9.4.1 三阶行列式(含答案)
9.4.2 三阶行列式(含答案)
【课堂例题】例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩例2.已知行列式240210101D -=--，写出第一列元素的代数余子式.【知识再现】1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、c 2、c 3不全为零.若记111222333a b c D a b c a b c =，x D =，y D =，z D =当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 .【基础训练】1.方程组273514223x y z x y x y -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩的系数行列式为 ，系数行列式的值为 .2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，(1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 .3.关于,,x y z 的方程组111122223333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩中，若记111222333a b c D a b c a b c =，则“0D =”是“方程组(1)有无穷多组解”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解.， .5.用行列式解方程组3112341339x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--+=-⎩.6.已知多项式函数()f x 通过平面上的三点(1,0),(2,3),(3,28)-， 写出一个符合条件的函数()f x 并说明理由.注：多项式函数是形如1110n n n n y a x a x a x a --=++++的函数，10,,,n n a a a -是常数.7.已知a R ∈，求关于,,x y z 的方程组000ax y z x ay z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩的解.【巩固提高】8.齐次线性方程组23045607890x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解是否唯一？若不唯一，求出它全部的解.9.求矩阵120210631A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵B .注：AB BA I==(选做)10.,a b R ∈，求关于,,x y z 的方程组4324ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.【温故知新】11.一元一次方程23x =的解可以用数轴上的一个点表示，二元一次方程3x y += 的全部解可以用直角坐标平面上的一条直线来表示，猜想:三元一次方程0x y z ++= 的全部解可以怎样表示？.【课堂例题答案】例1.①当1m ≠±时有唯一解344,,11m x y z m m -===-++； ②当1m =-时无解；③当1m =时有无穷多解1,2x t y t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=-⎩例2.2,2,1-的代数余子式分别是112131104040(1),(1),(1)010110+++------- 【知识再现答案】1.111111111111222222222222333333333333,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ==== 0,,,y x zD D D D D D≠；无解；无解或无穷解. 【习题答案】1.121350220---,4 2.(1)(,0)(0,1)(1,)-∞+∞；(2)无解3.B4.112,131x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++=++=⎧⎧⎪⎪++=++=⎨⎨⎪⎪++=++=⎩⎩答案不唯一 5.7,1,1x y z === 6.2()231f x x x =-+7.当1a ≠±时，有唯一解0x y z ===；当1a =时，有无穷多解,0,,x t y z t t R ===-∈； 当1a =-时，有无穷多解,,0,x t y t z t R ===∈8.不唯一，无穷多解2,x ty t t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=⎩9.1205521055031⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭10.当1,0a b ≠≠时，有唯一解121421,,b b ab x y z b ab b b ab---===--；当11,2a b ==时，有无穷多解2,2x ty t R z t=⎧⎪=∈⎨⎪=-⎩；当11,2a b =≠或0b =时，无解. 提示：(1),12,(1),421x y z D b a D b D a D b ab =-=-=--=--11.空间直角坐标系中的一个平面.。
9.4(3)三元一次方程组的行列式解法
方程组解的判别式
D ≠ 0 ⇔ 方 程 组 ( ∗ )有 唯 一 解 .
例1. 用行列式解下列方程组 x = x + y − z = 3 ∴原方程组的解是： y = (1) 2 x + y + z = 6 2 x − y + z = 0 1 3 −1 z = 1 1 −1 D y = 2 6 1 = 18 D= 2 1 1 =6 2 0 1 2 −1 1
x + y + z = 1 (1) x + y + z = 2 x + y + z = 3 x + y + z = 1 (2) 2 x + 2 y + 2 z = 2 3 x + 3 y + 3z = 3 x + y + z = 1 (3) x + 2 y + z = 3 2 x + 3 y + 2z = 4
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
= a1 A1 + a2 A2 + a3 A3 = a2 A2 + b2 B2 + c2C 2 = a1 A1 + b1 B1 + c1C1等
2.将三阶行列式的某一行 或一列 的元素与另一行 或 将三阶行列式的某一行(或一列 的元素与另一行(或 将三阶行列式的某一行 或一列)的元素与另一行 一列)的元素的代数余子式对应相乘 的元素的代数余子式对应相乘,则它们的乘积之 一列 的元素的代数余子式对应相乘 则它们的乘积之 和等于零. 和等于零
Dx = Dx D y = a2 d 2 c2 , Dz = a2 b2 d2 Dy = D y x = a 3 d 3 c3 a3 b3 d3 Dz = Dz y= 1. 当 D ≠ 0时 , 方 程 组 ( ∗ ) 有 唯 一 解 2. 当 D = 0时 , z =
_三阶行列式
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
例1.将行列式 D 2 1 2 3
展开并求值. 1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3
0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
若 a1 A 1 a2 A 2 a3 A 3 0
d1 A1 d 2 A2 d3 A3 则：x a1 A1 a2 A2 a3 A3
b 2 b1 A1 b2 A2 b3 A3 0 改写为： c1 A1 c2 A2 c3 A3 0 c 2
一般选择0较多的行或列进行展开求值.
例2.证明下列恒等式：
a1 a2 a3 0 c1 a1 b1 b2 b3 b1 a1 c1 c2 c3 b1 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c1 c2 c3 0 0 c2 0, a2 0 c3 a3 a1 0 c1 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b2 0, a2 b3 a3 b2 a2 b3 a3 c1 a1 0 c3 a2
D a1 A1 b1B1 c1C1 a2 A2 b2 B2 c2C2 a3 A3 b3 B3 c3C3
一、三阶行列式的展开II(续) 定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3
2 1
(b1c3 b3c1 ) b1c2 b2c1 b2c3 b3c2 b1 b2 b2 b3
b1
c1
b3 c3 c1 c2
c2 c3
不妨令：
A1 b2 b3 c2 c3 A2 b1 b3 c1 c3 b1 A3 b2 c1 c2
9.4三阶行列式(2)
2 , 3
(4)已知二次函数 f ( x)满足f (1) 0,
f (2) 3, f (3) 28, 求f x 的解析式.
解 : 设f x ax2 bx c, a 0x a b c 0 1 1 1 则 : 4a 2b c 3 D 4 2 1 20 9a 3b c 28 9 3 1
i j
一般用该元素的大写字母加相同的下标表示. b c1 2 1 1 例2 元素 a2 的代数余子式 A2 ( 1) b3 c3
2
4
0
例3.已知行列式 D 2 1 的代数余子式.
1 0 ，写出第一列元素 0 1
11
解：-2的代数余子式为 (1)
1 0 1 0 0 1 0 1
2的代数余子式为 (1)
21
4 0 4 0 0 1 0 1 4 0 4 0 1 0 1 0
1的代数余子式为 (1)
31
三、三阶行列式的展开
定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
四、应用举例
3
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
第九章 矩阵和行列式初步
9.4.1 三阶行列式
9.4.2 三阶行列式
一、复习回顾
a1
（1）三阶行列式 a2
b1
c1 c2 对角线方则展开 c3
.
b2 b3
a3
a1 x b1 y c1 z d1 （2） 方程 a2 x b2 y c2 z d 2 有唯一解的条件是 D 0. a x b y c z d 3 3 3 3
（3） 已知 A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ,则 ABC的面积 为 .
9.4.2 三阶行列式
x y mz 1 例1. 解关于 x, y, z 的方程组： x my z m x y z 3 解： D (m 1)(m 1) Dx 4(m 1)(m 1)
Dy (m 3)(m 1) Dz 4(m 1) x y z 1 x y z 1 ③当 m 1 时, x y z 1 等价于 x y z 3 x y z 3 x t 有无穷多解 y 1 , t R z 2 t
思考 下列方程的解的情形： x y z 1 x y z 1 (1) x y z 1 (2) x y z 2 x y z 3 x y z 1
结论: (1)有无穷多组解；(2)无解.
1 1 1
1 1 1
a1 a3 b1 b3
二、三阶行列式的展开II a1 b1 c1 b2 c2 b1 a2 a2 b2 c2 a1 b3 c3 b3 a3 b3 c3
c1 c3
a3
b1 b2
c1 c2
i j
定义2：如果用 i 和 j 分别表示某元素所在的行数 与列数，那么这个元素的余子式乘以 (1) 所得
d1 b1 b2 b3 c1
a1
d1 d2 d3
c1
a1
b1 b2 b3
Байду номын сангаас
d1 d2 d3
Dx d 2 d3
c2 , Dy a2 a3 c3
c2 , Dz a2 c3 a3
当 D 0 时， 有唯一解：
Dy Dx Dz x ,y ,z D D D
x y mz 1 例1. 解关于 x, y, z 的方程组： x my z m x y z 3 解： D (m 1)(m 1) Dx 4(m 1)(m 1)
三阶行列式
a11a22a33a44
上（下）三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积
性质1
行列式D与它的转置行列式 D T 相等
其中
a11 a21 D … an1
a12 a22 … an2
… … … …
a1n a2n … ann
a11 a12 T 则D … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
sin cos cos sin 1 2 cos 1
a b c 例5：计算行列式D 1 1 1 1 1 1
按对角线展开： D a bc a bc 0
a 例6：计算行列式D a 2 1 b b2 1 c c2 1
按对角线展开： D ab2 bc2 a 2c b 2c a 2b ac2 (a b)(b c)(c a) 结论： 若行列式中任意两行或 两列成比例，则行列式 0 为
an1 an2 … ann
性质2
互换行列式的两行 行列式变号
•推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k 等于用数k乘此行列式
a11 k ai1 an1 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai 2 ain kai1 an 2 ann an1
S ABC 1 x2 2 x3 1 x2 2 x3 x1 x1 y1 1 y2 1 y3 1 y1 1 y2 1 y3 1
若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), 按顺时针排列
●三点共线的充要条件
三阶行列式
9.4 三阶行列式（2） 教学目标：
1.掌握三元线性方程组的行列式解法
2.理解三元线性方程组有唯一解时，系数行列式应满足的条件
3.会根据三元先行方程组有唯一解的条件，确定含字母系数的三元方程组中，字母的范围 教学重点：
三元线性方程组的行列式解法 教学过程：
1.根据二元线性方程组的行列式解法易知，三元线性方程组111122223
333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，也能利
用行列式的方法求解
2.1
112
223
3
3a b c D a b c a b c =；1112
2
233
3x d b c D d b c d b c =；1112
2233
3
y a d c D a d c a d c =；1112
2233
3
z a b d D a b d a b d = 当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
3.例题：利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
4. 当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
当0D =时，方程组无解或有无穷多解，不展开讨论
5.求关于,,x y z 的方程组1
3x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
有唯一解的条件，并在此条件下写出该方程组的
解。
沪教版高二上学期数学9.3-9.4 二阶行列式 三阶行列式 同步练习(含答案)
9.3-9.4 二阶行列式 三阶行列式 同步练习一、选择题1．已知(5,6)AB =，(3,1)AC =-，则△ABC 的面积为（ ）． A ．5631- B ．3516-C ．561312-D ．351162-2．三阶行列式111222333a b c a b c a b c 中，1b 的代数余子式是（ ）． A ．1122a c a cB ．2233a c a c C ．2233c a c a D ．1122c a c a3．关于x ，y ，z 的方程组2(21)212ax a y a a x ay a⎧+-=+-⎨+=⎩，则下列说法错误的是（ ）．A ．一定有解B ．可能有唯一解C ．可能有无穷多解D ．可能无解4．已知()11,AB x y =，()22,AC x y =，则三个不同点A ，B ，C 共线是11220x y x y =的（ ）．A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件5．系数行列式0D ≠是二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解的（ ）.A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知ABC 的三边长为,,a b c ，且1101a c ba cb =，则ABC 的形状为（ ）. A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．满足方程sin 2cos20sin3cos3x x xx-=的一个解是（ ）.A ．18︒B ．30︒C ．36︒D ．60︒8．设二元一次方程组为1112220,0.a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩若x Dx D =，则x D 为（ ）.A ．1212b bc c -B ．1122b c b c -C ．1122c b c b -- D ．1122b c b c --二、填空题9．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______.10．行列式274434358x x-中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ．则函数1()y f x =+的零点是________．11．若行列式212410139xx =-，则 ．12．当实数m ________时，方程组()221(1)1(1)1m x m y m m x m y m ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩有唯一解．13．行列式cossin 36sincos36ππππ的值是________．14．关于x ，y 的方程组242x my m mx y ⎧+=⎨+=⎩无实数解，则m =________．15．函数3cos 4sin x y x=的最大值是_____________.16．若三元一次方程组的系数行列式0D =，则方程组解的情况为_____________.17．若方程组1,1,1ax y ay z az x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩无解，则实数a 的值为__________.18．在三阶行列式206135479中，5的余子式的值是____________.三、解答题 19．求函数322xy x =-的最小值.20．关于,x y 的方程组6,(2)320.x my m x y m +=-⎧⎨-++=⎩请对方程组解的情况进行讨论.21．已知三角形三边的和6a b c ++=，又0a b cca b b ca=，求各边之长．参考答案 1．C 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C 9．4π 10．1- 11．2或3- 12．1m ≠- 13．0 14．2- 15．516．无解或有无穷多组解 17．1- 18．14 19．520．当1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一解，即2(3),14;1m x m y m +⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩当3m =时，方程组有无穷多解；即36,().x t t R y t =--⎧∈⎨=⎩；当1m =-时，此方程组无解21．2a b c ===。
三阶行列式公式
三阶行列式公式【实用版】目录1.三阶行列式的定义2.三阶行列式的展开式3.三阶行列式的性质4.三阶行列式的应用正文1.三阶行列式的定义三阶行列式是一个 3x3 矩阵所对应的行列式，即由三个 3x3 矩阵的元素组成，用一个竖线符号将矩阵分隔开。
三阶行列式的表示形式为：D = | a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |2.三阶行列式的展开式三阶行列式的展开式是将第一行的元素分别乘以与其对应的 2 阶子行列式，然后求和。
2 阶子行列式是指从 3x3 矩阵中选取 2 行和 1 列所组成的 2x2 矩阵的行列式。
三阶行列式的展开式为：D = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)3.三阶行列式的性质三阶行列式具有以下性质：(1) 行列式的值与它的转置行列式相等，即 D = det(A") = a22 * a33- a23 * a32 - a12 * a31 + a13 * a31 - a11 * a23 + a13 * a21。
(2) 三阶行列式的值等于它任意两行的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
(3) 三阶行列式的值等于它任意两列的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
4.三阶行列式的应用三阶行列式在数学和物理学中有广泛应用，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆和行列式为 0 时判断矩阵是否可逆等。
数学：9.4《三阶行列式》课件
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
三阶行列式
三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 b1 D1 b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
9.4三阶行列式(1)
a b a b x b c b c z d b d b ②, ③消去y: a b a b x b c b c z d b d b
① ,②消去y:
1 2 2 1 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3
2 1 3 2
………………④ ………………⑤
0
1
0
（3）1 1 a 1 1 11 1 a a 1 1 1 a
a
d e f
g
d
a b c
g h i
例2.求证：b
c
h e i f
证：左边= aei dhc bfg ceg afh bdi 右边= (dbi ahf ecg fbg dch aei)
④, ⑤ 消去z:
(a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a1b3c2 a2b1c3 a3b2c1 ) x
d1b2c3 d2b3c1 d3b1c2 d1b3c2 d2b1c3 d3b2c1
当a1b2 c3 a2b3c1 a3b1c2 a1b3c2 a2b1c3 a3b2 c1 0时,
Dy Dx Dz x 1, y 2, z 3 D D D
练习 1.用对角线法则展开下列行列式，并化简：
1 0 1 1 a 1 1 1 a 0 b 0 c e f
(1) 1 a
1
(2) 0 d
2.求关于 x, y, z 的方程组有唯一解的条件，并在此 条件下写出方程组的解.
d1b2 c3 d 2b3c1 d 3b1c2 d1b3c2 d 2b1c3 d 3b2 c1 x a1b2 c3 a2b3c1 a3b1c2 a1b3c2 a2b1c3 a3b2 c1
三阶行列式展开
9.4（2）三阶行列式按一行(或一列)展开一、教学内容分析三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行(或一列)展开法则．二、教学目标设计⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．三、教学重点及难点三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定． 四、教学过程设计一、情景引入【实验探究1】(1)将下列行列式按对角线展开：2233b c b c =_______________ 2233a b a b =_______________ 2233a c a c =_______________1133b c b c =_______________1122b c b c =_______________111222333a b c a b c a b c =_______________ (2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？[说明](1)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式111222333a b c a b c a b c 与相应的二阶行列式间的关系．(2)将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+等等．二、学习新课１．知识解析在刚才的实验中，将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+111221111222123333322333a b c b c b c b c a b c a a a b c a c b c a b c =-+ 111221111222123333322333a b c a c a c a c a b c b b b a c a c a c a b c =-+-等等． 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？事实上，以111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+为例，先将展开式111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---变形为：111222123132312213231321333()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =-+-+-，然后分别提取公因式，可以得到111222123321322312332333()()()a b c a b c a b c b c b a c a c c a b a b a b c =-+-+- 再利用实验中已有的展开式22233233b c b c b c b c -= ① 22233233a c a c a c a c -=② 22233233a b a b a b a b -=③从而很容易就得到结果了．其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素1a ，1b ，1c 的余子式．．．，添上相应的符号(正号省略)，如22133b c A b c =22133a c B a c =-22133a b C a b =，1A 、1B 、1C 分别叫做元素1a ，1b ，1c 的代数余子式．．．．．．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验探究２．【实验探究2】请学生结合刚才确定a，1b，1c的余子式和代数余子式的方法，1完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法．【工作1】【工作2】总结代数余子式的确定方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i 行，第j 列)有关，其代数余子式的正负号是“(1)i j +-”．一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)．２．例题解析例题1.按要求计算行列式：302213231-- (1)按第一行展开； (2)按第一列展开．[说明](1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．例题2.计算：(1)111b c a c a b a b c ef df d ed ef-+- (2)222222222333333b c a c a b a b c b c a c a b -+〖参考答案〗(1)0 (2)0[说明](1)设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思维能力；二，为后续知识的学习做准备；(2)由例题2(2)计算结果，我们可以发现：如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列)的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同，那么这个行列式等于零．３．问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则，为什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢？你觉得这有什么意义吗？[说明]一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常用的方法．只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式(哪怕是n阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算．三、巩固练习教材第99页，练习9.4（2）．四、课堂小结(1)余子式、代数余子式的概念；(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法．五、作业布置根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．五、教学设计说明本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．。
9.4.3三阶行列式与三元一次方程组
例题解析 x + x
1
2
+ mx3 = 1
问题拓展
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 能否用矩阵的语言给出方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b 33 3 3 31 1 32 2
有唯一解的充分必要条件呢？
初等行变换
增广矩阵
a11 a12 0 a22′ 0 0
b1 a23′ b2′ ′ b3′ a33 a13
有唯一解 ⇔系数矩阵105. 9.4(4) 2
课内小结
设其系数矩阵的行列式为D
D1 x1 = D Dx1 = D1 D≠0 D2 则有： Dx2 = D2 ⇒ x2 = D Dx = D 3 3 D3 x3 = D I. 方程(∗)有唯一解⇔系数行列式不为零.
例题解析
x1 + x2 + x3 = 6 x1 1 x = 2 例1. 解方程组 3 x1 − x2 + 2 x3 = 7 . ⇒ 2 5 x + 2 x + 2 x = 15 x 3 2 3 3 1 1 1 1 解: 其系数行列式为： = 3 −1 2 = 9 ≠ 0 D
−a3b2c1
+ a2b3c1 对角线展开是非本质的, 对三阶以上的行列式不适用.
−a1b3c2
行列式按一行（列）展开
定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成的行列式, 称为aij的余子式. 定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成行列式, 并乘以系数(−1)i+j, 称为 , (−1) aij的代数余子式. 行列式按一行（列）展开： a11 a12 a13
三阶行列式1
a2 b2 c2
1
例２ 计算三阶行列式
2 -4
D= -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则， 按对角线法则，有
D = 1 × 2 × ( −2 ) + 2 × 1 × ( −3 ) + ( −4) × ( −2 ) × 4
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
划去行列式中某个元素所在行及所在列的元素后， 划去行列式中某个元素所在行及所在列的元素后，剩下 的元素保持原来的位置关系而组成的行列式叫做该元素 余子式。 的余子式。
练习：写出 的余子式。 练习：写出b1、c2的余子式。
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b2 c2 b1 c1 b1 c1 − a2 + a3 b3 = a1 b3 c3 b3 c3 b2 c2 c3
b1 b2
表示成一个三阶行列式。 表示成一个三阶行列式。
小结
类比 化归
作业
习题册54页 ， 页 ， （做在习题册上） 习题册 页2，55页4，6（做在习题册上） 《精练》82页全部 精练》 页全部 完成练习卷一张。 完成练习卷一张。 下周测验，以向量为主。 下周测验，以向量为主。
= −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24 = −14.
二、将三阶行列式化归为二阶行列式
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
= ab2c3 +a2b3c1 +a3bc2 1 1
−ab3c2 −a2bc3 −a3b2c1 1 1
请用二阶行列式表示此结果。 请用二阶行列式表示此结果。
三阶对称矩阵的行列式计算
三阶对称矩阵的行列式计算
对称矩阵是一种特殊类型的方阵，它满足矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵的行列式计算相对比较简单，特别是对于三阶对称矩阵，可以使用以下步骤来计算其行列式：
考虑一个三阶对称矩阵A：
| a b c |
| b d e |
| c e f |
其中，a、b、c、d、e、f 分别代表矩阵的元素。
行列式计算公式：
三阶对称矩阵的行列式可以使用Sarrus 规则来计算，即计算主对角线元素与副对角线元素的乘积之和，然后减去副对角线元素与主对角线元素的乘积之和。
行列式的计算公式为：
det(A) = a*(d*f - e*e) - b*(c*f - e*b) + c*(c*e - d*b)
这里，det(A) 表示矩阵 A 的行列式。
按照上述公式，将矩阵的元素代入，进行计算，即可得到三阶对称矩阵的行列式值。
需要注意的是，对于更高阶的对称矩阵，行列式的计算也可以类似地使用相关的公式进行推导和计算。
9.4 (1)三阶行列式
浦江高级中学高2年级数学作业班级_______________姓名_______________学号_____________成绩__________________课题：9.4（1）三阶行列式 ________年_____月______日一、填空题：1、化简行列式111a b cbc a c a b++=+______________________. 2、不等式2124152501x x <的解集为_______________________.3、三阶行列式322332a a abb bc c c中，元素2b 的代数余子式为_______________________. 4、将22111133332223a b a b a b a b a b a b --表示成一个三阶行列式__________________________________.二、选择题：5、下列行列式中，值为零的是（ ）（A ）200140113 （B ）074103850 （C ）100001010 （D ）1010010a b- 6、下列式子恒成立的是（ ） （A ）111123222123333123a b c a a a a b c b b b a b c c c c = （B ） 111111222333333222a b c a b c a b c a b c a b c a b c = （C ）111111222222333333a b c a c b a b c a c b a b c a c b = （D ） 111313222222333131a b c c b a a b c c b a a b c c b a = 三、解答题7、解方程2121313xx x --=--.8、设三阶行列式121312051D -=中第(1,2,3)i i =行，第(1,2,3)j j =列的元素ij a 的代数余子式为ij A ，计算下列各式：（1）111213A A A ++；（2）11121332A A A ++；（3）D ；9、按下列要求计算行列式584345463D -=-- （1）利用对角线法则；（2）按第一行展开；（3）按第三列展开；10、在三阶行列式111222333a b c D a b c a b c =中，交换两行的位置，如交换第二、三行，而不改变元素原来的顺序，所得到的的另一个三阶行列式111/333222a b c D a b c a b c =. （1）行列式/D 与D 有何关系？并说明理由； （2）任意交换两列的位置是否有相同的结论？参考答案： 一、填空题： 1、0； 2、(2,5)；3、33a a cc；4、112233123a b a b a b -； 二、选择题： 5、D ； 6、B ； 三解答题：7、223141393x x x -+=-⇒=⇒=±. 8、1112131231319,6,12510105A A A ===-===； （1）3； （2）0； （3）12.9、450；10、/D D =-；有相同结论.。
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【课堂例题】
例1.用对角线法则计算下列行列式，并化简：
(1)3
022
1
323
1
-- (2)123
4
56789
例2.求证：a
d g d a g b
e h e
b h c
f
i
f c i
=-
例3.利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
(选用)课堂练习
1.用对角线法则展开下列行列式，并化简：
(1)1
011111
11a
a
-+-；(2)000
a b c d e f
2.求关于,,x y z 的方程组1
3x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
有唯一解的条件，在此条件下写出方程组的解.
【知识再现】
1.行列式1
11
2
223
3
3
a b c a b c a b c = . (按对角线法则展开)
2.关于,,x y z 的三元线性方程组111122223
333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩的系数行列式D =
,
若记
x D =
，
y D =
，
z D =
，
当D 时，方程有唯一解：x = ，y = ，z = . 【基础训练】
1.把下列行列式按对角线法则展开并求值:
(1)123
14
23
01-= = ； (2)1230
123
3
1
-= = . 2.
计算：2
010
10
=- . 3.按对角线法则展开下列行列式，并化简：
(1)0
00a b
b
a a
b = = ； (2)000x
y
z
p q r
= = .
4.已知齐次线性方程组1112223
330
00a x b y c z a x b y c z a x b y c z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，若系数行列式111
2
2233
3
0a b c a b c a b c ≠， 则方程组的解是 .
5.用行列式解线性方程组：273514223x y z x y z x y z -+=⎧⎪
-+=⎨⎪--=⎩
6.利用三阶行列式，证明下列行列式的性质I ：
(只需证明“列”的情况，并且(1)(2)(3)只需证明一种情形，其余情况不必证明) (1)行列式A 的某一列(行)的元素全为0，则0A =； (2)行列式A 的两列(行)相同,则0A =；
(3)互换行列式A 的两列(行)，则行列式的值变为原来的相反数.
7.用行列式解关于,,x y z 的方程组x y z a x y z b x y z c -+=⎧⎪
+-=⎨⎪-++=⎩
【巩固提高】
8.已知1
11
2
223
3
3
0a b c a b c a b c =但它的所有元素均不为零且没有两行或两列的元素相同， 试写出这样的一个行列式．(课堂例题中出现过的行列式不得使用)
9.当a 为何值时，关于,,x y z 的三元一次方程组2112x y z x y az x ay a z ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解？
在此条件下写出该方程组的解.
(选做)10.阅读题：余子式与代数余子式
以三阶行列式11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a 为例，划去第i 行第j 列的的全部元素后，剩余元素所构成的二阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，例：21a 的余子式12132132
33
a a M a a =，
把(1)
i j
ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，例：21a 的代数余子式212121(1)A M +=-.
(1)写出23a 的余子式与代数余子式； (2)求证： 11
1213
11112121313121
222331
32
33
a a a a A a A a A a a a a a a ⋅+⋅+⋅=； 1112212231320a A a A a A ⋅+⋅+⋅=； (3)模仿(2)再写出两个相仿的等式.
【温故知新】
11.线性方程组273514223x y z x y z x y z -+=⎧⎪
-+=⎨⎪--=⎩
用矩阵乘法可以表示为 .
【课堂例题答案】 例1.(1)-40 (2)0
例2.证：左=aei dhc bfg ceg afh bdi ++---，
右=()dbi ahf ecg fbg dch aei -++---aei dhc bfg ceg afh bdi =++---=左 证毕 例3.1,2,3x y z === 【课堂练习答案】 1.(1)2
a a + (2)adf
2.1m ≠±时有唯一解：34
4,,11
m x y z m m -===-
++ 【知识再现答案】
1.123231312321132213a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---
2.1
111111111112
222222222
223
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ====
0,
,,y x z
D D D D D D
≠ 【习题答案】
1.(1)141322(1)03343102(1)21⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯，-18 (2)1113(2)20333131230(2)1⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯，-26
2.0
3.(1)000000a b b a a b a a a b b b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，3
3
a b -- (2)00000x z r p y q p z x q a y r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，xzr
4.000x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 5.213x y z =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
6.证：(1)1
1
222331122132133
3
00
00000000b c b c b c b c b c b c b c b c b c =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯= (2) 1
11
2
221232313123211322133330a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c =++---= (3) 1
11111
2
221232313123211322132
223
3
3
3
3
3
a c
b a b
c a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b c a c b a b c =++---=- 证毕 7.,,222
a b b c a c
x y z +++=
==
8.答案不唯一 123
4
56789
9.当1a ≠时有唯一解，21
,,011
a x y z a a -===-- 10.(1)1112111223232331
323132
,(1)a a a a M A a a a a +==- (2)证：22231213121311
21
31
32
33
32
33
32
23
a a a a a a a a a a a a a a a -+=
11
121311223321133231122311322321123331221321
222331
32
33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---=
21231113
1113
11
21
31
31
33
3133
2123
a a a a a a a a a a a a a a a -+-=
1121331131232111332131133111233121130a a a a a a a a a a a a a a a a a a -++--+=
(3)11
1213
12122222323221
222313122323333331
32
33
,0a a a a A a A a A a a a a A a A a A a a a ++=++=，答案不唯一 11.1217351142213x y z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭。