特殊的平行四边形中的难题精编

【例1】

⑴在给定的条件中，能画出平行四边形的是( )

A ．以58cm 为一条对角线，20cm ，34cm 为两条邻边

B ．以7cm 和9cm 为对角线，8cm 为一边

C ．以20cm 、36cm 为对角线，22cm 为一边

D ．以6cm 为一条对角线，3cm 、10cm 为两条邻边

⑵顺次连结四边形ABCD 的各边中点所围成的图形是菱形，那么四边形ABCD 的对角线

( )

A ．互相平分；

B ．互相垂直；

C ．互相垂直平分；

D ．相等；

【例2】

如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ，求证：EF ＝FB 。

【例3】

如图，四边形ABCD 是一个梯形AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝9厘米，BC ＝8厘米，CD ＝7厘米，M 是AD 的中点，从M 作AD 的垂线交BC 于N ，求BN 的长。

特殊的平行四边形

高难题目

训练一

【例4】

如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF＝BD，连接AF，求∠BAF的大小。

【例5】

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝BD，AC与BD相交于O。

求证：CD＝CO。

【例6】

设P 和Q 分别为锐角△ABC 的边AB、AC 上的点，过P 作AB 的垂线与

过Q 作AC 的垂线交于点D，M 为BC 的中点。若PM＝QM，求证：∠BDP

＝∠CDQ 。

【例7】

如图，任意五边形ABCDE 中，M，N，P，Q 分别为AB，CD，BC，DE

的中点，K，L 分别为MN，PQ 的中点。求证：KL∥AE，且KL＝1

4AE。

【例 8】

如图，矩形 ABCD 中，AB ＝20cm ，BC ＝10cm 。若在AC 、AB 上各取一 点M 、N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值。

挑战题：

如图，五边形ABCDE 中，AB ∥DE ，AE ∥BC ，BD 与CE 交于P ，BD ＝ CE ，M ，N ，分别为BE ，CD 的中点。求证：MN ∥AP 。

测试题

1．如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8cm ， AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于( ) A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm

A

B C

D

E

2．能判定四边形ABCD 是菱形的条件是( )

A ．对角线AC 平分对角线BD ，且AC ⊥BD ；

B ．对角线A

C 平分对角线B

D ，且∠A ＝∠C

C ．对角线AC 平分对角线B

D ，且平分∠A 和∠C ； D ．对角线AC 平分∠A 和∠C ，且∠A ＝∠C

、

3．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°AB ＝2，则矩形的对角线AC 的长是( ) A ．2

B ．4

C

．D

．

4．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程

2230x x +-=的根，则□ABCD 的周长为( )

A ．4＋

B ．12＋

C ．2＋

D ．2＋

12＋

5．在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( )

A ．1∶2∶3∶4

B ．1∶2∶1∶2

C ．1∶1∶2∶2

D ．1∶2∶2∶1 6．如图所示，M 是□ABCD 的边AD 上任意一点，若△CMB 的面积为S ，△CDM 的面积为S 1，△ABM 的面积为S 2，则下列S ，S 1，S 2的大小关系中正确的是(

)

A ．S ＞S 1＋S 2

B ．S ＝S 1＋S 2

C ．S ＜S 1＋S 2

D ．S 与S 1＋S 2的大小关系无法确定

A

D

C

E

B

O D C A B

第3题

证明题

1、已知：如图平行四边形ABCD 中，D E ⊥AC ，BF ⊥AC ，M ，N 是AB 、CD 的中点 求证：四边形MENF 是平行四边形

2、已知：如图∠BAC=90°，∠1=∠2，A D ⊥BC 交BC 于M ，EF ⊥BC 于F 求证：四边形AEFM 是菱形

3、已知：如图菱形ABCD ，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于F ，若AE=AB ，∠DAE=2∠BAE 求证：BE=AF

4、已知：如图正方形ABCD ，P 、Q 分别是BC 、DC 上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA

C

5、已知：如图正方形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是BC 、OD 的中点 求证：AF ⊥EF

7、已知：如图正方形ABCD ，BM ∥AC ，AE=AC ，

求证：∠EAC=2∠BAE

8、已知：如图，⊿ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 中点，M 、N 是AC 上两点，EM 、FN 交于D ，若AM=MN=NC ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。

9、已知：如图，12∠=∠，3AB AC =，BE AD ⊥，求证：AD DE =。