平面上两点间的距离116065

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计算坐标距离公式怎么算的

计算坐标距离公式怎么算的在计算机科学和数学中，我们经常需要计算两个坐标之间的距离。

这可以用于各种应用程序，比如地理信息系统、机器人导航等等。

本文将介绍一种常用的计算坐标距离的方法，即欧几里得距离公式。

欧几里得距离公式欧几里得距离公式，也被称为直线距离公式或欧式距离公式，用于计算两个点在平面上的距离。

它的计算公式如下：distance = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 是两个坐标点的位置。

^2 表示平方。

示例让我们通过一个简单的示例来演示如何使用欧几里得距离公式。

假设我们有两个点 A(2, 3) 和 B(5, 7)，我们想要计算它们之间的距离。

根据公式，我们可以将它们的坐标代入计算：distance = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点 A 和点 B 之间的距离为 5。

三维坐标距离除了二维坐标，我们还可以使用欧几里得距离公式来计算三维坐标之间的距离。

三维欧几里得距离的计算公式与二维类似，只是多了一个维度。

假设我们有两个点 C(1, 2, 3) 和 D(4, 5, 6)，我们可以按照以下公式计算它们之间的距离：distance = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)将坐标代入计算：distance = √((4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2)= √(3^2 + 3^2 + 3^2)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3所以，点 C 和点 D 之间的距离为3√3。

应用计算坐标距离的公式在许多领域得到广泛应用。

以下是一些实际应用示例：•地理信息系统（GIS）：计算地图上两个地点之间的距离。

•机器人导航：帮助机器人在空间中进行定位和导航。

•游戏开发：确定游戏中不同物体之间的距离，以便进行碰撞检测等操作。

微课课件—两个平面间的距离

D1 A1 B1 C1
D
C
A
B
z 解：如图所示建立空间直角坐标系： ∴ D(0,0,0), A1 (a,0,a), B(a, a, 0), A1 D1(0,0,a). 于是有： D1 B1 C1
DA1 = (a,0,a), BA1 = (0,－a, a),
令平面A1BD的法向量为 n =(1, y , z)
A

A

（二）点到平面的距离问题
如图，设P是平面α 外一点，点P 到α 的距离为d,作PO⊥α 于O,A 是α 内任一点,n是平面α 的法向 A 量，则
Pபைடு நூலகம்d O
n
PA n ( PO OA) n PO n, | PA n || PO n || PO || n | | PA n | | PA n | PO ，即d n n
N
D1
F M
C1 B1
E
间的距离.
A 1
D
C
B
A
微课小结：
1. 知识与技能：（1）两个平行平面距离的概念；
（2）计算两个平面间的距离的方法—向量法.
2.方法与技巧: 即是把两个平行平面的距离转化为
转化与化归思想
点到平面的距离
D A x B C
y
DA1= a+ az=0 n· BA1=－a y+az=0 n·
即{
z=－ 1 y= － 1
∴ n =(1, －1 , －1)， D1A1 =(a, 0 , 0) | D1A1 · n| a 3
d=
|n|

3

平面坐标系中两点间距离公式

平面坐标系中两点间距离公式嘿，伙计们！今天咱们来聊聊一个非常实用的话题——平面坐标系中两点间距离公式。

这可是一个在我们日常生活中经常用到的知识点哦！别看它看起来有点儿复杂，但只要咱们用心去学，一定能掌握它的精髓。

那就开始吧！咱们要明白什么是平面坐标系。

简单来说，就是一个用来表示点在空间中位置的工具。

在这个工具里，有两条轴线，分别是水平轴和垂直轴。

而咱们要研究的问题，就是如何在这两条轴上找到两个点之间的距离。

好了，既然知道了这个问题的基本概念，接下来就要进入正题了。

咱们来看看第一个关键点：起点。

在一个平面坐标系中，每个点都有一个明确的坐标值，比如说(x1, y1)。

这个坐标值告诉我们这个点在水平轴上的位置是x1,在垂直轴上的位置是y1。

所以，起点就是这个点的坐标值。

接下来，咱们再来说说第二个关键点：终点。

同样地，在一个平面坐标系中，每个点都有一个明确的坐标值。

这次，我们要找的是另一个点的坐标值，也就是(x2, y2)。

这个坐标值告诉我们这个点在水平轴上的位置是x2,在垂直轴上的位置是y2。

所以，终点就是这个点的坐标值。

现在，咱们已经知道了起点和终点的坐标值，接下来就要计算它们之间的距离了。

这时候，咱们就要用到那个神奇的公式了——两点间距离公式。

这个公式告诉我们，两个点之间的距离等于它们在水平轴上的距离加上它们在垂直轴上的距离。

用数学公式表示就是：距离 = sqrt((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2)这个公式看起来有点儿复杂，但是只要咱们理解了它的含义，就能够轻松地计算出任意两个点之间的距离了。

这个公式还有一个更简单的版本，叫做勾股定理。

勾股定理告诉我们，直角三角形的斜边长度等于两个直角边的平方和的平方根。

用数学公式表示就是：距离 = sqrt((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2) = sqrt((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2)这个公式也很好记，只需要记住一句话就行了：“直角三角形的斜边长度等于两个直角边的平方和的平方根”。

数学苏教版必修2 第2章2.1.5 平面上两点间的距离课件(33张)

有 xy00＋－20×3＝－1 3×x20－y0－2 2＋3＝0
，解得x0＝－3 y0＝－1
.
故所求直线过点(－52，－92)与(－3，－1)，所以所求直线方程为 y＋92＝－7(x＋52)，即 7x＋y＋22＝0. 法二：设 P(x，y)为所求直线上不同于与直线 l 的交点的任一点，点 P 关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 P′(x′，y′)．根据 PP′⊥l 且线段 PP′的中点在直线 l 上．
第2章平面解析几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:50:09 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
方法归纳
本题属于轴对称问题，解决本题有两种方法，一是转化为点的
对称，二是利用轴对称的条件，即应用中点公式与直线垂直的
条件，代入可得．
(1)点关于直线对称的点的求法
点 N(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
可由方程组
xy－－xy00·－AB＝－1AB≠0 A·x＋2x0＋B·y＋2 y0＋C＝0xy′′ຫໍສະໝຸດ －yx×3＝－1可得，

求平面上两点的距离

求平面上两点的距离平面上两点的距离是数学中一个基本的概念，也是计算几何中一个重要的问题。

在平面上，任意两个点之间的距离可以使用距离公式来计算。

本文将详细介绍平面上两点的距离的计算方法及其应用。

平面上任意两点的距离可以用直线距离来表示。

假设平面上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，即斜边平方等于两直角边平方和，我们有以下公式：d = √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2其中，d表示两点之间的距离。

在计算平面上两点的距离时，我们需要知道两点的坐标。

通过这个公式，我们可以得到两点之间的直线距离。

除了使用勾股定理，我们还可以使用其他方法来计算两点之间的距离。

例如，我们可以将平面上的两点A和B连接起来，将得到的线段分割成若干小段，然后使用勾股定理计算每个小段的长度之和。

这种方法被称为分段近似，可以更精确地计算两点之间的距离。

当我们需要计算非常长的直线距离时，分段近似可以提供更准确的结果。

在实际应用中，计算平面上两点之间的距离具有广泛的用途。

例如，在地理信息系统中，我们可以使用距离计算来测量两个地点之间的实际距离。

这对于规划路线、测量土地面积和监测地理数据非常重要。

在建筑设计中，计算两点之间的距离可以帮助我们确定建筑物的尺寸和形状，确保在有限的土地上合理安排空间。

在计算机图形学中，我们可以使用距离计算来确定图形的位置和大小，从而实现图像的渲染和变换。

另外，我们还可以通过两点间的距离来解决几何中的一些问题。

例如，在平面上给定三个点A、B和C，如果我们知道点A到点C的距离和点B到点C的距离，我们可以使用这些信息来确定点C的位置。

同样地，如果我们知道一个点和几个已知点的距离，我们可以使用这些距离关系来确定这个点的位置。

这在地理定位、航行和三角测量中都有应用。

最后，在现实生活中，计算平面上两点之间的距离还可以根据需要扩展到三维空间。

我们可以将上述公式和方法应用于空间中的点之间的距离计算。

数学第2章2.1.5平面上两点间的距离课件(苏教版必修2)

【名师点评】 (1)判断三角形来自形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑：一是考虑角的特征，如本例的法二，主要考查是否为直角或等角，在解析几何中一般借助于斜率；二是要考虑三角形边的长度特征，要用到勾股定理，如本例的法一．
（0－2）2＋（y－ 7）2 ＝
y2－2 7y＋11，
由于 PA＝PB，
∴y2－4y＋5＝y2－2 7y＋11，
∴y＝2＋ 7. 故存在点 P，其坐标为(0，2＋ 7)，使得 PA＝ PB.
此时 PA＝2 2.
中点坐标公式的应用
已知△例AB2C三边AB，BC，CA的中点分别是P(3，－2)，Q(1，6)，R(－4，2)，求点A的坐标．
做一做 3.已知两点A(－1，0)，B(2，3)则AB等于 ________．
答案：3 2
4.已知两点A(0，10)，B(a，－5)之间的距离为 25，则a的值为________．答案：±20
5.已知两点A(3，5)，B(5，1)，则线段AB的中点坐标为________．答案：(4，3) 6.点P(2，－3)关于点M(4，1)的对称点的坐标是________．
线段 P1P2 的中点为：_(_x_1＋_2_x_2_，__y_1＋_2_y_2_)．
想一想 1.两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式是否可以写成 P1P2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 的形式？
提示：可以．原因是（x2－x1）2＋（y2－y1）2
＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2，也就是说公式中 P1，P2 两点的位置没有先后之分．
新知初探思维启动
1.平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 P1P2 ＝___（__x_2－__x_1_）__2_＋__（__y_2－___y1_）__2，特别地，O(0， 0)与 P(x，y)的距离 OP＝___x_2_＋__y_2__．

平面点到点的距离公式

平面点到点的距离公式
平面上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以使用以下公式来计算：
d = √((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2)。

其中，d表示点A和点B之间的距离。

这个公式也被称为欧几里得距离公式，它描述了两点之间的直线距离。

现在，我们来探讨一下这个公式在实际生活中的应用。

在日常生活中，我们经常会遇到需要计算两点之间距离的情况。

比如，当我们开车或步行到一个目的地时，我们可能需要计算起点和终点之间的距离，以便选择最佳的路线。

这个距离公式也在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

在数学上，这个公式可以用于计算两个点之间的距离，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。

在物理学中，这个公式可以用于描述物体之间的距离和位置关系。

在工程学领域，这个公式可以用于设计和建造各种工程结构，如桥梁、建筑物等。

总之，平面点到点的距离公式是一个非常有用的工具，它在各个领域都有着重要的应用。

通过理解和运用这个公式，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，从而提高我们的生活质量和工作效率。

两点间的距离

两点间的距离在几何学中，计算两点间的距离是一个常见的问题。

无论是在平面上还是在三维空间中，计算两点之间的距离都是基础的几何概念之一。

在本文中，我将介绍一些常见的计算两点间距离的方法。

1. 平面上两点的距离假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，要计算这两点之间的距离，我们可以使用勾股定理。

根据勾股定理，两点之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)举例来说，假设A(2, 3)和B(5, 7)是平面上的两个点。

根据上述公式，我们可以计算出它们之间的距离为：d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

2. 三维空间中两点的距离如果我们将问题扩展到三维空间中，计算两点之间的距离的方法也有所不同。

假设空间中有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以使用三维直角坐标系中的公式来计算它们之间的距离。

根据三维空间中两点之间的距离公式，我们可以得到以下计算公式：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)例如，我们有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)。

通过代入上述公式，我们可以计算出它们之间的距离为：d = √((4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2)= √(3^2 + 3^2 + 3^2)= √(9 + 9 + 9)= √27≈ 5.196因此，点A和点B之间的距离约为5.196个单位。

3. 特殊情况下的距离计算除了平面和三维空间外，还存在其他特殊情况下的距离计算。

例如，在球面上计算两点之间的距离需要采用球面三角学的方法。

在球面上，我们使用球面三角学中的定律来计算两点之间的距离。

其中一个著名的定律是球面余弦定律，它可以用以下公式表示：cos(d) = sin(θ1)sin(θ2) + cos(θ1)cos(θ2)cos(Δλ)其中，d表示两点之间的距离，θ1和θ2表示两点的纬度，Δλ表示两点经度的差值。

平面两点之间距离公式

平面两点之间距离公式在我们的数学世界里，平面两点之间距离公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多几何谜题呢！咱先来说说这平面两点之间距离公式到底是啥。

假设平面上有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) ，那它们之间的距离 d 就可以通过这个公式算出来：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] 。

这公式看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，其实也不难理解。

就说我之前有一次去逛街，走进了一家商场。

那商场的布局就像是一个大平面，我从入口处的一个位置，比如说是点 A，想要走到卖我喜欢的那件衣服的店铺，那个位置就是点 B 。

我当时就在想，这两点之间的距离到底有多远呢？要是能一下子算出来，我就能知道大概要走多久，心里有个底。

咱再回到这公式上来。

你看，(x2 - x1)²这部分算的是横坐标的差距的平方，(y2 - y1)²算的是纵坐标的差距的平方，然后把它们加起来再开方，就得到了两点之间的直线距离。

这就好比我们在地图上找两个地点，通过它们的坐标就能算出实际的距离。

在学习这个公式的时候，很多同学一开始可能会觉得头疼，觉得不好记。

但其实，只要多做几道题，多画几个图，就能慢慢找到感觉。

比如说，老师在课堂上出了一道题：已知点 P(3, 4) 和点 Q(6, 8) ，求它们之间的距离。

那咱们就把数字带进公式里，x1 = 3 ，y1 = 4 ，x2 = 6 ，y2 = 8 ，先算 (6 - 3)² = 9 ，(8 - 4)² = 16 ，加起来是 25 ，再开方就是 5 ，所以 P 和 Q 之间的距离就是 5 。

是不是也没那么难？还有一次，我和朋友约着在一个公园见面。

他给我发了他所在位置的坐标，我看了看自己所在的位置，马上就用这个公式估算出我们之间大概的距离，心里有了数，走过去的时候也不着急。

这个平面两点之间距离公式在生活中的用处可多了去了。

高中数学人教新课标版必修2《两点间的距离》教学课件1

所以，所求点为P(1，0)，且 |PA|= (1+1)2+(0-2)2 =2 2．
证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明：以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴建立直角坐标系，则有 A(0，0)．设B(a，0)， D(b，c)，
y
D(b,c)
C(a+b,c)
A(0,0)
D(b,c)
C(a+b,c)
A(0,0)
B(a,0) x
由平行四边形的性质得到C点的坐标为:(a+b，c）
证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。证明：因为：
第二步：进行相关的代数运算。
y
|AB|2=a2，|CD|2=a2， |AD|2=b2+c2, |BC|2=b2+c2, |AC|2=(a+b)2+c2,
B(a,0) x
由平行四边形的性质得到C点的坐标为:(a+b，c）
证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明：因为： |AB|2=a2， |CD|2=a2，
|AD|2=b2+c2, |BC|2=b2+c2, |AC|2=(a+b)2+c2, |BD|2=(b-a)2+c2
y
D(b,c)
y
D(b,c)
C(a+b,c)
A(0,0)
B(a,0) x
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系。
求下列两点间的距离． (1)A(6，0)，B(-2，0)；(2)C(0，-4)，B(0，-1)； (3)P(6，0)，B(0，-2)；(4)M(2，1)，B(5，-1)；解： (1)|AB|= (-2-6)2 = 8 (2)|CD|= [-1+(-4)]2 = 3 (3) |PQ|= (0+6)2+(-2-0)2 = 2 10 (4) |MN|= (5-2)2+(-1-1)2 = 13

高中数学第二章2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离学业分层测评苏教版必修76

2.1.5-2.1.6 点到直线的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．△ABC 三个顶点的坐标A (－3,2)，B (3,2)，C (4,0)，则AB 边的中线CD 的长为________．【解析】 AB 的中点坐标为D (0,2)，∴CD ＝42＋22＝2 5. 【答案】 2 52．已知点A (－1,4)，B (2,5)，点C 在x 轴上，且|AC |＝|BC |，则点C 的坐标为________．【解析】设C (x,0)，则由|AC |＝|BC |，得x ＋2＋42＝x －2＋52，解得x＝2，所以C (2,0)．【答案】 (2,0)3．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________．【解析】两直线方程为x ＝－2，x ＝3，d ＝|3－(－2)|＝5.【答案】 54．过点P (2,3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．【解析】此直线为过P (2,3)且与OP 垂直的直线，k OP ＝32，故直线方程为y －3＝－23(x－2)，即2x ＋3y －13＝0.【答案】 2x ＋3y －13＝05．与直线2x ＋y ＋2＝0平行且距离为5的直线方程为______________．【解析】设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0. 由两平行线间的距离公式得|m －2|22＋12＝5，∴|m －2|＝5，即m ＝7或m ＝－3.即所求直线方程为2x ＋y ＋7＝0或2x ＋y －3＝0. 【答案】 2x ＋y ＋7＝0或2x ＋y －3＝06．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B (－2,4)重合，若点C (5,8)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值为________．【解析】点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ，∴n －8m －5＝0－42－－＝－1，整理得m ＋n ＝13.【答案】 137．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使PA ＋PB 取最小值，则P 点坐标是________.【导学号：41292093】【解析】 ∵点A (3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，得点P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫135，－135. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－1358．已知两点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则使PM 2＋PN 2取最小值时点P 的坐标为________．【解析】因为P 为直线2x －y －1＝0上的点，所以可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得PM 2＋PN 2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m 2－8m ＋4，m ∈R .令f (m )＝10m 2－8m ＋4＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫m －252＋125≥125，所以m ＝25时，PM 2＋PN 2最小，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15二、解答题9．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条平行直线的方程．【解】 (1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB＝＋2＋＋2＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0,310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1k AB ＝－12－－6－－3＝－3，故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.10．直线l 过点P (1,0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程.【导学号：41292094】【解】若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)．∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x ＋y －6＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3.∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2k ＋2.由|AB |＝9，得1＋k2k ＋2＝1，∴k ＝－43.∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0.综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.[能力提升]1．已知平行四边形两条对角线的交点为(1,1)，一条边所在直线的方程为3x －4y ＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________.【导学号：41292095】【解析】设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意可得 |－1＋m |32＋－2＝|3－4－12|32＋－2，解得m ＝14或m ＝－12(舍)，所以所求的直线方程为3x －4y ＋14＝0. 【答案】 3x －4y ＋14＝02．一直线过点P (2,0)，且点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，433到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．【解析】当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －433－2k k 2＋1＝4，解得k ＝33. ∴直线的倾斜角为30°. 【答案】 90°或30°3．一束光线自点A (－2,1)入射到x 轴上，经反射后，反射光线与直线y ＝x 平行，则入射光线与x 轴的交点是__________．【解析】如图，因为A (－2,1)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－1)，又反射光线与直线y ＝x 平行，所以反射光线的斜率k ＝1，则反射光线的方程为y ＋1＝1·(x ＋2)，即y ＝x ＋1. 令y ＝0，得x ＝－1，所以入射光线与x 轴的交点是(－1,0)．【答案】 (－1,0)4．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．【解】由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)则PQ＝a＋2＋b＋2，于是问题转化为PQ的最大、最小值．如图所示，当P与A或B重合时，PQ取得最大值：－2－2＋－2－2＝13.当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.则Q点到直线AB的距离d＝|－2＋－－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.。

215平面上两点间的距离

∵AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC 为直角三角形．
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2.1.5
探究点二中点坐标公式
问题 1 已知 A(－1,3)，C(6，－1)，怎样求 AC 的中点呢？
答如下图，设线段 AC 的中点 M 的坐标为(x，y)，
本
课
时
栏
目
开关
过点 A，M，C 向 x 轴作垂线，垂足分别为 A1，M1，C1，
栏目开关
kMP2
＝yx22－－yx11＋＋22 yx22＝yx22－－yx11，
因此
k k ＝
MP1
MP2
，所以三点
P1，M，P2
在同一直线上．
再证 MP1＝MP2.
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2.1.5
因为 MP1＝
x1－x1＋2 x22＋y1－y1＋2 y22
＝
x1－2 x22＋y1－2 y22，
本课时栏目开关
则点 P 的坐标是(－1，－2)，且 PA＝|3－(－2)|＝5，PB＝|3－(－1)|＝4，所以在 Rt△APB 中，AB＝ PA2＋PB2＝ 52＋42＝ 41.
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2.1.5
问题 3 依据问题 2 中求 A(－1,3)，B(3，－2)间的距离的方
y0＝
2
.
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2.1.5
[问题情境]
本我们已经知道数轴上的两点 A、B 的距离，那么如果已知
课时
平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求 P1，P2 的距离
栏目
P1P2 呢？本节我们就来研究这个问题．

苏教版选择性必修第一册151平面上两点间的距离课件_2

x+y=0 的交点就是所求的点 P,直线 CB 的方程为
1
13
- ,
4
4 解得
=
由
+ = 0,
13
13
x= 5 ,y=- 5 ,所以点
13 13
坐标为( 5 ,- 5 ),所以
PA+PB 取得最小值为
CB= (5-1)2 + (-2 + 3)2 = √17,
所以 PA+PB 取得最小值为√17.
D.(6,4)
解析设 B(x,y),根据题意可得 · = -1,
= ,
即
3-4 -3
·
3-0 -3
= -1,
(-3)2 + (-3)2 =
(0-3)2 + (4-3)2 ,
= 2,,6).

=
6,
=0
故选 AC.
P的
-2+3
y+3= 5-1 (x-1),即
1 13
y=4x- 4 ,
答案 (1)证明直线方程化为 m(x-2y-3)+2x+y+12=0,
=
-2-3 = 0,
故由
得
2 + + 12 = 0,
=
21
- ,
5
18
- ,
5
∴不论 m 怎样变化,直线恒过定点
(2)解原点(0,0)到直线 l
【例2】在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AB2+AC2=2(AD2+DC2).
证明设BC边所在直线为x轴,以D为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,
设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0).

2019-2020年苏教版数学必修二讲义：第2章+2.1+2.1.5 平面上两点间的距离+2.1.6

2.1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离1．两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|.2．中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y1＋y 22.3．点到直线的距离 (1)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d(3)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离．(4)两平行线间的距离公式若两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)，则l 1，l 2间的距离d1.思考辨析(1)点(m ，n )到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12. ( ) (2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离． ( ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．( )(4)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式P 1P 2＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－1，0)，B (2，1)，C (0，3)，则边AB 的长为________，AB 边的中线CM 的长为________．10262 [由中点坐标公式得，M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，由两点间的距离公式得 AB ＝（－1－2）2＋（0－1）2＝10， CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＝262.] 3．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________． 5 [d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2＝|－5|5＝ 5.]4．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________． 1 [d ＝|－7－（－12）|32＋42＝1.]程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．思路探究：利用直线AB ，AD 的方程求交点A .利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C .然后利用两点间距离公式求AC .[解] 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23.∴k AB ＝－1k EC ＝32.∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1，1)． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42.而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝2，∴C (5，2)．即|AC |＝（5－1）2＋（2－1）2＝17.两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少，常与其他知识综合考查．1．在x －y ＋4＝0上求一点P ，使点P 到点M (－2，－4)，N (4，6)的距离相等．[解] 由直线x －y ＋4＝0可得y ＝x ＋4，因为点P 在此直线上，所以可设点P 的坐标为(a ，a ＋4)，已知|PM |＝|PN |，由两点间距离公式可得[a －（－2）]2＋[a ＋4－（－4）]2 ＝（a －4）2＋（a ＋4－6）2，解得a ＝－32，从而a ＋4＝52，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a ＝________．思路探究：(1)由点到直线的距离公式得出k 的方程，解方程即得k 值． (2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a ，c 的值． (1)－3或173 (2)±1 [(1)由4＝|5×2－12k ＋6|52＋122，解得k ＝－3或k ＝173.(2)由于两直线平行，所以63＝a －2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，又21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c232＋（－2）2，故c＝－6或c＝2.从而c＋2a＝1或－1.]1.利用点到直线的距离公式要注意：(1)要将直线方程化为一般式；(2)当直线方程中含有参数时，斜率不存在的情况要单独考虑．2.对于平行线间的距离问题一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．2．(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程；(2)已知直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)，B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．[解](1)∵与l平行的直线方程为5x－12y＋c＝0，根据两平行直线间的距离公式得|c－6|52＋（－12）2＝3，解得c＝45或c＝－33.所以所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.(2)由已知条件可知直线l 的斜率一定存在，又直线l 经过点P (2，－5)， ∴设直线l ：y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0，∴A 点到直线l 的距离d 1＝|k ·3＋2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，B 点到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|－3k －11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||－3k －11|＝12，即k 2＋18k ＋17＝0，解得k ＝－1或k ＝－17.∴直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.1．若点P (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P ′，那么P ′的坐标如何求解？[提示] 设出P ′的坐标，利用线段PP ′的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，和k PP ′＝BA ，列方程组求解．2．已知直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2，如何由l 1，l 的方程求出l 2的方程？ [提示] 法一：先由l 1，l 的方程求出交点，交点在l 2上，再在l 1上任取一点，求该点关于l 的对称点，对称点在l 2上，由两点式即可求出l 2的方程．法二：设l 2上任意一点坐标为(x ，y )，它关于l 的对称点(x ′，y ′)在l 1上，利用对称性质求出⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝f （x ，y ），y ′＝g （x ，y ）代入l 1的方程即得l 2的方程．【例3】已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1，1)对称的直线方程．思路探究：点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －2＝0，得l 与l 1的交点A (2，0)，在l 1上任取一点B (0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＋2x 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 02＋2×y 0－22－2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，x 0＋2y 0－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝125，y 0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l 2的斜率为k AB ′＝145125－2＝7.∴l 2的方程为：y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0.法二：直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎨⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85，把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)法一：取l ：x ＋2y －2＝0上一点M (2，0)，则M 关于点A (1，1)的对称点M ′的坐标为(0，2)，且M ′在l 关于A (1，1)对称的直线上，又所求直线与l 平行，∴设所求直线为x ＋2y ＋C ＝0. 又过点M ′(0，2)， ∴C ＝－4，∴所求直线方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线l 关于点A (1，1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎨⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程x ＋2y －2＝0，得x ＋2y －4＝0， ∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过两个条件列方程组求解．3．已知直线l ：3x －y －1＝0及点A (4，1)，B (0，4)，C (2，0)． (1)试在l 上求一点P ，使AP ＋CP 最小； (2)试在l 上求一点Q ，使|AQ －BQ |最大．[解] (1)如图①，设点C 关于l 的对称点为C ′(a ，b )，则b －0a －2＝－13，且3·a ＋22－b ＋02－1＝0，解得C ′(－1，1)，所以直线AC ′的方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，3x －y －1＝0，得l 与直线AC ′的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，此时AP ＋CP 取最小值为5.① ②(2)如图②，设点B 关于l 的对称点为B ′(m ，n )，则n －4m －0＝－13，且3·m ＋02－n ＋42－1＝0，解得B ′(3，3)．所以直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得AB ′与l 的交点为Q (2，5)，此时|AQ －BQ |取最大值为 5.1．本节课的重点是掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)点到直线的距离的求解方法． (2)求两平行直线间的距离有两种思路． (3)待定系数法求解有关距离问题的方法．3．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．1．已知△ABC 的三个顶点为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形D [由两点间距离公式得AB ＝52，BC ＝104，AC ＝52，易知AB ＝AC 且AB 2＋AC 2＝BC 2，所以△ABC 是等腰直角三角形．]2．夹在两条平行线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积为________．4π [因两条平行线间的距离为d ＝|0－20|5＝4，则圆的最大面积为π·22＝4π.]3．在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有________条．2 [由题可知，所求直线显然不与y 轴平行，∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝53，k ＝－43. ∴所求直线有2条．]4．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．[解] 设点A 的坐标为(t ，2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0，解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2，即x－2y－8＝0.。