多元函数及隐函数求导讲解
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
多元函数 隐函数求导
多元函数隐函数求导
隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是指在多元函数中，存在一些变量是由其他变量隐式定义的，而求这些变量的导数就是隐函数求导。
在一元函数中，我们可以通过对函数直接求导来得到导数，但在多元函数中，由于存在多个自变量，直接求导不是那么容易。
因此，我们需要使用隐函数求导的方法来解决这个问题。
在多元函数中，如果存在一个变量是由其他变量隐式定义的，那么我们可以通过对这个多元函数进行求导，来得到这个变量的导数。
这个方法就是隐函数求导。
具体来说，我们可以通过偏导数的方法来求解隐函数的导数。
偏导数是指在多元函数中，将其他变量视为常数，对某一个变量进行求导。
因此，我们可以通过对多元函数进行偏导数求解，来得到隐函数的导数。
在实际应用中，隐函数求导可以用于求解各种物理问题，例如求解曲线的切线方程、求解曲面的法线方程等。
此外，在经济、工程、生物等领域中，隐函数求导也有着广泛的应用。
隐函数求导的方法并不难，但需要注意的是，我们需要对多元函数进行适当的变形，以便于使用偏导数的方法来求解隐函数的导数。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择适当的方法，以便于求解出我们所需要的隐函数导数。
隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它可以用于求解各种实际问题。
在学习隐函数求导时，我们需要掌握基本的方法和技巧，并灵活运用这些方法来解决具体的问题。
多元函数的隐函数与参数方程求导
多元函数的隐函数与参数方程求导隐函数求导是微积分中常用的求导方法之一，它用于求解含有多个未知变量的方程。
而参数方程则是将一个变量表示为另外两个变量的函数，通常用于描述曲线或曲面。
一、多元函数的隐函数求导对于一个含有多个未知变量的方程，如果我们无法将其中一个变量表达为其他变量的函数形式，就需要使用隐函数求导的方法。
以二维平面上的函数为例，假设有一个方程 f(x, y) = 0，我们想要求解关于y 的导数dy/dx。
首先，我们需要确保该方程存在一个解y=f(x)。
求解步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 02. 将这个方程关于 dy/dx 进行变形，得到 dy/dx 的表达式：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这样，我们就得到了多元函数隐函数的导数表达式。
二、多元函数的参数方程求导参数方程是将一个变量（通常为 t）表示为另外两个变量（通常为 x 和 y）的函数形式。
在参数方程中，我们可以通过对 t 的求导来求解 x和 y 的导数。
以二维平面上的函数为例，假设有一个由参数方程描述的曲线：x = f(t)y = g(t)我们要求解这条曲线上各个点的导数 dy/dx。
求解步骤如下：1. 先对 x 和 y 分别关于 t 求导，得到导数 dx/dt 和 dy/dt。
2. 计算 dy/dx：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)这样，我们也可以得到多元函数参数方程的导数表达式。
综上所述，多元函数的隐函数和参数方程求导的步骤和原理是类似的，只是需要根据具体的函数形式进行求解。
总结：多元函数的隐函数求导和参数方程求导是微积分中常用的求导方法。
对于隐函数求导，需要通过对方程两边同时对某个变量求导，并变形后得到导数表达式。
而对于参数方程求导，需要分别对 x 和 y 关于参数求导，并计算 dy/dx 的表达式。
这两种方法在解决多元函数的导数问题时非常有用，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化趋势。
多元复合函数与隐函数求导
2
t cos t
dz , 求全导数 dt
u 2v
解：令 u = sint , v = cost , 则z = e
du dv z z u 2v 2 u 2v = + = 2uve cost + u e ( - sint ) dt dt dt u v
= 2e
=e
sin 2 tcost
sintcos t - e
v = ψ ( x + x , y ) — ψ ( x , y )
在相应点(u,v)处相应于 的全增量 处相应于x的全增量 函数 z = f ( u,v ) 在相应点 处相应于
z = f ( u + u , v + v ) — f ( u , v )
有连续的偏导数， 由于 z = f ( u,v ) 有连续的偏导数，所以
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则 二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 又都是x，y的函数 又都是 的函数 设函数 z = f ( u,v ) ，而u，v又都是 u = ( x , y ), v = ψ ( x , y ), 于是
-
2 )
对于具有三个中间变量的函数 z = f ( u , v , w ), 其中 u，v，w分别是 ，y的函数，有 分别是x， 的函数 的函数， ， ， 分别是
z z u z v z w = + + x u x v x w x z z u z v z w = + + y u y v y w y
z y
当然我们同理也可求 得
多元函数隐函数求导
多元函数隐函数求导一、前言多元函数隐函数求导是微积分中的重要内容，也是高等数学的难点之一。
本文将详细介绍多元函数隐函数求导的相关知识。
二、基本概念1. 多元函数多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数，例如：$f(x,y)$。
2. 隐函数隐函数是指由方程确定的关系式中，其中一个变量可以表示为其他变量的表达式，例如：$x^2+y^2=1$ 中的 $y$ 可以表示为$y=\sqrt{1-x^2}$。
3. 隐函数定理隐函数定理是指在一定条件下，可以通过对方程进行求导来求解出隐含在方程中的某个变量关于另一个变量的导数。
三、求解方法1. 基本步骤对于一个由 $n$ 个自变量和 $m$ 个因变量组成的方程组：$$\begin{cases}F_1(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\F_2(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\\cdots \\F_m(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0\end{cases}$$如果其中某个因变量 $y_i$ 可以表示为自变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的函数，即：$$y_i=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$则称 $y_i$ 为隐函数。
求解隐函数的一般步骤如下：（1）对方程组中的每个方程都求偏导数；（2）将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中；（3）计算雅可比矩阵的行列式，如果不等于零，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。
2. 具体例子例如，对于方程组：$$\begin{cases}x^3+y^3+z^3=6xyz \\x+y+z=4\end{cases}$$我们可以将其中一个因变量 $z$ 表示为自变量 $x,y$ 的函数。
首先对方程组中的每个方程都求偏导数：$$\begin{cases}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x}=6yz+6xy\frac{\partial y}{\partial x} \\3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partialz}{\partial y}=6xz+6xy\frac{\partial x}{\partial y} \\1+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{cases}$$将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中：$$J=\begin{pmatrix}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x} & 6xy & 6xz \\6xy & 3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial y} & 6yz \\1+\frac{\partial z}{\partial x} & 1+\frac{\partial z}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}$$计算雅可比矩阵的行列式：$$|J|=18xyz-27x^2y^2z-27xy^2z^2+4x^3z^3+4y^3z^3$$如果 $|J|\neq0$，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。
多元函数及隐函数求导
多元函数的极值定义与性质
极值性质
极值点不一定是函数取得 最大值或最小值的点；
极值点是函数值改变方向 的点；
极值点可能是连续函数的 不连续点。
多元函数的最值定义与性质
• 最值定义：设函数$f(x,y)$在闭区域$\Omega$上有定义，如 果存在点$(x_0,y_0) \in \Omega$，使得对于所有$(x,y) \in \Omega$都有$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在区域$\Omega$上取得最大值 （或最小值）。
生物问题
在工程学中，隐函数可以用来描 述机械运动、流体动力学等物理 现象。
在生物学中，隐函数可以用来描 述种群增长、生态平衡等生物现 象。
03
高阶导数与全微分
高阶导数的概念与性质
概念
高阶导数是指一个函数在某一点的导数，对其再次求导，得到的二阶导数、三阶导数等 统称为高阶导数。
性质
高阶导数的计算涉及到多个求导法则，如链式法则、乘积法则、商的求导法则等。高阶 导数的计算可以揭示函数的局部性质，如拐点、极值点等。
全微分的概念与性质
概念
全微分是指一个多元函数在某一点的微 分，它表示函数在该点附近的小变化。 全微分等于各个偏导数与相应变量的乘 积之和。
VS
性质
全微分具有线性性质，即两个函数的和或 差的微分等于它们微分的和或差。全微分 还具有连续性，即如果函数在某点可微， 则其全微分在该点连续。
全微分在实际问题中的应用
多元函数及隐函数求导
• 多元函数导数与偏导数 • 隐函数求导法则 • 高阶导数与全微分 • 多元函数极值与最值 • 多元函数及隐函数求导的应用实例
多元复合函数与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
3多元复合函数与隐函数的求导法则
求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
解
m x
m u m v m v u x v x v x
f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v
f1 2x
f2 ye xy
z y
f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz
z x
dx
z y
dy中, 得
dz
z u
u x
z v
v x
dx
z y
z u
BB74多元复合函数与隐函数求导法则38页PPT
1 x2
g
y x3
g
14
二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 zf((x ,y ),(x ,y ))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dy uy v y
(udxudy) x y
(vdxvdy) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
z
uv
此式 Z对 是 t的导 d数 z称为全 . 导t数t
dt
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
3
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u ,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
6
常用导数符号 设 z f ( u , v ) u ( x , y ) v ( x , y )
uzfu(u,v)fuf1 vzfv(u,v)fvf2
u2z2 fuu(u,v)fuuf11 v2z2 fvv(u,v)fvvf22 vu22zzuv ffuvvu ((uu,,vv))fufvv uf1f2 21 称为混合偏导数
当 f12和f21均连续f1时 2f21 有
在计算时注意合并同类项! 下列两个例题有助于
掌握这方面问题的求导技巧。
多元复合函数求导法和隐函数求导公式
通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
3多元复合函数与隐函数的求导法则
du ? dx
解
du u u dy u dz dx x y dx z dx
ae (y z) e e ax a cos x ( 2 ) ( sin x ) 2 2 a 1 a 1 a 1
ax
ax
例6 设 z f ( x y , e ) ,而u x y , v e ,
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t
e ax(y z) , y a sin x, z cos x 例5 设 u 2 a 1
z z u z v x u x v x
z u z v dx z u z v dy dz u x v x u y v y
z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y
z z u z v 2u (1) 2v 1 4 y y u y v y
z z x 例3 设 z u ln v ,而 u , v 3 x 2 y ,求 , x y y
2
解
z z u z v 1 u2 2u ln v 3 y v x u x v x
2x 3x2 2 ln ( 3 x 2 y) y ( 3 x 2 y)y 2
z z u z v y u y v y
x u2 2u ln v ( 2 ) ( 2 ) y v
2x2 2x2 3 ln ( 3 x 2 y) y ( 3 x 2 y)y 2
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。
1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。
求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。
根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。
2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。
求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。
同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。
根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。
同理，可以得到 dz/dy 的表达式。
3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。
求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。
求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。
高等数学资料：4 4多元复合函数与隐函数求导法则
一、 复合函数的求导法则
一、链式法则
1、z
u v
x型
定理 如果函数u ( x)及v ( x)都在点 x 可导， 函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导 数，则复合函数 z f [ ( x), ( x)]在对应点 x 可导，且其导数可用下列公式计算：
y x
x
x x2
y y2
,
Fy ln
x2 y2
arctan
y x
y
y x2
x y2
,
dy dx
Fx Fy
x y
y x
.
2. F ( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2
设函数 F ( x, y, z)在点 P( x0, y0, z0 )的某一邻域 内有连续的偏导数，且 F ( x0, y0, z0 ) 0， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程 F ( x, y, z) 0在点 P( x0, y0, z0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个 单值连续且具有连续偏导数的函数z f ( x, y),
.
x y
Fy Fx
fu fu
xz yz
fv fv
.
y z
Fz Fy
1 fu xy fv fu xz fv
.
思路2：
把
z
看成
x,
y
的函数，对
x求偏导数得
z x
，
把
x看成
z,
y的函数，对
y求偏导数得
x y
，
把
y
看成
x,
z
的函数，对
z
求偏导数得
多元函数隐函数求导
多元函数隐函数求导1. 引言在微积分中，多元函数的隐函数求导是一种重要的技术，用于求解多元函数的导数。
它在数学、物理、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍多元函数隐函数求导的定义、用途和工作方式，以及解决问题的方法和实例。
2. 定义多元函数隐函数求导是指在给定多元函数的条件下，求解该函数的隐函数导数。
对于一个由多个变量和方程组构成的多元函数，存在隐含的关系，我们可以通过求导来揭示这种关系。
具体而言，假设我们有一个由m个自变量和n个方程组成的多元函数：F(x1,x2,...,x m,y1,y2,...,y n)=0其中，x1,x2,...,x m是自变量，y1,y2,...,y n是因变量。
函数表达式中的方程将自变量和因变量联系起来。
我们的目标是求解因变量y关于自变量x的导数dy。
多元函数隐函数求导可以精dx确计算导数值，并揭示函数之间的关系。
3. 用途多元函数隐函数求导在科学研究和工程实践中有广泛的应用。
它可以帮助我们：3.1 研究函数关系通过求解隐函数导数，我们可以了解函数之间的关系，并揭示隐藏在数学模型中的规律。
这在物理学、经济学和工程学等领域中尤为重要。
例如，在经济学中，我们可以研究产品的需求曲线和价格之间的关系，从而预测市场变化。
3.2 优化问题隐函数求导可以帮助我们优化问题。
通过求解导数，我们可以找到函数的极值点，包括最大值和最小值。
这在工程设计、金融投资和运筹学中应用广泛。
例如，在工程设计中，我们可以优化材料使用，以获得最佳性能和成本效益。
4. 工作方式多元函数隐函数求导的工作方式如下：4.1 列方程首先，我们需要将多元函数表示为方程的形式。
假设我们有一个二元函数F(x,y)=x2+y2−1=0，我们的目标是求解因变量y关于自变量x的导数。
4.2 求导我们对方程两边同时求导数，得到：∂F ∂x +∂F∂ydydx=0这里，∂F∂x 和∂F∂y分别表示F关于自变量x和y的偏导数。
多元函数微分学多元隐函数求导[精编文档]
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z=f(x,y),满足 z0 f (x0, y0 ), 并有: z Fx , z Fy
x Fz y Fz
证: 因为 F[x, y, f (x, y)] 0
两边分别对 x,y 求偏导:
z Fx Fz x 0
Fy
Fz
z y
0
z Fx , z Fy x Fz y Fz
注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导.y
dx dy
z dz dx
dz
0
0
dx dx
解方程组得:
dy z x , dz x y . ( y z 0) dx y z dx y z
例5.
u2 v
u
v2
x y
0 0
求
u x
, u y
, v , v . x y
各方程两边对x求偏导:
(过程略)
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 (x,t) 0所确定的函数,
且
( x, t )
0可微.求
dy dx
x y
dy f f dt dx x t dx
tx
隐函数求导
方程 (x,t) 0 两边对 x 求偏导:
dt 0,
x t dx
dt dx
x
,
dy dx
第四节 隐函数微分法
第四节 隐函数及其微分法
一.一个方程的情形 (1).F(x, y) 0 所确定的隐函数: 上册已经介绍过求导方法
定理1(一元隐函数存在定理)
设F(x,y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F (x0 , y0 ) 0, Fy (x0 , y0 ) 0, 则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能
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?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?y ?u ?y ?v ?y
? e? arctan v ?2y ? ue ?aarctan v ?(? 1 ) ?1 1? v2 x
?
? arctan
e
y x
?[2y ?
(x2
?
y
2
)? x
2
x ?
y2]
? arctan y
?e
x ?(2 y ? x )
9 9
dt ? x dt ? y dt ? t
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
x，求 dz.
?z ?x
?Hale Waihona Puke ?f ??u ?u ?x?
?f ??v ?v ?x
? arctan y
?e
x (2x ? y)
?z ? ?y
?f ?? u ? ?u ?y
?f ?v
??v ?y
?
? arctan
e
y
x ?(2 y ?
x)
dz ? ? z dx ? ? z dy
第七章 多元微分学
空间曲面与曲线
多元函数的基本概念 偏微商与全微分
多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题
1 1
教学目的 :
理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域 了解二元函数的极限与连续概念 理解二元函数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解全微分概念，会求二元函数全微分 掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会解一些经济问题中的最优化问题
? eu sin v ?x ? e u cos v ?1
? xe xy sin( x ? y) ? e xy cos(x ? y)
6 6
例求z ? ( x 2 ? y2 )xy的偏微导商数。 幂指函数
解来则法式链用须必题此 注
解 令u ? x 2 ? y2 , v ? xy , ? z ? u v ,
?
?
e ? arctan v
y
? arctan
e
x
y
?2x
?
ue?
arctan
v
?(?
1 1? v2
)
?[2 x
?
(x2
?
y2 ) ?x 2
y ?
y2]
(?
y )
x2
? arctan
?e
x (2x ? y)
8
8
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
x，求 dz.
令u ? x2 ? y2,v ? y 则 z ? ue? arctanv ? f (u,v) x
4 4
复合函数 求导法则
z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)
?z ? ?f ?u ? ?f ?v ?x ?u ?x ?v ?x ?z ? ?f ?u ? ?f ?v ?y ?u ?y ?v ?y
链式法则
x
u
y
z=f
v
x
y
5 5
解来则法式链用不可题此 注
例 求 z ? e xy sin( x ? y )的偏微导商数。
解 令u ? xy, v ? x ? y, 则z ? eu sin v,
:
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?x ?u ?x ?v ?x
? eu sin v ?y ? eu cos v ?1
? yexy sin(x ? y) ? e xy cos(x ? y)
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?y ?u ?y ?v ?y
11 11
(2)若z= f(u), u=u(x,y ), u是一个中间变量
z ? f [u(x, y)]? z?x, y?
x
z=f
u
y
? z ? df ? u ? x du ? x
? z ? df ? u ? y du ? y
12 12
(3)若z=f (u,x,y ), u=? (x,y)
z=f
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
一、复合函数求导法则
定理 (1) u=? (x,y ),v=ψ (x,y )的偏导数在点 (x，y)
处连续 ; (2) 函数z= f(u,v )的偏导数在 (x,y )的对应点 (u,v )
处连续 .
则复合函数 z= f[? (x,y ), ψ(x,y )]
在(x,y )处存在连续的偏导数，且
?x
?y
考研 题目
y
? arctan
?e
x [(2x ? y)dx ? (2 y ? x )dy]
10 10
几种常见的形式
（1）若z= f(u,v ), u=u (x), v= v (x)
只有一个自变量
u
z= f
x
v
则 z ? f [u(x),v(x)]? z(x)
这时 dz ? ? f du ? ? f dv dx ? u dx ? v dx
?
(x2
?
y2 )xy
? ? ?
2xy2 x2 ? y2
?
x ln(x 2 ?
y2
)
? ?
?
7
7
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
练习
x，求 dz.
解：令u ?
x2 ?
y2,v ?
y x
则z ? ue?arctanv ? f (u,v)
?z ?f ?u ?f ?v ? ?? ?
?x ?u ?x ?v ?x
?z ? ?f ?u ? ?f
?y ?u ?y ?y
1. 这里x, y具有双重身份：既作为自变 量，也作为中间变量。
2. ? z 与 ? f 的差别在于 :
?x ?x
前一个把x看作自变量，
后一个把x看作中间变量。
14 14
例 设z=xy+et, x=sint , y=cost . 求dz
dt
解 dz ? ? f dx ? ? f dy ? ? f
x uy
x
z ? f (? ( x , y), x , y)
? z(x, y)
y
?z ? ?f ?u ? ?f ?x ?u ?x ?x
?z ? ?f ?u ? ?f ?y ?u ?y ?y
对于本形式，要注意以下几点： 13 13
z=f
注意
?z ?f ?u ?f
u
x y
?
?
?x ?u ?x ?x
x y
:
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?x ?u ?x ?v ?x
? vuv?1 ?2 x ? uv ln u ?y
?
(x2
?
y2
)
xy
? ? ?
2 x2
x2 ?
y y2
?
y ln(x2
?
y2
)
? ?
?
?z ? ?f ??u ? ?f ??v
?y ?u ?y ?v ?y
? vuv?1 ?2 y ? uv ln u ?x
本章重点 : 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.
本章难点 : 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.
2 2
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
? 目的要求 掌握复合函数求偏导法 则，隐函数求偏导法则。
? 重点 复合函数求偏导法则 ? 难点 复合函数求偏导法则
3 3