初中数学拔尖材料16 覆盖与染色问题

初中数学拔尖材料16 覆盖与染色问题

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本讲主要介绍：棋盘上的覆盖问题，即用21⨯即“日”形的方格，31⨯即“目”形的方格，3L -方块，4L -方块，凸汉字方块等等．讨论完全覆盖与不完全覆盖问题．

一、棋盘覆盖

若用一些各种不同的形块去铺盖m n ⨯棋盘，使得棋盘的所有方格都被这些形块盖住，并且没有形块交叉重叠在棋盘上，则称这一铺盖为m n ⨯棋盘的一个完全覆盖，简称棋盘覆盖．．．．

． 例1．一个2 ()n n N ⨯∈的棋盘存在日字形覆盖；一个23⨯的棋盘存在3L -形块覆盖．

例2．一个23⨯的棋盘存在几种日形覆盖？

例3．在33⨯的棋盘上，去掉中心的方格，残缺棋盘存在日形覆盖．

例4．求证：m n ⨯的棋盘存在日形覆盖，当且仅当m n 、中至少有一个是偶数．

例5．在57⨯棋盘中，去掉位于第2行、第4列上的小方格，所剩下的部分有日形覆盖．

例6．求证：若3mn Œ

，则m n ⨯的棋盘不存在3L -形块覆盖．

二、染色问题

什么是染色？染色的实质就是分类，具有同一色彩的小方块成为一类．与一般的分类不同的是：利用染色来分类直观和趣味性强．棋盘上的染色技术有两种：一种是对棋盘按行、列染色，相邻的行或列染上不同的颜色；另一种是对棋盘进行相间染色，即每个相邻的小方格染不同的颜色．

例7．求证：在一个35⨯的棋盘上去掉位于第2行第1列的方格，则残缺棋盘上不存在日形覆盖．

例8．一个88⨯的方格棋盘能否用15个凸型块和一个“田”型块完全覆盖？

例9．一个37⨯棋盘上的每一个小方格染上红、蓝两色中的一种，求证：总可以找到四个同色的小

方格位于一个长方形的四个角上．

例10．在88⨯棋盘上剪去左上角与右下角的方格，剩下的62个方格是否存在日形块覆盖？

例11．求证：一个37⨯的棋盘不存在3L -形块覆盖．

例12．用若干个

恰好覆盖了m n ⨯棋盘，求证：8()mn ．

三、巩固练习

1．求证：79

⨯的棋盘中，挖去位于第4行、第6列的小方格，剩下的部分存在日形覆盖．

2．在66

⨯的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36这36个自然数，要求下列四种图形内所写的数字之和为偶数，问这种写法是否存在？

3．把7个面积为1的圆放在某一平面上，所盖住的总面积为4，试证明：总有两个圆重迭部分的面

积不小于1

7

．

4．把28

⨯棋盘中水平直线和竖直直线的交点称为格点，对这些格点染上两种颜色，求证：一定存在两条水平直线和两条竖直直线，由它们所成的格点是同一颜色．