指标 稳态 型别、静态误差系数 动态 超调、调整时间
频域指标
增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度 开环频率、闭环带宽、谐振峰值、谐振频率
当 0 时，相位裕量为正值；
当 0 时，相位裕度为负值。
增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h
设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency) x
(x )G (jx )H (jx ) (2 k 1 )
k0,1,

K
1 T 2(T 1 T 3)2 (T 2 T 3 T 1 T 2 T 32)j
令虚部为零即可 T2T3T1T2T3 20
c
T2 T3 T1T2T3
与负实轴相交于 G (jc)1T2(T 1 K T 3)2c1T2(T 1 K T 3)T T 2 2T 1T T 3 3
G (j )
K
ej( )
[1 ( T 1 T 22 )2 (T 2)2 ]1 [ (T 3)2 ]
()arc1 tT T g12T 22arc3 t gT
G (j0)Kj0
G (j )0j0
4
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5