反比例函数经典题型(可编辑修改word版)

反比例函数

一、经典内容解析 1.反比例函数的概念

(1)

(k≠0)可以写成

(k≠0)的形式，注意自变量 x 的指数为-1，在解决

有关自变量指数问题时应特别注意系数 k≠0 这一限制条件；

(2)

(k≠0)也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，

从而得到反比例函数的解析式；

(3) 反比例函数

的自变量 x≠0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点.

3.

函数解析式

正比例函数 y=kx (k≠0)

反比例函数 (k≠0)

自变量的 取值范围 全体实数 x≠0

图 象

直线，经过原点

双曲线，与坐标轴没有交点

图象位置 (性 质)

当 k ＞0 时，图象经过一、三象限； 当 k ＞0 时，图象的两支分别位于一、三

解析式 y = k

（k 为常数，且 k ≠ 0 ）

x

自变量取值范围

x ≠ 0 的实数

图象

图象的性质

双曲线

k > 0

k < 0

示意图

位置 两个分支分别位于 一、三象限 两个分支分别位于 二、四象限 变化趋势

在每个象限内，y 随 x

的增大而减小

在每个象限内，y 随 x

的增大而增大

对称性

是轴对称图形，直线 y = ± x 是它的两条对称轴 是中心对称图形，对称中心为坐标原点

当 k＜0 时，图象经过二、四象限. 象限；当k＜0 时，图象的两支分别位于

二、四象限.

性质

(1)当k＞0 时，y 随x 的增大而增大；

当k＜0 时，y 随x 的增大而减小.

(2)越大，图象越靠近 y 轴.

(1) 当 k＞0 时，在每个象限内y 随x 的

增大而减小；当k＜0 时，在每个象限内

y 随x 的增大而增大. (2) 越大，图象

的弯曲度越小，曲线越平直.

(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，

不能一概而论.

(2)正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；

当时，两图象必有两个交点，

且这两个交点关于原点成中心对称.

(3)反比例函数与一次函数的联系.

4.反比例函数中比例系数 k 的几何意义

(1)过双曲线(k≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为 . (2)

过双曲线(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为

3 3

二、典型例题分析

1.反比例函数定义

【例 1】如果函数 y = kx 2k 2

+k -2

的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么 k 的

值是多少？

1. 反比例函数 y = - 2

的图像位于（ ）

x A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限

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2. 若双曲线 y ＝－ 经过点 A （m ，－2m ），则 m 的值为（ ）

x

A. B. 3 C. ± D. ±3 3. 已知某反比例函数的图象经过点（m ，n ），则它一定也经过点（ ） A. （m ，－n ） B. （n ，m ） C. （－m ，n ） D. （︱m ︱，︱n ︱） 4．（2007 陕西）在△ABC 的三个顶点 A (2，- 3)，B (-4，- 5)，C (-3，2) 中，可能在 反比例函数 y = k (k > 0) 的图象上的点是

．

x

5.若点 P （4，m ）关于 y 轴对称的点在反比例函 y= （x≠0）的图象上，则 m 的 值是

2.反比例函数的表示

【例 2】已知 y = y + y ， y 与x 成正比例， y 与x 2 成反比例，且

1

2

1

2

x = 2时和x = 3时，y 的值都是19，求y 与x 间的函数解析式

1. 若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定

2. 已知 y 与(x - 2) 成反比例关系，且当 x = 1时， y = 4 ，

则 y 关于 x 的函数解析式为

3. 已知 y 1 与 x 成正比例（比例系数为 k 1），y 2 与 x 成反比例（比例系数为 k 2），若函数 y = y 1 + y 2

的图象经过点（1，2），（2， 1 ），则8k + 5k =

．

2

1 2

3. 反比例函数的增减性问题.

【例 3】在反比例函数 y = - 1

的图像上有三点(x ， y )， (x ， y )， (x ， y )

x 1 1 2 2 3 3

。若 x 1 > x 2 > 0 > x 3 则下列各式正确的是（

）

A.y

3 >y

1

>y

2

B.y

3

>y

2

>y

1

C.y

1

>y

2

>y

3

D.y

1

>y

3

>y

2

1.在反比例函数图象上有两点A( ，)，B( )，当时，有

，则 m 的取值范围是( ).

A．m＜0 B．m＞0 C．m＜0.5 D．m＞0.5

2：已知反比例函数的图象上两点A( ，)，B( ，)，当时，有，则m 的取值范围是.

3：若反比例函数上，有三点A( ，)，B( ，)，C( ，)，且

，则，，的大小关系是.

4.设有反比例函数y =k +1

，(x , y ) 、(x , y ) 为其图象上的两点，若x < 0

时，y1>y2，则k 的取值范围是

4.反比例函数与图象的面积问题.

(1)求函数解析式

1.如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF 的面积为 3.求这个反函数的解析式.

2.（2007 ft东枣庄）反比例函数y =k

的图象如图所示，点M 是该函x

数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N，如果 S△MON＝2，则k

的值为（）

(A)2 (B)-2

(C)4 (D)-4

(2)求图形面积的问题

1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于 A、B 两点，分别以 A、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点 A 的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和.