数学实验报告

1．设有分块矩阵A =E3⨯3

02⨯3

R3⨯2

S2⨯2

，其中E, R, 0, S分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩

阵和对角矩阵，试通过数值计算验证A2 =E

R+RS

S2

．

程序：

E=eye(3);R=rand(3,2);O=zeros(2,3);S=diag([1,2]);A=[E,R;O,S]; ...

B=A*A,C=[E R+R*S;O S*S],a=B==C

结果：

B =

1.0000 0 0 0.8205 1.0586

0 1.0000 0 1.7873 2.4395

0 0 1.0000 0.1158 0.0296

0 0 0 1.0000 0

0 0 0 0 4.0000

C =

1.0000 0 0 0.8205 1.0586

0 1.0000 0 1.7873 2.4395

0 0 1.0000 0.1158 0.0296

0 0 0 1.0000 0

0 0 0 0 4.0000

a =

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2．用命令magic(n)生成幻方矩阵，通过计算研究它的性质，如行和、列和、两条对角线和等(可以利用命令diag, sum, fliplr, flipud，其用法可以查阅MA TLAB帮助系统)．

程序：

A=magic(4),s1=sum(A),s2=sum(A'),...

s3=sum(diag(A)),s4=sum(diag(fliplr(A)))

结果：

A =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 1

5 1

s1 =

34 34 34 34

s2 =

34 34 34 34

s3 =

34

s4 =

34

4–x2，x在

3．设y1 = –1/(1+x2)，y2 = exp(–x2/2)，y3 = sin(2x)，y4 = ¯¯¯¯¯

[–2, 2]内适当离散化，计算y1 + y2，y1y2，y3/y2，(5y4–y1)/y22．

程序：

x=-2:0.5:2;y1=-1./(1+x.^2);y2=exp(-x.^2/2);y3=sin(2*x);y4=sqrt(4-x.^2);

>> a=y1+y2,b=y1.*y2,c=y3./y1,d=(5*y4-y1)./y2.^2

结果：

a =

-0.0647 0.0170 0.1065 0.0825 0 0.0825 0.1065 0.0170 -0.0647

b =

-0.0271 -0.0999 -0.3033 -0.7060 -1.0000 -0.7060 -0.3033 -0.0999

-0.0271

c =

-3.7840 0.4586 1.8186 1.0518 0 -1.0518 -1.8186 -0.4586 3.7840

d =

10.9196 65.6748 24.9002 13.4597 11.0000 13.4597 24.9002 65.6748 10.9196

4.自己选择一非负单调递减序列a1，a2，…，a n≈0，a1远大于a n，用从1到n和从n到1两种顺序计算Σ∞

i=1

a k，观察哪个更准确些，分析原因。

程序与结果：

>> syms x

>> symsum(1/x,1,100)

ans =

14466636279520351160221518043104131447711/2788815009188499086581352357412492142 272

>> symsum(1/x,100,1)

ans =

-291248328005999177069358804052937859600407/69720375229712477164533808935312303 556800

5．对I n = ⎰01x n e x–1d x ( n = 0, 1, 2, …) 证明如下递推公式：

I0 = 1 – e–1，I n = 1 –nI n–1，n = 1, 2, … .

用递推公式计算I1, I2, …, I n，观察n多大时结果就不对了(考虑一个简单的判断结果错误的标准)，为什么会出现这种情况．如果将递推公式反过来，即

I n–1 = (1 –I n )/n .

从I n倒过来计算I n–1, …, I1, I0，而I n由下式估计

(min 0≤x≤1e x–1)1

n+1= I n(1)< I n < I n(2) = (max

0≤x≤1

e x–1)1

n+1．

不妨取I n = ( I n(1)+ I n(2))/n，将计算结果与前面的进行比较，得到什么启发．

6．用几种方法作x2，x3，x4，x5的图形，如一个图上画几条曲线，用subplot作多幅图形等，考虑如何画上x轴，y轴，并在图上加各种标注．

程序1：

x=1:0.01:3;y1=x.^2;y2=x.^3;y3=x.^4;y4=x.^5;plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)

>> gtext('x^2'),gtext('x^3'),gtext('x^4'),gtext('x^5')

结果1：

程序2：

x=1:0.01:3;y1=x.^2;y2=x.^3;y3=x.^4;y4=x.^5;

subplot(2,2,1),plot(x,y1),title('x^2')

subplot(2,2,2),plot(x,y2),title('x^3')

subplot(2,2,3),plot(x,y3),title('x^4')

subplot(2,2,4),plot(x,y4),title('x^5')

gtext('x^2'),gtext('x^3'),gtext('x^4'),gtext('x^5')

结果：