初二函数知识点及经典例题
初二函数知识点及经典例题
第十八章 函数一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
初二数学一元一次函数应用知识点及经典例题
初二数学一元一次函数应用知识点及经典例题一元一次函数是初中数学中的一重要内容，本文主要介绍了一元一次函数的应用知识点及经典例题。
一、函数与解析式1. 函数的概念函数是每个自变量对应唯一一个因变量的对应关系。
2. 函数的解析式函数的解析式是对函数进行具体表述的式子，形如y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示函数的斜率和截距。
二、函数图象函数图象是表达函数 y = f(x) 在平面直角坐标系中对应点集的图形。
三、应用知识点1. 函数的性质一元一次函数是一条直线，其图象一定是一条斜率为正或负的直线。
其次，函数图象通过第一象限或第三象限，取决于它的截距是否为正。
最后，对于 y = kx + b，当 k > 0 时，随着 x 的增大 y 增大；当 k < 0 时，随着 x 的增大 y 减小；当 k = 0 时，函数图象为一条水平直线；当 b > 0 时，函数图象通过第一象限；当 b < 0 时，函数图象通过第三象限。
2. 数据分析使用一元一次函数解决实际问题时，需要进行数据分析，找出自变量和因变量之间的关系。
对于一个数据集，通过绘制散点图可以直观表现 x 和 y 的关系；通过计算斜率和截距，可以建立 y = kx + b 的函数模型。
四、经典例题1. 试从图中判断函数解析式。
答：当 x > 2 时，函数图象与直线 y = 2x - 2 具有相同特征，因此函数解析式为 y = 2x - 2。
2. 已知一元一次函数 y = kx + 3 的图象过点 P(3, 9)，求解析式。
答：由题意可知，当 x = 3 时，y = 9，因此代入函数解析式可得 9 = 3k + 3，解得 k = 2。
故函数解析式为 y = 2x + 3。
3. 农民要给小鸡喂食，每只鸡每天需要 0.1 千克的饲料。
现在农民有 200 千克饲料，请问他最多可以养多少只鸡？答：设小鸡的数量为 x，则每天需要的饲料量为 y = 0.1x。
初二关于函数的10题典型例题
初二关于函数的10题典型例题初二数学中关于函数的典型例题有很多，下面列举了其中的10题，并进行了解答。
1. 已知函数 f(x) = 2x + 1，求 f(3) 的值。
解答：将 x 替换为 3，计算得 f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
2. 已知函数 g(x) = x^2 + 3x，求 g(-2) 的值。
解答：将 x 替换为 -2，计算得 g(-2) = (-2)^2 + 3 * (-2) = 4 - 6 = -2。
3. 已知函数 h(x) = 4x^3 + 2x^2 + x，求 h(0) 的值。
解答：将 x 替换为 0，计算得 h(0) = 4 * 0^3 + 2 * 0^2 + 0 = 0。
4. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(1/2) 的值。
解答：将 x 替换为 1/2，计算得 f(1/2) = 3 * (1/2) - 2 = 1/2 - 2 = -3/2。
5. 已知函数 g(x) = 2x + 3，求使得 g(x) = 7 的 x 的值。
解答：将 g(x) = 7，解方程得 2x + 3 = 7，即 2x = 4，x = 2。
6. 已知函数 h(x) = 5x^2 + 4x + 1，求使得 h(x) = 0 的 x 的值。
解答：将 h(x) = 0，解方程得 5x^2 + 4x + 1 = 0，该方程可以因式分解为 (5x + 1)(x + 1) = 0，得到 x = -1 或 x = -1/5。
7. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 5x + 3，求 f(-1) 的值。
解答：将 x 替换为 -1，计算得 f(-1) = 2 * (-1)^2 + 5 * (-1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0。
8. 已知函数 g(x) = 3x^2 + 2x + 1，求 g(2) 的值。
解答：将 x 替换为 2，计算得 g(2) = 3 * 2^2 + 2 * 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。
初二函数题及解析
初二函数题及解析一、题目：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)的值。
解析：这是一个简单的一次函数求值问题。
我们需要将x的值代入函数表达式中计算出f(x)的值。
步骤1：将x=5代入函数f(x) = 2x + 3。
步骤2：计算f(5) = 2 * 5 + 3。
步骤3：得出结果f(5) = 10 + 3 = 13。
所以，f(5)的值为13。
二、题目：已知函数g(x) = 3x - 4，求g(x) = 0时的x值。
解析：这是一个求解一次函数零点的问题。
我们需要找到x的值使得函数g(x)等于0。
步骤1：将g(x)设为0，即3x - 4 = 0。
步骤2：解这个方程，首先将-4移到等号的另一边，得到3x = 4。
步骤3：然后将两边都除以3，得到x = 4/3。
所以，当x等于4/3时，g(x)等于0。
三、题目：已知函数h(x) = x^2 - 5x + 6，求h(x)的最小值。
解析：这是一个求解二次函数最值的问题。
我们需要找到函数h(x)的顶点，从而确定最小值。
步骤1：将函数h(x) = x^2 - 5x + 6写成顶点式。
首先找到x的系数的一半，即-(-5)/2 = 5/2。
步骤2：计算顶点的x坐标，即x = 5/2。
步骤3：将x = 5/2代入函数h(x)中，计算出顶点的y坐标，即h(5/2) = (5/2)^2 - 5*(5/2) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25。
所以，函数h(x)的最小值为-0.25。
四、题目：已知函数k(x) = |x - 2|，求k(x) ≤ 3的解集。
解析：这是一个绝对值不等式的解法问题。
我们需要找到满足不等式k(x) ≤ 3的x值范围。
步骤1：将绝对值不等式k(x) ≤ 3转化为普通的不等式，即-3 ≤ x - 2 ≤ 3。
步骤2：分别解这两个不等式。
对于-3 ≤ x - 2，我们得到x ≥ -1。
对于x - 2 ≤ 3，我们得到x ≤ 5。
初二数学上册,一次函数专题知识点总结、题型归纳,同步练习题带答案
一次函数专题1．正比例函数（1）正比例函数的定义一般地，形如__________（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数．（2）正比例函数的图象和性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定．①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而__________；②当k<0时，图象经过第__________象限，y随x的增大而减小．2．一次函数（1）一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．（2）一次函数的图象和性质对于y=kx+b（k≠0，b≠0）．当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第__________象限，y随x的增大而增大；当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大；当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而__________；当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小．3．一次函数的平移（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线．（2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移__________个单位长度得到．（3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化．（4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的．4．用待定系数法确定一次函数的解析式求一次函数y =kx +b （k ≠0）的解析式，关键是求出k ，b 的值，一般可根据条件列出关于k ，b 的二元一次方程组，求出k ，b 的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做__________．5．一次函数与方程、不等式的关系（1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax +b =0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y =ax +b 确定它与__________轴的交点的横坐标的值．（2） ①任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b >0或ax +b <0（a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y =ax +b 的值大于0或小于0时，求自变量x 的取值范围.②一次函数y =ax +b （a ≠0）与一元一次不等式ax +b >0（或ax +b <0）的关系：ax +b >0的解集⇔y =ax +b 中，y >0时x 的取值范围，即直线y =ax +b 在x 轴上方部分图象对应的x 的取值范围．ax +b <0的解集⇔y =ax +b 中，y <0时x 的取值范围，即直线y =ax +b 在x 轴下方部分图象对应的x 的取值范围．（3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x ，纵坐标为y ．6．一次函数的图像，两点确定一条直线一次函数的图像是一条直线，根据两点确定一条直线，可以根据图像与x 轴的交点坐标⎪⎭⎫⎝⎛-0,k b 和图像与y 轴的交点坐标()b ，0，画出一次函数的图像。
初二数学函数基本概念笔记及习题
Si
固定不变的量不
常量
可以取不同的值 r
变量
1 函数定义
g 在一个变化过程中 有两个变量ㄨ和 若对于每一个x 的值 y有唯一的确定的值与之对应 y是x的函数 x是自变量
判断出数
y是不是力的函数
y有唯一确定的值与力值对应
eg ly1 5 X 和 X都不是函数
解析 对我 的个值 g都有不止一个数与之对应
3种表示出数的方法
①解析法
y2 1
②图表法 ③ 图象法
j i iii
g
I
i
o
x
1 概念
一次出数
z 图象
形状 位置
与坐标上的点
蝲 懼䨻瞓 䲜
4点的特征
- 一次函数
1.一般地 函数ykxtblk to是常数 且12刊 叫做一次出数
ykxlk 2 函数
是常数 且 知 叫做正比例出数 12叫比例系数 b 0
③ 代入 kb的值
y eg
已知 和 奶 成正比例
之间的 函数关系式是
并且ㄨ 1.58 y 以16
那么y与 X
解析
没y冰心引 当心 g 8代入
i 8 412 i kz
则 y 2 X 13
i y2 6
eg 已知gytg 并且ㄨ 1时 y
y 与力成正比例
4 X 2时 55
yz与加成正比例
求当仁 4时g 的值
一次函数
正比例函数
正比例函数是一次函数的特例
但一次函数不一定是正比例出数
概念椮
剳 喤 eg
2
1m D x
正比例出数 则m的值为
解析
2-昨 1
m 1 to
i mt
初二函数知识点及经典例题汇编
第十八章 函数一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
八年级(人教版)函数知识点总结
八年级(人教版)函数知识点总结1. 函数的概念1.1 函数的定义- 函数是一种具有特定输入和输出的关系。
1.2 函数的表示方法- 显式函数表达式- 隐式函数表达式- 函数图像2. 函数的性质2.1 奇偶性- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = f(x)$，则称函数为偶函数。
- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = -f(x)$，则称函数为奇函数。
2.2 周期性- 如果对于任何$x$，都满足$f(x+T) = f(x)$，则称函数为周期函数。
2.3 单调性- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为单调递增。
- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为单调递减。
3. 函数的基本图像与简单变形3.1 常函数$f(x) = C$3.2 一次函数$f(x) = kx + b$3.3 二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a\neq 0$ 3.4 绝对值函数$f(x) = |x|$3.5 倒数函数$f(x) = \frac{1}{x}$3.6 反比例函数$f(x) = \frac{k}{x}$，其中$k\neq 0$ 4. 函数的运算4.1 函数的和、差、积、商- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- 和函数：$(f+g)(x) = f(x)+g(x)$，$D_{f+g} = D_f \cap D_g$ - 差函数：$(f-g)(x) = f(x)-g(x)$，$D_{f-g} = D_f \cap D_g$- 积函数：$(f\times g)(x) = f(x)\times g(x)$，$D_{f\times g} = D_f \cap D_g$- 商函数：$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，$D_{\frac{f}{g}} = \{x\in D_f \cap D_g|g(x)\neq 0\}$4.2 复合函数- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- $(f\circ g)(x) = f(g(x))$，$D_{f\circ g} = \{x\in D_g|g(x)\in D_f\}$5. 函数的应用5.1 解方程- 通过函数图像的交点来求解方程。
初二一次函数经典例题
初二一次函数经典例题一、题目背景在初中数学中，学生常常遇到关于一次函数的问题。
一次函数是一种非常基础的函数类型，在数学中具有很重要的地位。
通过学习一次函数的性质和应用，可以为学生建立起一种较为系统的数学思维方式和解决问题的方法。
本文将给出一些初二一次函数的经典例题，以帮助学生更好地理解一次函数的概念和应用。
二、例题一题目：某种商品的价格与销量之间存在一种线性关系，已知当销量为0时，价格为100元；当销量为200时，价格为50元。
那么销量为350时，价格是多少元？解析：我们可以设商品的价格为P，销量为S。
根据题目中给出的信息，可以列出两个点的坐标：(0, 100)和(200, 50)。
由于这两个点在直线上，我们可以利用直线的斜率公式来求解。
首先，我们需要计算出直线的斜率k。
斜率可以通过两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来计算。
在这个例子中，斜率k为：k = (50 - 100) / (200 - 0) = -50 / 200 = -1/4接下来，我们可以利用直线的斜截式方程来求解。
斜截式方程的一般形式为：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
已知斜率k为-1/4，我们可以将一个已知点的坐标代入方程来求解截距b。
以(0, 100)代入方程：100 = (-1/4) * 0 + b，可以得到b = 100。
因此，直线的方程为：y = (-1/4)x + 100。
最后，我们可以代入销量为350的坐标x = 350，得到价格y = (-1/4) * 350 + 100 = 25。
所以销量为350时，价格为25元。
三、例题二题目：某家电商网站进行促销活动，设定了一次函数来计算用户购买商品的折扣。
已知当购买1件商品时，折扣为10%；当购买10件商品时，折扣为30%。
那么购买20件商品时，折扣是多少？解析：同样地，我们可以设折扣为D，购买商品的数量为N。
根据题目中给出的信息，可以列出两个点的坐标：(1, 0.1)和(10, 0.3)。
八年级函数练习题及答案
八年级函数练习题及答案在八年级数学学习中，函数是一个重要的知识点。
掌握函数的概念和运用，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能提升我们的逻辑思维能力。
下面，我将为大家提供一些八年级函数练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 题目：已知函数y=2x+3，求当x=4时，y的值。
解答：将x=4代入函数中，得到y=2*4+3=11。
所以当x=4时，y的值为11。
2. 题目：已知函数y=-3x+5，求当y=2时，x的值。
解答：将y=2代入函数中，得到2=-3x+5。
移项得到-3x=2-5，即-3x=-3。
两边同时除以-3，得到x=1。
所以当y=2时，x的值为1。
3. 题目：已知函数y=4x-2，求当y=0时，x的值。
解答：将y=0代入函数中，得到0=4x-2。
移项得到4x=2，即x=2/4=1/2。
所以当y=0时，x的值为1/2。
4. 题目：已知函数y=5x，求当x=-3时，y的值。
解答：将x=-3代入函数中，得到y=5*(-3)=-15。
所以当x=-3时，y的值为-15。
5. 题目：已知函数y=2x+1，求当y=-5时，x的值。
解答：将y=-5代入函数中，得到-5=2x+1。
移项得到2x=-5-1，即2x=-6。
两边同时除以2，得到x=-3。
所以当y=-5时，x的值为-3。
通过以上的练习题，我们可以发现函数的运用并不复杂。
只需要将给定的数值代入函数中，按照运算规则进行计算，就能得到相应的结果。
掌握了函数的基本运算方法，我们就能够解决各种实际问题。
除了基本的函数运算，我们还可以通过函数的图像来分析和解决问题。
在八年级数学中，我们通常会遇到绘制函数图像的题目。
下面，我将为大家提供一个绘制函数图像的例题。
题目：绘制函数y=x^2的图像。
解答：首先，我们需要确定x的取值范围。
根据题目中给出的函数，我们可以选择一些常见的x值，比如-3、-2、-1、0、1、2、3等。
然后，我们将这些x值代入函数中，计算出对应的y值。
八年级数学《一次函数》知识点归纳与例题
八年级数学《一次函数》知识点归纳与例题一、知识点总结1、一次函数与正比例函数的定义：例如：y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的一次函数，特别地当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx （k 是常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图象与性质（形状、位置、特殊点、增减性）①、形状：一次函数的图象是一条 ；画法：确定两个点就可以画一次函数图象。
②、位置：直线的位置是由k 、b 当k 0时，图象经过一、三象限； 当k 0时，图象经过二、四象限。
当b 0时，图象与y 轴相交于正半轴； 当b 0时，图象与y 轴相交于负半轴； 当b 0时，图象经过坐标原点。
x 轴和y 轴交点分别是④、性质：一次函数)0(≠+=k b kx y ，当k 0y 的值随x 值的增大而增大；当k 0y 的值随x 值的增大而减小。
3、待定系数法求函数解析式在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎨⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b ，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__________．4、一次函数与方程、方程组及不等式的关系 ①、y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标． ②、y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围． ③、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点． 【知识拓展】1、两条直线的位置关系设直线 1和 ２的解析式为y ＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2则它们的位置关系由系数关系确定：① k 1≠k 2⇔ 1与 ２相交；② k 1＝k 2，b 1≠b 2⇔ 1与 ２平行；＋b一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象 如图，判断k 、b 符号。
八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题知识点归纳（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P （a ，b ）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（5）若P （2，2）和Q （m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．7、已知120k k <<，则函数1y k x =和2k y x=的图象大致是（ ）3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．y xOyxOyxOyxO（A ）（B ）（C ）（D ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（2）在函数（a 为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）． A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）． 5、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜0，或x ＞2D ．x ＜－1，或0＜x ＜24．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y 是z 的（ ）．A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．不能确定（6）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（7）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．ABOxy第4题2 1 23 －3 －1 －2 13－3－1－2（8）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC 的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．（5）如图在Rt△ABO 中，顶点A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B 且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．第（5）题图6.如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积；(3)求不等式kx+b-xm <0的解集(直接写出答案)．OC A Byx7．如图，已知反比例函数y ＝mx的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B ．(1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标．8、如图所示，一次函数y x m =+和反比例函数1(1)m y m x+=≠-的图象在第一象限内的交点为(,3)P a ．⑴求a 的值及这两个函数的解析式； ⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反 比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．(,3)P aOxy6．综合应用（1）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（2）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．① 求点A、B、D的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．4．如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．5．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．6．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．7．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．。
初二函数练习题讲解
初二函数练习题讲解在初二数学学习中，函数是一个重要的概念。
为了帮助同学们更好地理解和掌握函数，下面将对一些初二函数练习题进行详细的讲解和解答。
1. 题目：已知函数y = 2x + 1，求当x为3时，y的值。
解答：给定函数y = 2x + 1，我们需要求当x为3时，y的值。
可以直接代入x = 3到函数中计算。
将x = 3代入函数，得到y = 2 * 3 + 1 = 7。
所以当x为3时，y的值为7。
2. 题目：已知函数y = x^2 - 4x，求函数的值域。
解答：要求函数的值域，即求出函数可以取到的所有y的值。
首先，我们可以将函数写成标准形式：y = x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4。
由于平方的结果不会小于0，所以(x - 2)^2 >= 0，即y >= -4。
因此，函数的值域为[-4, +∞)。
3. 题目：已知函数y = 2^x，求x为何值时，y等于8。
解答：给定函数y = 2^x，我们需要求出x为何值时，y等于8。
可以直接代入y = 8到函数中计算。
将y = 8代入函数，得到2^x = 8。
可以将8写成2的幂，即8 = 2^3。
所以我们可以得到2^x = 2^3，从而得到x = 3。
因此，当x为3时，y等于8。
4. 题目：已知函数y = log2(x + 1)，求当y等于2时，x为多少。
解答：给定函数y = log2(x + 1)，我们需要求出当y等于2时，x的值。
根据对数的定义，我们有2 = log2(x + 1)。
将等式两边以2为底求幂，得到2^2 = x + 1，即4 = x + 1。
从而我们可以得到x = 3。
因此，当y等于2时，x为3。
通过以上几个例题的讲解，我们可以看到函数在初二数学中的应用。
通过对不同类型函数的练习和掌握，同学们可以更好地理解和应用函数的概念，提高数学解题的能力。
总结起来，初二函数练习题涉及了函数的基本操作和概念，通过多做类似的练习题，可以帮助同学们更好地理解和巩固函数的知识。
函数练习题初二必考
函数练习题初二必考函数是数学中的重要概念之一，也是初二数学必考的内容之一。
掌握函数的定义、性质和运算方法，对于理解和解决各类函数相关题目具有重要意义。
本文将介绍几个常见的函数练习题，以帮助初二学生巩固函数知识。
1. 【函数的定义】例题：已知函数 f(x) = x + 2，求 f(3) 的值。
解析：根据函数的定义，将 x = 3 代入函数表达式 f(x) = x + 2 中，可得 f(3) = 3 + 2 = 5。
答案：f(3) = 5。
2. 【函数的性质】例题：已知函数 f(x) = 2x + 3，求函数 f 的定义域和值域。
解析：函数的定义域是指所有可以作为自变量 x 取值的集合，对于本题中的函数 f(x) = 2x + 3，由于任意实数均可以取代 x，所以定义域为全体实数集 R。
函数的值域是指函数在定义域内所有可能的取值所组成的集合。
由于函数 f(x) = 2x + 3 是一次函数，它的图像是一条直线，该直线的斜率为 2，说明函数的值随着自变量的增大而增大，值域为全体实数。
答案：定义域为 R，值域为 R。
3. 【函数的运算】例题：已知函数 f(x) = 3x + 2，g(x) = x^2 - 1，求复合函数 f(g(x)) 的表达式。
解析：复合函数 f(g(x)) 的意思是将 g(x) 的输出值作为 f(x) 的输入值进行运算。
将 g(x) 的表达式带入 f(x) 的表达式，可得 f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) + 2 = 3x^2 - 1。
答案：f(g(x)) = 3x^2 - 1。
通过以上几个例题的分析，我们可以看到函数的定义、性质和运算方法在解题中的重要性。
掌握了这些基本概念和运算规则，初二学生可以更加熟练地应对函数相关的题目。
练习题只是理解函数的一个重要环节，更重要的是理解函数的概念和性质。
只有对函数的基本概念有深入的理解，才能在解题过程中提供正确的思路和方法。
专题 初中函数【八大题型】
初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x 的值是否对应唯一确定的y 值．【例1】下列关于变量x 和y 的关系式：y =x,2x −y =0,y =x,2x −|y |=2，其中y 是x 的函数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-1】高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（ ）A ．金额是自变量B ．单价是自变量C ．6.48和18是常量 D ．金额是数量的函数初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版 【变式1-2】下列曲线中能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表：现有两种说法：①t 是m 的函数；②m 是t 的函数．下列判断正确的是（ ） A ．①对，②错B ．①错，②对C ．①对，②对D ．①错，②错当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．【例2】点P(a,b)在函数y =2x +3的图象上，则代数式−4a +2b 的值等于 ．初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版 【变式2-1】下列各点在函数y ＝3x+2的图象上的是( )A ．(1，1)B ．(﹣1，﹣1)C ．(﹣1，1)D ．(0，1)【变式2-2】下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）A ．y =B ．y =x −1C ．y =5x −3xD ．y =−3x +7【变式2-3】根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值为3或-3时，输出的y 值相等，则a 等于（ ）A ．﹣9B ．﹣3C ．9D ．3【例3】下列函数自变量x 的取值范围错误的是( )A ．y ＝－2x 2＋1中，x 取全体实数B ．y ＝中，x 取不等于－1的实数 C ．y ＝√x −2中，x 取大于或等于2的实数 D ．y ＝ √ 中，x 取大于或等于－3的实数【变式3-1】函数y =√x −9中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x ≥0C ．x ＞9D ．x ≥9【变式3-2】函数y =的自变量x 的取值范围是（ ）A ．x =0B ．x ≠0C ．x =3D ．x ≠3初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版把一个函数的自变量x 的值与对应的函数y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【例4】函数问题：（1）作出y 与x 的函数y =2|x |的图象 ①自变量x 的取值范围是____________； ②列表并画出函数图象：③当自变量x 的值从1增加到2时，则函数y 的值增加了____________．（2）在一个变化的过程中，两个变量x 与y 之间可能是函数关系，也可能不是函数关系： 下列各式中， y 是x 的函数的是____________．①x +y =1； ②|x +y |=1； ③xy =1； ④x +y =1；初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版 【变式4-1】在平面直角坐标系中画出函数y =−x +3的图象．在图象上标出横坐标为−4的点A ，并写出它的坐标；【变式4-2】已知函数y =2x −1 （1）填写下列表格．（2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数y =2x −1的图像．初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版【例5】甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：（1）甲车的速度是 ；（2）乙车用了 小时到达B 城； （3）求乙车出发后多少时间追上甲车？ （4）求甲车出发多少时间，两车相距50千米？【变式5-1】小明家、学校、小艾家依次在同一条笔直的公路旁．一天放学后，小明到家发现错拿小艾作业本，于是返回并归还作业本．小明先从家跑步到学校找小艾，发现小艾回家后又跑到小艾家，然后骑共享单车返回，小明与自己家的距离y （米）与小明从家出发的时间x （分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．小明在学校停留了10分钟 B ．小艾家离学校600米C ．小明跑步速度为每分钟180米D ．小明骑共享单车的速度为每分钟200米初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版【变式5-2】为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点只进水，不出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只出水，不进水，则一定正确的论断是 ．【变式5-3】甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与乙出发的时间x （秒）之间的函数关系如图所示． （1）甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒；（2）离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点______米； （3）乙到达终点时，甲距离终点还有______米；（4）甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：______秒＜x ＜______秒．初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版【例6】某油箱容量为60 L 的汽车，加满汽油后行驶了100 km 时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km ，邮箱中剩油量为y L ，则y 与x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A ．y =0.12x ，x ＞0 B ．y =60﹣0.12x ，x ＞0 C ．y =0.12x ，0≤x ≤500 D ．y =60﹣0.12x ，0≤x ≤500【变式6-1】一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨．表二记录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中t 表示时间，y 表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个y 关于t 的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取值范围）【变式6-2】现有下面两种移动电话计费方式：（1）以x （单位：分钟）表示通话时间，y （单位：元）表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出y 关于x 的函数解析式． （2）求出如何选择这两种计费方式更省钱．初中数学 ︵ 八年级 ︶浙教版 【变式6-3】某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：（1）按照上表所示的规律，当x 每增加1时，y 如何变化？． （2）写出座位数y 与排数x 之间的解析式．（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．。
八年级(人教版)函数知识点总结
八年级(人教版)函数知识点总结
1. 函数的定义和特点
- 函数是指两个变量之间的一种特殊关系。
通常用符号“y=f(x)”表示。
- 函数的特点包括单值性、对应性和确定性。
2. 函数的表示方法
- 表达法：y=f(x)
- 函数图像法：用图像表示函数的变化规律
- 函数表格法：通过表格列出函数的输入和输出值
3. 函数的分类
- 一次函数：y=ax+b，其中a和b为常数，a不等于0
- 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不等于0 - 反比例函数：y=k/x，其中k不等于0
- 正比例函数：y=kx，其中k不等于0
4. 函数的图像和性质
- 一次函数的图像为一条直线，斜率决定了函数的增减性。
- 二次函数的图像为一条抛物线，开口方向和开口大小由二次项的系数决定。
- 反比例函数的图像为一条曲线，通过原点，并且随着x的增大，y的值逐渐减小。
- 正比例函数的图像为一条经过原点且与x轴平行的直线。
5. 函数的应用
- 函数广泛应用于数学和实际生活中的问题求解。
- 函数可以描述物体的运动规律、变化趋势、关系等。
以上是八年级(人教版)函数知识点的简要总结，希望对您有所帮助。
(完整版)人教版八年级下册数学一次函数知识点归纳及练习,推荐文档
一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如 y=kx(k 为常数，且 k≠0)的函数叫做正比例函数.其中 k 叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b 为常数，且 k≠0)的函数叫做一次函数.当 b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数 y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y= kx 。
初二一次函数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二一次函数所有知识点总结和常考题知识点:1. 变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不 变的是常量。
2. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y ,并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则 x 自变量，y 是x 的函数。
3. 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4. 描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可， 其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函 数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为 纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线： 依次 用平滑曲线连接各点。
6. 正比列函数：形如y=kx (k z 0)的函数，k 是比例系数。
7. 正比列函数的图像性质：⑴ y=kx(k z 0)的图象是一条经过原 点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小，8 —次函数：形如y=kx+b (k z 0)的函数，则称y 是x 的一次函数。
当b=0时，称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当 k>0时，y 随x 的增大而增大；②当k<0时，y 随x 的增大而减小。
点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；(3)把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11. 一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解(既与x 轴的交点坐标横坐标值)，一元一次不等式的解集, 二元一次方程组的解(既两函数直线交点坐标值)b*0k 0 b = 0 10.待定系数法求函数解析 式：⑴设函数解析式为 1 23 (i )(2)般式;常考题:A. ± ：B. 4C.± 汕或 4D. 4 或-：5. 下列图形中，表示一次函数 y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m, n 为常数，且 mn^ 0）的图象的是（ ）6. 如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 A （2，n ） B （n ，3），那么一定有（ ）A. m>0，n >0 B . m>0，n v 0 C . m< 0， n >0 D . m< 0， n v 07. 已知点（-4, y i ），（2, y 2）都在直线y=-—x+2上，则y i, y ?大小关系是（）A. y i >y 2B. y=yC. y i V yD.不能比较2. A.3. A.4. y= B. y= ________ C. y=x - 3 D. y= T H ?I -3 Vx-3 下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（一次函数 第一象限 若函数■ y=- 3x - 2的图象不经过（B •第二象限 C.第三象限 D.第四象限* ”+沁<2），则当函数值y=8时，自变量X 的值是（2x （x>2）1. A. .选择题（共14小题）下列函数中，自变量x 的取值范围是x >3的是（C.8. —次函数y=kx+b （k工0）的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）o\ 2\ XA. x v 0B. x > 0C. x v 2D. x >29•如图，在矩形ABC 冲，动点P 从点B 出发，沿BC CD DA 运动至点A 停止, 设点P 运动的路程为x , △ ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图所示， 则厶ABC 的面积是（ ）A. 10B. 16C. 18D. 2010. 如图1,在矩形MNP （中，动点R从点N 出发，沿N^P —C H M 方向运动至点 M 处停止.设点R 运动的路程为x ，△MNF 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象 如图2所示，则当x=9时，点R 应运动到（）（图D W 汹* 1 A. N 处B. P 处C. Q 处D. M 处11. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图象可能正确的是（12. 甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离 开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示.则 下列结论：① A, B 两城相距300千米；② 乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③ 乙车出发后2.5小时追上甲车；④ 当甲、乙两车相距50千米时，t=，或］.4 4其中正确的结论有（ ）A. B. (S1)C.13•图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家.其中x表示时间，y表示张强离家的距离.根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A. 体育场离张强家2.5千米B. 张强在体育场锻炼了15分钟C•体育场离早餐店4千米D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14•甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒•在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：① a=8;②b=92;A.①②③B.仅有①②C•仅有①③ D.仅有②③二•填空题（共13小题）15•函数y==；「中自变量x的取值范围是___________ .x-116•已知点（3,5）在直线y=ax+b（a, b为常数，且a^0）上，则的值为 _________b-517. _________________________________________________________ 已知直线y=kx+b，若k+b=-5，kb=6，那么该直线不经过第 __________________ 象限.18. —次函数y= - 2x+b中，当x=1时，y V 1，当x=- 1时，y > 0 .则b的取值范围是_______ .19. 小明放学后步行回家，他离家的路程s （米）与步行时间t （分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是________ 米/分钟.（2, 0）、B （3, 0）之间（包括21.龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场.图中的函数图象刻画了龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）.有下列说法:①龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟.22. 某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0w x< 5）的函数关系式为23. ________________________ 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y （元）与购买量x （千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元.24. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0, 4),直线y=3x - 3与x轴、25. _____ 直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为_______ .26. 把直线y=- x - 1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为_______ .27. 如图，直线y=- x+4与y轴交于点A,与直线y= x+:交于点B,且直线3 5 5三.解答题(共13小题)28. 如图，直线l i的解析表达式为：y=-3x+3，且l 1与x轴交于点D,直线丨 2 经过点A, B,直线I 1, 12交于点C.(1)求点D的坐标；(2)求直线丨2的解析表达式；(3)求厶ADC勺面积；(4)在直线丨2上存在异于点C的另一点P,使得△人。
八年级上册一次函数经典例题
一次函数复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念假设两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b 〔k ，b 为常数，k≠0〕的形式，则称y 是x 的一次函数〔x 为自变量〕，特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】 〔1〕一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.〔2〕一次函数y=kx+b 〔k ，b 为常数，b≠0〕中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.〔3〕当b=0，k≠0时，y= kx 仍是一次函数.〔4〕当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b 〔k ，b 为常数，k≠0〕的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点〔0，b 〕，直线与x 轴的交点〔-kb ，0〕.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点〔0，0〕，〔1，k 〕即可.知识点4 一次函数y=kx+b 〔k ，b 为常数，k≠0〕的性质〔1〕k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．〔2〕|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大〔直线陡〕，|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小〔直线缓〕；〔3〕b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．〔4〕由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18〔l〕所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限〔直线不经过第四象限〕；②如图11－18〔2〕所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限〔直线不经过第二象限〕；③如图11－18〔3〕所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限〔直线不经过第三象限〕；④如图11－18〔4〕所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限〔直线不经过第一象限〕．〔5〕由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5 正比例函数y=kx〔k≠0〕的性质〔1〕正比例函数y=kx的图象必经过原点；〔2〕当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；〔3〕当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6 点P〔x0，y0〕与直线y=kx+b的图象的关系〔1〕如果点P〔x0，y0〕在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；〔2〕如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P〔1，2〕必在函数的图象上．例如：点P 〔1，2〕满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P 〔1，2〕在直线y=x+l 的图象上；点P′〔2，1〕不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′〔2，1〕不在直线y=x+l 的图象上．知识点7 确定正比例函数及一次函数表达式的条件〔1〕由于正比例函数y=kx 〔k≠0〕中只有一个待定系数k ，故只需一个条件〔如一对x ，y 的值或一个点〕就可求得k 的值．〔2〕由于一次函数y=kx+b 〔k≠0〕中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y的值．知识点8 待定系数法先设待求函数关系式〔其中含有未知常数系数〕，再根据条件列出方程〔或方程组〕，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点9 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤〔1〕设函数表达式为y=kx+b ；〔2〕将已知点的坐标代入函数表达式，解方程〔组〕；〔3〕求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点〔2，1〕和〔-1，-3〕求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b 〔k≠0〕，由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 此题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设〔根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k≠0〕；第二步，代〔根据题目中的已知条件，列出方程〔或方程组〕，解这个方程〔或方程组〕，求出待定系数k ，b 〕；第三步，求〔把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中〕；第四步，写〔写出函数关系式〕.思想方法小结〔1〕函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．〔2〕数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 〔1〕常数k ，b 对直线y=kx+b(k≠0〕位置的影响．①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-kb ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-kb ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．〔2〕直线y=kx+b 〔k≠0〕与直线y=kx(k≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．〔3〕直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2〔k 1≠0 ，k 2≠0〕的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点〔0，b 1〕或〔0，b 2〕； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例讲解基此题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 以下函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？〔1〕y=-21x ； 〔2〕y=-x2； 〔3〕y=-3-5x ；〔4〕y=-5x 2； 〔5〕y=6x-21 〔6〕y=x(x-4)-x 2.基础应用题 本节基础知识的应用主要包括：〔1〕会确定函数关系式及求函数值；〔2〕会画一次函数〔正比例函数〕图象及根据图象收集相关的信息；〔3〕利用一次函数的图象和性质解决实际问题；〔4〕利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y 〔cm 〕与所挂物体的质量x(kg 〕之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s 〔千米〕与行驶时间t 〔时〕之间的函数关系式是 .例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M 〔℃〕是时间t 〔时〕的函数：M=t 2-5t+100〔其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时〕，则上午10时此物体的温度为 ℃．例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.〔1〕写出y 与x 之间的函数关系式；〔2〕当x=4时，求y 的值；〔3〕当y=4时，求x 的值．例6 假设正比例函数y=〔1-2m 〕x 的图象经过点A 〔x 1，y 1〕和点B 〔x 2，y 2〕，当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是〔 〕A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元． 〔1〕写出年产值y 〔万元〕与年数x 〔年〕之间的函数关系式；〔2〕画出函数的图象；〔3〕求5年后的产值．例7 已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．例8 求图象经过点〔2，-1〕，且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．综合应用题本节知识的综合应用包括：〔1〕与方程知识的综合应用；〔2〕与不等式知识的综合应用；〔3〕与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例8 已知y+a与x+b〔a，b为是常数〕成正比例．〔1〕y是x的一次函数吗？请说明理由；〔2〕在什么条件下，y是x的正比例函数？例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元〔均指市内通话〕假设1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．〔1〕写出y1，y2与x之间的关系；〔2〕一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？〔3〕某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．〔1〕求y与x之间的函数关系式；〔2〕画出函数的图象；〔3〕观察图象，当x取何值时，y≥0？〔4〕假设点〔m，6〕在该函数的图象上，求m的值；〔2〕中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，〔5〕设点P在y轴负半轴上，求P点的坐标．例11 已知一次函数y=〔3-k〕x-2k2+18.〔1〕k为何值时，它的图象经过原点？〔2〕k为何值时，它的图象经过点〔0，-2〕?〔3〕k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？〔4〕k为何值时，y随x的增大而减小？例12 判断三点A〔3，1〕，B〔0，-2〕，C〔4，2〕是否在同一条直线上．探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，表达分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论以下问题：〔1〕x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先到达30？这说明了什么？〔2〕直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先到达30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？例14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．〔1〕设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；〔2〕就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上〔含3000千克〕的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．〔1〕分别写出该公司两种购买方案的付款y〔元〕与所购买的水果量x〔千克〕之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；〔2〕当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．例15 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.中考试题预测例1 某地举办乒乓球比赛的费用y〔元〕包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b〔元〕，另一部分与参加比赛的人数x〔人〕成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．〔1〕求y与x之间的函数关系式；〔2〕动果有50名运发动参加比赛，且全部费用由运发动分摊，那么每名运发动需要支付多少元？例2 已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．〔1〕求这个函数的解析式。
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第十八章 函数一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0）（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质 正比例函数一次函数概 念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围 X 为全体实数图 象 一条直线必过点（0，0）、（1，k ） （0，b ）和（-kb，0）走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限k ＞0，b ＞0,直线经过第一、二、三象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。
（从左向右下降）倾斜度 |k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴图像的 平 移b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位； b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b个单位.6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x k y =还可以写成kx y =1-2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k。
4．反比例函数性质如下表：k 的取值 图像所在象限 函数的增减性o k >一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小o k <二、四象限在每个象限内，y 值随x 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用 二、例题 【例1】如果函数222-+=k k kxy 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xk y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kxy 为xy 1-= 【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ） A ．213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >>【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
解法一：由题意得111x y -=，221x y -=，331x y -=3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy 1-=的图像 描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A解法三：用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴221111121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为()11--∴，另一个点为【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____. 图解:因为直线m x y +=与双曲线xmy =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有AA A A x m y m x y =+=,.所以A A y x m=.又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,.所以m y x AB OB S A A AOB212121==•=∆.而已知2=∆AOB S .oy xy xoyxoy xoA B C D所以4=m . 三、练习题 1.反比例函数xy 2-=的图像位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A 、不小于54m 3B 、小于54m 3C 、不小于45m 3D 、小于45m 35．如图 ，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt ΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ） A ． S 1 ＞S 2 B ． S 1 <S 2C ． S 1=S 2D ． S 1与S 2的大小关系不能确定6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1n x+的图象都经过点A （-2，1）.求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；（3）△AOB 的面积．7. 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为（12，m ）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．O CAB8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m 3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q （m 3），那么将满池水排空所需的时间t （h ）将如何变化？ （3）写出t 与Q 的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m 3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y （件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件. （1）请写出y 关于x 的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？ 10．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数my x=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。