2016湖南邮电职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

③τ＝{ ，{a}, {a, b}, {a, c}}；④τ＝{ ，{a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是_______2，4_____________
二、选择题（18B．17C．16D．15
(1)
此不等式的解集是 (2) 当 时
恒成立，
即在当 时 恒成立，即 ,
设
22、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第
2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%
(1)求第n年初M的价值an的表达式
(2)设An＝ ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．
an＝
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故
Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70× ×4× ＝780－210× n－6，
An＝ ，
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．又A8＝ ＝82 >80，
一、填空题（每题4分，共64分）
1、已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B＝{10}，则 UA∪B为{0，1，8，10}
2、函数 的定义域是（-3，2）
3、已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是[－1,1]
4、对于函数 ，“ 的图像关于 轴对称”是“ 是奇函数”的
由 成等差得
或 …………16分
当 为偶数时， ，则有 且 ；
当 为奇数时， ； ，
综上所述，存在正整数 （ ）满足题设，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， 。………………………18分
12、已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的 ，等式
成立．若数列 满足,
则 的值为4021
13、已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点
为Q1、R1，使之满足 ，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足 .依次下去，得到 ，则
解：（1）当 ， 时有
解得 或 ……………………………………5分
（2）当 时 ，显然 不是等差数列，
所以 ，
由 成等差得
或 （不合题意）所以 ；
所以
即一定有 成等差数列。…………………………………11分
（3）假设存在正整数 ，使 成等差且 也成等差。
当 时 ，显然 不是等差数列，
所以 ， ……………………………13分
问：该企业必须在第几年的年初对设备M更新？请说明理由
【解答】(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为 的等比数列，又a6＝70，所以an＝70× n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
9、若不等式 的解集为 ，且 ，则a的取值集合为
{2}
10、已知集合A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9，x∈R}，B＝{x －6，t∈(0，＋∞)，x∈R}，则集合A∩B={x|－2≤x≤5}
11、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4
节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为___ _________升
A． B． C． D．
三、解答题（要有必要的解题步骤，共74分）
19、已知 且 ，关于 的不等式 的解集是 ，
解关于 的不等式
解：关于 的不等式 的解集是 ，所以 ，故
或
原不等式的解集是 。
20、已知集合
（1）若 ，求 的取值范围
（2）若 ，求 的取值范围
解：
(1)由 知 ,令 ，则
得-5
（2）假设存在a的值使 ，由 知 ，
必要非充分条件
5、下列四个不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a，其中能使 ＜ 成立的充分条件
有1，2，4（填序号）
6、若函数 为奇函数，则 =
7、若不等式 在 上的解集非空，则实数 的取值范围是
8、等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11， － ＝2，则S11＝-11
A9＝ ＝76 <80，所以须在第9年初对M更新．
23、（1）等比数列 中，对任意 ， 时都有 成等差，求公比 的值
（2）设 是等比数列 的前 项和，当 成等差时，是否有 一定也成等差数列？说明理由
（3）设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，是否存在正整数 ，使 成等差且 也成等差，若存在，求出 与 满足的关系；若不存在，请说明理由
16、设 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（A）
A． B． C． D．
17、已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时，
，则 的值为(C)
A． B． C． D．
18、函数 的定义域为R，且定义如下： （其中M是实数集R的非空真
子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足 ，则函数 的值域为（B）
14、若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ， 属于τ；
②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ，{a}, {c}, {a, b, c}}；②τ＝{ ，{b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}}；
又 知B C, A B C.
由（1）知若A B,则a
当B C时， ， B
得
故存在a 满足条件
21、已知函数 成等差数列，点 是函数 图像上任
意一点，点 关于原点的对称点 的轨迹是函数 的图像
（1）解关于 的不等式
（2）当 时，总有 恒成立，求 的取值范围
解：由 成等差数列，得 ，
即
由题意知： 、 关于原点对称，设 函数 图像上任一点，则 是 )上的点，所以 ，于是