选修4-4 第二讲 参数方程 复习课

反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求 法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决. (2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆 心的直线、圆心到直线的距离等.
跟踪训练 3 已知曲线 C：x42＋y92＝1，直线 l：yx＝＝22－＋2t，t (t 为参数). (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
解答
(2)直线
l
的参数方程是xy＝ ＝ttcsions
α， α
(t 为参数)，l 与圆 C 交于 A，B 两点，
|AB|＝ 10，求 l 的斜率.
解答
解 方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝
α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方 程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
(3)椭圆 中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程 为(4)_双__曲__xy线_＝ ＝__ab_csio_ns_φ_φ_，___(_φ__为__参_.数) 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参 数方程为____xy_＝ ＝__ab_st_aen_c_φφ_，____(φ__为__参__数. )
解
曲线
C
的参数方程为xy＝＝23csions
θ， θ
(θ 为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
解答
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值.
解 曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 55|4cos θ＋3sin θ－6|，
|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，
故(|PB|＋|AB|)min＝ 26－1.
方法二 如图，圆心 C 关于直线 l 的对称点为 D(4,2)，连接 PD，交直线 l 于点 B，此时|PB|＋|AB|有最小值，且|PB|＋|AB|＝|PB|＋|BC|－1＝|PB|＋|BD| －1＝|PD|－1＝ 26－1.
即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
解答
x＝aet＋2 e－t， (2)y＝bet－2 e－t
(t 为参数，a，b>0).
x＝aet＋2 e－t， 解 由y＝bet－2 e－t，
2ax＝et＋e－t， ① 解得2by＝et－e－t， ②
∴①2－②2，得4ax22－4by22＝4，
∴ax22－by22＝1(x>0).
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解析 答案
2.椭圆的参数方程为xy＝ ＝2c3ossinφφ， (0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为
√A.12
3 B. 2
2 C. 2
3 D. 4
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答案
3.已知直线l的参数方程为yx＝＝12＋t，4t (t为参数)，圆C的极坐标方程为 ρ＝2 2 sin θ，则直线l与圆C的位置关系为
解答
解
由yx＝＝24co3ssitn，t，
4x＝cos t，
得
2
y
3＝sin
t，
所以4x2＋2
y
32＝(cos
t)2＋(sin
t)2＝1，
所以曲线 C 的普通方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
得3x＋2y－12＝0，
所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.
第二讲 参数方程
复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络. 2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识. 3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题.
内容索引
知识梳理 题型探究 达标检测
知识梳理
1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个变数t的函数x＝ft，①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定 的 点 M(x ， y)都y＝在g这t，条 曲 线 上 ， 那 么 方 程 组 ① 就 叫 做 这 条 曲 线 的 参数方程 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中 的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意 义的变数.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝ 144cos2α－44.
由|AB|＝
10，得
cos2α＝38，tan
α＝±
15 3.
所以 l 的斜率为 315或－ 315.
方法二
把xy＝ ＝ttcsions
α， α
代入(x＋6)2＋y2＝25，
达标检测
1.曲线 xy＝ ＝81c0osisnθθ，(θ为参数)的焦点坐标为
A.(±3,0)
B.(0，±3)
C.(±6,0)
√D.(0，±6)
解析 曲线xy＝＝81c0osisnθθ， (θ 为参数)的普通方程为1y022＋8x22＝1，
这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，
所以焦点坐标为(0，±6).
得t2＋(12cos α)t＋11＝0， 设A，B对应的参数为t1，t2， 所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.
则|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ 144cos2α－44＝ 10，
所以
cos2α＝38，所以
tan
α＝±
15 3.
所以 l 的斜率为 315或－ 315.
x＝cos θ－4sin θ， (1)y＝2cos θ＋sin θ
(θ 为参数)；
解 关于cos θ，sin θ的方程组
x＝cos θ－4sin θ， y＝2cos θ＋sin θ，
sin 变形得
cos
y－2x θ＝ 9 ，
x＋4y θ＝ 9 .来自∴x＋94y2＋y－92x2＝cos2θ＋sin2θ＝1，
α， α
(t 为参数)，
代入方程y2＝4x整理，得t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.
①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.
即 sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.
∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝
2.常见曲线的参数方程
(1)直线
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为 _xy_＝ ＝__xx_00_＋ ＋__ttcs_io_ns_α_α_，____(_t _为__参__数__)_. (①2)圆圆x2＋y2＝r2的参数方程为_xy_＝ ＝__rr_csio_ns_θ_θ_，___(_θ_为__参__数__)__； ②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为__xy_＝ ＝__ab_＋ ＋__rrcs_io_ns_θθ_，____(_θ_为__参__数__).
(5)抛物线
x＝ta2np2α，
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_y_＝__t_a2_np_α______(α__为__参__数__)__
或__xy_＝ ＝__22_pp_tt2_，___(_t_为__参__数__)_.
题型探究
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
y＝12t
(1)求弦长|AB|；
解 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得－4＋
23t2＋12t2＝7，整理得
t2－4
3t＋9＝0.
设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，
得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3.
坐标方程为ρsinθ＋π4 ＝2 2 . (1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；
解答
解 由曲线 C 的参数方程xy＝ ＝2si＋n αc，os α， 可得(x－2)2＋y2＝1， 由直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ＋π4＝2 2， 可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4， 即x＋y＝4.
跟踪训练1 线的形状.
判断方程
x＝sin
y＝sin
θ＋sin1 θ－sin1
θ，(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲 θ
解答
解
∵x2－y2＝sin
θ＋sin1
θ2－sin
θ－sin1
θ2＝4，
即 x2－y2＝4，∴x42－y42＝1.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x＝sin θ＋sin1 θ≥2，
4·sin82π4＝8.
解答
反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式. (2)要注意直线倾斜角的取值范围. (3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2. (4)套公式|t1－t2|求弦长.
跟踪训练2
直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为
x＝－4＋
23t，(t为参
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解析 答案
5.在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x32 ＋y2＝1上的一个动点， 求S＝x＋y的最大值和最小值. 解 椭圆x32＋y2＝1 的参数方程为yx＝＝sin3cφos φ， (φ 为参数)，
反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点. (2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解.当然也可以转化为极 坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化.
跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xy＝ ＝42co3ssitn，t (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直 线l的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求 四边形OMAB的面积. 解 由(1)可得 M(0，－2 3)，联立方程1x62 ＋1y22 ＝1，
3x＋2y－12＝0， 易得A(4,0)，B(2,3)， 所以四边形 OMAB 的面积为12×4×(3＋2 3)＝6＋4 3.
解答
解答
反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项 (1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致， 由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消 去参数后所得的普通方程同解性的判定. (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数 方程的特征，采用特殊的消参手段.
则|PA|＝sind30°＝2 5 5|5sin(θ＋α)－6|，
其中 α 为锐角，且 tan α＝43.
当
sin(θ＋α)＝－1
时，|PA|取得最大值，最大值为225
5 .
当
sin(θ＋α)＝1
时，|PA|取得最小值，最小值为2 5
5 .
解答
类型三 极坐标与参数方程 例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标 方程； 解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
当且仅当 θ＝π2时等号成立，
又
y＝sin
θ－sin1
sin2θ－1 θ＝ sin θ ≤0，
∴曲线为等轴双曲线x42－y42＝1 在右支位于 x 轴下方的部分.
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.
解
设弦
AB
所在的直线方程为xy＝ ＝32＋ ＋ttcsions
解答
(2)过P0作圆的切线，求切线长. 解 设圆过P0的切线为P0T，T在圆上， 则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9， ∴切线长|P0T|＝3.
解答
命题角度2 曲线参数方程的应用
例3
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x＝2＋cos y＝sin α
α， (α为参
数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极
A.相离
√C.相交
B.相切 D.由参数确定
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答案
4.点P(1,0)到曲线 xy＝＝t22t，(t为参数)上的点的最短距离为_1__. 解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d， 则 d＝ x－12＋y－02＝ t2－12＋2t2＝ t2＋12＝t2＋1≥1. 所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最 小值.
解答
解 方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，
a－2 1＋b＋2 1＝4， 故ab＋－11×－1＝－1
⇒ab＝ ＝35， ，
所以Q(3,5)，
由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，