备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;
(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
【答案】(1)见解析;
(2)存在,理由见解析;
(3)不成立.理由如下见解析.
【解析】
试题分析:(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;
(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;
(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况,即可求得答案.
试题解析:(1)∵b=2a,点M是AD的中点,
∴AB=AM=MD=DC=a,
又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°,
∴∠BMC=90°.
(2)存在,
理由:若∠BMC=90°,
则∠AMB+∠DMC=90°,
又∵∠AMB+∠ABM=90°,
∴∠ABM=∠DMC,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△ABM∽△DMC,
∴AM AB
CD DM
=,
设AM=x,则x a
a b x =
-
,
整理得:x2﹣bx+a2=0,
∵b>2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,
∴当b>2a时,存在∠BMC=90°,
(3)不成立.
理由:若∠BMC=90°,
由(2)可知x2﹣bx+a2=0,
∵b<2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2<0,
∴方程没有实数根,
∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.
考点:1、相似三角形的判定与性质;2、根的判别式;3、矩形的性质
2.如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连接EC.
(1)求证:AD=EC;
(2)当∠BAC=Rt∠时,求证:四边形ADCE是菱形.
【答案】(1)见解析;
(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)先证四边形ABDE是平行四边形,再证四边形ADCE是平行四边形即可;
(2)由∠BAC=90°,AD是边BC上的中线,得AD=BD=CD,即可证明.
【详解】
(1)证明:∵AE∥BC,DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=DC,
∴AE=DC,
又∵AE∥BC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
(2) 证明:∵∠BAC=90°,AD是边BC上的中线.
∴AD=CD
∵四边形ADCE是平行四边形,
∴四边形ADCE是菱形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.
3.已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点(不与点A、D重合),连接PB、PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,AD与EF交于点M;
(1)如图1,当AB=AC时,求证:四边形EGHF是矩形;
(2)如图2,当点P与点M重合时,在不添加任何辅助线的条件下,写出所有与△BPE面积相等的三角形(不包括△BPE本身).
【答案】(1)见解析;(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH.
【解析】
【分析】
(1)由三角形中位线定理得出EG∥AP,EF∥BC,EF=1
2
BC,GH∥BC,GH=
1
2
BC,推出
EF∥GH,EF=GH,证得四边形EGHF是平行四边形,证得EF⊥AP,推出EF⊥EG,即可得出结论;
(2)由△APE与△BPE的底AE=BE,又等高,得出S△APE=S△BPE,由△APE与△APF的底EP=FP,又等高,得出S△APE=S△APF,由△APF与△CPF的底AF=CF,又等高,得出
S△APF=S△CPF,证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半,推出
S△PGH=1
2
S△AEF=S△APF,即可得出结果.
【详解】
(1)证明:∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,
∴EG∥AP,EF∥BC,EF=1
2BC,GH∥BC,GH=
1
2
BC,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EGHF是平行四边形,∵AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴EF⊥AP,
∵EG∥AP,
∴EF⊥EG,