基本不等式练习题(带答案)
最新基本不等式练习题及答案
双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．考向一 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . ．【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测D ．(2，＋∞) 答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号． (2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·xy ＝18，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18. 答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋cab ≥2bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【训练3】 解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)．(2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2ab ≥3＋2 b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2ab，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
人教A版必修一基本不等式同步练习题(含答案及解析)
人教A 版必修一基本不等式同步练习题一 选择题1.已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合M ＝，N ＝，P ＝，则M ，N ，P 满足（ ）A ．P ＝M ∩（∁R N ）B ．P ＝（∁R M ）∩NC ．P ＝M ∪ND ．P ＝M ∩N2.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ） A ．＜＜B ．＜＜ C ．＜＜D ．＜＜3.若x ＞0，y ＞0，且x+y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是（ ） A ．当且仅当x ＝y 时S 有最小值2B ．当且仅当x ＝y 时P 有最大值C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值2D ．若S 为定值，当且仅当x ＝y 时P 有最大值4.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z ＝0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．35.已知m ，n ∈R ，m 2+n 2＝100，则mn 的最大值是（ ）A ．100B ．50C ．20D ．10 6.下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以22a =•≥+a b b a a b bB ．因为x ∈R ，所以1112 +xC ．a ＜0，所以4424=•≥+a aa a D ．因为x 、y ∈R ，xy ＜0，所以2)()(2)()(x -=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x yy x x y yx x x y 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10 8.若实数x ，y 满足2x+y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．C ．D ．9.若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值B ．+有最小值C ．+有最小值4D ．a 2+b 2有最小值10已知0＜x ＜4，则的最小值为（ ）A ．2 B ．3C ．4D ．8二 填空题11.函数f （x ）＝a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 ．12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．13.已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里＝300步）里．15.已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．16.已知x、y都为正数，且x+y＝4，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是．17.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于．18.一批物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要h．19.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．20.若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是．三解答题21.已知a，b，c均为正实数，求证：若a+b+c＝3，则．22.已知a，b，c∈R，满足a＞b＞c．（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意a＞b＞c恒成立，试写出一个p，并证明之．23.已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？24.已知，求函数的最大值．25.函数的最小值为多少？26.求下列函数的最值．（1）求函数的最小值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．27.若x，y为正实数，且2x+8y﹣xy＝0，求x+y的最小值．28.若﹣4＜x＜1，求的最大值．29.若x＞0，求函数y＝x+的最小值，并求此时x的值．30.设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．31.已知x＞2，求x+的最小值．32.x＞0，y＞0且＝1，求x+y的最小值．33.已知x∈（0，+∞），求的最大值．34.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？35.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润＝销售额﹣成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．38.已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．39.已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．40.已知a，b∈R，求证：ab≤（）2．41.（1）已知x＞1，求x+的最小值；（2）求的最大值．42.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？43.如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．人教A版必修一基本不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:利用不等式的性质，判断得到，集合集合的交集、并集、补集的定义依次判断四个选项即可．解：因为a＞b＞0，所以，对于A，因为N＝，则，因为集合M＝，所以M∩（∁RN）＝＝P，故选项A正确；对于B，因为∁R M＝{x|x≤b或}，则（∁RM）∩N＝≠P，故选项B错误；对于C，因为M∪N＝{x|b＜x＜a}≠P，故选项C错误；对于D，M∩N＝≠P，故选项D错误．故选A．2.分析:根据基本不等式的性质，进行判断即可．解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选B．3.分析:利用均值不等式及其变形进行解答．解：∵x，y∈R+，x+y＝S，xy＝P，∴S＝x+y≥2＝2①，当且仅当x＝y时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x＝y时S的值最小，故A、C错误；由①得，P≤＝，当且仅当x＝y时取等号；∴如果S是定值，那么当且仅当x＝y时P的值最大，故D正确，B错误．故选D．4.分析:依题意，当取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）＝+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．5.分析:利用重要不等式的性质即可得出．解：由m2+n2＝100，可得：100≥2mn，解得mn≤50，当且仅当m＝n＝±5时取等号．则mn的最大值是50．故选B．6.分析:利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，因为a、b为正实数，所以，故，当且仅当，即a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，则，故选项B错误；对于C，当a＜0时，，故选项C错误；对于D，因为xy＜0，则，所以，当且仅当，即x＝﹣y时取等号，故选项D正确．故选AD．7.分析:由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题．解：由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，所以m≤（+）（a+4b）恒成立，转化成求y＝（+）（a+4b）的最小值，y＝（+）（a+4b）＝8++≥16，所以m≤16．故选C．8.分析:根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选C．9.分析:由a+b＝1，根据逐一判断即可．解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；+，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选AC．10.分析:可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当，即x＝1时取等号．故选C．11.分析:利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．解：由指数函数的性质可得 A（1，﹣1），点在直线上，则：m+n﹣1＝0，m+n＝1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．12.分析:先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x+,∵5x+≥＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元,故答案为：2，2013.分析:由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（•+•+ ）2＝（1+1+）2＝6+4，当且仅当a＝b＝c，即a2+b2＝c2时，上式取得等号．则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，所以m≤6+4，即m的最大值为6+4，故答案为：6+4．14.分析:由题意知，BE＝4里，AG＝2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF•FG＝10里，再利用均值不等式求出EF+FG的最小值，进而得解．解：由题意知，BE＝1200步＝4里，AG＝750步＝2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以＝，所以EF•FG＝BE•AG＝4×2.5＝10里，所以EF+FG≥2＝2，当且仅当EF＝FG＝时，等号成立，而该小城的周长为4（EF+FG）≥8，所以该小城的周长的最小值为8里．故答案为：8．15.分析:a，b∈R+，且a+b++＝5，利用基本不等式的性质可得：5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解出即可得出．解：∵a，b∈R+，且a+b++＝5，则5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解得1≤t≤4．∴a+b的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．16.分析:利用基本不等式的结论求出，然后将不等式恒成立转化为，即可得到答案．解：因为x、y都为正数，且x+y＝4，所以，当且仅当时取等号，故，因为不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是．故答案为：．17.分析:根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S ＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为：．18.分析:由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，因此，t＝＝+≥2＝10．当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．故答案为：1019.分析:首先右边是xy的形式，左边是2x+y和常数的和的形式，考虑把左边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的不等式，可把xy看成整体换元后，求最小值．解：由条件利用基本不等式可得，令xy＝t2，即 t＝＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．20.分析:利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解：∵x2+y2+xy＝1,∴（x+y）2＝1+xy,∵xy≤,∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤,∴x+y的最大值是,故答案为：21.分析:利用基本不等式可得，同理，，三式相加即可得证．证明：∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a+1＝2，即a＝1时取等号；同理，当且仅当b+1＝2，即b＝1时取等号；，当且仅当c+1＝2，即c＝1时取等号．以上三个不等式相加，可得．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．22.分析:（1）由分析法，只可证明（a﹣c）（）＞0，再由基本不等式证明；（2）只需（a﹣c）（）＞0，左边＝2﹣p+≥4﹣p，即可求得p值．解:（1）证明：由a＞b＞c，得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只要证（a ﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝1+＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立；（2）解：要使，只需（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b ﹣c）]（）＝2﹣p+≥4﹣p＞0，则p＜4，∵p∈N*，∴可取p＝2或3．取p＝2，问题转化为＞0．证明如下：要证＞0，只需证明（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝≥＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立．23.分析:根据基本不等式即可求出．解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）≤×（）2＝，当且仅当3x＝4﹣3x时，即x＝时取等号，故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．24.分析:先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．解：∵∴5﹣4x＞0,∴＝﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3＝1,当且＝1．∴函数的最大值仅当5﹣4x＝，即x＝1时，上式成立，故当x＝1时，ymax为1．25.分析:先利用换元法得到f（t）＝t++2，然后结合基本不等式可求．解：设x﹣1＝t（t＞0），则x＝t+1，∴f（t）＝＝t++2+2，当且仅当t＝时取等号，∴函数的最小值为2+2．26.分析:（1）将所求的式子进行化简变形，转化为乘积为定值的结构，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）将已知的等式变形为，然后利用“1”的代换将所求式子进行变形，再利用基本不等式求解最值即可．解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，所以函数＝＝≥＝，当且仅当，即x＝时取等号，所以函数的最小值为．（2）因为x+3y＝5xy，则，又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）＝≥＝5，当且仅当且，即时取等号，所以3x+4y的最小值为5．27.分析:把已知2x+8y﹣xy＝0，变形为，而x+y＝，展开再利用基本不等式的性质即可．解：由2x+8y﹣xy＝0，及x＞0，y＞0，得．∴x+y＝＝10+2＝18，当且仅当，，即x＝12，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为18．故答案为18．28.分析:化简＝＝﹣[（1﹣x）+]，根据基本不等式即可求出．解：∵﹣4＜x＜1，∴1﹣x＞0,∴＝＝[（x﹣1）+]＝﹣[（1﹣x）+]≤﹣×2＝﹣1，当且仅当1﹣x＝时，即x＝0时取等号，故的最大值为﹣1．29.分析:由于x＞0，利用基本不等式可得y＝x+≥4，满足等号成立的条件，于是问题解决．解：∵x＞0，∴y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”．故y＝x+的最小值为4，当x＝2时，有最小值．30.分析:根据题意，由0＜x＜可得3﹣2x＞0，则可以将4x（3﹣2x）变形为2[2x（3﹣2x）]，再由基本不等式的性质可得2[2x（3﹣2x）]≤2（）2，即可得答案．解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0，则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝，当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立，答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为．31.分析:直接利用基本不等式的应用求出结果．解：由于x＞2，所以x﹣2＞0；故+2+2≥6，当且仅当x＝4时，等号成立．故最小值为6．32.分析:利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，所以x+y＝（x+y）（）＝10++≥10+2＝16,当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号，所以x+y的最小值为16．33.分析:先利用基本不等式求出的最小值，然后将所求函数转化为，即可得到答案．解：因为x∈（0，+∞），所以，当且仅当，即x＝时取等号，则＝，所以的最大值为．34.分析:（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m＝0时，x＝1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴；每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝＝21（万元）．所以，该厂家8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．35.分析:（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，∴y＝，则S＝＝38000+（0）；（2）S＝38000+≥38000+2＝38000+2＝118000（0＜x ＜），当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．故当AD的长为米时，总造价S有最小值118000元．36.分析:（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W（x）关于x的解析式即可．（2）根据（1）求出的利润W（x）的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，①当0＜x＜40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（10x2+100x+1000）﹣250＝﹣10x2+600x﹣1250，②当x≥40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（701x+﹣8450）﹣250＝﹣（x+）+8200，所以W（x）＝．（2）①当0＜x＜40时，W（x）＝﹣10x2+600x﹣1250，此时函数W（x）为开口向下的二次函数，所以当x＝30时，W（x）取得最大值，最大值为W（30）＝7750（万元），②当x≥40时，W（x）＝﹣（x+）+8200，因为x＞0，所以x+＝200，当且仅当x＝即x＝100时，等号成立．即当x＝100时，W（x）取得最大值﹣200+8200＝8000（万元），综上所述，当x＝100时，W（x）的值最大，最大值为8000（万元），故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．37.分析:由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求解：∵1＜2x＜8,∴p：0＜x＜3,∵￢p是￢q的必要条件,∴p是q的充分条件即p⇒q,∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵＝4，当且仅当x＝即x＝2时等号成立.∴m≤438.分析:（1）根据基本不等式的性质即可求解m的最小值；（2）根据a+b≤m恒成立，由（1）可得a+b的最大值为m，取绝对值即可求解；解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥（a+b）2，∴（a+b）2≤16，∴（a+b）≤4，故m≥4；（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4,故只需2|x﹣1|+|x|≥4，即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；x,故得实数x的取值范围是．39.分析:（1）由题意利用基本不等式求得u＝xy的最大值为10．（2）由题意利用基本不等式求得+的最小值为，可得 m2+4m≤，由此求得m的范围．解：（1）∵正实数x，y满足等式2x+5y＝20≥2，∴≤10，∴xy≤10，∴u＝xy的最大值为10．（2）∵＝1，∴+＝+＝1+++≥+2＝，当且仅当＝时，等号成立，故+的最小值为．∵不等式恒成立，∴m2+4m≤，求得﹣≤m≤，即m的范围为[﹣，]．40.分析:利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出．证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号．41.分析:（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）直接利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，因此x+的最小值为3．（2）由x（10﹣x）≥0，解得0≤x≤10．∴≤＝5，当且仅当x＝5时取等号．∴的最大值是5．42.分析:设底面的长为x，宽为y，则y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3600x++5800，再利用基本不等式即可得x＝8时，f（x）的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．解：如图所示，设底面的长为x，宽为，则xy＝48，∴y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3x•1200+3××800×2+5800＝3600x++5800≥+5800＝63400，当且仅当，即x＝8时，等号成立，故当房屋底面的长为8m，宽为6m 时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．（2）43.分析:（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．解：（1）由题意可得：，则，∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x＜）．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知＝，当且仅当时，不等式等号成立，所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．。
不等式选择题练习题及其答案
不等式选择题练习题及其答案篇一：基本不等式练习题及答案解析基本不等式y1．若y＞0，则对＋( ) yA．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设，y满足＋y＝40且，y都是正整数，则y的最大值是( ) A．400B．100C．40D．20答案：A43．已知≥2，则当＝时，＋有最小值．答案：2 4124．已知f()＝＋4.(1)当＞0时，求f()的最小值；(2)当＜0 时，求f()的最大值．12解：(1)∵＞0，∴，4＞0.12∴＋4≥2·4＝83.12当且仅当＝4，即3时取最小值3，∴当＞0时，f()的最小值为83.(2)∵＜0，∴－＞0.1212则－f()＝(－4)≥?－4?＝83，－－12当且仅当＝－4时，即＝－3时取等号．－∴当＜0时，f()的最大值为－8一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )11A．＋B．2－1＋ 2－1－C．2＋2D．(1－)答案：C62．函数y＝32＋的最小值是( ) ＋1A．3－3B．－3 C．62D．2－322解析：选D.y＝3(2＋＝3(2＋1＋－1)≥3(2－1)＝62－3. ＋1＋123．已知m、n∈R，mn＝100，则m＋n2的最小值是( ) A．20B．100C．50D．2022解析：选A.m＋n≥2mn＝20，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：ba①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2；②∵，y∈(0，＋∞)，∴lg＋lgy≥2lg·lgy；abab4③∵a∈R，a≠0a ≥a＝4；aayy④∵，y∈R，，y＜0，∴[(－)＋(－)]≤－?－??－＝－2. yyy其中正确的推导过程为( )A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．ba①∵a，b∈(0，＋∞)，∴，∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程ab正确；②虽然，y∈(0，＋∞)，但当∈(0,1)时，lg是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，4∴＋a≥2·a＝4是错误的；aayy④由y＜0得但在推导过程中将全体(－均变为正数，yyy符合基本不等式的条件，故④正确．115．已知a＞0，b＞0，则＋ab的最小值是( ) abA．2B．22C．4D．5 ?a＝b112解析：选C.∵＋≥＋2≥22×2＝4.当且仅当?时，等号成立，ababab＝1?即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知、y均为正数，y＝8＋2y，则y有( )A．最大值64C．最小值641B．最大值 641D．最小值 64解析：选C.∵、y均为正数，∴y＝8＋2y≥8·2y＝8y，当且仅当8＝2y时等号成立．∴y≥64.二、填空题 17．函数y＝＋≥0)的最小值为．＋1答案：18．若＞0，y＞0，且＋4y＝1，则y有最值，其值为． 1解析：1＝＋4y≥2·4y＝4y，∴y≤.161答案：大 16y＋9．已知，y∈R，且满足＝1，则y的最大值为． 34y解析：∵＞0，y＞0且1＝≥y≤3.3412y当且仅当＝时取等号．答案：3 34三、解答题410．(1)设＞－1，求函数y＝＋6的最小值；＋12＋8(2)求函数y＞1)的最值．－1解：(1)∵＞－1，∴＋1＞0.44∴y＝＋＋6＝＋1＋5 ＋1＋14≥2 ?＋1?＋5＝9，＋14当且仅当＋1＝1时，取等号．＋1∴＝1时，函数的最小值是9.2＋82－1＋99(2)y＝＝(＋1)＋－1－1－19＝(－1)＋2.∵＞1，∴－1＞0.－199∴(－1)＋2≥?－1?＋2＝8.－1－19当且仅当－1＝4时等号成立，－1∴y有最小值8.1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(－(－(1)≥8.abc证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 1－ab＋cbc2bc1∴－1＝＝＋aaaaaa12ac12ab1≥－1≥ bbcc以上三个不等式两边分别相乘得111(－1)(1)(1)≥8.abc当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为20平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．20解：设污水处理池的长为米，则宽为2020总造价f()＝400×(2＋2×＋100×60×20225＝800×(＋)＋120≥120＝36000(元)225当且仅当＝＞0)，即＝15时等号成立．篇二：基本不等式练习题(带答案)基本不等式1.若a?R，下列不等式恒成立的是（）212?1 C．a2?9?6a D．lg(a?1)?lg|2a| a?12.若0?a?b且a?b?1，则下列四个数中最大的是（）A．a2?1?aB．Ａ．1Ｂ．2a2?b2 Ｃ．2abＤ．a3.设>0,则y?3?3?1的最大值为（）Ａ．3Ｂ．3? Ｃ．3? Ｄ．－1 4.设,y?R,且?y?5,则3?3y的最小值是()A.10B.C.D.5.若, y是正数，且14??1，则y有（） y11Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 16166.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值A．a2?b2?c2?2 B．(a?b?c)2?3 C．1a?1b?1c? D．a?b?c?7.若>0, y>0,且+y?4,则下列不等式中恒成立的是（）1?B．??1 C2 D．?1 A．?y4yy8.a,b是正数，则Ａ．Ｃ．a?b,22ab三个数的大小顺序是（）a?ba?b2aba?b2ab??2a?b2a?b2aba?b2aba?bＤ． ??a?b2a?b29.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为，则有（）p?qp?qp?qp?qＢ．? Ｃ．?Ｄ．? 222210.下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．?Ａ．y??44 Ｂ．y?sin? (0???)siny?log3?4log3Ｃ．y?e?4e?Ｄ．11.函数y?12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为20元和150元，那么池的最低造价为元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.2y2y14.若, y为非零实数，代数式2?2?8(?)?15的值恒为正，对吗？答.yy三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15.已知：2?y2?a,m2?n2?b(a,b?0), 求m+ny的最大值.11116.设a, b, c?(0,??),且a+b+c=1，求证：(?1)(?1)(?1)?8.abc17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求ab? 1的最小值.ab18.是否存在常数c,使得不等式成立？试证明你的结论.yy对任意正数, y恒??c??2?y?2y?2y2?y《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.113.2 14.对三、解答题172?1?1516.略 17.(1)?0,? (2) 18．存在，c?43?4?篇三：一元一次不等式练习题及答案一元一次不等式一、选择题1.下列不等式中，是一元一次不等式的有（）个.①>－3；②y≥1；③?3；④2?1??1；⑤?1.A.1 B.2 C.3D .4 232.不等式3（－2）≤+4的非负整数解有（）个..A.4B.5C.6 D.无数3.不等式4－111??的最大的整数解为（）.A.1 B.0 C.－1 D.不存在 444.与2－12 D.－2（a－bbbb B.D.2－m的解集是2 B.m1 B.m3B.a>4 C.a>5 D.a>6二、填空题9.当时，代数式?35?1?的值是非负数.2610.当代数式－3的值大于10时，的取值范围是.23(2k?5)的值不大于代数式5k－1的值，则k的取值范围是. 211.若代数式12.若不等式3－m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是.13.关于的方程k?1?2的解为正实数，则k的取值范围是14、若关于的不等式2+a≥0的负整数解是-2 ,-1 ,则a的取值范围是。
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式的应用场景练习题及答案解析
基本不等式的应用场景练习题及答案解析练题一已知对于任意实数 a 和 b，有以下不等式成立：a - b > 0。
根据该不等式，请解决以下问题：1. 证明对于任意的正数 x，-x < 0；2. 证明对于任意的实数 x，-x ≤ 0；3. 如果 a = 5 和 b = 3，a - b 的值是多少？答案解析1. 首先，由于 x 是正数，那么 -x 是负数。
假设 -x > 0，则两边同时乘以 -1，得到 x < 0，与 x 是正数矛盾。
因此，-x < 0 成立。
2. 对于任意实数 x，有以下两种情况：- 当 x > 0 时，根据第一题解析可知，-x < 0 成立；- 当 x = 0 时，-x = 0，即 -x ≤ 0 成立；综上所述，对于任意实数 x，-x ≤ 0 成立。
3. 当 a = 5 和 b = 3 时，a - b = 5 - 3 = 2。
练题二已知不等式 x - 2 > 3，根据该不等式，请回答以下问题：1. 证明对于任意实数 x，x > 5；2. 如果 x = 10，该不等式是否成立？答案解析1. 首先，由于 x - 2 > 3，将 2 移到右侧得到 x > 5。
2. 当 x = 10 时，代入不等式中得到 10 - 2 = 8，8 > 3 成立。
练题三已知不等式 2x + 1 < 9，根据该不等式，请回答以下问题：1. 证明对于任意实数 x，x < 4；2. 证明对于任意实数 x，2x < 8；3. 如果将不等式变形为 2x < 8，该不等式是否成立？答案解析1. 首先，由于 2x + 1 < 9，将 1 移到右侧得到 2x < 8。
然后，两边同时除以 2 得到 x < 4。
2. 对于任意实数 x，2x < 2 * 4 = 8 成立。
3. 当将不等式变形为 2x < 8 时，不等号的方向没有发生改变，因此该不等式成立。
(完整版)不等式练习及答案汇总
一．选择题（共2小题）1．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（）A．b﹣a＜0 B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a2．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34 B．22 C．﹣3 D．0二．填空题（共2小题）3．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是．4．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道．三．解答题（共9小题）5．解不等式或不等式组：（1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1（2）1﹣≥x+2（3）（4）．6．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．7．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B 种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．8．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？9．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．10．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）15 35售价（元/件）20 45（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．11．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？12．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？13．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台18000元第二周4台10台31000元（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A 种型号的净水器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2010春•邹城市校级期末）若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（）A．b﹣a＜0 B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a【分析】根据不等式的基本性质分别判断，再选择．【解答】解：A、不等式的两边同时减去a，不等号的方向不变，则0＜b﹣a，即b﹣a＜0成立；B、不等式的两边同时乘以c，因为c的符号不确定，所以不等号的方向也不确定，故ac＜bc不成立；C、不等式的两边同时除以b，因为b的符号不确定，所以不等号的方向也不确定，故不成立；D、不等式的两边同时乘以﹣1，不等号的方向改变变，则﹣a＜﹣b，则﹣b＜﹣a不成立．故选A．2．（2013春•蚌埠期中）若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34 B．22 C．﹣3 D．0【分析】先解不等式≥4x+6，得出用a表示出来的x的取值范围，再根据解集是x ≤﹣4，列出方程﹣=﹣4，即可求出a的值．【解答】解：∵≥4x+6，∴x≤﹣，∵x≤﹣4，∴﹣=﹣4，解得：a=22．故选B．二．填空题（共2小题）3．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是m＞4．【分析】解关于x的方程得x=，由方程的解为负数得到关于m的不等式，解不等式即可．【解答】解：解方程mx+13=4x+11得：x=，∵方程的解为负数，∴＜0，即4﹣m＜0，解得：m＞4，故答案为：m＞4．4．（2016春•谷城县期末）某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对13道．【分析】根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分≤90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．【解答】解：设应答对x道，则10x﹣5（20﹣x）＞90解得x＞12∴x=13三．解答题（共9小题）5．解不等式或不等式组：（1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1（2）1﹣≥x+2（3）（4）．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（3）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可；（4）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）去括号得：3x﹣6﹣4+4x＜1，3x+4x＜1+6+4，7x＜11，x＜；（2）去分母得：6﹣2x+1≥6x+12，﹣2x﹣6x≥12﹣6﹣1，﹣8x≥5，x≤﹣；（3）∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1；（4）∵解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞7，∴不等式组无解．6．（2016春•房山区期中）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．【分析】根据题意设安排住宿的房间为x间，并用含x的代数式表示学生人数，根据“每间住4人，则还余20人无宿舍住和；每间住8人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答．【解答】解：设安排住宿的房间为x间，则学生有（4x+20）人，根据题意，得解之得5.25≤x≤6.25又∵x只能取正整数，∴x=6∴当x=6，4x+20=44．（人）答：住宿生有44人，安排住宿的房间6间．7．（2012春•东城区校级期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．【分析】本题首先找出题中的不等关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．【解答】解：设安排生产A种产品x件，则安排生产B种产品（50﹣x）件．依题意得解得30≤x≤32∵x为正整数，∴x=30，31，32，∴有三种方案：（1）安排生产A种产品30件，B种产品20件；（2）安排生产A种产品31件，B种产品19件；（3）安排生产A种产品32件，B种产品18件．8．（2015•黔东南州）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【分析】（1）关系式为：饮用水件数+蔬菜件数=320；（2）关系式为：40×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥200；10×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥120；（3）分别计算出相应方案，比较即可．【解答】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．x+（x﹣80）=320，解这个方程，得x=200．∴x﹣80=120．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．得：，解这个不等式组，得2≤m≤4．∵m为正整数，∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）；∴方案①运费最少，最少运费是2960元．答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．9．（2013•云南）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．【分析】（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和340元两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买榕树a棵，则香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．【解答】解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，根据题意得，，解得，答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，根据题意得，，解不等式①得，a≥58，解不等式②得，a≤60，所以，不等式组的解集是58≤a≤60，∵a只能取正整数，∴a=58、59、60，因此有3种购买方案：方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．10．（2015•淄博模拟）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）15 35售价（元/件）20 45（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100．（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．根据题意得：．解得：．答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．根据题意得．解不等式组，得65＜a＜68．∵a为非负整数，∴a取66，67．∴160﹣a相应取94，93．方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．11．（2012•绥化）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？【分析】（1）等量关系为：改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元；（2）关系式为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770．【解答】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，则，解得．答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍所需资金130万元．（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8﹣a）所．则，解得由①的a≤3，由②得a≥1，∴1≤a≤3，即a=1，2，3．答：有3种改造方案．方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所．12．（2014•绥化）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解．（2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价．【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得化简得，解之得．答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．（2）由于第二次A商品购进400件，获利为（1380﹣1200）×400=72000（元）从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）设B商品每件售价为z元，则120（z﹣1000）≥9600解之得z≥1080所以B种商品最低售价为每件1080元．13．（2016•宿州二模）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台18000元第二周4台10台31000元（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A 种型号的净水器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【分析】（1）设A、B两种型号净水器的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的净水器收入18000元，4台A型号10台B型号的净水器收入31000元，列方程组求解；（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30﹣a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；（3）设利润为12800元，列方程求出a的值为8，符合（2）的条件，可知能实现目标．【解答】解：（1）设A、B两种净水器的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：．答：A、B两种净水器的销售单价分别为2500元、2100元．（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种净水器（30﹣a）台．依题意得：2000a+1700（30﹣a）≤54000，解得：a≤10．故超市最多采购A种型号净水器10台时，采购金额不多于54000元．（3）依题意得：（2500﹣2000）a+（2100﹣1700）（30﹣a）=12800，解得：a=8，故采购A种型号净水器8台，采购B种型号净水器22台，公司能实现利润12800元的目标．。
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
基本不等式及其应用薄点梳理趴Eft 笔4*41^1. 基本不等式a +b , _若a>0,, b>0,则ROB ,当且仅当注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点:（1）各项或各因式均正；（一正） （2）和或积为定值；（二定） （3）等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值. （三相等） 2. 常用不等式2 2(1)a + a 泛ab (a , b € R ). (2)屈M 号("0)⑹片'宁'"王'j(a,b >0)a b时取二”.这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数.注：不等式a 2+ b 2> 2ab 和 沁ab 它们成立的条件不同，前者只要求ab 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数其等价变形：-b <（号）2 ⑶ab <I (a, b€ R ).I 2丿⑷a + a 丝（a , a 同号且不为 0)・'a +b.2丫 a 2+ b 2丿兰^^(a , b € R )..a 3+b 3+ c 3(7)abc ---- 3 --- ； (a,b,c 》0 ) a + b +c 3/——(8) 3 凶abc ； a,b,c A 0 )3. 利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0, b>0,当ab 为定值时，a + b , a 2+ b 2有.2 2+ b > ________ , a + b > _________ .(2)求最大值：a >0, b >0,当a + b 为定值时，ab 有最大值，即 或a 2+ b 2为定值时，ab 有最大值(a >0, b >0),即 ___________________________ .基础自测I ，卜昂命丰并小试A.6B.4迈C.^2D.2/6解:因为 2a >0, 2b >0,由基本不等式得 2a + 2b >^2a • 2b = ^2a +b = 4*2,3当且仅当a = b = 2时取等号，故选B.—+2的最大值为1A.2B.1C.2D.4解：Va >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2/2ab,g 卩 ab <舟.当且仅当 a1=1, b =1时等号成立.故选A.❸ 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和b(a < b),其全程的平均时速为V ,则()解：设甲、乙两地之间的距离为S.,2s 2ab 2ab rA.av v <V abB.V = V abI —a+ bC.Vabv v< ~~2~ a + bD.v = ~2—V a<b,.・.v=—= =価.§+ s a+ b 2^05 7 a+ bF 2ab ab —孑孑—a2又v—a=a+b—a=^>y=°，「v >a.故选 A.解：由xy= 1得X2+ 2y2=x2+頁》2^2,当且仅当x=± 02时等号成立.故填2血❺点(m, n)在直线x+ y= 1位于第一象限内的图象上运动，则Iog2m+ Iog2n 的最大值是 __________ .解：由条件知，m>0, n>0, m+n= 1,jfri+n¥ 1所以mnw 丿=4,1当且仅当m= n= 2时取等号,1Iog2m +Iog2 n = log2 mn =10924=—2, 故填—2.典例解析I **** 2艸类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y=(X+ 5；+：+ 2)(x>—1)的值域.解: ••• x>—1, ••• x+ 1>0,令m=x+ 1, J则m>0,且y=（m+ m+ 1）=口+盒+ 5> 2yl m - ¥+ 5 = 9,当且仅当m= 2时取等号，故y min = 9.又当m^ + x或m—0时，y^ + x,故原函数的值域是［9，+).(2)下列不等式一定成立的是21 12 1 解：A 中，x + 4>x(x >0),当 x = 2时，X +4 = X.1B 中，sinx +snX 》2(sinx € (0，1])；sinx +丄三一2(sinx € [ — 1, 0)). Sinx \ L , 〃 X 2— 2|X| + 1 = (|x| — 1)2>0(x € R ). 1X 2+1 € (0，1](x € R ).故 C 一定成立，故选 C.点拨:2ax + bx + c这里(1)是形如f(x) = a ——-—的最值问题，只要分母X + d >0,都可以将x + def(x)转化为f(x)= a(x + d) + x +d +h(这里ae >0;若aev0，可以直接利用单调性 等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.f At 2— 4t + 1(1)已知t >0,贝U 函数f(t) = -- 1—的最小值为t 2— 4t + 1 1解：••• t >0,A f(t) = —t = t +1 — 4》—2,当且仅当t = 1时，f(t)min = — 2 ,故填一2.A.Ig f + 1Xlgx(x>0)B.sinx+ 丄》2(XM kn ，k€ Z ) sinx \， 丿C.X 2+ 1>2|X |(X € R )1D .K1(X€ R )C 中,D 中, (2)牢记基本不等式使用条件 条件要存在.一正、二定、三相等，特别注意等号成立(2)已知 x >0, y >0,且 2x + 8y — xy = 0,求: (I )xy 的最小值; (n )x + y 的最小值.8 2解：(I )由 2x + 8y — xy = 0,得 j + y = 1,又 x > 0, y > 0,则1=8+託2=扁，得xy 》64,当且仅当x = 4y ,即x = 16, y = 4时等号成立.8y(n )解法一：由 2x + 8y — xy = 0,得 X = = ,T x >0,A y >2,y —2则 x + y =y +y ^2=(y — 2) +乙+ 1°》18,当且仅当y — 2 =」%，即尸6, x = 12时等号成立.y — 28 2解法二：由2x + 8y — xy = 0,得】+厂1, 则 x + y = r + 2)(x + y)= 10+y* 乌》10+ 26, x = 12时等号成立.利用基本不等式求有关参数范围若关于x 的不等式(1 + k 2)x < k 4 + 4的解集是M ，则对任意实常数k ,• ¥ = 18,当且仅当y =类型二iro>i总有()A.2 € M , 0€ MB.2?M , 0?MC.2€ M , 0?MD.2?M , 0€ M解法一: 求出不等式的解集:(1 + k 2)x< k 4+4? xW'kr+1 = (k 2+ 1)+話 2?X H ( & +1)+話-2Ln=2^/5 — 2(当且仅当k 2={5—1时取等号).解法二(代入法):将x = 2, x = 0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解 集是否为R .故选A.点拨:一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题， 对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值 .另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a >f(x)恒成立？ a >f(x)max ； (2)av f(x)恒成立？ av f(x)min ； (3)a >f(x)有解？ a >f(x)min ； (4)av f(x)有解？ av f(x)max .松式0已知函数f(x)= e X + e —X ,其中e 是自然对数的底数.若关于x 的不等式mf(x)<e ^x + m —1在(0，+)上恒成立，求实数 m 的取值范围.解：由条件知m(e x + e —x — 1)<e —x— 1在(0,+^)上恒成立.11 对任意t > 1 t —1+1—1 +1成立.古+ 1>2寸(t -门 t — + 1 = 3,当且仅当t = 2,即x = In2时等号成立. 故实数m 的取值范围是一X类型三 利用基本不等式解决实际问题IEB>I 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 （利用旧墙t — 1令 t= e x (x>0)，则 t> 1，且 mW —+2_ +」需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180 元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为y仲位：元）.⑴将y表示为x的函数;（2）试确定X,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则y = 45x + 180(x—2) + 180 2a = 225x + 360a —360.,. .口360由已知X* 360,得2 —2所以y= 225x + 360—360(x> 2).入(2)v x> 0，A 225x + 360>2yj225X 3602 = 10800,x3602••• y= 225x +晋—360 > 10440,3602当且仅当225x=匚，即x= 24时等号成立.入答：当x= 24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.医虫妙如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am, 高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔面积忽略不计）.解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数,k根据题意可知：y = ab 其中k 是比例系数且k >0.依题意要使y 最小，只需ab 最大.由题设得：4b + 2ab + 2a < 60(a > 0, b > 0), 即 a + 2b <30-ab(a >0, b >0).••• 2^/2- V ab + ab < 30,得 0<融€ 3迄.当且仅当a = 2b 时取号，ab 最大值为18,此时得a = 6, b = 3. 故当a =6 m , b = 3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少.30- ak解法二：同解法一得b < a + 2，代入y =ab 求解.课时柞业I2. 设a , b € R ,aMb ,且a + b =2,则下列各式正确的是（）a 2+ b 2a 2+ b 2a 2+ b 2a 2+b 2A.abv 1v 2B.abv 1 < ?C.1v ab< 2D.ab< 2 = 1解：运用不等式 ab < f +^J ? abw 1 以及（a + b ）2<2（a 2+ b 2）? 2<a 2+ b 2（由 于aMb ,所以不能取等号）得，ab < 1<耳疋,故选A.1.若a > 1,则 1a + a 1的最小值是（A.2B.aC.3嚐11 --a +- = a — 1 + - a - 1 a —1当= 时等号成立故选解：V a > 1,+ 1>目(a — 1) "a — + 1 = 2+ 1 =2x在(—X, 2)上的最小值是( )2— 1+( 4 — 4x + x ) 1—x > 0，因此 f(x) = — ------------- =2一； + (2 — 2 1x • (2 — x )= 2,当且仅当2 1x = 2— x 时上式取等号.而此方程有解x=1€ (—X, 2),因此f(x)在(一X, 2)上的最小值为2,故选C.80y = 80+20x + — > 160,当且仅当底面边长x = 2时，总造价最低，且为160元.X故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b €R ，则 a +討 ^/P b 二2B. 若 X , y 都是正数，则 Igx + lgy > Z p lgx • Igy C 若 x<0,则 X + 4> — 2寸X • 4 = — 4 D.若 x < 0,贝U 2x + 2-x > ^2x • 2-x= 2解：对于A ,a 与b 可能异号，A 错；对于B, Igx 与lgy 可能是负数，B 错； 4 r41/ 4对于 C ,应是 X + x =— J ( — x )+—x 卜―2yJ ( — x) — = — 4, C 错；对于D ,若x <0,则2X + 2—x >2寸2X • 2—x = 2成立(x = 0时取等号).故选D.6. (2014 •重3.函数 f(x) = 2— X A.0B.1C.2解：： 当XV 2 时，2x)> 24. (2014 •福建)要制作一个容积为 该容器的底面造价是每平方米20元, 低总造价是(4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器，已知侧面造价是每平方米10元，则该容器的最A. 80 元B. 120 元C. 160 元D. 240 元解：假设底面的长、宽分别为x m ,4 x m ,由条件知该容器的最低总造价为D.3庆)若Iog4(3a + 4b) = log^/ab，则a+ b 的最小值是( )A.6 + 2y/3B.7 + 2^j3C.6 + 4 也D.7 + 4^/3解：因为log4(3a+4b) = log詔ab，所以Iog4(3a + 4b) = Iog4(ab)，即3a+ 4b〔3a+ 4b > 0, 4 3=ab,且5 即a>0, b>0,所以a + 1(a>0, b>0), a+ b= (a+ l ab> 0, a bb)(4+3卜7+4b+3a》7+2寸4b 3a=7+4^3，当且仅当4b=3a时取等号.故选D.x7.若对任意x>0, 2+ 3 + 1 <a恒成立，则a的取值范围是.x十3X十I1解：因为x>0,所以x +丄》2（当且仅当x= 1时取等号）,x所以有宀=工三缶=5,即x^的最大值为5,故填"5.8.（2014四川）设m€ R，过定点A的动直线x+ my= 0和过定点B的动直线mx—y-m+ 3 = 0 交于点P（x, y），则|FA| • |PB|的最大值是 ____ .解：易知定点A(0, 0), B(1, 3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A, B重合与否，均有IPAf+IP B J AB|2=1O(P在以AB为直径的圆上).所以|PA| IPB|W 1(|PAf + |PB|2) = 5.当且仅当|PA|= |PB匸75时，等号成立.故填5.49.(1)已知0vXV3,求x(4 —3x)的最大值;（2）点（X, y）在直线x+ 2y= 3上移动，求2X+ 4y的最小值.4解: (1)已知0VXV3，二0<3xv4.• x(4 —3x) = 3(3x)(4 —3x)< lj3x^4^ f = 3,2当且仅当3x=4 —3x^9 x = 3时“=”成立.2 4•••当x= 3时，x(4 —3x)取最大值为3.(2)已知点(x，y)在直线x+ 2y= 3上移动，所以x+ 2y= 3.••• 2x+ 4y>2寸2X • 4y= ^/2x+2y= 2yj23= 4^2.当且仅当F = 4y，即x=2, y=3时“「成立.l x+ 2y= 3, 2 42%+ 4y取最小值为4\f2.10.已知a>0, b>0,且2a+ b= 1,求S= R Ob—4a2—b2的最大值.解：■/a>0，b>0，2a+ b= 1，二4a2+ b2= (2a + b)2—4ab= 1 —4ab.且 1 =yj2 12a+ b>2V2ab>，即才，ab<©，二S= ^/ab—4a2—b2= ^ab—(1 —4ab) = 2^/0^+4ab—K 忑2 I当且仅当a = 4，b = 2时，等号成立•11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：⑴设每间虎笼长为x m，宽为y m，贝U由条件，知4x+ 6y= 36，即2x+ 3y= 18.设每间虎笼的面积为S ,则S = xy.解法一：由于 2x + 3y >^2xX 3y = 2{6刃,__ 27 27•- 2{6xy < 18,得 xyw —，即 SW —.当且仅当2x = 3y 时等号成立.故每间虎笼长为4.5 m ,宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大.3 解法二：由 2x + 3y = 18,得 x = 9—^y.x>0,.・.Ovyv6.•/ Ovyv6,.・.6-y>0. A S< 当且仅当6-y =y ,即 尸3时，等号成立，此时x = 4.5.故每间虎笼长4.5 m ,宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知S = xy = 24.设钢筋网总长为I ，则I = 4x + 6y.解法一：••• 2x + 3y > ^2x • 3y =厶丽=24,•••1= 4x + 6y =2(2x + 3y) > 48,当且仅当 2x = 3y 时，等号成立.故每间虎笼长6 m ,宽4m 时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy = 24,得x = 244.5,由£ 3y =18,解得 L 3. 由产3y ，沁=24, x = 6, 解得L y =4. S = xy =3(6 - y)y.96X y = 48, 二I = 4x+ 6y = --h 6y=6当且仅当16=y,即y=4时，等号成立，此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4m时，可使钢筋网总长度最小.。
不等式的解法练习题及解析
不等式的解法练习题及解析1. 解下列不等式：2x - 5 < 3x + 4解析：我们可以通过移项和合并同类项的方式来求解不等式。
首先，将3x移到等式的左边，将-5移到等式的右边，得到2x - 3x < 4 + 5。
然后合并同类项，得到-x < 9。
由于系数为负数，所以我们需要将不等号翻转。
最终得到解为x > -9。
2. 解下列不等式：3(x - 2) ≥ 5x + 6解析：同样地，我们可以通过移项和合并同类项来求解不等式。
首先将5x移到等式的右边，将6移到等式的左边，得到3x - 5x ≥ 6 - 10。
然后合并同类项，得到-2x ≥ -4。
由于系数为负数，所以我们需要将不等号翻转。
最终得到解为x ≤ 2。
3. 解下列不等式：4 - 3x > 7x + 2解析：同样地，我们可以通过移项和合并同类项来求解不等式。
首先将7x移到等式的左边，将4移到等式的右边，得到-3x - 7x > 2 - 4。
然后合并同类项，得到-10x > -2。
由于系数为负数，所以我们需要将不等号翻转。
最终得到解为x < 0.2。
4. 解下列不等式：2(3x - 4) + 5 > 4(5 - x) - 7解析：同样地，我们可以通过移项和合并同类项来求解不等式。
首先将4(5 - x)移到等式的左边，将2(3x - 4)移到等式的右边，得到10 -4x > 6x - 8 - 7。
然后进行合并计算，得到10 - 4x > 6x - 15。
接着将4x和6x移到等式的右边，将10移到等式的左边，得到-4x - 6x > -15 - 10。
合并计算后得到-10x > -25。
由于系数为负数，所以我们需要将不等号翻转。
最终得到解为x < 2.5。
5. 解下列不等式：|2x - 3| < 7解析：这是一个绝对值不等式，我们需要分别考虑绝对值内部的正负情况。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
不等式题目及答案
不等式题目及答案【篇一：基本不等式练习题及答案】教a版教材习题改编)函数y＝x＋xx＞0)的值域为( )．a．(－∞，－2]∪[2，＋∞)c．[2，＋∞)b．(0，＋∞) d．(2，＋∞)a＋b12．下列不等式：①a2＋1＞2a；②2；③x2＋≥1，其中正确的个数是 x＋1ab( )．a．0b．1c．2d．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．1a.2b．1 c．2 d．4a．1＋2b．1＋3c．3d．4t2－4t＋15．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________． t考向一利用基本不等式求最值11【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则x＋y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2x________． x＋1【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1的最小值为________． x－12(2)已知0＜x＜5y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式bccaab【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：abca＋b＋c.．【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.111求证：a＋b＋c≥9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？双基自测d．(2，＋∞)答案 c2．解析①②不正确，③正确，x2＋112(x＋1)＋1≥2－1＝1.答案 b x＋1x＋11的最小值是( )． a?a－b?13．解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2ab，即ab≤2答案 a4．解析当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＝3，即a＝3.答案 ct2－4t＋115．解析∵t＞0，∴y＝＝t＋tt－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案－2【例1】解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，112x＋y2x＋yy2xy2x∴x＋y＝x＋y＝3＋x＋y3＋22.当且仅当xy 时，取等号．(2)∵x＞0，∴f(x)＝2x221＝1≤2＝1，当且仅当x＝x，即x＝1时取等号．答x＋1x＋x案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋1＋1≥2＋1＝3 当且仅当xx－11?5x＋2－5x?2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，－5x＞0，∴5x(2－5x)≤?52??1128即x＝5时，ymax＝5.(3)由2x＋8y－xy ＝0，得2x＋8y＝xy，∴y＋x＝1，4yx当且仅当xyx＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y ＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.1答案 (1)3 (2)5(3)18bcca【例2】证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2bcabcaab＝2b；acb＋c≥2 bccabcab＝2c；aba＋c≥2caab?bccaab?＋c≥2(abc＝2a.以上三式相加得：2?ab?bccaab＋b＋c)，即abca＋b＋c.【训练2】111a＋b＋ca＋b＋c证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c＝aba＋b＋cbcacab?ba?ca?cb?a＋b＋?ac＋?bc 3＋3＋caabbcc??????1≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝3时，取等号．xx解析若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即x＋3x ＋1x＋3x＋1可，因为x＞0，所以y＝x＝x＋3x＋1111x＝1时115x＋x32 xx ?1??1?取等号，所以a的取值范围是?5，＋∞?答案 ?5? ????【训练3】解析由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案 1016当且仅当x＝x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【训练3】解 (1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为80元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝(10＋n＋180?80??*100－100－?－100n(n∈n)．(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)?－100n n)?n＋1?n＋1???9?9n＋1＋≤520(万元)．当且仅当n＋1＝＝1 000－80?， n＋1??n ＋1即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．【示例】．正解∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，12?12b2a∴a＋b＝?a＋b(a＋b)＝1＋2＋ab3＋2 ??b2aab3＋22. a＋b＝1，??当且仅当?b2a??ab ?a＝2－1，12即?时，ab3＋22. ?b＝2－22 11112【试一试】尝试解答] a＋ab＝a－ab＋ab＋ab＋a(a－b)＋a?a－b?a?a－b?11＋ab＋ab≥2 1a?a－b?2 1abab2＋2＝4.当且仅当a(a－a?a－b?a?a－b?b)＝1a?a－b?且ab＝1aba＝2b时，等号成立．答案d【篇二：初中数学不等式试题及答案】t>a卷2?x7x??1的解集为_____________。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高考数学解不等式基本训练题及参考答案
高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。
必修一 基本不等式练习(精选典题)含答案
必修一基本不等式练习(精选典题)一．选择题（共19小题）1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为（）A．5B．C．D．22．若关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式bx2+ax﹣1＜0的解集是（）A．B．{x|x＜﹣1或C．D．或x＞1}3．若a，b∈R+，且a+b=1，则的最小值为（）A．B．5C．D．254．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．15．若a＞0，b＞0，ab=a+b+1，则a+2b的最小值为（）A．3+3B．3﹣3C．3+D．76．下列说法正确的是（）A．的最小值为2B．的最小值为4，x∈（0，π）C．x2+1的最小值为2xD．4x（1﹣x）的最大值为17．不等式的解集为（）A．[0，1]B．（0，1]C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）8．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣4=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2D．49．已知a＜b，则的最小值为（）A．3B．2C．4D．110．若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2+b2＞2ab D．（）2＞12．若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）13．若m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（）A．{x|﹣n＜x＜m}B．{x|x＜﹣n或x＞m}C．{x|﹣m＜x＜n}D．{x|x＜﹣m或x＞n} 14．关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4=0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．（4，5]B．[3，6]C．（5，]D．[）15．若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．﹣5D．﹣316．若关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0的解集是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）17．不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0的解集为（）A．B．C．D．18．已知关于x的不等式ax2+x＜0的解集中的整数恰有2个，则（）A．＜a≤B．≤a＜C．＜a≤或﹣≤a＜﹣D．≤a＜或﹣＜a≤﹣19．若不等式（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．二．解答题（共7小题）20．解下列不等式：（1）x4﹣x2﹣2≥0；（2）．21．解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≥0（a∈R）．22．已知函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，求a+b的值；（Ⅱ）若a∈[﹣1，0]，b=0，求f（x）＞0的解集．23．（1）已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证：；（2）解关于x的不等式：ax2﹣2≥2x﹣ax（a＜0）．24．若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}．（1）求证：b+c=﹣7a；（2）求不等式cx2+bx+a＜0的解集．25．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．26．已知关于x的不等式：x2﹣mx+m＞0，其中m为参数．（1）若该不等式的解集为R，求m的取值范围；（2）当x＞1时，该不等式恒成立，求m的取值范围．不等式练习参考答案一．选择题（共19小题）1．C；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．D；；12．C；13．A；14．C；15．C；16．D；17．B；18．B；19．D；二．解答题（共7小题）20．【解答】解：（1）将原不等式因式分解得（x2+1）（x2﹣2）≥0，∵x2+1＞0，所以，x2﹣2≥0，解得x≤或x≥，因此，原不等式的解集为{x|x≤或x ≥}；（2）由，得，化简得，等价于，解得x＜﹣4或x≥﹣1，因此，原不等式的解集为{x|x＜﹣4或x≥﹣1}．21．【解答】解：关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≥0化为（x﹣1）（x﹣a）≥0，不等式对应方程的实数根为a和1；当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1]∪[a，+∞）；当a=1时，不等式的解集为R，当a＜1时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[1，+∞）．22．【解答】解：函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a+b（a，b∈R）．（Ⅰ）由f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，即方程ax2﹣（a2+1）x+a+b的两个根分别为﹣1，3．∴a＞0∴，解得：a=1，b=﹣4．则a+b=﹣3．（Ⅱ）由b=0，可得f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a=（ax﹣1）（x﹣a）∵a∈[﹣1，0]，∴当a=0时，可得f（x）=﹣x，则f（x）＞0，即﹣x＞0，∴x＜0∴解集为{x|x＜0}；∴当即a=﹣1时，f（x）＞0，可得（x﹣a）2＜0．此时无解；当a∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，即（ax ﹣1）（x﹣a）＞0．∵∴解集为{x|＜x＜a}；综上可得：当a∈（﹣1，0）时，不等式的解集为{x|＜x＜a}；当a=﹣1时，不等式的无解；当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}．23．【解答】解：（1）∵a+b+c=1，代入不等式的左端，∴====．∵a，b，c∈（0，+∞），∴．∴．∴（当且仅当时，等号成立）．（2）原不等式可化为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，化简为（x+1）（ax﹣2）≥0．∵a＜0，∴．1°当﹣2＜a＜0时，；2°当a=﹣2时，x=﹣1；3°当a＜﹣2时，．综上所述，当﹣2＜a＜0时，解集为；当a=﹣2时，解集为{x|x=﹣1}；当a＜﹣2时，解集为．24．【解答】解：（1）证明：关于x的一元二次不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴a＜0，且﹣3，2是一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根，∴=﹣3+2=﹣1，=﹣3×2=﹣6；∴b=﹣a，c=﹣6a；∴b+c=﹣7a；（2）b=﹣a，c=﹣6a代入不等式cx2+bx+a ＜0，得﹣6ax2﹣ax+a＜0，又a＜0，则﹣6x2﹣x+1＞0，化为6x2+x﹣1＜0，解得﹣＜x＜；∴所求不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．25．【解答】解：（1）当a=2时f（x）≤0可化为2x2﹣5x+2≤0，可得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，解得，∴f（x）≤0的解集为；（2）不等式f（x）≤0可化为ax2﹣（2a+1）x+2≤0，a＞0时，则不等式为a（x﹣）（x﹣2）≤0；①当时，有，解不等式得：；②当时，有，解不等式得：x=2；③当时，有，解不等式得：；综上：①时，不等式的解集为；②时，不等式的解集为{x|x=2}；③时，不等式的解集为．26．【解答】解：（1）关于x的不等式x2﹣mx+m＞0的解集为R，则△＜0，即m2﹣4m＜0；）解得0＜m＜4，∴m的取值范围是0＜m＜4；（2）当x＞1时，关于x 的不等式x2﹣mx+m＞0恒成立，等价于m＜恒成立，设f（x）=，x＞1；则f（x）=（x﹣1）++2≥2+2=4，当且仅当x=2时取“=”；∴m的取值范围是m＜4．。
不等式练习题及答案解析
基本不等式练习题一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( C )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－x D ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析： y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( A )A ．200B ．100C ．50D ．20解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；w w w .x k b 1.c o m④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2(－x y )(－yx)＝－2.其中正确的推导过程为( D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( C )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.7．若xy ＞0，则对 x y ＋yx说法正确的是( B )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定8．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( A )A ．400B ．100C ．40D ．20 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( D ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．24-+=x xee y [解析] x<0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x<π2，∴0<cosx<1，∴y ＝cosx ＋1cosx ≥2中等号不成立，故B 错；∵x2＋2≥2，∴y ＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故C 错∴选D.10.已知正项等比数列{an}满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得nm a a ＝4 a 1，则1m＋4n 的最小值为( A ) A.32B.53C.256D ．不存在[解析] 由已知an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q ，则a6q ＝a6＋2a6q ，∴q2－q －2＝0，∵q>0，∴q ＝2，∵aman ＝4a1，∴a12·qm＋n －2＝16a12，∴m ＋n －2＝4， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32， 等号在n m ＝4mn，即n ＝2m ＝4时成立．11． “a＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( A )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[解析] ∵a ＝14，x>0时，x ＋ax ≥2x·a x ＝1，等号在x ＝12时成立， 又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x≥2x·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 12．设a ，b ∈R ，则“a＋b ＝1”是“4ab≤1”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b≥2ab 得4ab≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.13．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab≤a ＋b 24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.二、填空题1．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为____1____．2．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最___大_____值，其值为___116_____．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.3．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为___3_____．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：34．已知x ≥2，则当x ＝_2___时，x ＋4x有最小值__4__．5．已知t>0，则函数y ＝t2－4t ＋1t 的最小值为__-2_____．[解析] y ＝t2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t>0，y ＝t ＋1t－4≥2t·1t －4＝－2.,等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．6．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为 [答案] [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c 同时成立时成立,即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立．7.已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是____112____．[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x·8y ＝2，即2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x·(3y)≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立． 三、解答题1．已知f (x )＝12x＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·(－4x )＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.2．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值．解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得 (1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．4．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式练习题带答案
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基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对x y ＋y x 说法正确的是()A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是()A ．400B ．100C ．40D ．203．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．4．已知f (x )＝12x ＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A ．x ＋12x B ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是()A ．32－3B ．－3C ．62D ．62－33．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是()A ．200B ．100C ．50D ．204．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x?＝－2.其中正确的推导过程为()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是()A ．2B ．22C ．4D ．56．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有()A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．8．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．9．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．答案：1.答案：B2.答案：A3.答案：244.解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝83.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·?－4x ?＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1.答案：C2.解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3.解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立．4.解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的；④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5.解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6.解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7.答案：18.解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大1169.解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10.解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.11.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12.解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
第9课__基本不等式(经典例题练习、附答案)
基本不等式◇考纲解读① 了解基本不等式的证明过程．② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．◇知识梳理1．常用的基本不等式和重要的不等式①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当 ，②22,______,2a b a b ab ∈+≥则③,_____a b ∈，则ab b a 2≥+， ④222)2(2b a b a +≤+2．最值定理:设,0,x y x y >+≥由① 如积(xy P x y =+定值），则积有______② 如积2(2S x y S x y += 定值），则积有______（）运用最值定理求最值的三要素：________________________________________________◇基础训练1．若1a b +=，恒有 （ ） A ．41≤abB ．41≥abC ．1622≤b aD ．以上均不正确2．当12x >时，821y x x =+-的最小值为 .3．已知01x <<，则(12)y x x =-的最大值为 . 4．实数,a b 满足22a b +=，则39a b +的最小值为 .◇典型例题例1．求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++=>-+的最小值.例2．已知+∈R b a ,，且191,ab+=求a b +最小值.◇能力提升1．若+∈R b a ,，1)(=+-b a ab ，则a +的最小值是（ ）A ．222+ B.25+ C.222- D.22 2.下列命题中正确的是( )A .xx y 1+=的最小值是2 B .2322++=x x y 的最小值是2C .4522++=x x y 的最小值是25 D .xx y 432--=的最大值是342-3. 若+∈R b a ,满足3ab a b =++，则a b 的取值范围是________________.4.若1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________.5.若(4,1)x ∈-,求2221x x x -+-的最大值.6.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x 是正整数）,且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费. （1）求该月需用去的运费和保管费的总费用()x f ；（2）能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.数学5（必修）第三章：不等式[基础训练] 一、选择题1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+3．若122+x≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1[,2)8 B ．1[,2]8 C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞4．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．ba11>C ．2a b >D ．22a b >5．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值6．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小, 则a 的取值范围是 ( )A ．31a -<<B ．20a -<<C ．10a -<<D ．02a <<二、填空题1．若方程2222(1)34420x m x m m n n ++++++=有实根， 则实数m =_______；且实数n =_______。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
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基本不等式
1. 若
a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）
A ．21a a +>
B ．2111
a <+ C ．296a a +> D ．2
lg(1)lg |2|a a +>
2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．
1
2
Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a
3. 设x >0,则1
33y x x
=--
的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1
4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D. 5. 若x , y 是正数，且
14
1x y
+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值
116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116
6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A ．2222a b c ++≥
B ．2
()3a b c ++≥
C ．
111a
b
c
+
+
≥ D ．a b c ++≤
7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A ．114x y ≤+
B ．11
1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥
8. a ,b 是正数，则
2,2
a b
ab
a b
++三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab
a b
+≤≤
+
Ｃ．
22ab a b a b ++ Ｄ．22
ab a b
a b +≤
+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）
Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2
p q
x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）
Ａ．4y x x
=+
Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+
11. 函数y =的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200
元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y
y x y x
+-++的值恒为正，对吗？答 .
三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明
过程和演算步骤.
15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.
16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111
(1)(1)(1)8.a b c ---≥
17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1
ab ab
+的最小值.
18. 是否存在常数c ,使得不等式
2222x y x y
c x y x y x y x y
+≤≤+++++对任意正数x , y 恒
成立？试证明你的结论.
《基本不等式》综合检测
一、选择题
二．填空题
11.
1
2 12.3600 13. 14.对 三、解答题
15 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
(2)174 18．存在，23c =。