5.4-5.6 尺度检验

, k，
2. 令 Ti 为相应于第 i 个样本的平方秩的和，即 Ti Rij ,i 1, 2,
j 1 ni
, k.
检验的统计量为： k Ti / ni Ti / N i 1 T ( N 1) i 1 . 2 ni k k R T ij i / N i 1 j 1 i 1
假设检验问题
2 2 2 2 H0 : X Y H1 : X Y .
检验思想： 用比较它们的绝对离差 X i X 和 Yi Y 来比较方差.
检验步骤：
1. 把两样本的一共 m n 个绝对离差 X 1 X ，X 2 X ， ，X m X 和 Y1 Y , Y2 Y ， ， Yn Y
可以查表或用统计软件求出 p 值. 同样也有大样本近似. 在 K 太大时，应拒绝零假设.
Fligner－killeen 检验比 Ansari Bradley 检验有更强的势.
例题：继续考虑例 3.1 我国两个地区一些城镇职工的工资（元） 地区 1 (17 个)： 6864 7304 7477 7779 7895 8348 8461 9553 9919 1 0073 10270 11581 13600 13962 15019 17244 地区 2 (15 个)： 10276 10533 10633 10837 11209 11393 11864 12040 12675 13199 13683 14049 14061 16079 试判断这两个地区平均城镇职工工资哪个差距更大.
解：应用 Fligner Killeen 检验.
假设检验问题
2 2 H 0 : 12 2 H1 : 12 2 .
首先，两个样本的位置差 M X MY 的点估计为 2479.
故将 Y 样本都加上 M X M Y 2479 (重新记为 X ij )，
解：应用Hale Waihona Puke Baidu方秩检验.
假设检验问题
2 2 2 2 H0 : X Y H1 : X Y .
地区 1 的平方秩 之和为 T1 8327, 地区 2 的平方秩 之和为 T2 3113.
总均值 R 357.5， 及 S 900.7476. 最后得到 Z X 2.49737.
然后混合它们，求出它们的共同中位数 M 9740.
* 然后求出所有的 Vij X ij M ，并按升幂排列.
因此 W ( WX ) 328.
由统计软件得到精确的 p 值 P (W 328) 0.03784712. 因此可在显著性水平 0.05 时拒绝零假设. 这说明 X 样本所代表的总体方差要大些，或者说地区 1 本身 的差距比地区 2 要大.
2 2 H 0 : 12 2 H1 : 12 2 .
检验统计量
j . W R1
j 1
n1
它在零假设下有 Wilcoxon 秩和统计量的分布.
可以查表或用统计软件求出 p 值. 同样也可用大样本近似. 在 W 太大和太小时拒绝零假设.
对于 k 2 的多样本情况， 假设检验问题
对 i 1, 2, , k，j 1, 2, , ni， 记 Vij X ij 若 未知，则用样本中位数 M 代替 :
记 M 是所有混合样本的样本中位数，
Vij X ij M
表示在混合样本中 Vij X ij M 的秩， 用 Rij
在两样本情况(k 2), 假设检验问题
混合起来排序，得到 m n 个秩 RX， RX ,m， RY， RY ,n . 1 ,RX ， 2, 1 ,RY， 2,
2. 令 TX 为相应于 X 的平方秩的和，而 TY 为相应于 Y 的 平方秩的和，即 TX R
i 1 m 2 X ,i 2 TY RY ,i . i 1 n
若利用查表的方法，首先求得 WXY 80 (WYX 175).
得到当 n 17, m 15 时，P(WXY 80) 0.03784712. 因此可在显著性水平 0.05 时拒绝零假设.
5.5 两样本尺度参数的平方秩检验
Conover (1980) 提出的平方秩检验 (squared rank test ).
假设检验问题为： H 0 : 1 2 k H1 : 不是所有的方差都相等
1 记 Xi ni
X
j 1
ni
ij
为各样本的均值.
多样本尺度的平方秩检验步骤：
1. 把 k 个样本的共 N 个绝对离差 X ij X i (i 1, 2, j 1, 2, , ni ) 混合起来排序，得到 N 个秩， , k，j 1, 2, , ni . 记这些秩的平方为 Rij ,i 1, 2,
5.6 多样本尺度的平方秩检验
平行于多样本位置的 Kruskal Wallis 检验.
假定有 k 个独立样本， X i1 , X i 2 ,
k
, X ini 是容量为 ni (i 1, 2,
, k ) 的随机样本. .
X i 记 N ni ,总体的分布函数分别为 F i 1 i
k 2
在零假设下，T 有渐近的自由度为 k 1的 2 (k 1) 分布.
可以由此得到 p 值.
显然，如果 TX 或 TY 过大或过小都说明两个样本的尺度 差距较大，即有理由怀疑零假设.
2 2 为了简化符号，我们把平方秩 RX ， R ,i Y ,i 统一记为
Ri，i 1, 2,
, m n.
在零假设下， TX 和 TY 渐近正态分布，均值分别为 mR 和 nR， 2 2 mn R m n R i mn 1 i 2 其中 R R ， 而 方 差为 S i m n i 1 m n m n 1
假定有两个独立样本 x 1 y 2 X1 , , X m ~ F ，Y1 , , Yn ~ F ， 1 2 其中 F () 为连续分布函数，而且 F (0) 1 2 (其中位数为 0). 还假定两个总体的位置参数相等，即 1 2 .
换言之，可以用统计量 TX mR TY nR ZX 或 ZY S S 来作检验.
例题：继续考虑例 3.1 我国两个地区一些城镇职工的工资（元） 地区 1 (17 个)： 6864 7304 7477 7779 7895 8348 8461 9553 9919 1 0073 10270 11581 13600 13962 15019 17244 地区 2 (15 个)： 10276 10533 10633 10837 11209 11393 11864 12040 12675 13199 13683 14049 14061 16079 试判断这两个地区平均城镇职工工资哪个差距更大.
Z X 2.49737， 1 ( z) 0.006256.
因此对于双边检验， p 值 0.006256. 因此可在显著性水平 0.01 时拒绝零假设.
这里用 Z X 或 ZY 作为检验统计量都可以， Z X ZY，求 p 值时一个用左边尾概率，一个用右边尾概率.
5.4 两样本及多样本尺度参数的Fligner-Killeen 检验
假定有 k 个样本， 用 X i1 , X i 2 , , X ini 表示容量为 ni (i 1, 2, .
k .
, k ) 的第 i 个样本.
X i 其总体分布函数为 F i
k i 1
2 H 0: 12 2 2 k H1:不是所有的 i2 都相等
检验的统计量为： K 1 其中 Ri ni 12 N 1 n i Ri , N ( N 1) i 1 2
k 2
R .
j 1 ij
ni
在零假设下，统计量 K 有 Kruskal Wallis 检验统计量分布相同.
记 N ni . 并假定所有的位置参数相同 1 2
假设检验问题 H 0:1 2 k H1:不是所有的方差都相等
检验问题及原理
具有大的尺度参数的总体所产生的观测值， 倾向于远离共同的中位数 ， 因此对观测值到共同中位数的距离进行排序
Fligner 和 Killeen 于 1976 年提出的