与“三角形外心”有关问题的求解方法
初中数学 如何计算三角形的外心坐标
初中数学如何计算三角形的外心坐标在三角形中，外心是三个垂直平分线的交点，它的坐标可以通过计算三角形的顶点和垂直平分线的交点来确定。
本文将介绍如何计算三角形的外心坐标以及应用外心的性质解决相关问题。
1. 计算方法-找到三角形的三个顶点的坐标，分别用(x1, y1)、(x2, y2)和(x3, y3)表示。
-计算每条边的中点坐标，分别用(xm1, ym1)、(xm2, ym2)和(xm3, ym3)表示。
-计算每条边的斜率，分别用k1、k2和k3表示。
-计算每条边的垂直平分线的斜率，分别用k1'、k2'和k3'表示。
垂直平分线的斜率为边的斜率的负倒数。
-求出每条边和它们对应的垂直平分线的交点，分别用(xo, yo)表示。
-三角形的外心的坐标就是三条垂直平分线的交点，即(xo, yo)。
2. 实例设三角形的三个顶点分别为A(2, 4)、B(6, 2)和C(8, 6)，求三角形的外心坐标。
首先，求出每条边的中点坐标：- AB的中点坐标为((2+6)/2, (4+2)/2)=(4, 3)；- AC的中点坐标为((2+8)/2, (4+6)/2)=(5, 5)；- BC的中点坐标为((6+8)/2, (2+6)/2)=(7, 4)。
然后，求出每条边的斜率：- AB的斜率为k1=(2-4)/(6-2)=(-2)/4=-0.5；- AC的斜率为k2=(6-4)/(8-2)=2/6=0.33；- BC的斜率为k3=(6-2)/(8-6)=4/2=2。
接下来，求出每条边的垂直平分线的斜率：- AB的垂直平分线的斜率为k1'=-1/-0.5=2；- AC的垂直平分线的斜率为k2'=-1/0.33=-3；- BC的垂直平分线的斜率为k3'=-1/2=-0.5。
最后，求出垂直平分线和它们对应边的交点：- AB和k1'的交点为D，解方程组y=2x+1和y=-0.5x+5.5得到x=2，y=5；- AC和k2'的交点为E，解方程组y=-3x+20和y=0.33x+2.67得到x=6，y=2；- BC和k3'的交点为F，解方程组y=-0.5x+7和y=2x-5得到x=5，y=2。
关于三角形外心线的几个不等式
关于三角形外心线的几个不等式三角形外心线是三角形平面几何学中一个重要的概念，它是三条交叉的外接线的外心圆的连线，它可以帮助我们更好地理解三角形的形状和大小特征。
下面给出三角形外心线的几个不等式，它们都可以用来描述三角形的外心线相关特征。
首先，有一个定理可以帮助我们推导三角形外心线的不等式，它叫做“Cosine定理”：cos(C)=a^2+b^2-2ab*cos(C)其中，a、b、C分别是三角形的边长和夹角，可以从上式中看出，cos(C)越大，a^2+b^2-2ab*cos(C)就越小。
根据这个原理，有三角形外心线的不等式：（1）中心距线：a-2b+c>0（2）外心圆半径：R=ab/4(a+b+c)（3）内六边形外心圆半径：R1=abc/(4abc-a^2b-a^2c-b^2c)（4）内八边形外心圆半径：R2=2abc/(2abc-a^2b-a^2c-b^2c) （5）内十二边形外心圆半径：R3=3abc/(3abc-a^2b-a^2c-b^2c) （6）外心圆与三角形外接圆相切距离：D=ab*cosC/4根据这些不等式可以得出，三角形外心线的性质在于它所形成的外心圆半径、中心距线的长度以及外心圆与三角形外接圆的相切距离都是可以根据三角形的三边长度和内角大小来确定的。
通过三角形外心线的几个不等式，我们可以绘制出一个由三角形外心线形成的圆心距线。
它们共同构成一个新的图形，令复杂的几何形状更加容易理解。
三角形外心线图可以帮助我们快速准确地计算出三角形外接圆和外心圆的半径，从而更好地理解三角形的形状变化和大小变化。
三角形外心线的不等式可以用在日常生活中，比如可以用来计算室内装修的最优布局，也可以用来设计室外园林的美化布置，从而提高园林的审美效果。
总之，三角形外心线的几个不等式是三角形几何学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解三角形的形状和大小特征，它可以更好地应用到人们的生活中去。
向量中三角形的外心问题
向量中三角形的外心问题
在向量中，三角形的外心问题是一个有趣且重要的数学问题。
外心是指三角形外接圆的圆心，这个问题涉及到向量的运算和几何性质，对于理解向量和几何的关系有着重要的意义。
首先，我们来看一下向量中三角形的外心是如何定义的。
给定三角形ABC，我们可以通过向量运算来求解外心O。
假设向量OA、OB、OC分别表示向量O到A、B、C的位移，那么外心O满足以下条件，OA⋅AB=OB⋅BC=OC⋅CA，即外心到三角形三个顶点的向量长度成比例。
通过这个定义，我们可以利用向量的线性组合和点积来求解外心的坐标。
这个过程需要一定的向量运算知识和几何推导，但是通过这个问题的研究，我们可以深入理解向量的性质和几何形状之间的联系。
除了理论研究外心的坐标，外心问题还可以引申出一些有趣的几何性质。
例如，外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离，这些性质可以通过向量运算和几何推导来证明，从而加深我们对向量和几何的理解。
在实际应用中，外心问题也有着重要的意义。
例如，在工程设计中，我们需要确定三角形的外心位置来设计合适的支撑结构；在计算机图形学中，外心问题也可以用来优化三角形网格的生成和渲染过程。
总之，向量中三角形的外心问题是一个涉及向量运算、几何性质和实际应用的重要数学问题。
通过研究这个问题，我们可以深入理解向量和几何的关系，拓展数学知识，同时也可以应用到实际工程和计算机领域中。
空间几何中的三角形外心定理
空间几何中的三角形外心定理在空间几何中，三角形是非常重要的图形之一。
三角形的外心定理是研究三角形外接圆及其性质的一条基本定理。
本文将介绍三角形外心定理的定义、性质以及证明过程，并探讨它在解题中的应用。
一、三角形外心定理的定义三角形外心定理是指：三角形的三条垂直平分线的交点即为该三角形外接圆的圆心。
这个交点就是三角形的外心。
二、三角形外心定理性质三角形外心定理具有以下性质：1. 外心到三角形各顶点的连线长度相等三角形外接圆的圆心到三个顶点的距离相等。
即若O为三角形ABC的外心，则AO = BO = CO。
证明：连接AO、BO、CO并延长至外圆弧上。
由三角形的外心定理可知，AO等于外心到三角形的第一条垂直平分线的交点A'的距离，而A'在外圆上。
同理，BO和CO等于外心到第二条和第三条垂直平分线的交点的距离，且这两点也在外圆上。
因此，AO = BO = CO。
2. 三角形的外接圆过三个顶点三角形的外接圆经过三个顶点A、B、C。
证明：由三角形外心定理可知，三个垂直平分线相交于外心O，而O在外接圆上。
因此，外接圆过三个顶点A、B、C。
3. 外接圆的直径等于边长中最长的那条边对于任意三角形ABC，若AB > BC > AC，则AB为外接圆的直径。
证明：连接AO。
由三角形外心定理可知，AO = BO。
又由于AO和BO是外接圆的半径，所以AB为外接圆的直径。
三、三角形外心定理的应用三角形外心定理在解题中具有重要的应用。
例如，可以利用外心的性质求解三角形的周长、面积以及各边长之间的关系。
1. 求解三角形的周长已知三角形的三个顶点坐标，可以通过计算外心到各个顶点的距离，进而求解三角形的周长。
2. 求解三角形的面积已知三角形的三个顶点坐标，可以通过计算外心到各个顶点的距离，进而求解三角形的面积。
根据海伦公式，三角形的面积与三边长度之间存在一定的关系。
3. 探究三角形的特殊性质通过研究三角形外心与顶点之间的关系，可以发现三角形的一些特殊性质。
与三角形的外心有关的向量数量积运算问题
与三角形的外心有关的向量数量积运算问题向量数量积又称为内积，是两个向量相乘之后对应分量相加的结果。
它有很多重要的应用，其中包括与三角形的外心有关的一些运算问题。
在本文中，我们将讨论向量数量积和外心的关系，并通过具体的例子来解释这一关系。
首先，让我们先了解一下外心的概念。
外心是指一个三角形的三条中线的交点，它是三角形外接圆的圆心。
外心具有很多有趣的性质和应用，其中包括与向量数量积的关系。
假设有一个三角形ABC，其外心为O，三角形的顶点分别为A、B、C。
我们将向量表示法引入，假设向量OA为a，向量OB为b，向量OC为c。
那么我们可以用向量a、b、c来表示向量AO、BO、CO，也可以用向量a、b、c来表示向量AB、BC、CA。
接下来，我们将探讨向量数量积和外心的关系。
在三角形ABC中，外心O到顶点A的向量为AO，它的向量表示为a。
同理，我们可以得到外心O到顶点B的向量为BO，它的向量表示为b，外心O到顶点C的向量为CO，它的向量表示为c。
根据向量数量积的定义，我们可以得到以下关系：1.向量a与向量b的数量积为a·b = |a|·|b|·cos∠AOB。
2.向量b与向量c的数量积为b·c = |b|·|c|·cos∠BOC。
3.向量c与向量a的数量积为c·a = |c|·|a|·cos∠COA。
通过上述关系，我们可以看出外心O与顶点A、B、C之间的关系与向量数量积有着密切的联系。
具体来说，外心O可以表示为三个顶点向量的线性组合，即O = k1A + k2B + k3C，其中k1、k2、k3为常数，满足k1 + k2 + k3 = 1。
这个性质可以帮助我们在解决三角形问题时运用向量数量积来简化计算。
下面，我们通过一个具体的例子来说明外心与向量数量积的应用。
假设三角形ABC的外心为O，我们需要求解外心的坐标。
我们已知顶点A、B、C的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
巧用三角形外心的一个向量性质破解一类客观题
巧用三角形外心的一个向量性质破解一类客观题作者：刘正祥来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第11期在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题，解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算，二是通过建立坐标系，用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多，不知怎么转化，解题缺乏方向性；用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.一、引例联想（2012浙江调研）如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AO·BC的值是（）A. -8B. -1C. 1D. 8一般解法：取BC的中点D，连接AD，OD，则有OD⊥BC，AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，所以正确答案选D.本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，解题的策略是将两个无关联的向量转化为两个目标基向量，通过数量积运算得到结果.在解法中我们可以发现AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB，则AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是从结构形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2发生，从而猜想性质：已知O是△ABC外心，则AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.二、性质证明证明：如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.该性质结构对称，记忆方便，而且看到这种结构能立刻条件反射，联想到用该性质，从而启发解题手段，例如引例可联想用性质解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，显然方便快捷.三、应用举例例1如图，在圆O中，若△ABC是圆O的内接三角形，且AB=4，M是BC边BC的中点，AO·AM=5，则AC=.解：联想性质AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO=14AB2+14AC2，则14×42+14AC2=5，解得AC=2.评注：原答案提供的解法为：过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O 作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.显然用性质解题方向明确，过程简捷，运算迅速.例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=.解：因为O是△ABC外心，AB=AC，由对称性可知3m=-n又9m-3n=4，则m=29，从AO=23AB+23AC，联想性质得AO·AB=23AB2+23AC·AB即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.评注：原答案采用的是性质证明过程中所用方法，比较繁琐，显然先用对称性求出m，n，再联想性质构造数量积，得到方程，容易达到解题目的.例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为.解：由AO=xAB+yAC，联想性质得AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，得方程组4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程组得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即当a=1时，x+y取得最小值2.评注：本题亦可以A为原点，以AC边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性质构造构造数量积，得到方程组，解出x，y后再利用基本不等式求解，显然该法解题方向明确，方法固化，容易入手.四、类题演练演练1设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的取值范围是.解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，则0演练2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），则三角形ABC的边BC长为.解析：联想性质，将等式AO=xAB+4-x8AC两边同时与AC数量积，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案为2.演练3已知O是锐角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=（用θ表示）.解析：联想性质，将等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO两边同时与AB数量积，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案为sinθ.由以上几例可知，用三角形外心的这个向量性质解题的本质是构造数量积，将向量等式转化为数量等式，将问题转化到三角形的边.同时题目条件本身就能预示解题方向，启发解题手段，在以后的解题中同学们应多加尝试.（作者：刘正祥，江苏省阜宁中学）。
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心三角形是几何学中的基本概念之一，在平面几何中具有重要的地位。
其中，三角形的外心与内心是三角形内外切圆的圆心，对于三角形的性质和关系研究具有重要意义。
本文将探讨三角形的外心与内心的定义、性质以及如何求解它们的方法。
一、三角形的外心三角形的外心是可以通过三角形的三个顶点的垂直平分线相交而得到的圆心，它与三角形的顶点相连形成的三个外角都等于360度的平均值，也就是120度。
外心到三个顶点的距离都相等，这个距离也叫做外心到顶点的半径。
我们可以利用外心的性质来求解外心的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的外心的坐标为O(x, y)。
那么，我们可以得到以下方程组：1. 直线AB的中垂线方程：x = (x1 + x2) / 22. 直线BC的中垂线方程：x = (x2 + x3) / 23. 直线CA的中垂线方程：(y - y1) / (x - x1) = (x3 - x1) / (y3 - y1)通过解这个方程组，我们可以求解出外心的坐标，从而确定三角形的外心位置。
二、三角形的内心三角形的内心是通过三角形的三个内角的平分线相交而得到的圆心，它与三角形的三边相切。
内心到三边的距离都相等，这个距离也叫做内心到边的半径。
我们可以利用内心的性质来求解内心的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的内心的坐标为I(x, y)。
那么，我们可以得到以下方程组：1. 角A的平分线方程：y = k1 * x + b12. 角B的平分线方程：y = k2 * x + b23. 角C的平分线方程：y = k3 * x + b3通过解这个方程组，我们可以求解出内心的坐标，从而确定三角形的内心位置。
三、三角形外心与内心的关系三角形的外心和内心有一定的关系。
根据性质可知，外心是垂直平分线的交点，而内心是角的平分线的交点。
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心三角形是初等几何学中最基本的图形之一，而三角形的外心和内心也是其中的重要概念。
本文将详细介绍三角形的外心与内心的定义、性质和求解方法。
一、三角形的外心三角形的外心是一个特殊的点，可以用来确定三角形的一些性质。
我们先来看一下外心的定义。
1. 定义三角形ABC的外心是一个点O，它与三角形的三个顶点A、B、C 都在同一条直线上，并且AO=BO=CO。
2. 性质外心有以下重要性质：a) 外心是三角形三条边所在的直线的垂直平分线的交点。
b) 外心到三角形的三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。
c) 外心到三角形的三条边的距离相等，即OD=OE=OF。
其中，D、E、F分别是AB、BC、CA的垂直平分线与外心O的交点。
3. 求解方法我们可以使用以下方法求解三角形的外心：确定外心。
b) 利用外心性质b)可以通过计算三个顶点到外心的距离来确定外心。
c) 利用外心性质c)可以通过计算外心到三个边的距离来确定外心。
二、三角形的内心与外心类似，三角形的内心也是一个重要的点，可以用来确定三角形的一些性质。
接下来我们来了解一下内心的定义、性质和求解方法。
1. 定义三角形ABC的内心是一个点I，它到三角形的三条边的距离之和最小。
2. 性质内心有以下重要性质：a) 内心是三角形三条边的角平分线的交点。
b) 内心到三角形的三个顶点的距离相等，即IA=IB=IC。
c) 内心到三角形的三条边的距离之和等于三角形的周长。
3. 求解方法我们可以使用以下方法求解三角形的内心：确定内心。
b) 利用内心性质b)可以通过计算三个顶点到内心的距离来确定内心。
c) 利用内心性质c)可以通过计算内心到三个边的距离之和来确定内心。
三、三角形外心与内心的关系三角形的外心和内心之间有一定的关系。
具体来说，外心、内心和三个顶点构成的四点共线。
这条线被称为欧拉线，它具有重要的几何意义和应用价值。
欧拉线上的点还有其他一些特殊名称，比如与外心相对的点叫做垂心，与内心相对的点叫做内垂心。
借助三角形外心 巧妙求解参数值——对一道向量题的探究
㊀㊀㊀借助三角形外心㊀巧妙求解参数值对一道向量题的探究◉江苏省无锡市江阴长泾中学㊀刘旭东㊀㊀平面向量同时兼备数 的性质与 形 的特征,一直是历年高考数学试题中的热点题型之一．而在平面向量中融入三角形的基本特征,设置创新新颖,内涵丰富多彩,破解思维多变,是数学知识㊁数学思想方法和数学能力交汇与融合的一大主阵地,具有很好的选拔性与区分度,倍受各方关注．１问题呈现问题㊀[２０２１年第六届湖北省高三(４月)调研模拟考试数学试卷 ８]在әA B C 中,A B ＝４,A C ＝６,B C ＝５,点O 为әA B C 的外心,若A O ң＝λA B ң＋μA C ң,则λ＋μ＝(㊀㊀)．A．２３㊀㊀㊀B ．３５㊀㊀㊀C ．４７㊀㊀㊀D．５９此题以三边长确定的三角形为问题背景,结合三角形的外心,通过含参的平面向量的线性关系式的设置,来确定对应的两参数的和．破解时,可以从平面向量角度㊁解三角形角度㊁坐标角度等切入,利用不同的方法来处理与求解．２问题破解方法１:数量积转化法．图１解析:由题意可知|B C ң|２＝(A C ң－A B ң)２＝A B ң２＋A C ң２－２A B ң A C ң＝１６＋３６－２A B ң A C ң＝２５,则A B ң A C ң＝２７２．那么A B ң A O ң＝A B ң (λA B ң＋μA C ң)＝λA B ң２＋μAB ң AC ң＝１６λ＋２７２μ;A C ң A O ң＝A C ң (λA B ң＋μA C ң)＝λA B ң A C ң＋μA C ң２＝２７２λ＋３６μ．如图１,过外心O 作O D ʅA B ,O E ʅA C ,垂足分别为D ,E ,则D ,E 分别为A B ,A C 的中点．所以A B ң A O ң＝A B A O c o s øO A B ＝A B A D ＝４ˑ２＝８;A C ң A O ң＝A C A O c o s øO A C ＝A C A E ＝６ˑ３＝１８．所以由１６λ＋２７２μ＝８,２７２λ＋３６μ＝１８,ìîíïïïï解得λ＝４３５,μ＝１６３５．ìîíïïïï于是λ＋μ＝４３５＋１６３５＝４７．故选择答案:C ．点评:结合平面几何的图形特征,通过辅助线的构建,借助三角形外心的实质,综合平面向量的数量积以及直角三角形的定义加以转化,建立两参数的方程组,利用方程组的解来确定相应的参数值,进而求解两参数的和．合理利用平面向量的线性关系,结合向量数量积公式的应用加以巧妙转化,这是破解此类平面向量计算问题的常见方法．图２方法２:解三角形法．解析:如图２,延长A O 交B C 于点D ．根据余弦定理,可得c o s øA B C ＝a ２＋c ２－b ２２a c ＝１８．由同角三角函数基本关系式,得s i n øA B C ＝㊀１－c o s ２øA B C ＝３㊀７８．根据正弦定理,得A Cs i n øA B C＝２O A ＝２O B ,解得O A ＝O B ＝８㊀７７．在әO A B 中,根据余弦定理,得c o s øO A B ＝４２＋８㊀７７æèçöø÷２－８㊀７７æèçöø÷２２ˑ４ˑ８㊀７７＝㊀７４．由同角三角函数基本关系式,得s i n øO A B ＝㊀１－c o s ２øO A B ＝３４．所以c o s øA D B ＝c o s (π－øA B D －øO A B )＝－c o s (øA B D ＋øO AB )＝－１８ˑ㊀７４＋３㊀７８ˑ７４２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀新颖试题命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀３４＝㊀７４．所以øO A B＝øA D B,于是B D＝A B＝４．根据正弦定理,得A Ds i nøA B D＝B Ds i nøO A B,解得A D＝３㊀７８３４ˑ４＝２㊀７．所以A Oң＝A OA D A Dң＝８㊀７７２㊀７A Dң＝４７A Dң＝４７(xA Bң＋y A Cң),其中x＋y＝１．又A Oң＝λA Bң＋μA Cң,所以λ＋μ＝４７x＋４７y＝４７．故选择答案:C．点评:结合三角形的几何背景,综合应用余弦定理与正弦定理㊁同角三角函数基本关系式㊁三角形的内角和㊁诱导公式以及三角恒等变形公式等,通过平面向量中三点共线的性质及其定理加以合理转化,进而求解两参数的和．合理利用解三角形与平面向量的综合知识,结合三角函数的相关知识加以巧妙转化,这是破解此类涉及三角形的平面向量问题的常见方法．方法３:余弦定理的向量表示法．解析:由于A Oң＝λA Bң＋μA Cң,则有A Bң A Oң＝A Bң (λA Bң＋μA Cң)＝λA Bң２＋μA Bң A Cң．结合余弦定理的向量表示形式,由上式可得A Bң２＋A Oң２－B Oң２２＝λA Bң２＋μ A Bң２＋A Cң２－B Cң２２．所以４２２＝λˑ４２＋μ ４２＋６２－５２２,整理可得３２λ＋２７μ＝１６．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀①由于A Oң＝λA Bң＋μA Cң,则有A Cң A Oң＝A Cң(λA Bң＋μA Cң)＝λA Bң A Cң＋μA Cң２．结合余弦定理的向量表示形式,由上式可得A Cң２＋A Oң２－C Oң２２＝λA Bң２＋A Cң２－B Cң２２＋μA Cң２．所以６２２＝λ ４２＋６２－５２２＋μˑ６２,整理可得３λ＋８μ＝４．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀②由①②式相加,得３５(λ＋μ)＝２０,即λ＋μ＝４７．故选择答案:C．点评:方法３是在方法１的基础上进一步优化而来,借助余弦定理的向量表示形式加以转化与应用,结合平面向量的数量积与余弦定理的应用来处理,合理转化,巧妙破解,进而得以求解两参数的和．合理利用余弦定理,是对平面向量与解三角形知识的有效融合与应用,可以更好优化过程,提升解题效益．３变式拓展探究１:保留问题的所有条件,改变设问方式,分别求解两参数的对应值,得到以下对应的变式问题．变式１㊀在әA B C中,A B＝４,A C＝６,B C＝５,点O为әA B C的外心,若A Oң＝λA Bң＋μA Cң,则λ＝,μ＝．根据原来问题中方法１的破解过程,可得λ＝４３５,μ＝１６３５．探究２:保留三角形外心的背景,改变问题的相关条件,给出平面向量的线性关系式,求解对应角的余弦值,得到以下对应的变式问题．变式２㊀在әA B C中,点O为әA B C的外心,若A Oң＝４３５A Bң＋１６３５A Cң,则c o s A＝．解析:由A Oң＝４３５A Bң＋１６３５A Cң,可得A Bң A Oң＝A Bң ４３５A Bң＋１６３５A Cңæèçöø÷＝４３５A Bң２＋１６３５A Bң A Cң＝１２A Bң２．整理,得４３５|A Bң|＋１６３５|A Cң|c o s A＝１２|A Bң|,即|A Cң|c o s A＝２７３２|A Bң|．㊀㊀㊀㊀㊀③又A Cң A Oң＝A Cң ４３５A Bң＋１６３５A Cңæèçöø÷＝４３５A BңA Cң＋１６３５A Cң２＝１２A Cң２．整理,得４３５|A Bң|c o s A＋１６３５|A Cң|＝１２|A Cң|,即|A Cң|＝８３|A Bң|c o s A．㊀㊀㊀㊀㊀④由③④式可得c o s２A＝８１２５６,解得c o s A＝９１６(负值舍去)．故填答案:９１６．４解后反思破解此类巧妙融合三角形与平面向量相关知识的数学问题,关键是正确把握其中 数 的性质与 形的特征．可以从 数 的性质入手,利用代数视角,通过代数运算或平面向量的运算等形式来解决;也可以从形 的特征入手,利用几何直观,通过平面几何特征或图形直观等形式来处理;更高层次就是 数 与 形的综合应用,两者协同合作,通过坐标运算等形式来破解等．破解思维各异,方法多样．Z８４命题考试新颖试题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
三角形外心
三角形外心简介在三角形中，外心是一个非常重要的点，它是三条边的垂直平分线的交点。
在本文档中，我们将介绍三角形外心的定义、性质以及求解方法。
定义外心是定义于一个三角形当中的一个点，它到三个顶点的距离都相等，同时到三条边的距离也相等。
在三角形中，外心通常被表示为O。
性质1.外心是三角形垂直平分线的交点。
垂直平分线垂直平分线2.外心到三个顶点的距离相等。
外心到顶点距离相等外心到顶点距离相等3.外心到三条边的距离也相等。
外心到边距离相等外心到边距离相等求解方法要求解三角形的外心，我们需要知道三个顶点的坐标。
下面介绍两种求解外心的方法。
方法一：利用垂直平分线交点•第一步：计算三角形的边长。
边长公式边长公式•第二步：计算三角形各边对应的角度。
边对应角度边对应角度•第三步：计算垂直平分线的斜率。
垂直平分线平行于三角形两边的垂直平分线，可以利用邻边和对边的斜率之积为-1来计算。
•第四步：根据两条平行直线的斜率和截距，求解交点坐标。
方法二：利用三角形内心和辐角的关系•第一步：计算三角形的半周长。
半周长公式半周长公式•第二步：计算三角形的内心坐标。
内心坐标公式内心坐标公式•第三步：根据三角形外心到三个顶点的距离相等，推导出外心的坐标。
实例分析下面通过一个具体的实例来演示如何求解三角形的外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)。
我们将使用方法一来求解外心。
步骤一：计算三角形的边长根据两点之间的距离公式，我们可以计算出三角形的边长为：AB = √((3-1)² + (4-2)²) ≈ 2.828 AC = √((5-1)² + (6-2)²) ≈ 5.656 BC = √((5-3)² + (6-4)²) ≈ 2.828步骤二：计算三角形各边对应的角度根据三角函数的定义，我们可以计算出三角形各边对应的角度为：∠A = acos((AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)) ≈ 60° ∠B = acos((AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)) ≈ 60° ∠C = acos((BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC)) ≈ 60°步骤三：计算垂直平分线的斜率由于垂直平分线是两边的垂直平分线，我们可以计算出垂直平分线的斜率为：kAB = -1 / tan(∠A / 2) ≈ -1.732 kAC = -1 / tan(∠B / 2) ≈ -1.732步骤四：求解垂直平分线交点坐标根据两条平行直线的斜率和截距之间的关系，我们可以计算出垂直平分线交点的坐标为：x = (kAC * ACx - kAB * ABx + ABy - ACy) / (kAC - kAB) y = kAB * (x - ABx) + ABy将坐标代入计算，我们可以得到垂直平分线交点的坐标为：x ≈ 3.000 y ≈ 4.500因此，三角形的外心的坐标为O(3.000, 4.500)。
中考重点三角形的外心与内心
中考重点三角形的外心与内心中考重点：三角形的外心与内心三角形是中考数学中的重点考点之一，三角形的特殊点外心与内心更是需要我们熟练掌握的知识。
本文将详细介绍三角形的外心与内心的定义、性质，以及相应的计算方法。
一、外心的定义与性质1. 外心的定义外心是指三角形三条边的垂直平分线的交点，记作O。
2. 外心的性质（1）外心到三角形三个顶点的距离相等。
（2）外心到三角形的每条边上的点的距离相等。
（3）外心是三角形内角的平分线的垂直平分线。
（4）外心到三角形三个顶点的连线上的点，构成的三角形是等边三角形。
（5）三角形的外接圆的半径等于外心到三个顶点的距离。
二、内心的定义与性质1. 内心的定义内心是指三角形三边的角平分线的交点，记作I。
2. 内心的性质（1）内心到三角形三个顶点的距离相等。
（2）内心到三角形的每条边的距离相等，等于三角形的内切圆的半径。
（3）内心是三角形外接圆的垂直平分线的交点。
（4）内心到三角形三个顶点的连线上的点，构成的三角形是等腰直角三角形。
（5）三角形的内切圆的半径等于三角形三边的和的一半除以半周长。
三、计算外心与内心的方法1. 外心的计算方法（1）已知三角形的三个顶点坐标，可以使用坐标几何的方法计算外心的坐标。
（2）利用外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，可以通过求解方程组来计算外心的坐标。
2. 内心的计算方法（1）已知三角形的三个顶点坐标，可以使用坐标几何的方法计算内心的坐标。
（2）利用内心的性质：内心到三条边的距离相等，可以通过求解方程组来计算内心的坐标。
四、外心与内心的应用1. 判断三角形的类型通过计算三角形的外心与内心，可以判断三角形的类型，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
2. 计算三角形的性质外心与内心与三角形的边长、角度之间有着密切的关系，在计算三角形的性质时，外心与内心的坐标和距离等信息经常被用到。
3. 解决几何问题通过利用外心与内心的性质和计算方法，可以解决许多几何问题，如构造等腰三角形、证明几何题目等。
三角形的外心问题
三角形的外心问题三角形是初中数学中一个基本的概念，而三角形的外心问题是初中数学中的一个重要问题。
本文主要介绍三角形的外心问题。
一、什么是外心外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，具体定义如下：定义1：如果一个三角形ABC的任意两边的中垂线相交于点O，那么O就是三角形ABC的外心，而且OA=OB=OC，称O为三角形ABC 的外心，OA（OB、OC）叫做 O 到三角形三边的距离。
定义2：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，且离三角形三顶点距离相等的点。
可以看出，定义1和定义2是等价的。
二、外心的性质1、外心是三角形垂心的共轭点。
由外心的定义可知：垂直平分线是三角形内角平分线的垂直平分线。
所以，外心是三角形垂心的共轭点。
2、三角形三点共线的充分必要条件是这三点中至少有一个是外心。
这一性质是很显然的，因为只有外心才具有三条边的垂直平分线交于同一点的性质。
3、三角形外心到三角形三点的连线垂直于三角形对应顶点的边。
这一性质也是很显然的，画画图就可以明确它的真实性。
4、外心到三角形三点的距离都相等。
这一性质也可以很容易的用垂直平分线得出。
三、应用外心性质的例题例1：如下图，点O是三角形ABC的外心，证明AO=BO+CO。
首先，我们连AO、BO、CO，然后作AO、BO、CO的垂线分别交于D、E、F三点。
根据1中的性质，易知AD、BE、CF是三角形ABC的垂线。
而且A、B、C分别在三角形BOD、COE、AOF的外接圆上。
因此，根据圆周角定理和1中的性质，我们可以得出角BOC=2∠A。
接着，我们用正弦定理求解即可：AO/ 2sin∠A = BO/ 2sin∠B= CO/ 2sin∠C ，即 AO/ sin∠A = BO/ sin∠B + CO/ sin∠C。
又因为∠B+∠C=∠A+2∠A，从而得到sin(∠B+∠C)=2sin∠Asin(∠A+∠B+∠C)。
又因为sin(∠B+∠C) = sinA，所以AO/sinA =BO/sinB+CO/sinC，即AO=BO+CO。
求解三角形的外心
求解三角形的外心三角形是几何学中的基本概念之一，它由三个不共线的点组成。
在三角形中，有一个特殊的点被称为“外心”，它是三角形的外接圆心，也就是三条边的外切圆心。
求解三角形的外心是一个基础的几何问题，在解题过程中需要运用到某些几何定理和性质。
在求解三角形的外心之前，我们先来了解一下三角形的外接圆及其性质。
三角形的外接圆是唯一确定的，在一个平面上，有且仅有一个外接圆可以与三角形的三个顶点相切。
而外接圆的圆心恰好位于三角形的外心上。
首先我们需要明确求解三角形外心的方法。
以下是一种常用的方法：第一步：确定三角形的垂心垂心是指三角形的三条高的交点。
我们先使用垂心定理，找到三条高的交点，并标记为点H。
垂心定理指出：三角形的三条高的交点恰好位于外心上。
第二步：找到垂心到三个顶点的垂直平分线接下来，我们需要找到垂心H到三个顶点A、B、C的垂直平分线。
这可以通过求取高的中点来实现。
垂直平分线与对边垂直，且平分对边。
第三步：垂直平分线的交点即为三角形的外心经过第二步的操作，我们找到了垂心到三个顶点的垂直平分线。
垂直平分线之间的交点就是三角形的外心。
通过以上三个步骤，我们就可以求解出给定三角形的外心。
下面我们通过一个具体的例子来说明求解三角形外心的过程。
假设我们要求解△ABC的外心。
首先，我们通过一定的方法找到了三角形的垂心H。
接下来，我们分别求取出AH、BH、CH的垂直平分线。
假设AH的垂直平分线与BC相交于点D，BH的垂直平分线与AC相交于点E，CH的垂直平分线与AB相交于点F。
那么点D、点E、点F就是我们要找的垂直平分线之间的交点，也就是三角形ABC的外心。
通过以上例子，我们可以看出，只要按照给定的步骤操作，我们就可以求解出任意三角形的外心。
当然，在实际应用中，我们也可以运用数学软件或计算器来辅助求解。
最后，需要强调的是，在解题过程中，我们需要注意数值计算的精度。
由于计算机计算存在误差，我们应尽量避免误差的积累，以保证结果的准确性。
三角形外心的个推论
三角形外心的个推论在平面几何中，三角形的外心是一个重要的概念。
它是三角形外接圆的圆心，也就是三角形三边垂直平分线的交点。
对于三角形外心，有许多有趣且实用的推论，这些推论在解决与三角形相关的几何问题时常常能发挥关键作用。
首先，让我们来了解一下三角形外心的基本性质。
外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径。
当我们知道了三角形的三个顶点坐标时，可以通过一些特定的方法求出外心的坐标。
推论一：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外部。
对于锐角三角形，由于其三个内角都小于 90 度，所以外心位于三角形内部。
想象一下，外接圆要能够完全包围住三角形，外心自然就在三角形内部。
直角三角形中，斜边是最长的边。
因为外接圆的直径就是斜边，所以外心就在斜边的中点。
这是因为直角所对的弦是直径，而斜边就是这个直径。
钝角三角形中，有一个角大于 90 度。
外接圆的一部分会在三角形外部，导致外心也在三角形外部。
推论二：若三角形的外心为 O，三角形的三个顶点分别为 A、B、C，则∠AOB ＝ 2∠C，∠BOC ＝ 2∠A，∠AOC ＝ 2∠B。
这个推论的证明可以通过圆心角和圆周角的关系来完成。
以∠AOB ＝ 2∠C 为例，因为同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，而弧 AB 所对的圆心角是∠AOB，圆周角是∠C，所以∠AOB ＝ 2∠C。
这个推论在解决一些角度计算问题时非常有用。
比如，已知三角形的某个内角和外心的位置，就可以求出其他角的大小。
推论三：若三角形的外心到三边的距离分别为 d₁、d₂、d₃，则三角形的面积可以表示为 S ＝ 1/2 ×（d₁＋ d₂＋ d₃) ×外接圆半径 R。
这个推论的推导需要用到三角形面积公式和外接圆半径与边长的关系。
通过巧妙地运用这些知识，可以得到这个简洁而实用的面积表达式。
在实际应用中，这个推论可以帮助我们在已知外心到三边距离和外接圆半径的情况下，快速求出三角形的面积。
初中数学 如何计算三角形的外心坐标
初中数学如何计算三角形的外心坐标计算三角形的外心坐标可以使用以下方法：假设已知一个三角形ABC，其中三个顶点分别为A、B、C，对应的坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)。
外心是一个三角形外部的点，它是三条边的垂直平分线的交点。
垂直平分线是连接一个边的中点和边上垂足的线段。
方法1：使用向量计算步骤1：计算两个垂直平分线的方向向量。
-垂直平分线AD的方向向量为向量(BC)的垂直向量，即向量(-Cy + By, Cx - Bx)-垂直平分线BE的方向向量为向量(AC)的垂直向量，即向量(-Ay + Cy, Ax - Cx)-垂直平分线CF的方向向量为向量(AB)的垂直向量，即向量(-By + Ay, Bx - Ax)步骤2：计算两个垂直平分线的中点坐标。
-中点D的坐标为((Bx + Cx) / 2, (By + Cy) / 2)-中点E的坐标为((Ax + Cx) / 2, (Ay + Cy) / 2)-中点F的坐标为((Ax + Bx) / 2, (Ay + By) / 2)步骤3：计算两个垂直平分线的直线方程。
-垂直平分线AD的直线方程为(-Cy + By)(x - ((Bx + Cx) / 2)) + (Cx - Bx)(y - ((By + Cy) / 2)) = 0 -垂直平分线BE的直线方程为(-Ay + Cy)(x - ((Ax + Cx) / 2)) + (Ax - Cx)(y - ((Ay + Cy) / 2)) = 0步骤4：解两条直线方程得到外心坐标。
-将垂直平分线AD的直线方程和垂直平分线BE的直线方程联立，解出它们的交点坐标。
这个交点就是外心的坐标。
方法2：使用坐标计算步骤1：计算两个垂直平分线的斜率。
-垂直平分线AD的斜率为(Cy - By) / (Bx - Cx)-垂直平分线BE的斜率为(Cy - Ay) / (Ax - Cx)步骤2：计算两个垂直平分线的中点坐标。
三角形的外心怎么求公式是什么(一)2024
三角形的外心怎么求公式是什么（一）**引言概述**在数学中，三角形是一种基本的几何图形，它由三条线段组成。
而三角形的外心则是三角形内部可以找到的一个点，它与三个顶点的距离相等。
本文将介绍如何求解三角形外心的公式，以及应用这个公式的方法。
**正文****1. 三角形外心的定义**- 三角形外心是一个点，它与三个顶点的距离相等。
- 外心位于三角形的外部，并且与三边的垂直平分线相交。
**2. 如何求解三角形外心的公式**- 首先，我们需要知道三角形的三个顶点的坐标。
- 然后，通过计算三个顶点的中垂线方程来求解外心坐标。
- 中垂线是通过线段中点，并且与该线段垂直的直线。
- 求解中垂线方程时，需要计算线段的斜率和中点的坐标。
- 最后，通过求解三个中垂线方程的交点，即可得到外心坐标。
**3. 应用三角形外心公式的方法**- 通过求解三角形外心的公式，我们可以确定三角形的外接圆。
- 外接圆是将三角形的三个顶点作为圆心，使得这三个点都在圆上的圆。
- 外接圆的半径等于外心到顶点的距离。
- 外心到顶点的距离可以通过距离公式来计算。
- 通过求解外接圆的半径和圆心，我们可以进一步计算外接圆的面积和周长。
**4. 推导三角形外心公式的过程**- 利用向量的性质可以推导出三角形外心的公式。
- 首先，我们可以利用两个向量和两个中垂线的性质得出外心的坐标。
- 然后，利用两个外心坐标和两个向量的性质，可以推导出外心的坐标公式。
- 推导过程中需要运用向量的叉乘、点乘以及向量的模的计算。
**5. 三角形外心公式的特点**- 三角形外心的公式具有一定的普适性，适用于不同类型的三角形。
- 外心公式的计算相对简洁，只需求解几个参数即可得到结果。
**总结**本文介绍了三角形外心的概念、求解公式以及应用方法。
了解三角形外心的计算公式对于解决与三角形相关的问题具有重要意义，如确定外接圆、计算其半径和面积等。
三角形外心的公式可以通过向量的性质来推导，通过计算顶点的坐标以及中垂线的方程，可以求解出外心的坐标。
苏科版-数学-九年级上册-如何运用三角形的外心解决实际问题
初中-数学-打印版
如何运用三角形的外心解决实际问题？
难易度：★★★★★
关键词：解决实际问题
答案：
将实际问题转化为数学问题，再利用三角形外心的知识解决问题。
【举一反三】
典题：如图，有一个三角形鱼塘，在它的三个顶点A.B.C处有三个标牌，现设想把鱼塘改成圆形的度假村，要求圆形要经过三个标牌的位置，问：是否能实现这一设想，若能，画出图形，若不能，说出理由。
思路导引：保持标牌处不动，此圆经过三点，则A.B.C三点必须在圆上，因此作出这个△ABC的外接圆即可。
标准答案：能。
如图，作△ABC的外接圆，以点O为圆心，以CO为半径的⊙O即为所求的圆形。
初中-数学-打印版。
三角形的外心怎么求公式是什么
引言：在几何学中，三角形是其中的基本形状之一。
而每个三角形都有一个特殊的点，被称为外心。
外心是三角形外接圆的圆心，这个圆与三角形的三边相切。
本文将详细介绍三角形的外心的求法及其公式，以便读者能够更加深入了解和应用这一概念。
概述：正文内容：1.三角形外接圆的性质1.1外接圆定义：外接圆是一个与三角形的三个顶点都相切的圆。
它的圆心被称为外心。
1.2外接圆唯一性：每个三角形都可以确定唯一的外接圆，并且外心是该三角形的性质。
1.3外接圆角平分性质：外接圆的圆心到每条边的距离相等，即外心到三个顶点的距离相等。
2.外心的几何特征2.1三个垂直平分线交点：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
2.2最大内接圆和最小外接圆：外心是最大内接圆和最小外接圆的圆心。
3.求解外心的几何方法3.1垂直平分线法：通过每条边的垂直平分线来求解外心。
3.2三角形正交中心法：通过求解三角形的正交中心来得到外心坐标。
4.外心的坐标表示4.1一般三角形：通过坐标几何的推导，可以得到一般三角形外心的坐标表示。
4.2等边三角形：等边三角形的外心坐标可以用已知边长的公式得到。
5.外心的公式推导5.1一般三角形：通过求解三角形的高、垂直平分线和垂直平分线交点的性质，可以推导出外心的坐标公式。
5.2等边三角形：通过等边三角形的特殊性质，可以推导出外心的坐标公式。
总结：三角形外心的求解是几何学中一个重要的概念，它与三角形的其他性质密切相关。
通过了解外心的性质和求解方法，我们可以更好地理解三角形的几何特征。
本文从三角形外接圆的性质、外心的几何特征、求解外心的几何方法、外心的坐标表示以及外心的公式推导等五个大点进行了详细阐述。
读者通过学习本文，可以更好地理解和应用三角形的外心概念。
三角形外心到三边距离公式
三角形外心到三边距离公式摘要：1.引言2.三角形外心的概念3.三角形外心到三边距离公式的推导4.三角形外心到三边距离公式的应用5.结论正文：在几何学中，三角形的外心是一个很重要的概念，它涉及到许多关于三角形性质的判定和计算。
本文将详细介绍三角形外心到三边距离公式，并探讨其在几何学中的应用。
首先，我们需要了解什么是三角形外心。
对于一个三角形ABC，假设点O 是三角形ABC 外接圆的圆心，那么点O 就称为三角形ABC 的外心。
简单来说，外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等。
接下来，我们将推导三角形外心到三边距离公式。
假设三角形ABC 的三个顶点分别为A、B、C，外心为O。
我们可以通过以下步骤推导出公式：1.作OD⊥AB 于D，OE⊥AC 于E，OF⊥BC 于F。
2.连接OD、OE、OF，可以得到三个小三角形ODA、OEA、OFB。
3.由于OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，所以∠ODA=∠OEA=∠OFB=90°。
4.因此，三角形ODA、OEA、OFB 都是直角三角形。
5.根据勾股定理，我们有OD=OE=OF。
6.再根据三角形面积公式，我们有S△OAD=S△OEB=S△OFD，即1/2 * OD * AD = 1/2 * OE * BE = 1/2 * OF * CF。
7.化简得到：OD * AD = OE * BE = OF * CF。
现在我们已经得到了三角形外心到三边距离公式。
对于任意一个三角形ABC，其外心O 到三边AB、AC、BC 的距离分别为OD、OE、OF，满足以下关系：OD * AD = OE * BE = OF * CF最后，我们来看一下三角形外心到三边距离公式的应用。
这个公式在解决一些与三角形性质相关的问题时非常有用，比如判断一个点是否在三角形内部、计算三角形面积等。
通过利用这个公式，我们可以快速地计算出外心到三边的距离，从而进一步分析三角形的性质。
总之，三角形外心到三边距离公式是几何学中一个重要的公式，它涉及到三角形许多性质的判断和计算。
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数学论文——与“三角形外心”有关问题的求解方法【摘要】：在21世纪这个知识信息激增的时代，数学题目的求解已经不限于“解出来”、“无错误”，更多的要求我们用灵活多变的方式求解数学题目，本文作者通过网上资料、百度百科、查阅书籍等方式探究了三角形外心的相关性质，结合书本上的知识，以及纷繁复杂的数学题目，对与“三角形外心”有关的问题做出了一套相对完整的解题方法。
【关键词】：三角形外心解题性质1.3外心的判定一、三角形外心1.1外心的定义与证明首先，以一道简单的题目展示三角形外心的定义。
对于这道题，我们可采取最简单的折叠法：将A与B重合,折痕为AB的垂直平分线，C与B重合,折痕为CB的垂直平分线，A与C 重合,折痕为AC的垂直平分线，三条垂直平分线的交点即为三角形ABC的外心。
三角形外心的定义是：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，而三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
清楚三角形外心的定义，我们要对其进行证明，是否三角形三边垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心呢？定义：三角形三边中垂线的交点，叫做这个三角形的外心。
性质：三角形外心就是这个三角形外接圆的圆形。
已知：△ABC中，O是三边垂直平分线的交点求证：O是△ABC外接圆的圆心证：∵O是三边垂直平分线的交点(条件)∴在△AOB中,OD⊥AB,AD=DB∴△AOD≌△BOD∴OA=OB同理可证：OA=OC∴OA=OB=OC△ABC外接圆,A、B、C必是圆周上不在同一位置的点∵OA=OB=OC（已证）∴O是△ABC外接圆的圆心。
1.2性质探究三角形的外心的证明综合了垂直平分线、外接圆等几何图形的综合，它的性质特点共有6条：设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外.性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).性质3：∠GAC+∠B=90°证明：如图所示延长AG 与圆交与P∵A 、C 、B 、P 四点共圆∴∠P=∠B∵∠P+∠GAC=90°∴∠GAC+∠B=90°性质4：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
1.3外心的判定判定1 若三角形所在平面内的一点到三顶点的距离相等，则该点是三角形的外心。
判定2 设点O 、C 在直线AB 的同侧，且OA=OB ，∠ACB=21∠AOB ，则点O 是△ABC 的外心。
判定3 设点O 、C 分居直线AB 的两侧，且OA=OB ，∠ACB=1800-21∠AOB ，则点O 是ABC 的外心。
一、 题目应用2.1有关三角形外心经典题目解析例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N.作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点 在△ABC 外接圆上.分析：由已知可得MP ′=MP=MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P=21∠BMP=21∠BAC ，∠PP ′C=21∠PNC=21∠BAC. ∴∠BP ′C=∠BP ′P+∠P ′PC=∠BAC.从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有P ′B:P ′C=BP:PC.小结：本题的关键在于利用判定定理1，确定了两个三角形的外心，从而利用已有的外心解决题目。
例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S.证明以△A △BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知∠PO 1S=2∠A ，∠QO 2P=2∠B ，∠SO 3Q=2∠C. ∴∠PO 1S+∠QO 2P+∠SO 3Q=360°从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°A B C P P M N 'A B C Q K P O O O ....S 123将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S+∠SO 1K)=21(∠O 2O 1S+∠PO 1O 2)=21∠PO 1S=∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B.故△O 1O 2O 3∽△ABC小结：本题的解答中，首先构造了O 1、O 2、O 3三个外心，再用外心的性质2，切割、旋转的数学方法解决题目例 3 如图，EF=CE=CF ，EA=BF=2AB ，AB=BD=DA ，且AP=CP=BQ=CQ=PD=DQ=1，求线段BD分析 如图，连接CA 、CB 易证△AEC ≌△BFC ，所以CA=CB 。
连接CD ，因为DA=DB ，CD=CD ，所以△ADC ≌△BDC 。
故∠CDA=∠CDB=21（360°-∠ADB ）=150°由已知AP=CP=PD ，根据判定1知点P 是△ACD 的外心。
由性质2中的（2）知：∠CDA=180°-21∠APC 所以∠APC=60°又因为AP=CP ，所以APC 是正三角形。
所以CA=AP=1。
延长CD 交AB 于点O ，易知CO ⊥AB ，AO=BO=21AB ，CO=23EF=235AB 。
在Rt △AOC 中，由勾股定理得AO 2+CO 2=CA 2。
即(21AB)^2+(235AB)^2=1，解得AB=1919，故BD=1919。
小结：本题中的条件决定了整个图形的对称性，解决本题的第一个关键之外是利用图形的对称性得出∠CDA=1500，第二个关键之处是看出点P 是ACD 的外心。
例 4 如图，在△ABC 中，∠BAC=∠BCA=44°，M 为△ABC 形内一点，使得∠MCA=30°，∠MAC=16°。
求∠BMC 的度数。
分析 以AB 为边向△ABC 内作正△ABD ，连接CD 。
因为∠BAC=∠BCA=44°，所以BA=BC ，∠ABC=92°于是BA=BC=BD ， 根据判定1知B 为△ACD 的外心。
由性质2中的（1）知 ∠DCA=21∠DBA=30°， ∠DAC=21∠DBC=21(92°-60°)=16°又因∠MCA=30°，∠MAC=16°，所以∠DCA=∠MCA ，∠DAC=∠MAC 。
于是△ADC ≌△AMC ，所以AM=AD=AB 。
所以∠ABM=∠AMB=21[180°-(44°-16°)]=76°。
所以∠BMC=∠BAC+∠ABM+∠MCA=44°+76°+30°=150° 小结：题目中易得BA=BC ，故以BA 为一边作正△ABD ，就有BA=BC=BD ，于是点B 为△ACD 的外心，从而能将题目的条件建立了联系，巧妙地解决了问题。
因此，当题目条件给出等腰三角形时，我们应该尝试构造和使用外心。
例5 如图，P 为△ABC 内部一点，使得∠PBC=300，∠PBA=80，且∠PAB=∠PAC=220。
问：∠APC 为多少度？分析：取△PBC 的外心D ，连接DP 、DC 、DB ，则DP=DC=DB∠PDC=2∠PBC=600△DPC是正三角形因此PC=DP=DB，∠DPC=600易知AB>AC，故可在AB上取点E，使AE=AC，连接EP。
易证△APE≌△APC从而PE=PC，∠APE=∠APC。
因此PE=DP=DB，∠EPB=∠APB-∠APE=1500-∠APC又因为∠DBP=∠DPB=3600-∠APB-∠APC-∠DPC=1500-∠APC，所以∠EPB=∠DBP故PE∥DB。
于是四边形BDPE是菱形，有EB=EP。
从而∠EPB=∠EBP=80。
所以∠APC=∠APE=∠APB-∠EPB=1420小结：由本题可以看出，当一个三角形有一个角是300，可考虑取三角形的外心，它和300角的对边构成正三角形，从而得出更多的角的关系，以达到求解的目的。
例6 猜想：任意三角形的外心与三边的对称点所组成的三角形与原三角形的关系，并证明。
分析：设△ABC的外心为O，O关于边BC、CA、AB的对称点分别为O1，O2，O3，记外接圆半径为R。
（1）当△ABC为锐角三角形时，O点在△ABC的内部，如图1 ∠O2AO3=2(βα+)=2AO2A=O3A=OA=R由余弦定理知：O2O2=O2A2+O3A2-2O2A·O3A·COS2A3=2R2-2R2·COS2A=4R28sin2A故O2O3=2RsinA=a同理知O3O1=b，O1O2= c，∴△O1O2O3≌△ABC（2）当△ABC为直角三角形时，O点在△ABC的斜边中点，如图2（∠C=900）显然O3O1∥AC，O3O2∥BC且∠O1O3O2=900故△O1O2O3≌△ABC（3）当△ABC为钝角三角形时，O点在△ABC的外部，如图3 ∠O2AO3=2(αβ-)=2A依照（1）和O2O3=a，O3O1=b，O1O2=c，故有△O1O2O3≌△ABC上述命题不但成立，且其逆命题也成立。
分析：设该点M关于△ABC的边BC、CA、AB的对称点分别为Ma、Mb、Mc、记MA=X A，MB=X B，MC=X C由性质1的证明知：M b M c=2 X A sinAM c M a=2 X B sinBM a M b=2 X C2sinC∵△M a M b M c ≌△ABC ，故2 X A sinA=a X A =Aa sin 2=R 2 X B sinB=b 即 X B =Bb sin 2=R 2 X C 2sinC=c X C =C c sin 2=R 故M 为△ABC 的外心2.2方法归纳、总结 通过性质结合例题的探究形式，总结出以下面对有关“三角形外心”题目时的几点思路与特点：（1） 对于较简单的题目，可直接利用定义求解（2） 若题目中已明确三角形外心或易用判定定理直接获得三角形外心的条件，则直接利用已有外心，结合性质进行求解。
（3） 若题目中没有可利用的条件，可在图中创造三角形外心，协助求解。