二次函数与几何综合压轴题题型归纳-学生版汇总

二次函数综合压轴题型归类

教学目标：1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系

2、掌握特殊图形面积的各种求法

重点、难点：1、利用图形的性质找点

2、分解图形求面积

一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总

1、两点间的距离公式

：

2

2

B

A B

A x x y y AB

2、中点坐标：线段

AB 的中点C 的坐标为：

2

2

B A

B A

y y x x ，

直线11b x k y

（01k ）与22b x

k y

（02

k ）的位置关系：

（1）两直线平行

21k k 且21b b （2）两直线相交

2

1k k （3）两直线重合

21

k k 且2

1

b b （4）两直线垂直

1

2

1k k 3、一元二次方程有整数根问题

，解题步骤如下：

①用

和参数的其他要求确定参数的取值范围；

②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x 的一元二次方程

0122

2

＝－m x

m

x 有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题

。（方法同上）

例：若抛物线3132

x m mx

y 与x 轴交于两个不同的整数点，且

m 为正整数，试确定

此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2

3(1)23

0mx m x m （m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总

有一个固定的根。

解：当

0m 时，1x ；

当0m 时，

03

2

m

，m

m x

21

3，m

x 32

1

、12x ；

综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是

1。

6、函数过固定点问题

，举例如下：

已知抛物线

22

m

mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固

定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于

m 的方程x m x

y 122

；

∴

10

22

x

x

y ，解得：

1

1

x

y ；

∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m 的方程x m x y

122

不论m 为何值，方程恒成立）

小结．．：关于x 的方程

b ax 有无数解

0b

a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM 之

和最小。

（2）如图，直线

1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得

AN MN BM 之和最小。

（3）如图，

B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段

a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的

左侧），使得四边形AEFB 的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2

·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y

9、函数的交点问题：

二次函数（c bx ax y ＋＋＝2

）与一次函数（h kx y ＋＝）

（1）解方程组

h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝2

可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组h

kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝2

，即02

＝－＋－＋h c x k b ax ，通过

可判断两个图象的交点

的个数

有两个交点0

＞仅有一个交点0没有交点0

＜10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求

几何分析

涉及公式

应用图形

跟平行有关的图形

平移

2121k k l l ＝∥、2

1

21x x y y k

平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形

勾股定理逆定理

利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

2

2

B

A B

A x x y y AB

直角三角形

直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。2

2

B

A B

A x x y y AB

等腰三角形

全等等腰梯形

跟角有关的图形

利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

【例题精讲】

一基础构图：y=322

x x

（以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小，差最大

在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点

P ，使得PB-PC 的差最大，求出

P 点坐标

★求面积最大

连接AC,在第四象限找一点P ，使得

ACP 面积最大，求出

P 坐标

★

讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得

ACP 为直角三角形，

求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．

O x

y

A

B C

D O

x

y

A

B C

D O x

y

A

B C

D