圆形工件的检验

圆形工件的检验内容摘要某种圆形工件需要一个检验正/次品的方法，本论文针对该问题，给出了三个合理、有效的模型：Ⅰ）图像分析模型；Ⅱ）聚焦搜索模型；Ⅲ）规划模型；我们利用这三个模型，分别对题目所给的5组数据进行判断，得到了一致的结论：第1个和第4个零件是正品，第2，3和第5个零件是次品。

结论的一致性，证明了三个模型的正确性。

为了进一步验证模型的稳定性和有效性，我们利用随机生成的10000组数据，对模型Ⅱ）和模型Ⅲ）进行模拟检验，结果令人十分满意。

在模型的进一步讨论中，我们首先讨论了模型的“小区域状态”，并给出了合理的分析，得出了有益的结论：在实际生产中“小区域状态”出现的概率是相当小的；接着，我们给出了对产品优劣程度的更精确的判别标准，并对所给的5组数据进行了排序：工件1＞工件4＞工件3＞工件2＞工件5。

（其中＞表示优于）最后我们分别对三个模型进行了评价：模型一：直观，可以做到一目了然。

模型二：精度高，而且从理论上来说能够搜出任意小区域内存在的圆心。

模型三：速度快，使用灵活。

关键词图像分析模型聚焦搜索模型规划模型小区域状态问题的重述与分析某工件为圆形，半径为10mm±0.1mm，超出此范围即为次品。

测量仪器自动在每个工件的圆周上测量36个数据。

假定测量出的二位数据数足够精确的，要求建立一个合理的检验正/次品的模型，对每个工件的36个数据进行计算后给出判断。

本问题是一个通过采样评定工件正/次品等级的问题。

问题的数学实质在于判定：36个离散的点能否位于一个r=9.9mm，R=10.1mm的同心圆环之间。

也就是说，我们要做的，是判断对每组数据，能否找到这样一个点，使得题目所给的36个点能够被包含于以该点为圆心，分别以r=9.9mm，R=10.1mm为半径的圆环之间。

我们首先考虑到一种基于图形的分析法，通过直接观察做出判断。

之后，为了寻找一种更通用、更精确的方法，我们考虑一种逐步加细步长的搜索法。

但问题的关键和难点在于，如何尽可能小的确定初始的考查范围（在此处，我们从第一种方法中获得了一些启发）。

另外，还存在着更为快速、有效的算法。

在模型Ⅲ中我们把对半径的限制转化为某一目标函数的约束条件，进而利用惩罚因子，建立无约束的优化模型，并利用Matlab在此方面的强大功能，顺利求解。

尽管三种模型对所给的五组数据都做出了准确地判断，但是我们的求解在一般情况下仍不能做到绝对地精确。

因为在进一步研究中我们发现当圆心的解的存在区域很小时（特别是仅有一个点满足要求时），三种模型几乎同时失效。

（我们将这种情况成为小区域状态）因此，在具体设计和实现算法时，我们只能在尽可能精确的前提下进行。

但如果在计算机截断误差允许的范围内，仍然没有找到满足条件的解，我们便认为，不存在满足条件的解，即此工件为次品。

事实上，（1）题中所给出的5组数据的小数部分都只保留了三位（0.001mm），（2）实际生产中存在着测量误差（由仪器精度和随机误差决定）。

由此我们认为小数部分更多的有效数字是没有实际意义的。

因此，我们的模型中保证误差在±0.0001mm的条件下求解的做法是相当精确的，若要求进一步的精确模型则只需改动步长参数即可。

但是不可逾越计算机所能容忍的误差为限度10-16量级（线精度）。

但为了改善模型我们还是利用模拟检验论述了小区域状态问题。

得出了结论：在实际生产中“小区域状态”出现的概率是相当小的(见模型的进一步讨论)。

基本假设√1．36个数据采样已经能够判定此工件是否为正品；2．不考虑测量误差，即认为所给的数据是足够精确的；√3．数据采样点是比较均匀的分布在圆周上(见封面),以保证采样的全面性，有效性。

4．半径在10mm±0.1mm的范围内的工件为正品，其余为次品。

5．当某工件用我们的模型无法判断是正品或次品时，我们就认为该工件是次品。

符号说明O i（a i ，b i）：若第i个工件是正品，用所给36个点所确定的半径为10mm±0.1mm的圆的圆心；A ij (x/ij, y/ij) ：我们首先将第i组的36个数据在坐标系下表出，以该组的第一对数据为起点，按照顺时针的方向依次标定为A i1，A i2，…A i36（1≤i≤5）；L i：由A i1，A i2，…A i36，A i1 按顺序首尾相连而形成的闭合折线；r ：r≡9.9mm，即工件半径的下限；R ：R≡10.1mm，即工件半径的上限；模型的建立与求解2.模型Ⅰ）图像分析模型我们设计了一种能够直观判断O i存在与否的方法。

首先利用平面几何的知识，我们得到下面两个有用的引理：引理1. 分别以A i1，A i2，…A i36为圆心，r=9.9mm为半径作圆，若L i 中存在与任何圆A ij （1≤j≤36）都不相交的区域，则O i（存在的话）必然在此区域中。

[证明]：记上述区域为S(1)©。

显然，O i应位于L i围成的区域中。

下用反证法：反若定理不成立，即存在某j0 （1≤j0≤36）,使得O i在圆A ij0中。

则显然，|O i A ij0|＜r=9.9，这与O i的存在性，即工件是正品的假设矛盾，因此定理得证。

类似地，有以下结论：引理2. 分别以A i1，A i2，…A i36为圆心，R=10.1mm为半径作圆，若这36个圆在L i中有公共的交域（记为S(2)i），则O i（存在的话）必然在此区域中。

综合上述两个引理，我们得到一个判断O i存在与否，即工件是不是正品的充要条件：定理1. O i存在 S(1)© ∩S(2)©≠Φ。

并且，当S(1)© ∩S(2)©≠Φ时，O i∈S(1)© ∩S(2)©。

为了便于应用我们给出以下两个推论：推论1. 若S(1)i=Φ时O i 不存在。

推论2. 若S(2)i=Φ时O i 不存在。

在定理1的基础上，我们可以采用图像分析法直接判断O i的存在性。

当我们用Matlab实现上述做法时，我们为便于直接观察，具体步骤如下：（1）我们首先将以r为半径的圆的内部涂色，S(1)i由于不属于任何以A ij为圆心，r为半径的圆，它仍然是白色的；此时由推论1知，若此图中不存在白色区域，说明O i 不存在，我们可以下结论，该工件是次品。

否则，我们进行下一步；（2）在另一幅图中，我们以R为半径的圆的外部涂色，S(2)i由于属于所有以A ij为圆心，R为半径的圆，因而它也仍保持白色；此时由推论2知，若此时不存在白色区域，说明O i 不存在，我们可以下结论，该工件是次品。

否则，我们进行下一步；（3）使这两部分区域叠加，看是否仍然存在空白区域，若是，则认为工件是正品，否则为次品。

对5个工件，我们用图像分析法检测如下（所给均为放大后的图）：2.工件1由图知，（21.37mm，34.64mm）∈S(1)© ∩S(2)© ，即同时存在于两个空白区域，因此它可以作为一个满足要求的圆心位置。

2.结抡一：工件1是正品。

◆工件2因为r=9.9mm时，空白区域为空集，即S(1)i=Φ。

由推论1知：2.结论二：工件2是次品。

◆工件3因为r=10.1mm时，空白区域为空集，即S(2)i=Φ。

由推论2知：◆结论三：工件3是次品。

2.工件4如图，（3.83，-37.18）∈S(1)© ∩S(2)© ，即同时存在于两个空白区域，因此它可以作为一个满足要求的圆心位置。

◆结论四：工件4是正品。

2.工件5因为r=9.9mm时，空白区域为空集，即S(1)i=Φ。

由推论1知：2.结论五：工件5是次品。

小结：2.模型Ⅱ）聚焦搜索模型基本思想：因为圆心到测量仪器所测的36个点中任意一个点的距离都必须小于R=10.1mm，如果工件合格，工件的圆心必然落在以36个点中任意一个点为圆心，R=10.1mm为半径的圆的内部。

我们只要找到这36个圆的共同区域，在这个共同区域内划分网格，遍历这些点去搜索是否有满足条件的点作为工件的圆心。

关键和难点：找到一个尽量小的区域，不至于因为搜索范围过大而导致搜索时间太长；又要使这个尽量小的区域包含了这36个圆的公共区域，不至于漏掉可能存在满足条件的圆心的区域）。

方法摘要：我们先设法找到这样一个比较小的考查区域，并且分别给出判断该工件为正品和次品的一个充分条件，作为后面的判定准则；而后，在这个小区域内均匀的选取有限个点加以考查，如果可能的话，根据这有限个点得到的信息，判断这些点是否满足上述某一个充分条件，从而断定该工件为正品或次品。

而对于所有被考察点信息都无法满足这两个条件中任何一个的情况（实际上这种情况会出现，但出现的概率很小，一般能在满足两个条件中的一个），我们通过缩小考查区域和改变步长来对这种情况进行更进一步的探讨。

聚焦搜索算法步骤如下：（1）首先，我们要确定一个相对较小的初始搜索区域。

如图所示，我们先找4个在工件圆周上分布较均匀的点画圆，例如，可以将A i1，A i2，…A i36 分为9组：{ A i1，A i10，A i19，A i28}，{ A i2，A i11，A i20，A i29}，…{ A i9，A i18，A i27，A i36}。

这样，依次以其中一组的4点为圆心，R=10.1为半径作圆。

由于O i所在的S(2)i必然含于这4个圆的相交区域中，所以若该工件合格，其圆心O i只能存在于放大的图上的阴影区域，也就是4个圆的公共区域中。

（2）接下来，我们要量化地确定该阴影区域。

为了避免求解非线性方程组带来的繁琐工作以及对解的准确性的影响，我们考虑用切线包围，以直代曲，并用过切线交点的坐标轴平行线再包围的方法，用一个较小的直线围成的区域（该区域包含该阴影区域）来代替该阴影区域。

具体做法如下：如右图所示，取工件圆周上面测量的点为{ A i1，A i10，A i19，A i28}。

在包围阴影区域的圆弧上面做平行于A i1和A i19两点连线的两条圆弧切线k3和k4；做平行于A i10和A i28两点连线的两条圆弧切线k1和k2。

这样四条切线总共有四个交点（图中四个较大的黑点）。

过最右边的点和最左边的点做两条平行于y轴的直线a和b；过最上面的点和最下面的点做两条平行于x轴的直线c和d 。

从图上容易看出：直线a，b，c，d包围的区域一定包含该阴影区域。

一个工件的测量数据都有9个像这样的组合，每个组合都算能得到一组（4条）直线a，b，c，d，每一组直线都得到一个围域，共9个区域，然后取这9个区域的交集。

如果交集为空集，那么可以肯定该产品为次品；如果不是空集，我们在这个交集区域内继续下面的搜索算法。

2.第三步，我们在已经求得的小区域内进行搜索，看是否存在这样一个点，使得它到工件上测量数据的36个点中任意一个点的距离都在9.9mm与10.1mm之间。