多元函数及隐函数求导讲解

?
?
e ? arctan v
y
? arctan
e
x
y
?2x
?
ue?
arctan
v
?(?
1 1? v2
)
?[2 x
?
(x2
?
y2 ) ?x 2
y ?
y2]
(?
y )
x2
? arctan
?e
x (2x ? y)
8
8
来自百度文库
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
x，求 dz.
令u ? x2 ? y2,v ? y 则 z ? ue? arctanv ? f (u,v) x
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?y ?u ?y ?v ?y
? e? arctan v ?2y ? ue ?aarctan v ?(? 1 ) ?1 1? v2 x
?
? arctan
e
y x
?[2y ?
(x2
?
y
2
)? x
2
x ?
y2]
? arctan y
?e
x ?(2 y ? x )
9 9
:
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?x ?u ?x ?v ?x
? vuv?1 ?2 x ? uv ln u ?y
?
(x2
?
y2
)
xy
? ? ?
2 x2
x2 ?
y y2
?
y ln(x2
?
y2
)
? ?
?
?z ? ?f ??u ? ?f ??v
?y ?u ?y ?v ?y
? vuv?1 ?2 y ? uv ln u ?x
? eu sin v ?x ? e u cos v ?1
? xe xy sin( x ? y) ? e xy cos(x ? y)
6 6
例求z ? ( x 2 ? y2 )xy的偏微导商数。 幂指函数
解来则法式链用须必题此 注
解 令u ? x 2 ? y2 , v ? xy , ? z ? u v ,
第七章 多元微分学
空间曲面与曲线
多元函数的基本概念 偏微商与全微分
多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题
1 1
教学目的 :
理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域 了解二元函数的极限与连续概念 理解二元函数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解全微分概念，会求二元函数全微分 掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会解一些经济问题中的最优化问题
本章重点 : 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.
本章难点 : 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.
2 2
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
? 目的要求 掌握复合函数求偏导法 则，隐函数求偏导法则。
? 重点 复合函数求偏导法则 ? 难点 复合函数求偏导法则
3 3
x uy
x
z ? f (? ( x , y), x , y)
? z(x, y)
y
?z ? ?f ?u ? ?f ?x ?u ?x ?x
?z ? ?f ?u ? ?f ?y ?u ?y ?y
对于本形式，要注意以下几点： 13 13
z=f
注意
?z ?f ?u ?f
u
x y
?
?
?x ?u ?x ?x
x y
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
x，求 dz.
?z ?x
?
?f ??u ?u ?x
?
?f ??v ?v ?x
? arctan y
?e
x (2x ? y)
?z ? ?y
?f ?? u ? ?u ?y
?f ?v
??v ?y
?
? arctan
e
y
x ?(2 y ?
x)
dz ? ? z dx ? ? z dy
?x
?y
考研 题目
y
? arctan
?e
x [(2x ? y)dx ? (2 y ? x )dy]
10 10
几种常见的形式
（1）若z= f(u,v ), u=u (x), v= v (x)
只有一个自变量
u
z= f
x
v
则 z ? f [u(x),v(x)]? z(x)
这时 dz ? ? f du ? ? f dv dx ? u dx ? v dx
?
(x2
?
y2 )xy
? ? ?
2xy2 x2 ? y2
?
x ln(x 2 ?
y2
)
? ?
?
7
7
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
练习
x，求 dz.
解：令u ?
x2 ?
y2,v ?
y x
则z ? ue?arctanv ? f (u,v)
?z ?f ?u ?f ?v ? ?? ?
?x ?u ?x ?v ?x
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
一、复合函数求导法则
定理 (1) u=? (x,y ),v=ψ (x,y )的偏导数在点 (x，y)
处连续 ; (2) 函数z= f(u,v )的偏导数在 (x,y )的对应点 (u,v )
处连续 .
则复合函数 z= f[? (x,y ), ψ(x,y )]
在(x,y )处存在连续的偏导数，且
解 令u ? xy, v ? x ? y, 则z ? eu sin v,
:
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?x ?u ?x ?v ?x
? eu sin v ?y ? eu cos v ?1
? yexy sin(x ? y) ? e xy cos(x ? y)
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?y ?u ?y ?v ?y
dt ? x dt ? y dt ? t
4 4
复合函数 求导法则
z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)
?z ? ?f ?u ? ?f ?v ?x ?u ?x ?v ?x ?z ? ?f ?u ? ?f ?v ?y ?u ?y ?v ?y
链式法则
x
u
y
z=f
v
x
y
5 5
解来则法式链用不可题此 注
例 求 z ? e xy sin( x ? y )的偏微导商数。
?z ? ?f ?u ? ?f
?y ?u ?y ?y
1. 这里x, y具有双重身份：既作为自变 量，也作为中间变量。
2. ? z 与 ? f 的差别在于 :
?x ?x
前一个把x看作自变量，
后一个把x看作中间变量。
14 14
例 设z=xy+et, x=sint , y=cost . 求dz
dt
解 dz ? ? f dx ? ? f dy ? ? f
11 11
(2)若z= f(u), u=u(x,y ), u是一个中间变量
z ? f [u(x, y)]? z?x, y?
x
z=f
u
y
? z ? df ? u ? x du ? x
? z ? df ? u ? y du ? y
12 12
(3)若z=f (u,x,y ), u=? (x,y)
z=f