解三角形中相关的取值范围问题

解决与三角形相关的取值范围问题

例1：在锐角ABC 中,2A B =，则c b

的取值范围是

例2:若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为

,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是

例３:在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。(１)求B 的大小。 (２）若5b =,求ABC 周长的取值范围。

例4:在ABC 中，2222

3

a b c ab +=+

,若ABC 的外接圆半径为

2,则

ABC 的面积的最大值为

例5：(2008，江苏)满足

2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值

是

例6:已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量

(1cos(),cos

)2A B m A B -=-+,5(,cos )82A B n -=,且9

8

m n ⋅= (1）求tan tan A B ⋅的值。 （2）求

222

sin ab C

a b c +-的最大值。

通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习

１．在ABC 中，2,1a c ==,则C ∠的取值范围为 2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m ,则m 的取值范围是

3.在 Rt ABC 中,

2

C π

=，且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=,则实数x 的取值范围为

4．在锐角ABC 中,2A B =，1AC =,则BC 的取值范围是 5.在锐角ABC 中,三个内角,,A B C 成等差数列,记cos cos M A C =,则

M 的取值范围是

6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是 7．已知ABC 外接圆的半径为6，若面积22

()ABC

S

a b c =--且

4

sin sin 3

B C +=

，则sin A = ，ABC

S

的最大值为

8.在ABC 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+ (1)求证:ABC 为直角三角形

（2）若ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围 9．在

ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（１）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值 （２)若

a =

ABC 面积的最大值。

解决与三角形相关的取值范围问题

例１:在锐角ABC 中，2A B =，则c b

的取值范围是 解析:由022

2

A B C A B ππ

π<=<<=--<且0

得64B ππ<<,所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B

+====-，

又cos (

22B ∈所以24cos 1(1,2)c

B b

=-∈ 点评:①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系,考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。

例２：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为

,,A B C ,则sin cos B B +的取值范围是

解析：由题设知

2b ac

=,又余弦定理知

2222221

cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=

所以

03

B π<≤

,又7sin cos )4

4

4

12

B B B B πππ

π

+=+<+<

且所以

)4

B π

+∈即sin cos B B +的取值范围是。

点评:本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。

例3：在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1)求B 的大小。

（２）若5b =，求ABC 周长的取值范围。 解析：(１)由题意知cos cos 2cos a C c A b B +=,

由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 所以sin()2sin cos A C B B +=,于是1cos ,2

3B B π

==

（2)由正弦定理

sin sin sin a b c A B C ===,所以 255sin()510sin()

36a b c A C A A A ππ++=

++=+-+=++

又由02

A π<<得26

6

3

A ππ

π

<+<

,所以

510sin()(10,15]6

a b c A π

++=++∈。

点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。

例４:在ABC 中,2222

3

a b c ab +=+

，若ABC 的外接圆半径为

2，

则ABC 的面积的最大值为

解析：又2

2

2

2

3

a b c ab

+=+及余弦定理得2221

cos 23

a b c C ab +-=

=,所以

sin 3

C =

，

又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-即2221623

ab a b ab +=+≥

所以

12ab ≤，又由于1sin 23

S ab C ab =

=≤故当且仅当a b ==时，

ABC 的面积取最大值点评：先利用余弦定理求cos A 的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。

例５：（20０８，江苏）满足

2,AB AC ==

的ABC 的面积的最