高三5月回归课本知识点总结

高三5月回归课本知识点总结
一、 集合与逻辑
1集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ； 2、区分集合中元素的形式：
如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；
{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，
如:（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{
}
2
|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞）；
（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+
，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）
3、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况
空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 如：}012|{2
=--=x ax x A ，如果φ=+
R A ，求a 的取值。

（答：a ≤0） 4、
}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或
C U A={x|x ∈U 但x ∉A};B x A x B A ∈∈⇔⊆则;真子集怎定义？
含n 个元素的集合的子集个数为2n
,真子集个数为2n
－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有
______个。

（答：7）
5、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;
6、A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B=∅⇔C U A ∪B=U
7、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2
-）
8、原命题: p q ⇒;逆命题: q p ⇒;否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的.
如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。

（答：充分非必要条件） 9、若p q ⇒且q p ≠ ;则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条; 10、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝ 命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q” 注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的 否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”
11.真值表
12.
二、函数与导数
13、指数式、对数式：
m
a =，1m n
m
n
a
a -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)
b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。

如2log 1()2的值为________(答：164
)
14、一次函数:y=ax+b(a ≠0) b=0时奇函数;
15、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2
+bx+c(轴-b/2a,a ≠0,顶点?);
顶点式f(x)=a(x-h)2
+k;
零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;
②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;
二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a
b
x 2-
=处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若[]q p a b
x ,2∈-
=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a
=-=； []q p a
b
x ,2∉-
=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b
x ,2∉-=，则
{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =
如：若函数422
12
+-=
x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） ③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨->⎪⎩；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402
f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪
⎨-≥⎪
⎪<-<⎪⎩或
()0()0f m af n =⎧⎨
>⎩或()0
()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或240
2
p q p m ⎧-≥⎪
⎨-<⎪⎩
16、反比例函数:)0x (x
c y ≠=平移⇒b x c
a y -+
=(中心为(b,a)) 17、对勾函数x
a
x y +
=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a 递减，在时)0,[],0(,0a a a -> 递增，
在),a [],a (+∞--∞ 18、单调性①定义法;
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
②导数法. 如：已知函数3
()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：
(,3]-∞))；
注意①：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3
)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。

（答：
12
23
m -
<<） ③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函数
！
()212
log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：
（1,2）)。

19、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的
奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

20．多项式函数1
10()n
n n n P x a x a x
a --=+++ 的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 21、周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：
①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为
2||T a b =-；
②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠ 则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；
如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；②若
1()(0)()f x a a f x +=
≠恒成立，则2T a =；③若1()(0)()
f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 如(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答：
(sin )(cos )f f αβ>)；
22、常见的图象变换
①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个单位得到的。

如要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右)；（3）函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)
②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个
单位得到的；如将函数a a
x b
y ++=
的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：C)
③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a
1
得到的。

如（1）
将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的1
3
（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，
则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：1
2
x =-)．
④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
23、函数的对称性。

①满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2
a b
x +=
对称。

如已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且
方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：2
12
x x -+)；
②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；
曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。

特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为
(,)0f y x =；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对
称曲线的方程为(,)0f y x --=。

如己知函数33
(),()232
x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它
关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是___________
（答：2
21
x y x +=-+）；
若f(a －x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=2
b
a +对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=
2
a
b -对称。

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数)(1)(R a x
a a
x x f ∈--+=。

求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称
图形。

⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。

如若函数x x y +=2
与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：2
76x x ---）
⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c
-。

如已知函数图象C '
与2
:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______
（答：2）
⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，
然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。

如（1）作出函数2|lo g (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图
象关于____对称 （答：y 轴）
24.求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。

几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2
()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()
()()x f x f y
f y =
； ③指数函数型：()x
f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()()()
f x f x y f y -=；
④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()x
f f x f y y
=-；
⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-。

如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2
(T
f __（答：
0）
25、题型方法总结
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：
2()f x ax bx c =++；顶点式：2
()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。

如已知()
f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。

（答：2
1()212
f x x x =
++） （2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如（1）已知
,s in )cos 1(2x x f =-求()
2x f 的解析式（答：242()2,[f x x x x =-+∈）；（2）若
221
)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）
；（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：
(1x ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解 析式
（答：2()33
f x x =--）；（2）已知()f x 是奇函数，)(x
g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11
-x ,则()f x =
（答：21
x
x -）。

Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；
如：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21，则)(l o g 2x f 的定义域为__________（答：
{}
42|
≤≤x x ）
；（2）若函数2
(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．
Ⅳ求值域:
①配方法：如：求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如：313
x x
y =+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如（1）2
2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17
[4,
]8
-）；（2
）21y x =+的值域为_____（答：[)3,+∞）
t =，0t ≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 如：2sin 11cos y θθ-=
+的值域（答：3
(,]2
-∞）；
⑤不等式法――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。

如设12,,,x a a y 成等差数
列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
12
21)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如求1
(19)y x x x
=-
<<，229
sin 1sin y x x
=+
+
，()3log 5y x =--的值域为______（答：80(0,
)9、11
[,9]2
、[)0,+∞）
； ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

如（1）已知点(,)P x y 在圆2
2
1x y +=上，求
2
y
x +及2y x -
的取值范围（答：[33-
、[）；（2
）求函数y =[10,)+∞）；
⑧判别式法：如（1）求21x y x =
+的值域（答：11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
）；（2
）求函数3y x =+的值域（答：1
[0,]2
）如求211x x y x ++=
+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞ ） ⑨导数法;分离参数法;―如求函数3
2
()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48）
用2种方法求下列函数的值域：①32([1,1])32x
y x x
+=∈--②（)0,(,32-∞∈+-=
x x x x y ；③
)0,(,1
32-∞∈-+-=x x x x y
Ⅴ：解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.
Ⅵ：恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a ≥f(x)恒成立⇔a ≥[f(x)]max,;a ≤f(x)恒成立⇔a ≤[f(x)]min ;
Ⅶ：任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

即f （x ）＝()()g x h x ＋
其中g （x ）＝f x f x 2（）＋（－）是偶函数，h （x ）＝f x f x 2
（）－（－）是奇函数
Ⅷ：利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

如（1）若x R ∈，()f x 满足
()()
f x y f x += ()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）
；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x < 的解集是
_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22
ππ
-
- ）
；（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +
∈，都有()()()x f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1()12
f =，
①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：(][)0,14,5 ）． 26、（1）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
（2）导数几何物理意义:k=f /
(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

V ＝s /
(t)表示t 时刻即时速度,a=v ′(t)表示t 时刻加速度。

如一物体的运动方程是2
1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 27.几种常见函数的导数
(1) 0='C （C 为常数）. (2) '
1
()()n n x nx n Q -=∈.
(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.
(5) x x 1)(ln =
'；e a x
x
a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 28.导数的运算法则
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 29.复合函数的求导法则
设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''
()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数
''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''
x
u x y y u =⋅，或写作'''(())()()
x f x f u x ϕϕ=.
30.判别)(0x f 是极大（小）值的方法
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 31、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数3
()3f x x x =-
过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。

⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f /(x)≥0得增区间;解不等式f /
(x)≤0得减区间;注意f /
(x)=0的点; 如：设0>a 函数ax x x f -=3
)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范
围______（答：03a <≤）； ⑶求极值、最值步骤:求导数;求0)(='x f 的根;检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数512322
3+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；15-）；（2）已知函数3
2
()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__答：大，152
-
）（3）方程010962
3=-+-x x x 的实根的个数为__（答：1） 特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数
()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7）
三、数列、
32、等差数列中a n =a 1+(n-1)（叠加法） ;S n ==d n n na 2
)
1(1-+
=d n n na n 2)1(--=2)(1n a a n +（倒序相加法）
等比数列中a n = a 1 q n-1
;（叠乘法）当q=1,S n =na 1 当q≠1,S n =q q a n --1)1(1=q
q
a a n --11（错位相减法）
33.常用性质、结论：（1）等差数列中, a n
=a m
+ (n －m)d, n
m a a d n m --=
;当m+n=p+q,a m +a n =a p +a q ；
等比数列中，a n =a m q n-m ; 当m+n=p+q ，m n
p q a a a a =；
如①在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）； ②各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132
310
l o g l o g l o g
a a a +
++= （答：10）。

（2）.常见数列：{a n }、{b n }等差则{ka n +tb n }等差;{a n }、{b n }等比则{ka n }(k ≠0)、⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{a n b n }、⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 等
比;{a n }等差,则{}
n
a c (c>0)成等比.{
b n }(b n >0)等比,则{log
c b n }(c>0且c ≠1)等差。

（3）在等差数列{}n a 中：
①若项数为n 2，则 nd S S =-奇偶 n
n a a S S 1+=奇
偶
②若数为12+n 则，1+=-n a S S 偶奇 n
n S S 1
+=
偶
奇， )12(112+∙=++n a S n n 在等比数列{}n a 中： ① 若项数为n 2，则
q S S =奇
偶②若数为12+n 则，
q S a S =-偶
奇1
（4）. 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列。

等比数列{a n }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列。

如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列
34.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3
(为什么？)
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 35、等差、等比数列的判定：
（1）
)*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+- ?,,,);0()(2=+=⇔+=⇔B A b a Bn An s b an a n n 的二次常数项为一次
（2）
2n n-1n 1n 1n a a a (n 2,n N)a }q();a 0n n a a +-⎧=⋅≥∈⇔⇔=⎨≠⎩
｛等比定 ?m ;a a 11n =⋅-=⇔⋅=⇔-n n n q m m s q
如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）
36、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式
)0
(0011⎩⎨⎧≥≤⎩⎨
⎧≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理;(等比前n 项积?)，由 此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最
大正整数n 是 （答：4006）
37.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.
分组法求数列的和：如a n =2n+3n 、错位相减法求和：如a n =(2n-1)2n
、裂项法求和：如求和：
111
112123123n +
+++=+++++++ （答：
21
n n +）、倒序相加法求和： 如①求证： 0
1235(21)(1)2n n
n
n
n
n
C C C n C n +++++=+ ；②已知2
2
()1x f x x
=+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___（答：7
2
）
38.求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：
①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如a n = -2n 2
+29n-3 ②⎪⎩
⎪⎨⎧<=>=+1
11
1 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =
156
2
+n n
39、求通项常法: （1）已知数列的前n 项和n s ,求通项n a ，可利用公式:⎩⎨
⎧≥-==-2)(n S S 1)(n
S a 1n n 1n
如：数列{}n a 满足
12211125222
n n a a a n +++=+ ，求n a （答：{
1
14,1
2,2n n n a n +==≥） （2）先猜后证
（3）递推式为1n a ＋＝n a ＋f(n) (采用累加法)；1n a ＋＝n a ×f(n) (采用累积法)； 如已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=
--111(2)n ≥，则n a =________（答
：
1n a =）
（4）构造法形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列如①已知
111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=- ）；
（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用 a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ； a n ＝11
2
2n 1n 1n n a a a a a a a －－－⋅ （6）倒数法形如11n n n a a ka b --=
+的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知1
111,31n n n a a a a --==+，
求n a （答：132n a n =-）；②已知数列满足1a =1
=n a （答：21
n a n
=）
(7)、常见和：1123(1)2n n n ++++=+ ，222
112(1)(21)6
n n n n +++=++ ，
33332
(1)123[]2
n n n +++++=
四、三角
40、终边相同(β=2k π+α);
弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22
S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ . 如：已知扇形
AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22
cm ） 41、函数y=++⋅)sin(ϕωx A b （0,0>>A ω）①五点法作图; ②振幅?相位?初相?周期T=ω
π2,频率?φ=k π时奇函数;φ=k π+2π
时偶函数.
② 对称轴处
y
取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.
()()(())()))(sin ,02
cos ,02tan 002y A x x k k y A x x k k y A x k k π
ωϕπππωϕπππωϕππ=+=+⎛
=+=+ ⎝⎛
=++ ⎝
的对称轴方程对称中心，的对称轴方程对称中心，的对称中心，、，）
③ 如（1）函数522
y s i n
x π
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的奇偶性是______（答：偶函数）
；（2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数
)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：
128k (
,)(k Z )ππ-∈、28
k x (k Z )ππ
=+∈）
；（4
）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值。

（答：6
k (k Z )π
θπ=+
∈）
④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移;
)sin()
sin(sin 1
|
|Φ+=−−−−−−−→
−Φ+=−−−−→−=Φx y x y x y ωω倍
横坐标伸缩到原来的
左或右平移
)sin(sin sin |
|1Φ+=−−−−→−=−−−−−−−→−=Φ
x y x y x y ωωωω左或右平移倍
横坐标伸缩到原来的
b x A y x A y b A +Φ+=−−−−→−Φ+=−−−−−−−→−)sin()sin(|
|ωω上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的
42、正弦定理:2R=
A a sin =
B b sin =
C c
sin ; 内切圆半径r=c
b a S ABC ++∆2余弦定理：a 2=b 2+
c 2-2bc A cos ,bc
a c
b A 2cos 222-+=;
111sin sin sin 222S ab C bc A ca B === 术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示
方向所在位置，其间所夹的角度称之。

方位角α的取值范围是：0°≤α＜360° 43、同角基本关系：如：已知
11tan tan -=-αα，则
α
αα
αcos sin cos 3sin +-＝____； 2cos sin sin 2++ααα＝_________（答：35-；5
13
）
； 44、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．
45、重要公式： 2
2cos 1sin 2
α
α-=
；2
2cos 1cos 2
α
α+=
．；
α
α
αααααs i n c o s 1c o s 1s i n c o s 1c o s 12t
a n -=+=+-±=;2sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±
如：函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212
[k ,k ](k Z )π
π
ππ-
+
∈）
巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβαβ++=⋅
，()(
)
222αββ
ααβ+=---等）， 如：（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：3
22
）；
（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：
43
(1)55
y x x =<<）
46、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b a θ=)
如：（1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：3
2
-)；（2）如果
()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= (答：－2)； 五、平面向量
47、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－a 。

)、共线向量、相等向量
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
48、加、减法的平行四边形与三角形法则:AC BC AB =+;CB AC AB =-
49≤）
如：在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===
，M 为BC 的中点，则MN = _______。

（用a b 、表示）
解：343A =3()AN NC AN C a b ==+ 由得，12
AM a b =+
，所以
3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+ 。

50、（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：
①0a b a b ⊥⇔∙=
；
②当a ，b 同向时，a ∙b ＝a b ，特别地，22,a a a a a =∙== ；当a 与b 反向时，a ∙b ＝－a b ；当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、不同
向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、不反向，0
a b ⋅< 是θ为钝角的必要非充分条件；③||||||a b a b ∙≤。

如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且1
3
λ≠）；
51、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ
52、 →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→
→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)
特别：. ＝12OA OB λλ+
则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如平面直角坐标系中，O
为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=
−→
−OC −→
−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且
121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）
53、在ABC ∆中，①1()PG PA PB PC =++
⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的重心；②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔
为ABC ∆的垂心；
③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠
所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔
ABC ∆的内心；
⑤S ⊿AOB ＝A B B A y x y x -2
1
;
如：（1）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-
，则ABC 的形
状为____（答：直角三角形）；（2）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满
足0PA BP CP ++= ，设||
||
AP PD λ= ，则λ的值为___（答：2）；（3）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120 ）；
54、 P 分21P P 的比为λ,则P P
1=λ2P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分.
＝λ
λ++121OP OP ;若λ＝1 则＝
2
1
(1+2OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1),
P 2(x 2,y 2)则⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
++=++=.1,1212
1λ
λλλy y y x x x ;中点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x 重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321 55、点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则PP ' ＝a 或⎩⎨⎧+='+='k
y y h x x 函数)(x f y =按),(k h a =
平移得函
数方程为：)(h x f k y -=-如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a
把点(7,2)-平移到点
______（答：（－８，３））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→
a 平移后，所得函数的解析式是
12cos +=x y ，则→
a ＝________（答：)1,4
(π
-
）
56.“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =-+.
(3) 图象'
C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 57. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ∆的外心222
OA OB OC ⇔== .
（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=
.
（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅
.
（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=
.
（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+
.
六、不等式
58、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则
b
a 1
1>。

即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）
； 59、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）
作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利
用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。

其中比较法（作差、
作商）是最基本的方法。

如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较
2
1
log log 21+t t a
a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22
a a t t +≥（1t =时取等号））；
（2）设2a >，12
p a a =+-，2
422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）
60、常用不等式：若0,>b a ，（1
2211
a b a b
+≥≥≥+（当且仅当b a =时取等号） ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m
+<+（糖水的浓度问题）。

如：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）
基本变形：①≥+b a ；≥+2
)2
(
b a ； 注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。

常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数
)2
1
(4294>--
=x x x y 的最小值 。

（答：8） ②若若21x y +=，则24x y
+的最小值是______
（答：；
③正数,x y 满足21x y +=，则y
x 1
1+的最小值为______
（答：3+；
61、b a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；|a|≥a ；|a|≥－a
62、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。

⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12
；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅；2)
1()1(++<
+n n n n ⑷利用常用结论： Ⅰ、k
k
k k k 21
111<
++=
-+；
Ⅱ、
k k k k k 111)1(112--=-< ； 11
1)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、
)1
111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） （5）换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。

如：
已知2
22a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知12
2
≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；
已知122
22=+b
y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；
（6）最值法,如：a>f max (x),则a>f(x)恒成立.
63、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方
④公式法：|f(x)|>g(x)⇔ ;|f(x)|<g(x) ⇔ 。

64、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回 如（1）解不等式3
2
(3)(1)(2)0x x x +-+≥。

（答：{|13x x x ≥≤-或或2}x =-）；（2）解不等式
2()1ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1
{|0}x x a
<<或0}x <）
七、立几
65. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α、a ∩α=A (a ⊄α) 、a ⊂α③平面与平面:α∥β、α∩β=a
66. 常用定理:①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂;αββα////a a ⇒⎭
⎬⎫⊂;ααββα//a a a ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊄⊥⊥
②线线平行:b a b a a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα
;b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα;b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα;b c c a b a //////⇒⎭
⎬⎫ ③面面平行:βαββαα////,//,⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
=⋂⊂⊂b a O b a b a ;βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ;γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫ ④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥αα;所成角900
；PA
a AO a a PO ⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
⊥⊂⊥α
α(三垂线);逆定理? ⑤线面垂直:ααα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l O b a b a ,,;βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫
⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,;βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫⊥a a //;α
α⊥⇒⎭⎬⎫
⊥b a b a //
⑥面面垂直：二面角900
;
βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ;βααβ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥a a // 67. （要求不高）异直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,
]2
π
θ∈；
（2）求法：平移以及补形法、向量
法。

如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答：
3
3）；（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]
；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为______（答：arcsin
4
6
）；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：
13
）；③二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： cos S S θ⋅射原＝、转化为法向量的夹角。

如（1）正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为________（答：60
）；（2）正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为______（答：
）；（3）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值是______（答：
13
）； 68. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cos θ=S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;
69.（选修）距离①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:
直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法PA n
h n
⋅= .③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;
70. 求球面两点A 、B 距离①求|AB|②算球心角∠AOB 弧度数③用公式L 球面距离=θ球心角
×R;纬线半径r ＝
Rcos 纬度。

S 球=4πR 2
;V 球＝
3
4πR 3; 71. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;
72. 从点O 引射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若A 到OB 与
OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；
73. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开 为平面图③割补法④
等体积转化⑤线线平行⇔线面平行⇔面面
平行⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.
74.三面角公式:AB 和平面所成角是θ,AB 在平面内射影为AO,AC 在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cos β=cos θcos α;长方体:
对角线长l =若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cos 2
α+cos 2
β+cos 2
γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,
γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2
γ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
(说明：65---74根据文理科和自己的能力有选择的掌握)
八、解几
75.倾斜角α∈[0,π],α=900
斜率不存在;斜率 k=tan α=
1
21
2x x y y -- 76.直线方程:点斜式 y-y 1=k(x-x 1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 两点式:
121121x x x x y y y y --=
--;截距式:1=+b
y
a x (a ≠0;
b ≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)
77.两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2则l 1∥l 2⇔k 1∥k 2,b 1≠b 2;l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1 ②若l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0； ③若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零l 1∥l 2⇔21
2121C C B B A A ≠
=; ④l 1∥l 2则化为同x 、y 系数后距离d=2
2
21||B
A C C +-
78.点线距d=2
200||B A C By Ax +++;
79.
（1）圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 2
20x y Dx Ey F ++++=(22
4D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨=+⎩
.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0
x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
80.若(x 0-a)2
+(y 0-b)2
<r 2
(=r 2
,>r 2
),则 P(x 0,y 0)在圆(x-a)2
+(y-b)2
=r 2
内(上、外)
81.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt △解决弦长问题，又:ｄ>r ⇔相离;d=r ⇔相切;d<r ⇔相交.
82.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R ⇔两圆相离;d ＝r+R ⇔两圆相外切;|R －r|<d<r+R ⇔两圆相交;d ＝|R －r|⇔两圆相内切;d<|R －r|⇔两圆
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面
←→−←→−−→−−←→−←→−←−
−−←→−←→−。