极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π

4，则点A 到直线l 的距离为________．

[立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．

二、参数方程与直角坐标方程的互化

【解析】椭圆方程为：1462

2=+y x ，因为1cos sin 22=+x x ，令⎩⎨⎧==α

αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()ϕα++sin 166,最大值22，最小值22-

三、根据条件求直线和圆的极坐标方程

四、求曲线的交点及交点距离

4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l

的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩

⎨⎧x ＝t －1t

，

y ＝t ＋

1t

(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B

两点，则|AB |＝________．

【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参

数方程⎩

⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋

1t

两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2

＝4，联立⎩

⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4

解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩

⎨⎧x ＝2

2，

y ＝32

2

.

所以点A ⎝⎛⎭⎫－22，－322，B ⎝⎛⎭⎫

22，322.

所以|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫－22－222＋⎝⎛⎭

⎫－322－3222＝2 5.

5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎨

⎧

x ＝1－22t ，

y ＝2＋2

2

t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相

交于A 、B 两点，求线段AB 的长．

[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，

∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2.

解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－2

2

t )，

解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.

6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩

⎨⎧

x ＝3＋12

t ，

y ＝32

t

(t 为参数)．以原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．

[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．

[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝(3＋12t )2＋(3

2

t －3)2＝t 2＋12，

故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．

五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )

[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)

8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，

y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，

在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.

(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；

(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．

【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.

联立⎩⎨⎧x 2＋y 2

－2y ＝0，

x 2＋y 2－23x ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩

⎨⎧

x ＝32，y ＝32.

所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭

⎫32，3

2.

(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．

所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝

⎛⎭⎫α－π

3.

当α＝5π

6

时，|AB |取得最大值，最大值为4.

9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的

极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.

(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．

[解析] (1)∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－1

2cos θ＝12

，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0. (2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离

d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪

4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为7

2

.

解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝7

2

.

10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 2

9＝1，直线l ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．

(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．

[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.

(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5

5

|4cos θ＋3sin θ－6|.

则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4

3

.

(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)

当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为225

5.

当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为25

5

.