卓越联盟历年自主招生真题及模拟题

6． 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1，球心 O1 在圆台的轴上，球 O1 与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个 半径为 3 的球 O2，使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球 O2，圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数 是( ) (A) 1 二.填空题 1 1． 集合{x|－1≤log110<－ ，x∈N*}的真子集的个数是 2 x ． (B) 2 (C) 3 (D) 4
(A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1 )
1 5． 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 2在同一点取相同的最小值，那么 f(x)在该区间上的最大值是( x 11 3 3 (A) 4+ 2+ 4 2 (C) 13 3 1－ 2+ 4 2 53 3 (B) 4－ 2+ 4 2 (D)以上答案都不对
(C)
2 等于
(D)
(A)
n 1 n 1
(B)
n n 1
n n 1
n 1 n 1
(3)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 为棱 AA1 的中点，F 是棱 A1B1 上的点，且 A1F：FB1=1：3，则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为
(A)
15 3
(B)
15 5
(C)
2 2 2 2
(C)(x+ 1－y )(y 1－x )=0 (D)(x 1－y )(y+ 1－x )=0 4 3．设四面体四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，它们的最大值为 S，记λ=( (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5
y
1
Si)/S，则λ一定满足( Σ i=1
，Z2
1995
，…，Z20 所对应的不
1995
3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在 100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99 人，就称他为棒
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小伙子，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 1 2n+1 ) )
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2011 卓越联盟自主招生数学
(1)向量 a，b 均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则 a，b 的夹角为 (A)
6
(B)
3
(C)
2 3
2
(D)
5 6
(2)已知 sin2(+)=nsin2，则
tan( ) tan( )
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(Ⅰ)设 bn=an+1-an，证明：若 a≠b，则{bn}是等比数列； (Ⅱ)若 lim (a1+a2+…+an)=4，求 a，b 的值．
n
(12)在△ABC 中，AB=2AC，AD 是 A 的角平分线，且 AD=kAC． (Ⅰ)求 k 的取值范围； (Ⅱ)若 S△ABC=1，问 k 为何值时，BC 最短？ (13)已知椭圆的两个焦点为 F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线 y=x(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)过 F1 作两条互相垂直的直线 l1，l2，与椭圆分别交于 P，Q 及 M，N，求四边形 PMQN 面积的最大值与最小值． (14)一袋中有 a 个白球和 b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一 个白球放到袋中．在重复 n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为 Xn． (Ⅰ)求 EX1； (Ⅱ)设 P(Xn=a+k)=pk，求 P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b； (Ⅲ)证明：EXn+1=(1-
3． 存在整数 n,使 p+n+ n是整数的质数 p( (A)不存在 (C)多于一个,但为有限个
(B)只有一个 (D)有无穷多个 )
1 4． 设 x∈(－ ，0),以下三个数 α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π 的大小关系是( 2
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_ π 2． 复平面上，非零复数 z1，z2 在以 i 为圆心，1 为半径的圆上，z1· z2 的实部为零，z1 的辐角主值为 ，则 z2=_______． 6 3． 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ，点 A 的极坐标是(2,0)，曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是 _______． 4． 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为 2， 则最远的两顶点间的距离是________． 5． 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不 同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体 的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．) 6． 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．
A M B N F C G P E H Q D
2013 大学自主招生模拟试题三
一.选择题 1 ． 对 于 每 个 自 然 数 n ， 抛 物 线 y=(n +n)x (2n+1)x+1 与 x 轴 交 于 An ， Bn 两 点 ， 以 |AnBn| 表 示 该 两 点 的 距 离 ， 则
2 2
|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是(
6． 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面三角形 ABC 的中心，过 O 的动平面与 PC 交于 S，与 PA，PB 的延长线分别交于 Q，R，则 1 1 1 和式 + + PQ PR PS (A)有最大值而无最小值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 二.填空题 α 1． 设 α，β 为一对共轭复数，若|α－β|=2 3，且 2为实数，则|α|= β 2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为
2
(B 有最小值而无最大值 (D)是一个与面 QPS 无关的常数
．
． ．
3． 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数， 方程 lg x－[lgx]－2=0 的实根个数是 y≤3x， x 4． 直角坐标平面上，满足不等式组 y≥3， 的整点个数是 x+y≤100 总数是 三.解答题 ． ．
3
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4
2013 大学自主招生模拟试题一
一.选择题 1． 把圆 x2+(y－1)2=1 与椭圆 9x2+(y+1)2=9 的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 ) )
1 2． 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=－ ,用 πn 表示它的前 n 项之积。则 πn(n∈N*)最大的是( 2 (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 )
(D)100 个
4． 已知方程|x－2n|=k x (n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是( (A)k>0 1 1 (C ) <k≤ 2n+1 2n+1 (B)0<k≤
(D)以上都不是
5． logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1 的大小关系是 (A ) (B ) (C) (D) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1 logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1 logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1 logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1
5 3
(D)
5 5
(4)i 为虚数单位，设复数 z 满足|z|=1，则
z 2 2z 2 z 1 i
(C)
的最大值为
(A)
2 -1
(B)2-
2
2 +1
(D)2+
2
(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC 边所在直线 的方程为 4x+y-20=0，则抛物线方程为 (A)y =16x
2 (10)设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 7
再做，用 表示连续 k 次的变换，则 是(
k
2 3 4
的旋转，表示坐标平面关于 y 轴的镜面反射．用表示变换的复合，先做， ) (D)
2
(A)
4
(B)
5
(C)
2
(11)设数列{an}满足 a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an．
3 相切．
1 )EXn+1． ab
(15)(Ⅰ)设 f(x)=xlnx，求 f′(x)； (Ⅱ)设 0<a<b，求常数 C，使得
1 b | ln x C | dx 取得最小值； b a a
(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为 ma,b，证明：ma,b<ln2．
2
2012 卓越联盟自主招生数学
相约学思，共创美好明天
(8)如图，△ABC 内接于⊙O，过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l，l 交 AB 于 E，交⊙O 于 G、F，交⊙
O 在 A 点的切线于 P，若 PE=3，ED=2，EF=3，则 PA 的长为
(A) (C)
5 7
(B) (D)2
6
2
)
(9)数列{an}共有 11 项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( (A)100 (B)120 (C)140 (D)160
5
2013 大学自主招生模拟试题二
一.选择题 1． 设等差数列{an }满足 3a8=5a13 且 a1>0，Sn 为其前项之和，则 Sn 中最大的是( (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21
1995
)
2． 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1，Z2，…，Z20，则复数 Z1 同的点的个数是( (A)4 ) (B)5 (C)10 (D)20
2
(B)y =8x
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2
(C)y =-16x
2
(D)y =-8x
2
1
(6)在三棱锥 ABC—A1B1C1 中，底面边长与侧棱长均等于 2，且 E 为 CC1 的中点，则点 C1 到平面 AB1E 的距离为
(A)
3
(B)
2
2
(C)
3 2
(D)
2 2
(7)若关于 x 的方程 (A)(0，1)
|x| =kx 有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为( ) x4 1 1 (B)( ，1) (C)( ，+∞) (D)(1，+∞) 4 4
6
5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可使用，那么不同的染色方法的 6． 设 M={1，2，3，…，1995}，A 是 M 的子集且满足条件：当 x∈A 时，15xA，则 A 中元素的个数最多是 1.给定曲线族 2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ 为参数，求该曲线在直线 y=2x 上所截得 的弦长的最大值． 2.求一切实数 p，使得三次方程 5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p 的三个根均为正整数． 3.如图，菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E，F，G，H，在弧 EF 与 GH 上分别作圆 O 的 切线交 AB 于 M，交 BC 于 N，交 CD 于 P，交 DA 于 Q，求证： MQ∥NP． 4.将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似 比为 1995，并且每一个三角形的三个顶点同色． ．
)
相约学思，共创美好明天
1991 (A) 1992 1992 1993 1991 1993 1993 1992 )
(B)
(C)
(D)
2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1 为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( (A)(x+ 1－y )(y+ 1－x )=0
2 2 2 2
(B)(x 1－y )(y 1－x )=0